Một số kĩ thuật giải phương trình lượng giác

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 1 
(DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) 
Gửi tặng: www.Mathvn.com 
Bỉm sơn. 08.05.2011 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 2 
MỘT SỐ KĨ THUẬT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 
Chú ý: Về sự suy biến của các cung trong các công thức đã học ở trường phổ thông 
Ví dụ như các công thức sau 
2 2sin cos 1x x  
2 2cos 2 2cos 1 1 2sinx x x    
sin 2 2sin cosx x x 
3sin 3 3sin 4sinx x x   
Là những công thức chúng ta đã được học ở trường phổ thông, bây giờ ta thử xem các công thức sau đúng hay 
không 
2 2sin 2 cos 2 1x x  
2 2cos 4 2cos 2 1 1 2sin 2x x x    
sin 4 2sin 2 cos 2x x x 
3sin 9 3sin 3 4sin 3x x x  Hoàn toán đúng, vậy từ đây ta có thể khái quát và mở rộng như sau 
Với 0k  ta có 
2 2sin cos 1kx kx  
2 2cos 2 2cos 1 1 2sinkx kx kx    
sin 2 2sin coskx kx kx 
3sin 3 3sin 4sinkx kx kx  
1. Dựa vào mối quan hệ giữa các cung 
Đôi khi việc giải phương trình lượng giác khi xem xét mối quan hệ giữa các cung để từ đó kết hợp với 
các công thức lượng giác, các phép biến đổi lượng giác để đưa về các phương trình cơ bản là một vấn 
đề rất “then chốt” trong việc giải phương trình lượng chúng ta xét các bài toán sau để thấy được việc 
xem xét mối quan hệ giữa các cung quan trọng như thế nào 
Bài 1: (ĐH – A 2008) Giải phương trình: 1 1 74.sin
3sin 4sin
2
x
x x


        
 
Nhận xét: 
Từ sự xuất hiện hai cung 3
2
x  và 7
4
x  mà chúng ta liên tưởng đến việc đưa hai cung hai về cùng một 
cung x. Để làm được điều này ta có thể sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích hoặc công thức về các góc 
đặc biệt 
Giải: 
Sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 3 
Ta có 3 3 3sin sin .cos cos .sin cos
2 2 2
x x x x       
 
     7 7 7 2sin sin cos cos .sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x           
 
Sử dụng công thức về các góc đặc biệt 
Ta có 3 3sin sin 2 sin cos
2 2 2
x x x x                  
     
Hoặc 3sin sin 2 sin cos
2 2 2
x x x x                          
 7 7 2sin sin 2 sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x                      
     
Hoặc  7 2sin sin 2 sin sin cos
4 4 4 2
x x x x x                             
Chú ý: 
 
 
sin 2 sin
,
cos 2 cos
x k x
k
x k x


 

 
 và  
 
sin 2 sin
,
cos 2 cos
x k x
k
x k x
 
 
   

   
 
Điều kiện: 
sin 0
sin 2 0 ,
cos 0 2
x
x x k k
x

    

 
Phương trình 1 1 4sin
sin cos 4
x
x x
      
 
 sin cos 2 2 sin .cos sin cosx x x x x x     
   sin cos 2 2 sin .cos 1 0x x x x    
tan 1sin cos 0
22 2 sin .cos 1 0 sin 2
2
xx x
x x x
         
4 4
2 2 ,
4 8
5 52 2
4 8
x k x k
x k x k k
x k x k
 
 
 
 
 
 
       
 
         
 
 
    
  
 
Kết hợp với điều kiện ta được nghiệm của phương trình là 
4
x k    ;
8
x k    ; 5
8
x k   với k  
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 4 
Đs:  5, , ,
4 8 8
x k x k x k k             
Bài 2: (ĐH – D 2006) Giải phương trình: cos3 cos 2 – cos –1 0x x x  
Giải: 
Từ việc xuất hiện các cung 3x và 2x chúng ta nghĩ ngay đến việc đưa cùng về một cung x bằng công thức 
nhân ba và nhân đôi của hàm cos 
Phương trình 3 24cos 3cos 2cos 1 cos 1 0x x x x       
3 22cos cos 2cos 1 0x x x       22cos 1 cos 1 0x x    
  2
1cos
2cos 1 sin 0 2
sin 0
x
x x
x
     


