Ôn Hình học mặt phẳng tọa độ

 1
Hình học mặt phẳng tọA độ 
 Cách giải các bài toán về tam giác: viết pt các cạnh của tam giác, tìm các đỉnh 
chú ý: - 2 đg thẳng // thì có cùng véc tơ pháp tuyên và véc tơ chỉ phương 
- 2 đg thẳng vuông góc thì pháp tuyến đường này là chỉ phương của đg kia, 
 chỉ phương đường này là pháp tuyến của đg kia 
Loại 1: cho 1 đỉnh và 2 đường cao không qua đỉnh đó: 
 cách giải: - viết phương trình cạnh AB qua A và vuông góc với CK 
- viết phương trình cạnh AB qua A và vuông góc với BH 
Loại 2: cho 1 đỉnh và 2 đường trung tuyến không qua đỉnh đó 
cách giải: 
- Lấy điểm M thuộc BM theo tham số, theo công thức trung điểm tìm 
toạ độ C , thay toạ độ C vào PT đường CN tìm tham số t  điểm C 
- Lấy điểm N thuộc CN theo tham số, từ CT trung điểm tìm toạ độ B 
thay voà PT đường BM tìm tham số t  điểm B 
loại 3: cho 1 đỉnh và 2 đường phân giác trong không qua đỉnh đó 
cách giải: - gọi A’ và A’’ là diểm đối xứng của A qua đường phân giác 
BB’ và CC’  A’ và A’’ thuộc cạnh BC 
- viết PT cạnh BC, tìm giao của nó với đường CC’, BB’ta có điểm 
B và C 
chú ý : 
các bài toán kết hợp đường cao và phân giác; đường cao và trung tuyến; trung tuyến và phân giác ta đều dựa vào 
cách giải 3 bài toán cơ bản trên 
loại 4: Bài toán cho diện tích, cho điểm trên đoạn thẳng theo tỉ số cho trước 
 cách giải: Ta dùng công thức diện tích, công thức tìm toạ độ của điểm chia đoạn thẳng theo tỉ số k 
Bài tập: 
1/ Cho A ( 4 ; 6 ) , B( 1; 4) ,C( 7 ; 
2
3
), D (- 2; 2) 
 a/ Chửựng minh raống A , B, C khoõng thaỳng haứng : A , B , D thaỳng haứng. 
 b/ Tỡm ủieồm E ủoỏi xửựng vụựi A qua B. 
 c/ Tỡm ủieồm M sao cho tửự giaực ABCM laứ hỡnh bỡnh haứnh. 
 d/ Tỡm toùaủoọ troùng taõm G cuỷa tam giaực ABC . 
2/ Cho A ( -1 : 3 ) ,B (1 ; 1 ) , C ( 2 ; 4 ) . 
 a/ Xaực ủũnh toùa ủoọ taõm I cuỷa ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp tam giaực ABC. 
 b/ Xaực ủũnh toùa ủoọ troùng taõm G, trửùc taõm H cuỷa tam giaực ABC .suy ra ba ủieồm G,H,I thaỳng haứng. 
3/ Cho hai ủieồm A( 1; -2 ) vaứ B( 3 ; 4 ) . 
a/ Tỡm ủieồm A’ ủoỏi xửựng vụựi A qua truùc hoaứnh. 
b/ Tỡm ủieồm M treõn truùc hoaứnh sao cho MA +MB nhoỷ nhaỏt . 
c/ Tỡm ủieồm N treõn truùc tung sao cho NA + NB nhoỷ nhaỏt. 
d/ Tỡm ủieồm I treõn truùc tung sao cho |

 IBIA | ngaộn nhaỏt. 
e/ Tỡm J treõn truùc tung sao cho JA –JB daứi nhaỏt. 
A B 
C(x;y) 
A(x;y) 
B 
C 
A’ B’ 
B’ 
C’ 
A(x;y) 
C 
A’ 
I 
J 
B 
A’’ 
 2
 4/Trong maởt phaỳng vụựi heọ toùa ủoọ Oxy, cho ủieồm A(1;1) . Haừy tỡm ủieồm B treõn ủửụứng thaỳng y =3 vaứ ủieồm C 
treõn truùc hoaứnh sao cho ABC laứ tam giaực ủeàu. 
 5/Trong maởt phaỳng Oxy cho ủieồm B treõn ủửụứng thaỳng x + 4 = 0 vaứ ủieồm C treõn ủửụứng thaỳng x–3 =0 
a) Xaực ủũnh toùa ủoọ B vaứ C sao cho tam giaực OBC vuoõng caõn ủổnh O 
b) Xaực ủũnh toùa ủoọ B;C sao cho OBC laứ tam giaực ủeàu. 
