Nội dung ôn tập thi tốt nghiệp khối 12 môn: Toán cơ bản

NỘI DUNG ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP KHỐI 12
Môn : Toán CƠ BẢN
I/. PHẦN GIẢI TÍCH :
1/. Khảo sát và vẽ đồ thị hsố dạng :
	 	y= a x3 + bx2 + cx + d ;	 y = ax4 +bx2 +c 
y = 	
2.Các bài toán liên quan :
Sự tương giao của hai đồ thị 
Ba dạng tiếp tuyến 
Biện luận theo m số nghiệm pt bằng đồ thị 
Tìm các điểm trên (c ) có toạ độ là các số nguyên 
Tìm m để hàm số có cđ và ct
Tìm m để hàm số đạt cực trị thoả đk cho trước 
Tìm m để () và ( ) txúc nhau 
Tìm GTLN và GTNN (trên 1 khoảng hoặc 1 đoạn )
Tìm m để pt có n nghiệm 
3/.Nguyên hàm và tích phân :
Tìm nguyên hàm của các hàm số thường gặp 
Tính tích phân bằng p2 đổi biến số và pp tích phân từng phần 
Ứng dụng của tích phân : tính diện tích hình phẳng , thể tích vật thể tròn xoay 
4.Phương trình – bất phương trình – hệ phương trình mũ và logarit :
Giải phương trình mũ , bất phương trình mũ và logarit.
Giải hệ phương trình mũ và logarit . 
5. Số phức :
	- Môđun của số phức , các phép toán trên số phức.
	- Căn bậc hai của số phức
	- Phương trình bậc hai với hệ số phức .
	- Dạng lượng giác của số phức .
 II /. PHẦN HÌNH HỌC :
1/.Hình học không gian tổng hợp :
Tính thể tích khối lăng trụ , khối chóp.
Tính thể tích khối trụ , khối nón , khối cầu.
Tính diện tích xung quanh của hình nón , hình trụ , diện tích mặt cầu .
2/. Phương pháp toạ độ trong không gian :
a/.Các bài toán về điểm và vectơ :
Tìm toạ độ 1 điểm thoả điều kiện cho trước , trọng tâm tam giác , giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng , giao điểm của hai đường thẳng , hình chiếu của 1 điểm trên đường thẳng , mặt phẳng , tìm điểm đối xứng với 1 điểm qua đường thẳng , mặt phẳng cho trước , tìm giao điểm của đường thẳng và mặt cầu .
Chứng minh hai vectơ cùng phương hoặc không cùng phương , 2 vectơ vuông góc , 3 vectơ đồng phẳng hoặc không đồng phẳng, tính góc giữa hai vectơ , diện tích tam giác , thể tích tứ diện , chiều cao tứ diện , đường cao tam giác
b/.Các bài toán về mặt phẳng và đường thẳng :
Lập pt mặt phẳng :qua 3 điểm , mặt phẳng theo đoạn chắn , qua 1 điểm song song với mặt phẳng , qua 1 điểm với đường thẳng , qua 1 điểm song song với hai đường thẳng , qua hai điểm và với mặt phẳng , qua 1 điểm và chứa một đường thẳng cho trước , chứa 1 đt a và song song với 1 đt b.
Lập pt đường thẳng : Qua 2 điểm , qua 1 điểm và song song với đt , qua 1 điểm và song song với 2 mp cắt nhau , qua 1 điểm và vuông góc với 1 mp , pt hình chiếu vuông góc của đt trên mp , qua 1 điểm và vuông góc với 2 đt , qua 1 điểm và cắt 2 đường thẳng , qua 1 điểm vuông góc với đt thứ nhất và cắt đt thứ hai.
Vị trí tương đối của 2 đt , đt và mp.
c/. Khoảng cách :
Từ 1 điểm đến 1 mp , 1 điểm đến 1 đt , giữa 2 đt.
d/. Mặt cầu: 
Tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phương trình cho trước.
Lập pt mặt cầu : Có đường kính AB , có tâm I và tiếp xúc với mp , có tâm I và đi qua 1 điểm M , qua 4 điểm không đồng phẳng ( ngoại tiếp tứ diện).