 
2 2
;3
x k
k
x k



    


 
Đs:  2 2 ,
3
x k x k k       
Cách 2: 
Nhận xét: 
Ta có 3
2
x x x  và cung 2x cũng biểu diển qua cung x chính vì thế ta nghĩ đến nhóm các hạng tử bằng cách 
dùng công thức biến tích thành tổng và công thức nhân đôi đưa về phương sử trình tích 
   
 
2
2
cos3 cos – 1 cos 2 0 2sin 2 .sin 2sin 0
2sin 2cos 1 0
x x x x x x
x x
      
  
 tương tự như trên 
Chú ý: 
Công thức nhân ba cho hàm cos và sin không có trong SGK nhưng việc nhớ để vận dụng thì không khó 
Công thức nhân ba 3 3cos3 4cos 3cos , sin 3 3sin 4sinx x x x x x    
Chứng minh: Dựa vào công thức biến đổi tổng thành tích và công thức nhân đôi 
Ta có 
   
   
2 2
2 2 3
cos3 cos 2 cos 2 .cos sin 2 .sin 2cos 1 cos 2cos .sin
2cos 1 cos 2cos 1 cos 4cos 3cos
x x x x x x x x x x x
x x x x x x
      
     
Tương tự cho sin 3x 
Bài 3: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: 6 23cos 4 – 8cos 2cos 3 0x x x   
Giải: 
Nhận xét 1: 
Từ sự xuất hiện cung 4x mà ta có thể đưa về cung x bằng công thức nhân đôi như sau 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 5 
 2 2 4 2cos 4 2cos 2 1 2 2cos 1 1 8cos 8cos 1x x x x x        
Cách 1: 
Phương trình 6 4 24cos 12cos 11cos 3 0x x x    (pt bậc 6 chẵn) 
Đặt 2cos , 0 1t x t   
Khi đó ta có 3 2
1
4 12 11 3 0 1
2
t
t t t
t

    
 

 bạn được giải tiếp được nghiệm , ,
4 2
x k k k     
Nhận xét 2: 
Từ sự xuất hiện các lũy thừa bậc chẵn của cos mà ta có thể chuyển về cung 2x bằng công thức ha bậc và từ 
cung 4x ta chuyển về cung 2x bằng công thức nhân đôi 
Cách 2: 
Phương trình 
   
3
2 21 cos 2 1 cos 23 cos 2 1 8 2 3 0 cos 2 2cos 2 3cos 2 2 0
2 2
cos 2 0
,4 2
cos 2 1
x xx x x x
x x k
k
x x k
 

               
   
       

Nhận xét 3: 
Từ sự xuất hiện các hệ số tỉ lệ với nhau mà ta liên tưởng đến việc nhóm các hạng tử và đưa về phương trình 
tích 
Cách 3: 
0)1cos2)(1cos2(cos22cos60)1cos4(cos2)4cos1(3 222242  xxxxxxx 
2 2 2 2 26cos 2 2cos (2cos 1)cos 2 0 cos 2 3cos 2 cos (2cos 1) 0x x x x x x x x          
2 4 2
cos 2 0
4 2
3(2cos 1) 2cos cos 0
kx x
x x x
     

   
Phương trình 
2
4 2
2
cos 1 sin 0
2cos 5cos 3 0 3cos ( )
2
x x x k
x x
x loai
     
     
 

