Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân

Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 1 
Nhaéc laïi Giôùi haïn – Ñaïo haøm – Vi phaân 
1. Caùc giôùi haïn ñaëc bieät: 
 a) 
®
=
x 0
sin xlim 1
x
 Heä quaû: 
®
=
x 0
xlim 1
sin x
®
=
u(x) 0
sin u(x)lim 1
u(x)
®
=
u(x) 0
u(x)lim 1
sin u(x)
 b) 
x
x
1lim 1 e, x R
x®¥
æ ö+ = Îç ÷
è ø
 Heä quaû: 
1
x
x 0
lim (1 x) e.
®
+ = 
x 0
ln(1 x)lim 1
x®
+
= 
x
x 0
e 1lim 1
x®
-
= 
2. Baûng ñaïo haøm caùc haøm soá sô caáp cô baûn vaø caùc heä quaû: 
(c)’ = 0 (c laø haèng soá) 
1(x )' xa a-= a 1(u ) ' u u 'a a-= a 
2
1 1'
x x
æ ö = -ç ÷
è ø
 2
1 u''
u u
æ ö = -ç ÷
è ø
( ) 1x '
2 x
= ( ) u'u '
2 u
= 
x x(e )' e= u u(e )' u'.e= 
x x(a )' a .ln a= u u(a ) ' a .lna . u '= 
1(ln x )'
x
= u'(ln u )'
u
= 
a
1(log x ')
x.ln a
= a
u'(log u )'
u.ln a
= 
(sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu 
2
2
1(tgx)' 1 tg x
cos x
= = + 22
u'(tgu)' (1 tg u).u'
cos u
= = + 
2
2
1(cot gx) ' (1 cot g x)
sin x
-
= = - + 22
u'(cot gu)' (1 cot g u).u'
sin u
-
= = - + 
3. Vi phaân: 
 Cho haøm soá y = f(x) xaùc ñònh treân khoaûng (a ; b) vaø coù ñaïo haøm taïi x (a; b)Î . Cho soá 
gia Dx taïi x sao cho x x (a; b)+ D Î . Ta goïi tích y’.Dx (hoaëc f’(x).Dx) laø vi phaân cuûa 
haøm soá y = f(x) taïi x, kyù hieäu laø dy (hoaëc df(x)). 
dy = y’.Dx (hoaëc df(x) = f’(x).Dx 
 AÙp duïng ñònh nghóa treân vaøo haøm soá y = x, thì 
dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx 
 Vì vaäy ta coù: dy = y’dx (hoaëc df(x) = f’(x)dx) 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 2 
NGUYEÂN HAØM VAØ TÍCH PHAÂN 
1. Ñònh nghóa: 
 Haøm soá F(x) ñöôïc goïi laø nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) neáu moïi x 
thuoäc (a ; b), ta coù: F’(x) = f(x). 
 Neáu thay cho khoaûng (a ; b) laø ñoaïn [a ; b] thì phaûi coù theâm: 
F '(a ) f(x) vaø F '(b ) f(b)+ -= = 
2. Ñònh lyù: 
 Neáu F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) thì : 
 a/ Vôùi moïi haèng soá C, F(x) + C cuõng laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân 
khoaûng ñoù. 
 b/ Ngöôïc laïi, moïi nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân khoaûng (a ; b) ñeàu coù theå 
vieát döôùi daïng: F(x) + C vôùi C laø moät haèng soá. 
 Ngöôøi ta kyù hieäu hoï taát caû caùc nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) laø f (x)dx.ò Do 
ñoù vieát: 
f(x)dx F(x) C= +ò 
 Boå ñeà: Neáu F¢(x) = 0 treân khoaûng (a ; b) thì F(x) khoâng ñoåi treân khoaûng ñoù. 