CAÙC DAẽNG BAỉI TAÄP 
 Daùng 1: Laọp phửụng trỡnh cuỷa ủửụứng thaỳng: 
Baứi 1 : Vieỏt phửụng trỡnh tham soỏ phửụng trỡnh , chớnh taộc roài suy ra phửụng trỡnh toồng quaựt cuỷa ủửụứng 
thaỳng trong caực trửụứng hụùp sau: 
 1/ Qua ủieồm M(2 ; -5) vaứ nhaọn vectụ 

u =( 4; -3) laứm vectụ chổ phửụng . 
 2/ Qua hai ủieồm A(1 ; - 4 ) vaứ B( -3 ; 5 ) . 
 3/ Qua ủieồm N ( 3 ; -2 ) vaứ nhaọn vectụ 

n = ( 5 ; - 2 ) laứm vectụ phaựp tuyeỏn . 
Baứi 2: Vieỏt Phửụng trỡnh tham soỏ , phửụng trỡnh chớnh taộc cuỷa ủửụứng thaỳng coự phửụng trỡnh toồng quaựt laứ: 3x 
– 2y + 6 = 0 . 
Baứi 3: Trong maởt phaỳng toùa ủoọ Oxy cho caực ủieồm A( 5 ; 5) , B( 1 ; 0) , C( 0; 3) . Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng 
thaỳng d trong caực trửụứng hụùp sau : 
a) d ủi qua A vaứ caựch B moọt khoaỷng baống 4. 
b) d ủi qua A vaứ caựch ủeàu hai ủieồm B , C 
c) d caựch ủeàu ba ủieồm A; B ; C 
d) d vuoõng goực vụựi AB taùi A. e; d laứ trung tuyeỏn veừ tửứ A cuỷa tam giaực ABC. 
Baứi 4: Cho tam giaực ABC . M ( 1 ; - 2 ) , N ( 8 ; 2 ) , P ( -1 ; 8 ) laàn lửụùt laứ trung ủieồm cuỷa caực caùnh AB , BC 
, CA . 1/ Vieỏt phửụng trỡnh toồng quaựt cuỷa caực caùnh cuỷa tam giaực ABC. 
 2/ Vieỏt phửụng trỡnh caực ủửụứng trung trửùc cuỷa caực caùnh cuỷa tam giaực ABC. 
 Baứi 5: Cho ủửụứng thaỳng (d) coự phửụng trỡnh : 4x – 3y + 5 = 0 . 
 1/ Laọp phửụng trỡnh toồng quaựt ủửụứng thaỳng ( d’) ủi qua ủieồm A (1 ; -2 ) vaứ song song vụựi (d). 
 2/ Laọp phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng (d’’) ủi qua ủieồm M( 3 ; 1 ) vaứ (d’’) vuoõng goực vụựi (d). 
 Baứi 6 : Cho hai ủửụứng thaỳng d: 2x + 7y – 8 = 0 vaứ d’ : 3x + 2y + 5 = 0. Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng ủi 
qua giao ủieồm cuỷa d vaứ d’vaứ thoaỷ maỷn moõùt trong caực ủieàu kieọn sau ủaõy : 
1/ ẹi qua ủieồm ( 2 ;- 3) 2/ Song song vụựi ủửụứng thaỳng x – 5y + 2 = 0 
3/ Vuoõng goực vụựi ủửụứng thaỳng x- y + 4 = 0 . 
 Baứi 7 :Tam giaực ABC coự A( -1 ; - 3 ) , caực ủửụứng cao coự phửụng trỡnh : BH: 5x + 3y –25 = 0; 
 CH : 3x + 8y – 12 = 0 .Vieỏt phửụng trỡnh caực caùnh cuỷa tam giaực ABC vaứ ủửụứng cao coứn laùi. 
 Baứi 8 :Trong maởt phaỳng toùa ủoọ Oxy cho caực ủieồm M (5 ; 5 ) , N (1 ; 0 ), P( 0 ; 3 ). Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng 
thaỳng d trong moồi trửụứng hụùp sau : 
 1/ d qua M vaứ caựch N moọt khoaỷng baống 4. 2/ D qua M vaứcaựch ủeàu hai ủieồm N, P. 
 Baứi 9: Laọp phửụng trỡnh caực ủửụứng thaỳng chửựa caực caùnh cuỷa tam giaực ABC bieỏt A( 1; 3) vaứ hai trung 
tuyeỏn coự phửụng trỡnh laứ x – 2y + 1 = 0, y – 1 = 0. 
 Baứi 10: Laọp phửụng trỡnh caực ủửụứng thaỳng chửựa caực caùnh cuỷa tam giaực ABC neỏu cho ủieồm B(-4;-5) vaứ hai 
ủửụứng cao coự phửụng trỡnh laứ :5x + 3y – 4 = 0 , 3x + 8y +13 = 0. 