Đs: , ,
4 2
x k k k     
Bài 4: (ĐH – D 2008) Giải phương trình:  2sin 1 cos 2 sin 2 1 cosx x x x    
Giải: 
Nhận xét: 
Từ sự xuất hiện của cung 2x và cung x mà ta nghĩ tới việc chuyển cung 2x về cung x bằng các công thức nhân 
đôi của hàm sin và cos từ đó xuất hiện nhân tử chung ở hai vế 
Phương trình 24sin .cos 2sin .cos 1 2cosx x x x x    
2sin .cos (1 2cos ) 1 2cosx x x x    
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 6 
(1 2cos )(sin 2 1) 0x x    
1cos
2
sin 2 1
x
x
 


2 2
3
4
x k
x k




   
 
  

Đs:  2 2 , ,
3 4
x k x k k        
Bài 5: Giải phương trình 33sin 3 3 cos9 1 4sin 3x x x   
Giải: 
Nhận xét: 
Từ sự xuất hiện các cung 3x và 9x ta liên tưởng tới công thức nhân ba cho sin và cos từ đó đưa về phương 
trình bậc nhất đối với sin và cos 
33sin 3 4sin 3 3 cos9 1 sin 9 3 cos9 1x x x x x       
2
1 3 1 1 18 9sin 9 cos9 sin 9
7 22 2 2 3 2
54 9
x k
x x x k
x k
 

 
           
    

 
Bài 6: (ĐHM – 1997) Giải phương trình sin 5 1
5sin
x
x
 
Giải: 
Điều kiện: sin 0x  
Phương trình sin 5 5sin sin 5 5sinx x x x    
Nhận xét: 
Từ việc xuất hiện hai cung 5x và x làm thể nào để giảm cung đưa cung 5x về x có hai hướng 
Hướng 1: Thêm bớt và áp dụng công thức biến đối tích thành tổng và ngược lai 
sin 5 sin 4sin 2cos3 sin 2 4sin
4cos3 sin cos 4sin cos3 cos 1
x x x x x x
x x x x x x
    
   
2
3cos ( )
cos 4 cos 2 2 2cos 2 cos 2 3 0 2
cos 2 1
x loai
x x x x
x
         


21 cos 2 0 2sin 0 sin 0 ( )x x x loai       
Vậy phương trình vô nghiệm 
Hướng 2: Phân tích cung 5 2 3x x x  , áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích kết hợp với công thức 
nhân hai, nhân ba 
 
      23 2 2 3 2 2
sin 3 2 5sin sin 3 cos 2 sin 2 cos3 5sin
3sin 4sin cos sin 2sin cos 4cos 3cos 5sin sin cos
x x x x x x x x
x x x x x x x x x x x
    
      
5 3 3 2 212sin 20cos sin 0 3sin 5cos 0x x x x x       vô nghiệm 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 7 
Bài 7: (ĐH – D 2002) Tìm  0;14x nghiệm đúng phương trình: cos3 – 4cos 2 3cos 4 0x x x   
Giải: 
Phương trình  3 24cos 3cos 4 2cos 1 3cos 4 0x x x x       
3 2 2cos 2cos 0 cos (cos 2) 0x x x x      
cos 0
2
x x k      
Vì  0;14x nên 0 14
2
k    
Đs: 
3 5 7; ; ;
2 2 2 2
x x x x       
Bài 8: (ĐHTL – 2000) Giải phương trình sin 3 sin 5
3 5
x x
 
Giải: 
Phương trình      25sin 3 3sin 4 5sin 3 4sin 3 sin cos 4 cos sin 4x x x x x x x x x      
   
     
2 2
2 2
5sin 3 4sin 3sin cos 4 4cos cos 2
sin 0
5 3 4sin 3 cos 4 4cos cos 2 *
x x x x x x
x x k
x x x x

   
  

  
Phương trình      2* 5 3 2 1 cos 2 3 2cos 2 1 cos 2 cos 2x x x x           
2
5 1cos 2
6 212cos 2 4cos 2 5 0
1cos 2
32
x x k
x x
x kx
 


     
      
     
  