Lập pt mặt phẳng : Tiếp xúc với mặt cầu tại 1 điểm M thuộc mặt cầu , chứa 1 đường thẳng và tiếp xúc với mặt cầu , song song với mp cho trước và tiếp xúc với mặt cầu.
e/. Góc : 
Góc giữa 2 vectơ 
góc trong của tam giác 
góc giữa 2 đường thẳng 
góc giữa 2 đường thẳng 
góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
PHẦN I : GIẢI TÍCH
VẤN ĐỀ 1 : KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN.
Bài 1: cho hàm số y =2x3 – 3x2 
1/Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) hàm số 
2/Tìm k để phương trình : 2x3 – k= 3x2 +1 có 3 nghiệm phân biệt
Đáp số :( - 2 < k < -1)
3/Viết phương trình các tiếp tuyến của ( c ) biết tiếp tuyến đi qua gốc toạ độ 
Đáp số :
Bài 2: Cho hàm số y= x4 +kx2-k -1 	( 1)
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( c ) hàm số khi k = -1
2/ Viết phương trìh tiếp tuyến vơi ( c) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
y= - 1.	Đáp số :	y= -2x-2
3/. Xác định k để hàm số ( 1 ) đạt cực đại tại x = -2.
Bài 3: Cho hàm số y= (x-1)2 ( 4 - x )
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (c ) của hàm số
2/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( c) tại điểm uốn của (c ) . Đáp số : y = 3x - 4
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với ( c) qua A( 4 , 0 ) . Đáp số : y = 0 và y = -9x + 36
Bài 4: Cho hàm số y= x4 – ax2 +b
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( c) của hàm số khi a =1 , b = -
	2/ Viết phương trình tiếp tuyến với (c ) tại giao điểm của ( c ) với ox
Đáp số : và 
Bài 5: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số y= x4 -3x2 + 
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) tại các điểm uốn . 
Đáp số : y = 4x+3 và y = -4x +3
c/ Tìm các tiếp tuyến của (C ) đi qua diểm A ( 0, )
Đáp số : y = 0 ; y =
Bài 6: Cho hàm số y = x3 +3x2 +mx +m -2 có đồ thị (Cm )
1/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C) của hàm số khi m= 3
2/ Gọi A là giao điểm của ( C) và trục tung. Viết phương trình tiếp tuyến d của (C ) tại A. 
3/ Tìm m để (Cm )cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt
Bài 7: Cho hàm số y= có đồ thị ( Cm )
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị( C ) của hàm số với m= -1
2/ Xác định m để ( Cm) đạt cực tiểu tại x = -1.
3/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
 y= - . Đáp số : y = và y =
Bài 8 :1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số y= - x3 – 2x2 -3x +1
2/ Tìm các giá trị của m để pt : x3 +2x2 +3x +m =0 có 3 nghiệm phân biệt
3/ Tìm m để pt : x3 +2x2 +3x -2 +m2 = 0 có 1 nghiệm 
4/ Viết pttt của ( C ) song song với đường thẳng y= -3x
Bài9 : Cho hàm số y= mx3 – 3x
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 4 
2/ Tìm giao điểm của (C )với đường thẳng : y = -x +2
Bài 10 : Cho hàm số y= x3 – 3x +1
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số 
2/ Một đường thẳng d đi qua điểm uốn của (C )và có hệ số góc bằng 1. Tìm toạ độ giao điểm của d và (C )
ĐS: ( 0, 1) (2, 3 ) ( -2, -1 )
Bài 11 : Cho hàm số y= - 
1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số
2/ Vẽ và viết pttt với đồ thị (C ) tại tiếp điểm có hoành độ x= 1
ĐS: y= 3x+1
Bài 12 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y = x3 -6x2 + 9x
	2/. Với các giá trị nào của m , đường thẳng y = m cắt (C) tại 3 điểm phân biệt .