 Baứi 11 : Cho ủieồm P( 3; 0) vaứ hai ủửụứng thaỳng d1: 2x – y – 2 = 0 , d2:x + y + 3 = 0. Goùi d laứ ủửụứng thaỳng qua 
P caột d1 , d2 laàn lửụùt taùi A vaứ B .Vieỏt phửụng trỡnh cuỷa d bieỏt PA = PB. 
Baứi 12 : Laọp phửụng trỡnh caực caùnh cuỷa tam giaực ABC bieỏt C(4 ; -1 ) ủửụứng cao vaứ trung tuyeỏn keỷ tửứ moọt 
ủổnh laàn lửụùt coự phửụng trỡnh : 2x – 3y +12 = 0 , 2x + 3y = 0 . 
 Baứi 13 : Cho tam giaực ABC coự M( - 2 ; 2) laứ trung ủieồm cuỷa caùnh BC caùnh AB coự phửụng trỡnh laứ x – 2y 
– 2 = 0,caùnh AC coự phửụng trỡnh laứ 2x + 5y + 3 = 0 . Xaực ủũnh toùa ủoọ caực ủổnh cuỷa tam giaực ABC. 
 3
 Baứi 14 : Cho hai ủửụứng thaỳng d1: x – y = 0 , d2 :x – 2y – 2 = 0. Tỡm ủieồm A treõn d1, C treõn d2 vaứ B , D treõn 
truùc hoaứnh sao cho ABCD laứ hỡnh vuoõng . 
Daùng 2 : Hỡnh chieỏu cuỷa moọt ủieồm treõn ủửụứng thaỳng 
 1 / Phửụng phaựp : Xaực ủũnh hỡnh chieỏu vuoõng goực H cuỷa ủieồm M treõn ủửụứng thaỳng d: 
 Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng d’ ủi qua dieồm M vaứ vuoõng goực vụựi d . 
 Giaỷi heọ goàm hai phửụng trỡnh cuỷa d vaứ d’ ta coự toùa ủoọ cuỷa ủieồm H. 
2/ Phửụng phaựp :Xaực ủũnh ủieồm N ủoỏi xửựng cuỷa ủieồm M qua d. 
 Duứng phửụng phaựp treõn ủeồ tỡm hỡnh chieỏu vuoõng goực H cuỷa ủieồm M treõn ủửụứng thaỳng d. 
 ẹieồm N ủoỏi xửựng vụựi M qua d neõn H laứ trung ủieồm ủoaùn MN , tửứ ủieàu kieọn ủoự ta tỡm ủửụùc toùa ủoọ 
ủieồm N 
Baứi taọp : 
 Baứi 1 : Trong maởt phaỳng vụựi heọ toùa ủoọ Oxy cho ủieồm M(-6 ; 4 ) vaứ ủửụứng thaỳng d: 4x – 5y + 3 = 0. 
 1/ Tỡm toùa ủoọ hỡnh chieỏu H cuỷa M treõn ủửụứng thaỳng d. 
 2/ Tỡm ủieồm N ủoỏi xửựng vụựi ủieồm M qua d . 
Baứi 2 : Trong mp vụựi heọ toùa ủoọ Oxy cho hai ủeồm A(1 ; 6) , B( -3; -4 ) vaứ ủửụứng thaỳng d : 2x – y – 1 = 0 . 
 1/ Chửựng minh raống A , B naốm veà cuứng moọt phớa ủoỏi vụựi ủửụứng thaỳng d. 
 2/ Tỡm ủieồm A’ ủoỏi xửựng vụựi A qua d . 
 3/ Tỡm ủieồm M treõn ủửụứng thaỳng d sao cho MA + MB beự nhaỏt. 
Daùng 3 : Caực baứi toaựn veà vũ trớ tửụng ủoỏi cuỷa hai ủửụứng thaỳng 
Baứi 1: Xaực ủũnh a ủeồ caực ủửụứng thaỳng sau ủaõy ủoàng quy: 2x–y+3 = 0 ,x+y+3= 0 , ax + y – 3 = 0 . 
Baứi 2 : Cho hai ủửụứng thaỳng d: mx –2y – 1 = 0 , d’: 2x – 4y + m = 0 .Vụựi giaự trũ naứo cuỷa m thỡ : 
 1/ d vaứ d’ caột nhau. 2/ d // d’. 3/ d truứng vụựi d’. 
 Baứi 3: Vụựi giaự trũ naứo cuỷa m thỡ hai ủửụứng thaỳng sau caột nhau taùi moọt ủieồm treõn truùc hoaứnh 
 d: ( m -1) x + my – 5 = 0 , d’: mx +( 2m – 1) y + 7 = 0. 