Bài 9: (ĐH – D 2009) Giải phương trình: 3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0x x x x   
Giải: 
Nhận xét: 
Từ sự xuất hiện các cung 5x, 3x, 2x, x và 3 2 5x x x  ta nghĩ ngay tới việc áp dụng công thức biến đổi tổng 
thành tích để đưa về cung 5x. Còn cung x thì thế nào hãy xem phần chú ý 
Phương trình 3 cos5 sin 5 sin sin 0x x x x     
3 1cos5 sin 5 sin
2 2
x x x   
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 8 
12 3sin 5 sin
3
6 2
x k
x x k
x k
 

 
        
     

 
Đs:  , ,
18 3 6 2
x k x k k         
Chú ý: 
- Đối với phương trình bậc nhất với sin và cos là sin cosa x b x c  học sinh dễ dàng giải được nhưng nếu 
gặp phương trình sin cos 'sin 'cos , 0,1a x b x a kx b kx k    thì làm thế nào, cứ bình tĩnh nhé, ta coi như 
hai vế của phương trình là hai phương trình bậc nhất đối với sin và cos thì cách làm tương tự 
- Với ý tưởng như thế ta có thể làm tương tự bài toán sau 
Bài 10: (ĐH – B 2009) Giải phương trình:  3sin cos sin 2 3 cos3 2 cos 4 sinx x x x x x    
Giải: 
Phương trình 
 2sin 1 2sin cos .sin 2 3cos3 2cos4x x x x x x     
1 3sin 3 3 cos3 2cos 4 sin 3 cos3 cos 4
2 2
x x x x x x      
cos 4 cos 3
6
x x     
 
4 3 2
6
x x k       
 
 
2
6
2
42 7
x k
k
x k


 
   
 ...  2sin cos sin 2 0x x x x x x x       
  2cos sin 2sin cos 2cos cos sin 0x x x x x x x      
Bài 8: Giải phương trình : cos 2 3sin 2 5sin 3cos 3x x x x    
Giải: 
2(6sin cos 3cos ) (2sin 5sin 2) 0
3cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0
(2sin 1)(3cos sin 2) 0
x x x x x
x x x x
x x x
     
     
    
Bài 9: Giải phương trình: 23tan 3 cot 2 2 tan
sin 4
x x x
x
   
Giải: 
Điều kiện : 
os3x 0
sin2x 0 6 3 ,
cos 0
4sin 4 0
c kx
k
x kx
x
 

     
  
  
 
 (*) 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 46 
Phương trình     2 2sin 2 cos 22 tan 3 tan tan 3 cot 2
sin 4 cos3 cos cos3 sin 2 sin 4
x xx x x x
x x x x x x
        
 
4sin 4 sin 2cos 2 cos 2cos3 4sin 4 sin cos3 cos 2cos3
4sin 4 sin cos3 cos 8sin 2 cos 2 sin 2sin 2 sin (*)
1 1cos 2 ,
4 2
x x x x x x x x x x
x x x x x x x x x do
x x m m Z 
      
     
       
nghiệm này thoả mãn ĐK 
Bài 10: Giải phương trình : 
   3 2
2
4cos 2cos 2sin 1 sin 2 2 sin cos
0
2sin 1
x x x x x x
x
    


Giải: 
Điều kiện : 22sin 1 0 cos 2 0 ,
4 2
kx x x k         
Phương trình      24cos sin cos 2cos sin cos 2 sin cos 0x x x x x x x x       
    
4
2 sin cos cos 1 2cos 1 0 2 ,
2 2
3
x m
x x x x x m m
x m





   

       

  