Bài 13 : 1/. Tìm các hệ số m và n sao cho hàm số : y = -x3 + mx + n 
 	đạt cực tiểu tại điểm x = -1 và đồ thị của nó đi qua điểm ( 1 ; 4)
	2/. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số với các giá trị của m , n tìm được .
Bài 14: 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y = -x3 +x2 + 6x -3
	2/. CMR phương trình -x3 +x2 + 6x -3 = 0 có 3 nghiệm phân biệt , trong đó có 
một nghiệm dương nhỏ hơn ½ .
Bài 15 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y = -x4 +2x2 + 2
	2/. Dùng đồ thị ( C) , biện luận theo m số nghiệm của pt : 
	x4 -2x2 -2 +m =0
Bài 16: 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y = x4 +x2 -3
2/. CMR đường thẳng y = -6x-7 tiếp xúc với đồ thị của hàm số đã cho tại điểm có hoành độ bằng -1 .
Bài 17 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y = 
	2/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành .
	3/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung .
	3/. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
(d) : 7x – y +2 =0
Bài 18 : 1/. Khảo sát và vẽ đồ thị ( C) của hàm số : y = 
	2/. Viết phương trình tiếp tuyến của ( C) biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M( -1 ; 3) 
	ĐS : y = 
Bài 19 : Cho hàm số y = 
	1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi a = 0
	2/. Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn của (C) . ĐS : y = 
Bài 20 : Cho hàm số y = x3 + ax2 + bx +1
	1/. Tìm a và b để đồ thị của hàm số đi qua 2 điểm A( 1 ; 2) và B( -2 ; -1)
	ĐS : a = 1 ; b = -1
	2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a và b tìm được .
Bài 21 : Cho hàm số y = x4 + ax2 + b
	1/. Tìm a và b để hàm số có cực trị bằng khi x = 1
	ĐS : a = -2 ; b = 
	2/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với a = và b = 1 .
	3/. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ bằng 1 .
Bài 22 : Cho hàm số y = 
	1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2/. Tìm các giao điểm của (C) và đồ thị của hàm số y = x2 + 1 . Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại mỗi giao điểm .
	ĐS : y = ; y = 2x
Bài 23 : Cho hàm số y = 
	1/. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
	2/. Tìm các giá trị của m để đường thẳng y = mx + 2 cắt đồ thị (C) tại 2 điểm phân biệt.
	ĐS : 
VẤN ĐỀ 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT-GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y= trên [2 ;4 ]
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y= 2 sinx - 
1/ Trên đoạn [ 0 , ] 2/ Trên đoạn [ 0 ; ] 
 3/ Trên đoạn [ -; 0 ]	4/ Trên R
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : y = trên đoạn [ -2 ; ] 	ĐS :miny= ; maxy = 
Bài 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng (1;+) 
ĐS :miny= 5 	 
Bài 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [ ;5] 
 ĐS :miny= 	 
Bài 6 : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [; ] 
Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [; 3] : 
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :
	ĐS : 	maxy= 	; miny = -2	
Bài 9 : Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số y = 2sin2x +2sinx - 1 với :
Bài 10: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [ -1 ; 0 ] :
	ĐS : 	maxy= 	; miny = -1 – e-2
Bài 11 : Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [ ; e2 ] :
	ĐS : 	maxy= e4 - 4	; miny = 1
VẤN ĐỀ 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi : y= x2- 3x+ 2 , y= x -1, x = 0 , x = 2
ĐS: S= 2
Bài 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= x.ex , x=1 , y=0
ĐS: S= 1
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y= sin2x +x , y=x ,x=0 , x= 
ĐS: S= 
Bài 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y2 =2x và y= 2x -2 
ĐS : S= 
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 
 và đường thẳng y=0
ĐS: S= 63 -16 ln 8
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y2 = 2x +1 và y= x-1
ĐS: 16/ 3
Bài 7 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 
Bài 8 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh của hình giới hạn bởi Parabol và trục 
Bài 9: Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra do hình phẳng giới hạn bởi y= , các trục toạ độ quay quanh trục 0x
ĐS : V= ( 3- 4 ln2 )
VẤN ĐỀ 4: PHƯƠNG TRÌNH –BẤT PT – HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ V LOGARÍT
Bài 1 : Giải các phương trình sau :
1/ 	ĐS : x =1
2/ 5x + 5x + 1 + 5x+2 = 3x + 3x+3 – 3x+1 ĐS : x =
3/. 32x+2 – 28.3x + 2 = 0	ĐS : x =1 ; x = -2
4/. log2x + log4(2x) = 1	ĐS : 
5/. 	ĐS : x = 2 ; x = 4
6/. 3x +2.31 – x -5 = 0	ĐS : x = 1 ; x = log32
7/. 	ĐS : 
8/. 	ĐS : 
9/. 	ĐS : 
	10/. ĐS: x = -2; 0; 1.