Daùng 4 : Caực baứi toaựn Sửỷ duùng coõng thửực tớnh goực vaứ khoaỷng caựch. 
Baứi 1 : Tớnh goực giửừa caực caởp ủửụứng thaỳng sau : 
 1/ 4x + 3y +1 = 0 , x+ 7y – 4 = 0 
 2/ 6x – 8y –15 = 0 , 12x + 9y + 4 = 0 . 
Baứi 2 : Tớnh khoaỷng caựch tửứ ủieồm M ( 3 ; 2) ủeỏn caực ủửụứng thaỳng sau ủaõy: 
 1/ 12x – 5y – 13 = 0 , 2/ 3x – 4y –16 = 0 , 3/ x + 2y +8 = 0 . 
Baứi 3: Cho ủửụứng thaỳng d: 3x – 2y +1 = 0 vaứ ủieồm A(1;2) . Laọp phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng  ủi qua A vaứ 
hụùp vụựi d moọt goực 450 . 
Baứi 4 : Cho tam giaực ABC caõn ủổnh A . Cho bieỏt BC: 2x – 3y –5 = 0 , 
 AB :x + y + 1 = 0. Laọp phửụng trỡnh caùnh AC bieỏt raống noự ủi qua ủieồm M(1;1). 
Baứi 5: Laọp phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng ủi qua ủieồm M( 2;7 ) vaứ caựch ủieồm A(1;2) moọt khoaỷng baống1. 
Baứi 6 : Laọp phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng ủi qua ủieồm P( 2 : -1) sao cho ủửụứng thaỳng ủoự cuứng vụựi hai ủửụứng 
thaỳng : (d1):2x – y + 5 = 0 , (d2) : 3x + 6y – 1 = 0 taùo ra moọt tam giaực caõn coự ủổnh laứ giao ủieồm cuỷa 
(d1) vaứ (d2) . 
Baứi 7 : Laọp phửụng trỡnh caực caùnh cuỷa tam giaực ABC bieỏt B( 2 ;- 1 ),ủửụứng cao qua ủổnh A coự phửụng trỡnh 
3x – 4y +27 = 0 vaứ phaõn giaực trong cuỷa goực C coự phửụng trỡnh x + 2y – 5 = 0. 
 Baứi 8: Vieỏt phửụng trỡnh ủửụứng thaỳng song song vụựi d:3x –4y +1=0 vaứ caựch d moọt khoaỷng baống 1 
CAÙC BAỉI TAÄP TRONG CAÙC ẹEÀ THI 
 1/ Trong maởt phaỳng Oxy moọt tam giaực coự phửụng trỡnh hai caùnh 5x-2y + 6 =0 vaứ 4x +7y – 21 =0. Vieỏt 
phửụng trỡnh caùnh thửự ba bieỏt trửùc taõm cuỷa tam giaực truứng vụựi goực toùa ủoọ . 
2/ Laọp phửụng trỡnh caực caùnh cuỷa hỡnh vuoõng coự moọt ủổnh laứ (-4; 5)vaứ moọt ủửụứng cheựo coự phửụng trỡnh laứ 
7x- y +8 = 0 
 4
3/ Chgo tam giaực ABC ,caùnh BC coự trng ủieồm M(0; 4) coứn hai caùnh kia coự phửụng trỡnh : 
 2x + y – 11 =0 vaứ x + 4y – 2 =0 
a. Xaực ủũnh toùa ủoọ ủieồm A. 
b. Goùi C laứ ủieồm treõn ủửụứng thaỳng x – 4y – 2 = 0 , N laứ trtrung ủieồm AC . Tỡm N roài suy ra toùa ủoọ cuỷa 
B , C. 
 4/ Cho tam giaực ABC coự M(-2 ;2) laứ trung ủieồm cuỷa BC , caùnh AB coự phửụng trỡnh x –2y–2=0 
 caùnh AC coự phửụng trỡnh 2x + 5y + 3 =0. Xaực ủũnh toùa ủoọ caực ủổnh cuỷa tam giaựcABC. 
 5/ Cho A(-1; 2)vaứ B(3;4).Tỡm ủieồm Ctreõn ủửụứng thaỳng x –2y +1=0 sao cho tam giaực ABC vuoõng taùi C . 
 6/ Cho tam giaực ABC coự ủổnh B(3;5),ủửụứng cao veừ tửứ A coự phửụng trỡnh 2x –5y +3 = 0 ,trung tuyeỏn veừ tửứ 
C coự phửụng trỡnh x + y – 5 =0 
a. Tỡm toùa ủoọ ủieồm A. b, Vieỏt phửụng trỡnh caực caùnh cuỷa tam giaực ABC. 