 
Kiểm tra điều kiện ta được nghiệm 2 ,
3
mx m Z  
Bài 11: Giải phương trình: 6 3 48 2 cos 2 2 sin sin 3 6 2 cos 1 0x x x x    
Giải: 
Phương trình 3 3 32 2 cos (4cos 3cos ) 2 2 sin sin 3 1 0x x x x x     
2 2
2
2cos .2cos cos3 2sin .2sin sin 3 2
(1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) (1 cos 2 )(cos 2 cos 4 ) 2
22(cos 2 cos 2 cos 4 ) 2 cos 2 (1 cos 4 )
2
2 2cos 2 .cos 2 cos 2 , ( )
4 2 8
x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x
πx x x x kπ k
  
      
     
        
Bài 12: Giải phương trình  2 cos sin1
tan cot 2 cot 1
x x
x x x


 
Giải: 
Điều kiện: 
 cos .sin 2 .sin . tan cot 2 0
cot 1
x x x x x
x
 


Phương trình 
 2 cos sin1 cos .sin 2 2 sin
sin cos 2 cos cos1
cos sin 2 sin
x x x x x
x x x x
x x x

   
 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 47 
2sin .cos 2 sinx x x  
 
2
2 4cos
2 2
4
x k
x k
x k




  
   
   

 
So với điều kiện, ta được họ nghiệm của phương trình đã cho là  2
4
x k k     
Bài 13: Giải phương trình:    3sin 2 cos 3 2 3 cos 3 3 cos 2 8 3 cos sin 3 3 0x x x x x x       
Giải 
3
2 3 2
sin 2 (cos 3) 2 3.cos 3 3.cos 2 8( 3.cos sin ) 3 3 0
2sin .cos 6sin .cos 2 3.cos 6 3 cos 3 3 8( 3.cos sin ) 3 3 0
x x x x x x
x x x x x x x x
      
        
0)sincos3(8)sincos3(cos.6)sincos3(cos2 2  xxxxxxxx 
2
2
( 3 cos sin )( 2cos 6cos 8) 0
tan 3
3 cos sin 0
cos 1
cos 3cos 4 0 cos 4 ( )
x x x x
x
x x
x
x x x loai
     
 
   
   
    
,3
2
x k
k
x k



   


 
Bài 14: (ĐH – A 2003) Giải phương trình: xx
x
xx 2sin
2
1sin
tan1
2cos1cot 2 

 
Giải: 
Điều kiện: cos 0,sin 0, tan 1x x x    
 2 2 2cos cos sincos sin sin sin cos
sin cos sin
x x xx x x x x
x x x

   

2 2cos sin cos sin cos sin sin cos
sin
x x x x x x x x
x

     
cos sin 1 2sin cos
sin
x x x x
x

   
2 2cos sin sin (cos sin ) (cos sin )(1 sin cos sin ) 0x x x x x x x x x x         
2(cos sin )(2 tan tan 1) 0 cos sin 0 tan 1x x x x x x x          
4
x k    (thỏa mãn điều kiện) (vì 22 tan tan 1 0x x   vô nghiệm) 
Đs:  
4
x k k    
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 48 
Bài 15: (ĐH – D 2004) Giải phương trình:    2cos – 1 2sin cos sin 2 – sinx x x x x  
Giải: 
    2cos 1 2sin cos sin 2cos 1x x x x x     
12cos 1 0 cos
(2cos 1)(sin cos ) 0 2
sin cos 0 tan 1
x x
x x x
x x x
            
2
3 ;
4
x k
k
x k




   
 
   

 
Đs:  2 , ,
3 4
x k x k k         
Bài 16: (ĐH – A 2007) Giải phương trình:    2 21 sin cos 1 cos sin 1 sin 2x x x x x     
Giải: 
Phương trình 2 2 2cos sin cos sin cos sin (sin cos )x x x x x x x x      
2cos sin sin cos (sin cos ) (sin cos )x x x x x x x x      
(cos sin )(1 sin cos sin cos ) 0x x x x x x      
sin 0
4
sin cos sin cos 1 0
x
x x x x
      
    
Với phương trình thứ nhất ta có ;
4
x k k     
Với phương trình thứ hai đặt sin cos t x x  ta được 
2 2 1 0 1 t t t     1sin
4 2
x     
 