	11/. 	ĐS: 
	12/ 125x + 50x = 23x+1	13/. 4x – 2. 6x = 3. 9x
	14/. 25x + 10x = 22x+1	15/. 	
	16/. 8x + 18x = 2. 27x	
Bi 2: Giải bất phương trình : 
	1/. 22x+6 + 2x+7 – 17 > 0	5/. 
	2/. 	6/. logx[ log3 ( 3x -9) ] < 1
	3/. 2. 2x + 3. 3x > 6x – 1	7/. 	
	4/. 	8/. 
Bi 3: Giải hệ phương trình : 
	1/. 	2/. 
	3/. 
VẤN ĐỀ 5 : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN.
Bài 1 : cho f(x) = sin2x , tìm nguyên hàm F(x) của f(x) biết F() = 0
Đáp số : F(x) = 
Bài 2 : chứng minh F(x) = ln là nguyên hàm của f(x)= 
Hướng dẫn : Chứng minh : F /(x) = f(x)
Bài 3: Tính các tích phân sau :
1/. ; Đáp số : 	2/. ; Đáp số : 
3/. ; Đáp số : 	4/. ; Đáp số : 9/28
5/. Đáp số 
Bài 4: Tính các tích phân sau :
1/ ...  M qua mp ( oxy ), ( oyz ), ( oxz )
Đáp số : D( x, y, -z ), E (-x , y, z ), F ( x, -y, z )
Bài 4: Cho hình hộp chữ nhật OABC . O/ A/ B/C/ biết A( 2, 0, 0 ), C( 0 ,3, 0 ) , 
0/ ( 0,0,4) .Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp chữ nhật
Hướng dẫn: 
 ( vẽ hình )
 , tương tự B/( 2,3,4 ) , C/ ( 0,3,4 )
VẤN ĐỀ 11: PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
1/. là vtpt của (P) 
- Chú ý : Nếu ; không cùng phương và có giá song song hay nằm trong mp(P) thì (P) có vtpt 
2/. Phương trình tổng quát mp(P) : Ax+By+Cz+D = 0 vtpt 
3/. Phương trình mặt phẳng (P) qua điểm M( x0 ; y0 ; z0 ) và có vectơ pháp tuyến :
 A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0
4/. Nếu mp(P) // mp(Q) thì vtpt của (P) cũng là vtpt của (Q)
5/. Nếu mp(P) mp(Q) thì vtpt của (P) song song hay chứa trong mp (Q) và ngược lại.
6/. Phương trình mp(Oxy) : z = 0
Phương trình mp(Oxz) : y = 0
Phương trình mp(Oyz) : x = 0
7/. Phương trình mp(P) qua A(a,0,0) , B(0,b,0) , C(0,0,c) : 
Với A, B, C đều khác với gốc O.
BÀI TẬP
Bài 1: Cho A(3,-2,-2) , B(3,2,0) , C(0,2,1) , D( -1,1,2)
1/. Viết phương trình mp(BCD) . Suy ra ABCD là tứ diện. Tính thể tích tứ diện ABCD.
Đáp số : (BCD) :x + 2y + 3z -7 = 0
2/. Viết ptmpqua A và // (BCD).
Đáp số :x + 2y + 3z + 7= 0
3/. Viết pt mp qua A và vuông góc với BC
Đáp số : -3x + z + 11= 0
Bài 2: Cho A(5,1,3) , B(1,6,2) ,C(5,0,4) , D(4,0,6)
1/. Viết pt mp qua A , B và // CD.