 7/ Cho tam giaực ABC coự troùng taõm G(-2;1)vaứ coự caực caùnh AB:4x+y 15 = 0 vaứ AC :2x+5y +3 = 0. 
a,Tỡm toùa ủoọ A vaứ trung ủieồm M cuỷa caùnh BC b,Tỡm toùa ủoọ ủieồm B vaứ vieỏt phửng trỡnh ủửụứng thaỳng BC. 
 8/ Cho A(1;1), B(-1;3)vaứ ủửụứng thaỳng d:x+y+4 =0. 
a, Tỡm ủieồm C treõn d caựch ủeàu hai ủieồm A,B. Vụựi C vửứa tỡm ủửụùc .Tỡm D s/cho ABCD laứ hbh .tớnh Shbh. 
 9/ Cho tam giaực ABC coự ủổnh A(-1;-3) 
a. Bieỏt ủửụứng cao BH:5x+3y –35=0, ủửụứng cao CK:3x+8y – 12 =0 .Tỡm B,C. 
b. Bieỏt trung trửùc cuỷa caùnh AB coự phửụng trỡnh x+2y –4=0 vaứ troùng taõm G(4;-2).Tỡm B,C. 
10/ Laọp phửụng trỡnh caực caùnh cuỷa tam giaực ABC bieỏt  ... 2
1 a
SHMK  , SCNP = 
2
1
.CN.CP = 
8
2a
Nờn VCMNP = 
96
33a
Ta cú:   )
4
;0;0(,
2a
CNCP  và )
4
3
;
2
;
4
3
(
aaa
CM  
Nờn:  
96
3
.,
6
1 3a
CMCNCPVCMNP  
II. SO SÁNH 
Cỏch giải 1 (phương phỏp tổng hợp) Cỏch giải 2 (phương phỏp toạ độ) 
1) Kiến thức: 
- Cần cú một kiến thức rộng và đầy đủ về 
hỡnh học (hỡnh học phẳng và hỡnh học khụng 
gian). 
- Nhớ cỏc định lý, cỏc hệ quả 
- Đụi khi cần phải dựng thờm cỏc hỡnh vẽ 
phụ. 
2) Kĩ năng: 
- Kĩ năng vẽ hỡnh, dựng hỡnh. 
- Kĩ năng chứng minh, tớnh toỏn. 
3) Tư duy: 
- Đũi hỏi khả năng tư duy cao. 
- Phạm vi liờn kết kiến thức rộng. 
1) Kiến thức: 
- Cần cú kiến thức vững về vectơ và toạ độ vectơ 
trong khụng gian. 
- Nhớ cỏc cụng thức, cỏc phương trỡnh của đường 
thẳng, mặt phẳng và cỏc mối quan hệ giữa đường 
thẳng và mặt phẳng. 
- Khụng cần dựng cỏc hỡnh vẽ phụ. 
2) Kĩ năng: 
- Kĩ năng tớnh toỏn. 
3) Tư duy: 
- Khả năng tư duy bỡnh thường. 
- Phạm vi liờn kết kiến thức hẹp. (Chủ yếu tập trung 
vào việc chọn một hệ trục tọa độ thớch hợp) 
* Nhận xột 
 Trong hai bài toỏn 1 và 2, từ giả thiết ta đó cú sẳn ba đường thẳng đụi một vuụng gúc nhau, đõy là 
điều kiện lý tưởng để cú thể chọn một hệ trục tọa độ Oxyz, việc cũn lại chỉ cũn là vấn đề tớnh toỏn. Đối với 
bài 3, để chọn được một hệ trục tọa độ thớch hợp hơi cú khú khăn hơn một chỳt. Với chỳ ý: SH 
 (ABCD), ta cú thể chọn một hệ trục khỏc, đú là hệ gồm ba trục HD, HN và HS đụi một vuụng gúc 
tương ứng là Ox, Oy, Oz.( HO  ). 
III. MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ CÁCH CHỌN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ KHI GIẢI BÀI TOÁN HèNH HỌC KHễNG GIAN 
VÍ DỤ 1 . Cho lăng trụ đứng tam giỏc ABC.A’B’C’ cú đỏy là tam giỏc ABC cõn với AB = AC = a và 
gúc BAC = 1200 , cạnh bờn BB’= a . Gọi I là trung điểm của CC’ . 
a) Chứng minh tam giỏc AB’I vuụng ở A. 
b) Tớnh cosin của gúc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB’I) . 
c) Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB’ và BC’. 