2
;
2
2
x k
k
x k




 
  

 
Đs:  , 2 , 2
4 2
x k x k x k k          
Bài 17: ĐH – B 2007) Giải phương trình: 22sin 2 sin 7 1 sinx x x   
Giải: 
Phương trình  2sin 7 sin 1 2sin 2 0x x x     
2cos 4 .sin 3 cos 4 0x x x   
 
cos 4 0
cos 4 2sin 3 1 0 1sin 3
2
x
x x
x

   
 

www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 49 
4
8 42
23 2 ,
6 18 3
5 5 23 2
6 18 3
x kx k
x k x k k
x k x k
 

  

  

    

      


    
  
 
Đs:  2 5 2; ,
18 3 18 3
x k x k k        
Bài 18: (ĐH – D 2008) Giải phương trình:  2sin 1 cos 2 sin 2 1 cosx x x x    
Giải: 
Phương trình 24sin .cos 2sin .cos 1 2cosx x x x x    
2sin .cos (1 2cos ) 1 2cosx x x x    
(1 2cos )(sin 2 1) 0x x    
1cos
2
sin 2 1
x
x
 


2 2
3
4
x k
x k




   
 
  

Đs:  2 2 , ,
3 4
x k x k k        
Bài 19: (ĐH – B 2010) Giải phương trình:  sin 2 cos 2 cos 2cos 2 – sin 0x x x x x   
Giải: 
Phương trình 22sin .cos sin cos 2 .cos 2cos 2 0x x x x x x     
   2sin 2cos 1 cos 2 cos 2 0x x x x     
 cos 2 sin cos 2 0x x x    
 
cos 2 0 cos 2 0
2 sin 2 sin 2 1
4 4
x x
x x loai 
  
                     
2 ,
2 4 2
x k x k k         
Đs: ,
4 2
x k k    
Bài 20: (ĐH – D 2010) Giải phương trình : sin 2 cos 2 3sin cos 1 0x x x x     
Giải: 
Phương trình 22sin cos 1 2sin 3sin cos 1 0x x x x x       
2cos(2sin 1) 2sin 3sin 2 0
cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0
(2sin 1)(cos sin 2) 0
x x x
x x x x
x x x
     
     
    
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 50 
1 2sin 6 ,2
5cos sin 2 ( ) 2
6
x kx
k
x x VN x k
      
       
 
Bài 21: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình:  3 – tan tan 2sin 6cos 0x x x x   
HD: 
Điều kiện: cosx 0 
Phương trình 
0cos6)cos21(sincos30cos6
cos
cossin2sin
cos
sin3 322 




  xxxxx
x
xxx
x
x 
 0)sincos3)(cos21(0)cos21(sin)cos21(cos3 2222  xxxxxxx 
  kxxxx
x
x










32
12cos
2
12cos1
4
1cos
4
1cos
2
1cos
2
2
Đs: ;
3
x k k     
Bài 22: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình:  2cos 2 cos 2 tan – 1 2x x x  
HD: 
Điều kiện: cosx 0 
Phương trình 
2 2
2
2
sin sincos 2 2 cos 2 2 cos 2 cos 2 1 2sin
cos cos
12sin 1 1 cos
cos
x xx x x x x
x x
x x
x
         
     
 
0]cos)cos1(2)[cos1(cos)cos1()cos1)(cos1(2 22  xxxxxxx 












2
1cos
1cos
02cos5cos2
1cos
2 x
x
xx
x
Đs: 2 , 2 ,
3
x k k k        
Bài 23: (ĐHDB – 2003) Giải phương trình: )sin1(2
cossin
)1(coscos2 x
xx
xx


 
HD: 
Điều kiện: 0
4
sin2cossin 




 
xxx 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 51 
Phương trình 2(1 sin )(cos 1) 2(sin cos )(1 sin )x x x x x      
(1 sin )[(1 sin )(cos 1) 2(sin cos )] 0x x x x x       
sin 1 sin 1 2
2
(1 cos )(1 sin ) 0 cos 1 2
x x x k
x x x x k