Đáp số :10x+9y+5z-74=0
2/. Viết ptmp trung trực của CD , tìm toạ độ giao điểm E của với Ox.
Đáp số :-2x+4z-11=0 ; E(-11/2 , 0 ,0)
3/. Viết ptmp qua A và // (Oxy)
Đáp số :Z – 3= 0
Bài 3: Cho A(4,-1,1) , B(3,1,-1)
1/. Viết phương trình mp qua A và chứa trục Oy.
Đáp số : 	x-4z=0
2/. Viết ptmp qua A và vuông góc với trục Oy.
Đáp số :	y+1=0
3/. Viết ptmp qua A , // Oy , 
Đáp số :	4x+z-17=0
4/. Viết pt mp (P) qua B , (P) , (P) (Oxz) 
Đáp số :	4x+z-11=0
Bài 4: Cho A(-1,6,0) , B(3,0,-8) , C(2,-3,0)
1/. Viết ptmp qua A , B ,C.
Đáp số :	12x+4y+3z-12=0
2/. cắt Ox , Oy , Oz lần lượt tại M , N, P . Tính thể tích khối chóp OMNP . Viết ptmp (MNP).
Đáp số :	V= 2 ;	 (MNP) : 12x+4y+3z-12=0
Bài 5 : Lập phương trình mp qua G( 2 ; -1 ; 1) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B ,C sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC.
Bài 6 : Lập phương trình mp qua H( 1 ; -1 ; -3) và cắt các trục tọa độ tại các điểm A , B ,C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.
 VẤN ĐỀ 12: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG
Tóm tắt lý thuyết :
1/. Cho 2 mp : 
 cắt A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2
Bài 1: xác định n và m để các cặp mp sau song song nhau :
1/. Cho 	: 2x + ny + 3z -5 =0
	 : mx -6y -6z +2 =0
Đáp số :	m =4 , n =3
2/. Cho 	: 3x - y + nz -9 =0
	 : 2x +my +2z -3 =0
Đáp số :	m = -2/3 ; n = 3
Bài 2: Cho 2 mp : 
1/. Viết pt mp (P) qua giao tuyến của và (P) 
Đáp số :	-3x-9y+13z-33=0
2/. Viết pt mp (Q) qua giao tuyến của và (Q) song song với đường thẳng 
AB với A(-1,2,0) và B(0,-2,-4).
Đáp số :	8x+5y-3z+31=0
VẤN ĐỀ 13: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG
Tóm tắt lý thuyết
Cách lập phương trình đường thẳng d:
Tìm 1 điểm M (x0 ; y0 ; z0) thuộc d và vectơ chỉ phương của d.
Khi đó phương trình của d có một trong 2 dạng sau :
Pt tham số : 	(1)
Pt chính tắc : (2) VỚI a , b , c đều khác 0 
- Ghi nhớ : d vtcp của d là vtpt của ; vtpt của là vtcp của d.
BÀI TẬP
Bài 1: Viết phương trình tham số , pt chính tắc (nếu có ) của d biết :
1/. d qua M (2,3,-1) và d vuông góc với mp: -x-y+5z+7=0
2/. d qua N(-2,5,0) và d// d / : 
3/. d qua A(1,2,-7) và B(1,2,4)
Bài 2: Viết phương trình tham số , pt chính tắc (nếu có ) của đt d là giao tuyến của 2 mp :
Bài 4: 
1/. Viết pt mp() qua A(0,1,-1) và ()
2/. Tìm toạ độ giao điểm M của () với trục Ox.
3/. Viết pt tham số của giao tuyến d / của () với (Oxy).
VẤN ĐỀ 14: TÌM HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC CỦA M TRÊN MP, TRÊN d.
TÌM M/ ĐỐI XỨNG VỚI M QUA , QUA d.