3. Caùc tính chaát cuûa nguyeân haøm: 
 · ( )f(x)dx ' f(x)=ò 
 · af(x)dx a f(x)dx (a 0)= ¹ò ò 
 · [ ]f(x) g(x) dx f(x)dx g(x)dx+ = +ò ò ò 
 · [ ] [ ]f(t)dt F(t) C f u(x) u'(x)dx F u(x) C F(u) C (u u(x))= + Þ = + = + =ò ò 
4. Söï toàn taïi nguyeân haøm: 
· Ñònh lyù: Moïi haøm soá f(x) lieân tuïc treân ñoaïn [a ; b] ñeàu coù nguyeân haøm treân ñoaïn ñoù. 
§Baøi 1: NGUYEÂN HAØM 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 3 
BAÛNG CAÙC NGUYEÂN HAØM 
Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá sô caáp 
thöôøng gaëp 
Nguyeân haøm cuûa caùc haøm soá hôïp 
(döôùi ñaây u = u(x)) 
dx x C= +ò du u C= +ò 
1xx dx C ( 1)
1
a+
a = + a ¹ -
a +ò 
1uu du C ( 1)
1
a+
a = + a ¹ -
a +ò 
dx ln x C (x 0)
x
= + ¹ò 
du ln u C (u u(x) 0)
u
= + = ¹ò 
x xe dx e C= +ò u ue du e C= +ò 
x
x aa dx C (0 a 1)
lna
= + < ¹ò 
u
u aa du C (0 a 1)
lna
= + < ¹ò 
cosxdx sin x C= +ò cos udu sin u C= +ò 
sin xdx cosx C= - +ò sin udu cos u C= - +ò 
2
2
dx (1 tg x)dx tgx C
cos x
= + = +ò ò 22
du (1 tg u)du tgu C
cos u
= + = +ò ò 
2
2
dx (1 cot g x)dx cot gx C
sin x
= + = - +ò ò 22
du (1 cot g u)du cot gu C
sin u
= + = - +ò ò 
dx x C (x 0)
2 x
= + >ò 
du u C (u 0)
2 u
= + >ò 
1cos(ax b)dx sin(ax b) C (a 0)
a
+ = + + ¹ò 
1sin(ax b)dx cos(ax b) C (a 0)
a
+ = - + + ¹ò 
dx 1 ln ax b C
ax b a
= + +
+ò 
ax b ax b1e dx e C (a 0)
a
+ += + ¹ò 
dx 2 ax b C (a 0)
aax b
= + + ¹
+ò 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 4 
Vaán ñeà 1: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG ÑÒNH NGHÓA 
Baøi toaùn 1: CMR F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b) 
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG 
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: 
+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) 
+ Böôùc 2: Chöùng toû raèng F '(x) f(x) vôùi x (a; b)= " Î 
Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: 
+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) 
 Xaùc ñònh F’(a+) 
 Xaùc ñònh F’(b–) 
+ Böôùc 2: Chöùng toû raèng 
F '(x) f(x), x (a ; b)
F '(a ) f(a)
F '(b ) f(b)
+
-
= " Îì
ï =í
ï =î
Ví duï 1: CMR haøm soá: 2F(x) ln(x x a)= + + vôùi a > 0 
 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá 
2
1f(x)
x a
=
+
 treân R. 
Giaûi: 
Ta coù: 
2 2
2
2 2
2x1
(x x a)' 2 x aF '(x) [ln(x x a)]'
x x a x x a
+
+ + += + + = =
+ + + +
2
2 2 2
x a x 1 f(x)
x a(x x a) x a
+ +
= = =
+ + + +
Vaäy F(x) vôùi a > 0 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. 
Ví duï 2: CMR haøm soá: 
x
2
e khi x 0
F(x)
x x 1 khi x 0
ì ³ï= í
+ + <ïî
 Laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá 
xe khi x 0
f(x)
2x 1 khi x 0
ì ³
= í
+ <î
 treân R. 
Giaûi: 
Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp: 
a/ Vôùi x 0¹ , ta coù: 
xe khi x 0
F '(x)
2x 1 khi x 0
ì >
= í
+ <î
b/ Vôùi x = 0, ta coù: 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 5 
· Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0. 