 
                   
Đs: 2 , 2 ;
2
x k x k k         
b. Một số bài toán đặc biệt 
Bài 1: (QGHN – B 1999) Giải phương trình 6 6 8 8sin cos 2(sin cos )x x x x   
Giải: 
6 8 8 6sin 2sin 2cos cosx x x x    
6 2 6 2 6 6sin (1 2sin ) cos (2cos 1) sin cos 2 cos cos 2x x x x x x x x      
6 6 6
cos 2 0 cos 2 0 cos 2 0 4 2 (m Z)
tan 1 4 2sin cos tan 1
4
x mx x x
x m
xx x x x k
 
 


      
                  

Bài 2: (ĐHNT – D 2000) Giải phương trình 8 8 10 10 5sin cos 2(sin cos ) cos 2
4
x x x x x    
Giải: 
10 8 8 8 52cos cos 2sin sin cos 2 0
4
x x x x x      
8 2 8 2 8 85 5cos (2cos 1) sin (1 2sin ) cos 2 0 cos cos 2 sin cos 2 cos 2 0
4 4
x x x x x x x x x x          
8 8
8 8
cos 2 0
5cos 2 cos sin 0 54 4 2sin cos 1 
4
x
kx x x x
x x VN
 

               

Bài 3: (ĐHQGHN – D 1998) Giải phương trình 3 3 5 5sin cos 2(sin cos )x x x x   
Giải: 
Cách 1: 
xx2x2x 3553 coscossinsin  
x2xx2x1x2xx21x 332323 coscoscossin)cos(cos)sin(sin  
3 3 3
cos 2 0 cos 2 0 cos 2 0
 (m Z)
tan 1 4 2 4 4 2sin cos tan 1
x x x
x m x k x m
xx x x
    

    
                  
Cách 2: 
3 3 5 5sin cos 2(sin cos )x x x x   
 3 3 2 2 5 5(sin cos )(sin cos ) 2(sin cos )x x x x x x     
3 2 3 2 5 5 3 2 2 3 2 2sin cos cos sin sin cos sin (cos sin ) cos (cos sin )x x x x x x x x x x x x        
www.MATHVN.com
www.mathvn.com
Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com 
DĐ: 01694 013 498 
 52 
2 2 2 2
2 2 3 3
3 3
cos sin 0 cos sin 0
(cos sin )(cos sin ) 0
cos sincos sin 0
x x x x
x x x x
x xx x
     
      
  
2 2
2 2cos sin 0 cos sin 0 cos 2 0 (k Z)
4 2cos sin
x x
x x x x k
x x
   
         

LỜI KẾT 
Lượng giác và ứng dụng của lượng giác là một phần không thể thiếu trong các đề thi đại học, 
chính vì thể ngoài việc nắm bắt các công thức và vận dụng linh hoạt đòi hỏi các bạn học sinh phải thuần 
thục các kĩ năng, kĩ sảo, quan sát một cách tinh tế mới có thể làm được 
Hi vọng qua chuyên mục nhỏ này sẽ giúp các em vững tin hơn khi bước vào phòng thi, tài liệu 
không thể tránh khỏi những sai sót và hạn chế vì tuổi đời còn trẻ kinh nghiệm và kiến thức còn hạn chế 
rất mong các bạn bỏ qua 
Góp ý theo địa chỉ Email: Loinguyen1310@gmail.com hoặc địa chỉ: Nguyễn Thành Long 
Số nhà 15 – Khu phố 6 – Phường ngọc trạo – Thị xã bỉm sơn – Thành phố thanh hóa 
“Vì một ngày mai tươi sáng, các em hãy cố lên, chúc các em học tốt và đạt kết quả cao chào thân ái” 
www.MATHVN.com
www.mathvn.com