 Nhận xột : Từ giả thiết của bài toỏn , vỡ khụng cú ba đường thẳng nào cựng xuất phỏt từ một điểm và đụi 
một vuụng gúc , nờn ta sẽ phải cố gắng tỡm một mối liờn kết thớch hợp , để từ đú cú thể chọn ra một hệ trục 
tọa độ Oxyz sao cho cú thể xỏc định được tọa độ của tất cả 
cỏc điểm liờn quan đến vấn đề mà ta cần giải quyết . Để 
làm được điều này cần chỳ ý , lăng trụ đó cho là lăng trụ 
đứng và tam giỏc đỏy là tam giỏc cõn . Từ đõy , nếu gọi O 
, O’ lần lược là trung điểm của B’C’ và BC thỡ ta sẽ cú ngay 
ba tia OO’, OB’ và OA’ đụi một vuụng gúc. 
 * Gọi O, O’ lần lượt là trung điểm của B’C’ và BC . 
Ta cú : OO’ OA’ , OO’B’C’ . 
Tam giỏc A’B’O là một nửa tam giỏc đều 
cú cạnh A’B’ = a nờn A’O =
2
3a
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hỡnh vẽ . 
 A 
 A’ 
 B 
B’ 
 C’ 
 C 
 I 
x 
y 
z 
 O’ 
 O 
 43
Ta cú : 
)0;0;
2
3
('
a
B , )0;0;
2
3
('
a
C  , );
2
;0( a
a
A  
);0;
2
3
( a
a
B , );0;
2
3
( a
a
C  , )
2
;0;
2
3
(
aa
I  
* Từ đõy ta dễ dàng chứng minh được tam giỏc AB’I vuụng tại A và tớnh được cosin của gúc giữa hai mặt phẳng 
(ABC) và (AB’I). Riờng đối với cõu c, nếu sử dụng phương phỏp tổng hợp để giải bài toỏn thỡ hoàn toàn khụng dễ 
một chỳt nào. Cũn dựng phương phỏp tọa độ thỡ hoàn toàn ngược lại. 
VÍ DỤ 2 . Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B , AB = a , BC = 2a , 
cạnh SA vuụng gúc với đỏy và SA = 2a . Gọi M là trung điểm SC . Chứng minh rằng tam giỏc AMB 
cõn tại M và tinh diện tớch tam giỏc AMB theo a . 
 Nhận xột : Với nhận xột tương tự bài toỏn trong VD1, ta cần tạo ra ba tia đụi một vuụng gúc . . . Dễ dàng 
nhận thấy rằng , nếu từ B dựng tia Bz vuụng gúc với mp(ABC) thỡ ba tia BA,BC,Bz đụi một vuụng gúc , từ 
đõy ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hỡnh vẽ . 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hỡnh vẽ 
 ( gốc tọa độ O trựng với B) . 
Ta cú A(a;0;0) , C(0;2a;0) , 
 S(a;0;2a) , );;
2
( aa
a
M . 
* Từ đõy, cụng việc cũn lại thực sự rất dễ dàng. 
Khối đa diện- thể tích khối đa diện 
------------- 
1/ Tớnh chất của thể tớch: 
* Hai khối đa diện bằng nhau thỡ cú thể tớch bằng nhau. 
* Nếu một khối đa diện được phõn chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thỡ thể tớch của nú bằng tổng thể 
của cỏc khối đa diện nhỏ đú. 
* Khối lập phương cú cạnh bằng 1 thỡ cú thể tớch bằng 1. 
2/ Cụng thức tớnh thể tớch của cỏc khối đa diện: 
a/ Thể tớch khối lập phương: cho khối lập phương cạnh a. 
 Lỳc đú: 
b/ Thể tớch khối hộp chữ nhật: cho khối hộp chữ nhật cú kớch thước ba cạnh lần lược là , ,a b c 
 Lỳc đú: 
 c/ Thể tớch khối lăng trụ: cho khối lăng trụ cú diện tớch đỏy B và chiều cao h. 
 Lỳc đú: 
 d/ Thể tớch khối chúp: cho khối chúp cú diện tớch đỏy B và chiều cao h. 
 Lỳc đú: 
 A 
 S 
 z 
 M 
C 
B 
 O 
 x 
y 
3V a 
. .V a b c 
.V B h 
1
.
3
V B h 
 44
e/ Thể tớch khối chúp cụt: cho khối chúp cụt cú diện tớch hai đỏy là B và B’ , chiều cao h. 
 Lỳc đú: 
Bài tập 
Baỡ 1: Tớnh thể tớch của : a,Khối tứ diện đều cú cạnh bằng a. b, khối 8 mặt đều cú cạnh bằng a. 
c, Khối lập phương cú cỏc đỉnh là trọng tõm cỏc mặt của một khối tỏm mặt đều cạnh a. 