2 0
x 0 x 0
F(x) F(0) x x 1 eF '(0 ) lim lim 1.
x 0 x- -
-
® ®
- + + -
= = =
-
· Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá taïi ñieåm x0 = 0. 
x 0
x 0 x 0
F(x) F(0) e eF '(0 ) lim lim 1.
x 0 x+ +
+
® ®
- -
= = =
-
 Nhaän xeùt raèng F '(0 ) F '(0 ) 1 F '(0) 1.- += = Þ = 
 Toùm laïi: 
xe khi x 0
F '(x) f(x)
2x 1 khi x 0
ì ³
= =í
+ <î
 Vaäy F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân R. 
Baøi toaùn 2: Xaùc ñònh caùc giaù trò cuûa tham soá ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) 
treân (a ; b). 
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG 
Ta thöïc hieän theo caùc böôùc sau: 
+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) 
+ Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø: 
 F '(x) f(x) vôùi x (a; b)= " Î 
 Duøng ñoàng nhaát cuûa haøm ña thöùc Þ giaù trò tham soá. 
Chuù yù: Neáu thay (a ; b) baèng [a ; b] thì phaûi thöïc hieän chi tieát hôn, nhö sau: 
+ Böôùc 1: Xaùc ñònh F’(x) treân (a ; b) 
 Xaùc ñònh F’(a+) 
 Xaùc ñònh F’(b–) 
+ Böôùc 2: Ñeå F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x) treân (a ; b), ñieàu kieän laø: 
F '(x) f(x), x (a ; b)
F '(a ) f(a)
F '(b ) f(b)
+
-
= " Îì
ï =í
ï =î
 Þ giaù trò cuûa tham soá. 
Baøi toaùn 3: Tìm haèng soá tích phaân 
PHÖÔNG PHAÙP CHUNG 
· Duøng coâng thöùc ñaõ hoïc, tìm nguyeân haøm: F(x) = G(x) + C 
· Döïa vaøo ñeà baøi ñaõ cho ñeå tìm haèng soá C. 
 Thay giaù trò C vaøo (*), ta coù nguyeân haøm caàn tìm. 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 6 
Ví duï 3: Xaùc ñònh a , b ñeå haøm soá: 
2x khi x 1
F(x)
ax b khi x 1
ì £
= í
+ >î
 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: 
2x khi x 1
f(x)
2 khi x 1
£ì
= í >î
 treân R. 
Giaûi: 
Ñeå tính ñaïo haøm cuûa haøm soá F(x) ta ñi xeùt hai tröôøng hôïp: 
a/ Vôùi x 1¹ , ta coù: 
2x khi x 1
F '(x)
2 khi x 1
<ì
= í >î
b/ Vôùi x = 1, ta coù: 
 Ñeå haøm soá F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, tröôùc heát F(x) phaûi lieân tuïc taïi x = 1, do 
ñoù : 
x 1 x 1
lim F(x) lim F(x) f(1) a b 1 b 1 a (1)
- +® ®
= = Û + = Û = - 
 · Ñaïo haøm beân traùi cuûa haøm soá y = F(x) taïi ñieåm x = 1. 
2
x 1 x 1
f(x) F(1) x 1F'(1) = lim lim 2.
x 1 x 1-® ®
- -
= =
- -
 · Ñaïo haøm beân phaûi cuûa haøm soá y = f(x) taïi ñieåm x0 = 0. 
x 1 x 1 x 1
F(x) F(1) ax b 1 ax 1 a 1F '(1 ) lim lim lim a.
x 1 x 1 x 1+ + +
+
® ® ®
- + - + - -
= = = =
- - -
 Haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1 F '(1 ) F '(1 ) a 2.- +Û = Û = (2) 
 Thay (2) vaøo (1), ta ñöôïc b = –1. 
 Vaäy haøm soá y = F(x) coù ñaïo haøm taïi ñieåm x = 1, neáu vaø chæ neáu a = 2, b = –1. 
 Khi ñoù: F’(1) = 2 = f(1) 
 Toùm laïi vôùi a = 2, b = 1 thì F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá f(x). 