1/ Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc H của M trên và toạ độ M’đối xứng M qua :
Viết pt đt d qua M , d d qua M có véc tơ chỉ phương pttsố của d
H = d tọa độ H 
M/ đối xứng M qua H là trung điểm M M/ toạ độ M/ 
 2/ Tìm toạ độ hchiếu H của M trên đt d và tìm M/ đối xứng M qua đt d :
+ Viết ptmp qua M , 
+ H = tọa độ của H 
+ M/ đxứng M qua d H là trung điểm MM/ tđộ M/
Bài 1: Tìm toạ độ hchiếu vuông góc H của M( 2, -3, 1 )trên mp() : -x+ 2y +z+ 1= 0 .
Tìm toạ độ M/ đxứng M qua ()
Đáp số : H (1, -1 , 2 ) ; M/( 0, 1, 3)
Bài 2: Tìm toạ độ M/ đxứng với M( 2, -1, 3) qua đt d : 
Đáp số :	M/ (4,-3,5)
 VẤN ĐỀ 15: LẬP PHƯƠNG TRÌNH HÌNH CHIẾU VUÔNG GÓC d / CỦA d 
TRÊN MP (P) 
*Phương pháp :
	Cách 1 : 
Tìm 2 điểm A và B thuộc d
Tìm A/ và B/ lần lượt là hình chiếu của A và B trên mp(P) 
Lập pt đường thẳng A/B/ chính là đường thẳng d/
	Cách 2 :
Lập pt mp (Q) chứa d và vuông góc với mp(P)
Vì d/ = (P) Ç (Q) nên ta lập được pt của d/ 
Bài 1: Viết pt hình chiếu vuông góc d’ của đt d : trên mp : x+y+2z-5=0
Bài 2 : Viết pt hình chiếu vuông góc d/ của d : trên mp:x-y+z+10=0
 VẤN ĐỀ 16: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG d VÀ d/
Phương pháp : 
+ d có vtcp và đi qua điểm M
+ d/ có vtcp và đi qua điểm M/
+ Tính 
a/. d và d/ trùng nhau Û , và 
b/. d // d/ Û 
c/. d cắt d/ Û 
d/. d và d/ chéo nhau Û 
* Chú ý : 
Bài 1: Xét vị trí tương đối của 2 đt :
	d1: 	d2 : 
Đáp số :	 d1 // d2
Bài 2: Xét vị trí tương đối của 2 đt :
d1:	d2 : 
Đáp số :	d1 chéo d2
Bài 3: Xét vị trí tương đối của 2 đt :
d1:	d2 : 
Đáp số :	d1 chéo d2
Bài 4: cho 2 đt d1 : 	d2 : 
a/. Tìm toạ độ giao điểm của d1 và d2 .	Đáp số :	A(1,-2,5)
	b/. Viết pt mp (P) chứa d1 và d2.	Đáp số : (P) : 2x-16y-13z+31=0
Bài 5 : Xét vị trí tương đối của 2 đt : d1 : 	d2 : 
Đáp số :	d1 // d2
Bài 6: Tìm toạ độ giao điểm của 2 đt 	d1 : và	d2 : 
Đáp số :	A(3,7,18)
VẤN ĐỀ 17: VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA ĐƯỜNG THẲNG d VÀ MẶT PHẲNG 
1/. Cách 1: d có vtcp , có vtpt 
a/. Nếu .0 d cắt 
b/. Nếu .=0 d// hay d
	Tìm Md: 
2/. Cách 2: Giải hệ pt của d và 
Hệ có 1 nghiệm d cắt 
Hệ vô nghiệm d // 
Hệ vô số nghiệm d
Bài 1: Xét vị trí tương đối của đt d :	 	
Và mp: x+2y+3z+3=0
Đáp số :	d//
Bài 2: Cho đt d : 	và mp:x+3y-2z-5=0
a/. Tìm m để d cắt .	 Đáp số :	 m1
b/. Tìm m để d//. 	Đáp số :	m=1
c/. Tìm m để d vuông góc với.	 Đáp số :	m= -1
Bài 3: Xét vị trí tương đối của đt d : với mp: 2x+y+z-1=0
Đáp số :	d cắt tại A(2,1/2,-7/2)
Bài 4: Xét vị trí tương đối của đt d : với mp: 2x+y+z-1=0
Đáp số :	d cắt tại A(1, 0,-1)
Bài 5: Xét vị trí tương đối của đt d : với mp: 5x-y+4z+3=0
Đáp số :	d
VẤN ĐỀ 18: KHOẢNG CÁCH
1/. Khoảng cách từ 1 điểm M đến mp:
2/. Khoảng cách từ 1 điểm M đến đt :
 qua M0 và có vtcp 
3/. Khoảng cách giữa 2 đt chéo nhau :
qua M1 và có vtcp 
qua M2 và có vtcp 
*Chú ý: 
Khoảng cách giữa 2 mp song song = Khoảng cách từ 1 điểm trên mp thứ nhất đến mp thứ hai.