Baỡ 2: Cho khối lăng trụ tứ giỏc đều 
1 1 1 1.ABCD A B C D cú khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB và 1A D 
bằng 2 và độ dài đường chộo của mặt bờn bằng 5. 
a,Hạ 
1AK A D  1K A D . Chứng minh rằng 2AK  . b,Tớnh thể tớch của khối lăng trụ 1 1 1 1.ABCD A B C D . 
Baỡi 3: Cho khối chúp tứ giỏc đều .S ABCD cú cạnh đỏy bằng a . Tớnh thể tớch khối chúp, biết: 
a. Gúc giữa mặt bờn và đỏy bằng  . b, Gúc giữa cạnh bờn và đỏy bằng  . 
Baỡ 4: Tớnh thể tớch của khối chúp cụt tam giỏc đều cú cạnh đỏy lớn là 2a, đỏy nhỏ là a và gúc của mặt bờn và 
mặt đỏy bằng 600. 
Baỡ 5: Cho khối lăng trụ tam giỏc . ' ' 'ABC A B C . Tỡm tỉ số thể tớch của khối tứ diện 'C ABC và khối lăng trụ 
đó cho. 
Baỡ 6: Cho khối lăng trụ tam giỏc . ' ' 'ABC A B C . Gọi ,M N lần lược là trung điểm của hai cạnh 'AA và 'BB . 
Mặt phẳng  'C MN chia khối lăng trụ đó cho thành hai phần. Tớnh tỉ số thể tớch hai phần đú. 
Baỡ 7: Cho khối chúp tam giỏc .S ABC . Trờn cỏc đoạn , ,SA SB SC lần lược lấy ba điểm ', ',A B 'C khỏc với 
S . Chứng minh rằng: 
 
 
. ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S ABC
V SA SB SC
V SA SB SC

. 
Baỡ 8: Cho khối chúp .S ABCD cú đỏy là hỡnh bỡnh hành. Gọi ', 'B D lần lược là trung điểm của ,SB SD . Mặt 
phẳng  ' 'AB D cắt SC tại 'C . Tỡm tỉ số thể tớch của hai khối chúp . ' ' 'S AB C D và .S ABCD . 
Baỡ 9: Đỏy của khối lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C là tam giỏc đều. Mặt phẳng  'A BC tạo với đỏy một gúc 30
0 
và tam giỏc 'A BC cú diện tớch bằng 8. Tớnh thể tớch khối lăng trụ. 
Baỡ 10: Cho khối lăng trụ đứng . ' ' ' 'ABCD A B C D cú đỏy là hỡnh bỡnh hành và 045BAD

 . Cỏc đường chộo 'AC 
và 'DB lần lược tạo với đỏy những gúc 45
0 và 600. Hóy tớnh thể của khối lăng trụ, cho biết chiều cao của 
nú bằng 2. 
Baỡ 11: Cho khối tứ diện SABC cú ba cạnh , ,SA AB SC vuụng gúc với nhau từng đụi một, 3, 4SA SB SC   . 
a. Tớnh thể tớch khối tứ diện SABC . b, Tớnh khoảng cỏch từ S đến mặt phẳng  ABC . 
Baỡ 12: Cho khối chúp .S ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại B , cạnh SA vuụng gúc với đỏy. Biết rằng 
, ,AB a BC b SA c   . Tớnh khoảng cỏch từ A đến mặt phẳng  SBC . 
Baỡ 13: Cho hỡnh hộp chữ nhật . ' ' ' 'ABCD A B C D cú , 2 , 'AB a BC a AA a   . Lấy điểm M trờn cạnh AD sao 
cho 3MA MD . 
a. Tớnh thể tớch khối chúp . 'M AB C . b, Tớnh khoảng cỏch từ M đến mặt phẳng  'AB C . 
Baỡ 14: Cho khối hộp . ' ' ' 'ABCD A B C D cú đỏy là hỡnh chữ nhật với 3AB  , 7AD  . Hai mặt bờn 
 ' 'ABB A và  ' 'ADD A lần lược tạo với đỏy những gúc 45
0 và 600. Hóy tớnh thể tớch khối hộp nếu biết 
cạnh bờn bằng 1. 
Baỡ 15: Hỡnh lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C cú đỏy ABC là một tam giỏc vuụng tại A , 0ˆ, 60AC b C  . 
Đường chộo 'BC của mặt bờn ' 'BB C C tạo với mặt phẳng  ' 'AA C C một gúc 30
0. 
a. Tớnh độ dài đoạn 'AC . b, Tớnh thể tớch của khối lăng trụ. 