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song = Khoảng cách từ 1 điểm trên đt thứ nhất đến đt thứ hai.
Khoảng cách giữa 1 đường thẳng song song với 1 mp = Khoảng cách từ 1 điểm trên đt đến mp.
Bài 1: Cho A(1,1,3) , B(-1,3,2) C(-1,2,3) . Viết pt mpqua 3 điểm A, B, C .Tính diện
 tích tam giác ABC , thể tích khối tứ diện OABC.
Đáp số :	: x+2y+2z-9=0 ; dt(ABC)= 	; VOABC= 
Bài 2: Tính khoảng cách từ điểm M (1,2,-1) đến đt : 
Đáp số :	
Bài 3: Cho 2 đt chéo nhau :
:	:
Tính khoảng cách giữa và . Đáp số :	7/3
Bài 4: Cho 2 đt : và : 
Chứng minh chéo . Tính khoảng cách giữa và .
Đáp số :	
 VẤN ĐỀ 19 : GÓC
1/. Góc giữa 2 vectơ : 
1/. Tìm góc giữa 2 đt và :
Tìm 2 vtcp và của và .
2/. Tìm góc giữa 2 mp và :
Tìm 2 vtpt : và của và 
Chú ý : 
3/. Tìm góc giữa đường thẳng d và mp :
Tìm vtcp của d.
Tìm vtpt của 
Bài 1: Tính góc giữa đt d : và trục Ox. Đáp số :	=450
Bài 2: Tính góc giữa đt d : và mp: 
Đáp số :	 =300
Bài 3: Tính góc giữa 2 mp:
: 3y-z-9=0	;	: 2y+z+1=0
Đáp số :	 =450
Bài 4: Tìm m để góc giữa 2 đt sau bằng 600 :
 : và : 	Đáp số :	m = -1
VẤN ĐỀ 20: PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU.
1/. Phương trình mặt cầu tâm I , bán kính R :
( x –a )2 + (y-b)2 +( z-c)2 = R2 	(1)
x2+y2+z2 +2ax + 2by + 2cz +d = 0	(2)
Với :	
Tâm I ( -a ; -b ; -c )
2/.	 Vị trí tương đối giữa mc(S) và mp :
Cho (S) : ( x –a )2 + (y-b)2 +( z-c)2 = R2 có tâm I và bán kính R.
 mp: Ax+By+Cz+D=0
a/. mp không có điểm chung với (S)
b/. mp tiếp xúc với (S) (là tiếp diện )
c/. mp cắt (S) theo đường tròn giao tuyến có pt : 
3/. Một số dạng toán về mặt cầu:
a/. Viết pt mc (S) tâm I và tiếp xúc với mp, tìm toạ độ tiếp điểm H của 
và (S):
R = d (I , ) pt (1)
H= với qua I và 
b/.Mặt cầu có đường kính AB tâm I là trung điểm của AB,R=
c/. Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ( hay mặt cầu qua 4 điểm A,B,C,D không đồng phẳng ) :
Thế toạ độ A,B,C,D vào pt(1) hay pt(2) hoặc a , b ,c
d/.Mặt phẳng tiếp xúc (S) tại A(S) (tiếp diện )
+ (S) có tâm I, qua A có vtpt pt ()
e/. Cách tìm toạ độ tâm I/ , bán kính R/ của đường tròn giao tuyến của mp
 và (S) :
(S) có tâm I , bán kính R , có vtpt 
Đường thẳng qua I , pt tham số .