Baỡi 16: Cho lăng trụ tam giỏc . ' ' 'ABC A B C cú đỏy ABC là một tam giỏc đều cạnh a và điểm 'A cỏch đều 
cỏc điểm , ,A B C . Cạnh bờn 'AA tạo với mặt phẳng đỏy một gúc 60
0. 
 1 ' ' .
3
V B B BB h  
 45
a. Tớnh thể tớch của khối lăng trụ. b,Chứng minh mặt bờn ' 'BCC B là một hỡnh chữ nhật. 
c, Tớnh tổng diện tớch cỏc mặt bờn của khối lăng trụ 
Baỡi 17: Cho khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C , đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn đỉnh A. Mặt bờn ' 'ABB A là hỡnh 
thoi cạnh a , nằm trong mặt phẳng vuụng gúc với đỏy. Mặt bờn ' 'ACC A hợp với đỏy một gúc  . Tớnh thể 
tớch của lăng trụ. 
Baỡ 18: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều .S ABCD . 
a. Biết AB a và gúc giữa mặt bờn và mặt đỏy bằng  . Tớnh thể tớch khối chúp. 
b. Biết trung đoạn bằng d và gúc giữa cạnh bờn và đỏy bằng  . Tớnh thể tớch khối chúp 
Baỡ 19: Cho khối chúp .S ABC cú đỏy là tam giỏc vuụng tại B. Cạnh SA vuụng gúc với đỏy, gúc 
060 ,ABC BC a

  và 3SA a . Gọi M là trung điểm của cạnh SB . 
a. Chứng minh:    SAB SBC . b, Tớnh thể tớch khối tứ diện MABC . 
Baỡ 20: Cho khối chúp .S ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a , SA a và vuụng gúc với đỏy. Gọi M là 
trung điểm của SD . 
a. Tớnh khoảng cỏch giữa hai đường thẳng AB và SC . b, Tớnh thể tớch khối tứ diện MACD . 
Baỡ 21: Cho khối chúp tứ giỏc đều .S ABCD cú cạnh đỏy bằng a. Gọi G là trọng tõm của tam giỏc SAC và 
khoảng cỏch từ G đến mặt bờn SCD bằng 3
6
a . Tớnh khoảng cỏch từ tõm O đến mặt bờn SCD và thể tớch 
khối chúp .S ABCD . 
Baỡ 22: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều .S ABCD cú cạnh đỏy bằng a, gúc giữa cạnh bờn và mặt đỏy bằng  
 0 00 90  . Tớnh tan của gúc giữa hai mặt phẳng  SAB và  ABCD theo  . Tớnh thể tớch khối chúp 
.S ABCD theo a và . 
Baỡ 23: Cho khối chúp .S ABC cú đỏy ABC là tam giỏc đều cạnh a. Cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy và 
6
2
a
SA 
. a, Tớnh khoảng cỏch từ điểm A đến mặt phẳng  SBC . 
b, Tớnh thể tớch khối chúp .S ABC và diện tớch tam giỏc SBC . 
Baỡ 24: Cho tam giỏc vuụng cõn ABC cú cạnh huyền BC a . Trờn đường thẳng vuụng gúc với mặt phẳng 
 ABC tại A lấy điểm S sao cho gúc giữa hai mặt phẳng  ABC và  SBC bằng 60
0. Tớnh thể tớch khối 
chúp .S ABC . 
Baỡ 25: Khối chúp .S ABC cú đỏy ABC là tam giỏc vuụng cõn đỉnh C và  SA ABC , SC a . Hóy tỡm gúc 
giữa hai mặt phẳng  SCB và  ABC để thể tớch khối chúp lớn nhất. 
Baỡ 26: Cho lăng trụ . ' ' 'ABC A B C cú độ dài cạnh bờn bằng 2a, đỏy ABC là tam giỏc vuụng tại A, AB a , 
3AC a và hỡnh chiếu vuụng gúc của đỉnh A’ trờn mặt phẳng  ABC là trung điểm của cạnh BC. Tớnh 
theo a thể tớch khối chúp 'A ABC và tớnh cosin của gúc giữa hai đường thẳng ', ' 'AA B C (KA – 2008) 
Baỡ 27: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh 2a, SA a , 3SB a và mặt phẳng 
 SAB vuụng gúc với mặt phẳng đỏy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tớnh theo a thể tớch 
của khối chúp .S BMDN và tớnh cosin của gúc giữa hai đường thẳng SM, DN. (KB – 2008) 
Baỡ 28: Cho lăng trụ đứng . ' ' 'ABC A B C , đỏy ABC là tam giỏc vuụng, AB BC a  , cạnh bờn ' 2AA a . 
Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tớnh theo a thể tớch của khối lăng trụ . ' ' 'ABC A B C và khoảng cỏch 
giữa hai đường thẳng AM, B’C 
 (KD – 2008)