I/ = Toạ độ I/ 
Bài 1: Cho A(1,-1,2) , B(1,3,2) , C(4,3,2) , D(4,-1,2)
1/. Chứng minh : A,B,C,D đồng phẳng .
2/. Gọi A/ là hình chiếu vuông góc của A trên mp(Oxy) , Viết pt mặt cầu (S) qua A/ ,B,C,D
Đáp số :	A/(1,-1,0) ; 	ptmc(S) : x2+y2+z2 -5x -2y -2z +1 = 0
3/. Viết pt tiếp diện của (S) tại A/.
Đáp số :	: 3x+4y+2z+1=0
Bài 2: Cho 4 điểm : A,B,C,D biết A(2,4,-1) , , C(2,4,3) , 
1/. Chứng minh : . Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Đáp số :	V= 4/3
2/. Viết pt tham số của đường vuông góc chung của 2 đt AB và CD . Tính góc giữa và (ABD).
Đáp số :	 ; 
3/. Viết pt mc (S) qua A , B, C, D . Viết pt tiếp diện của (S) song song với (ABD)
Đáp số :	(S) : x2+y2+z2 -3x -6y -2z +7 = 0 ; 1: z + =0 ; 2: z - =0
Bài 3: Cho mp: x+y+z-1=0 và đt d : 
1/. Tính thể tích khối tứ diện ABCD với A,B,C là giao điểm của với Ox ,Oy ,Oz và D = d
Đáp số : V = 1/6
2/. Viết pt mc (S) qua A,B,C,D , tìm toạ độ tâm I/ và bán kính R/ của đường tròn giao tuyến của (S) với mp (ACD).
Đáp số :	(S) : x2+y2+z2 -x -y -z = 0 ; I/ 
Bài 4: cho A(3,-2,-2) và mp: x+2y+3z-7 = 0
1/. Viết pt mc (S) tâm A và tiếp xúc với , tìm toạ độ tiếp điểm H của (S) và .
Đáp số :	(S) : (x-3)2+(y+2)2+(z+2)2 = 14	; H(4,0,1)
2/. Xét vị trí tương đối của (S) với mp(Oyz) .
Đáp số :	(S) cắt mp(Oyz)
Bài 5: Cho mp: 2x-2y-z+9=0 và mc(S) : x2+y2+z2 -6x +4y -2z-86 = 0
1/. Tìm toạ độ tâm I , tính bán kính R của (S) .
Đáp số :	I(3,-2,1) ; R = 10
2/. Chứng minh cắt (S) , viết pt đường tròn giao tuyến (C) của và (S).Tìm toạ độ tâm I/ , bán kính R/ của ( C ) .
Đáp số :	R/ =8 ; I/ (-1,2,3)
Bài 6: Cho mc(S) : (x-5)2+(y+1)2+(z+13)2 = 77 và 2 đt
d1: 	d2: 
Viết pt mp tiếp xúc với (S) và song song với d1 và d2.
Đáp số :	
*VẤN ĐỀ 21: CÁCH VIẾT PT ĐƯỜNG VUÔNG GÓC CHUNG d
CỦA 2 ĐƯỜNG CHÉO NHAU d1 , d2
d1 có vtcp ,d2 có vtcp 
Lấy điếm A Î d1 Þ tọa độ điểm A theo t1
Lấy điếm B Î d2 Þ tọa độ điểm B theo t2
AB là đường vuông góc chung Û 
Giải hệ trên ta tìm được t1 và t2 Þ tọa độ A và B
Viết phương trình đường thẳng AB.
Bài 1: Cho 2 đường thẳng : d1: và d2 : 	
Viết pt đường vuông góc chung của d1 và d2.
Bài 2: Cho 2 đường thẳng : d1: và d2 : 
1/. Chứng minh : và d1 chéo d2.
2/. Viết pt đường vuông góc chung của d1 và d2.
	-----------------------------------------------
Ngày 01 tháng 01 năm 2011
 Nhóm toán 12