Ví duï 4: Xaùc ñònh a , b , c ñeå haøm soá: -= + +2 2xF(x) (ax bx c)e laø moät nguyeân haøm cuûa 
2 2xF(x) (2x 8x 7)e-= - - + treân R. 
Giaûi: 
Ta coù: 2x 2 2xF '(x) (2ax b)e 2(ax bx c)e- -= + - + + 2 2x2ax 2(a b)x b 2c e-é ù= - + - + -ë û 
Do ñoù F(x) laø moät nguyeân haøm cuûa f(x) treân R 
 F '(x) f(x), x RÛ = " Î 
 Û - + - + - = - + - " Î2 22ax 2(a b)x b 2c 2x 8x 7, x R 
a 1 a 1
a b 4 b 3
b 2c 7 c 2
= =ì ì
ï ïÛ - = Û = -í í
ï ï- = - =î î
Vaäy -= - +2 2xF(x) (x 3x 2)e . 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 7 
BAØI TAÄP 
Baøi 1. Tính ñaïo haøm cuûa haøm soá xF(x) ln tg
2 4
pæ ö= +ç ÷
è ø
 Töø ñoù suy ra nguyeân haøm cuûa haøm soá 1f(x)
cos x
= . 
Baøi 2. Chöùng toû raèng haøm soá 
2ln(x 1) , x 0F(x) x
0 ,x 0
ì +
¹ï= í
ï =î
 laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá 
2
2 2
2 ln(x 1) , x 0f(x) x 1 x
1 , x 0
ì +
- ¹ï= +í
ï =î
Baøi 3. Xaùc ñònh a, b, c sao cho haøm soá 2 xF(x) (ax bx c).e-= + + laø moät nguyeân haøm cuûa 
haøm soá 2 xf(x) (2x 5x 2)e-= - + treân R. 
ÑS: a = –2 ; b = 1 ; c = –1. 
Baøi 4. a/ Tính nguyeân haøm 
3 2
2
x 3x 3x 7F(x) cuûa f(x) vaø F(0) 8.
(x 1)
+ + -
= =
+
 b/ Tìm nguyeân haøm F(x) cuûa 2 xf(x) sin vaø F .
2 2 4
p pæ ö= =ç ÷
è ø
ÑS: a/ 
2x 8F(x) x ;
2 x 1
= + +
+
 b/ 1F(x) (x sin x 1)
2
= - + 
Baøi 5. a/ Xaùc ñònh caùc haèng soá a, b, c sao cho haøm soá: 
 2F(x) (ax bx c) 2x 3= + + - laø moät nguyeân haøm cuûa haøm soá: 
220x 30x 7 3f(x) treân khoaûng ;
22x 3
- + æ ö= + ¥ç ÷
è ø-
 b/ Tìm nguyeân haøm G(x) cuûa f(x) vôùi G(2) = 0. 
ÑS: a/ a 4; b 2; c 1;= = - = b/ 2G(x) (4x 2x 10) 2x 3 22.= - + - - 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 8 
Vaán ñeà 2: XAÙC ÑÒNH NGUYEÂN HAØM BAÈNG VIEÄC SÖÛ DUÏNG BAÛNG 
CAÙC NGUYEÂN HAØM CÔ BAÛN 
Ví duï 1: CMR , neáu f(x)dx F(x) C= +ò thì 
1f(ax b)dx F(ax b) C vôùi a 0.
a
+ = + + ¹ò 
Giaûi: 
Ta luoân coù: 1f(ax b)dx f(ax b)d(ax b) vôùi a 0.
a
+ = + + ¹ 
AÙp duïng tính chaát 4, ta ñöôïc: 1 1f(ax b)dx (ax b)d(ax b) F(ax b) C (ñpcm)
a a
+ = + + + +ò ò . 
Ghi chuù: Coâng thöùc treân ñöôïc aùp duïng cho caùc haøm soá hôïp: 
 f(t)dt F(t) C f(u)du F(u) C, vôùi u u(x)= + Þ = + =ò ò 
Ví duï 2: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: 
 a/ 3(2x 3) dx+ò b/ 4cos x.sin xdxò c/
x
x
2e dx
e 1+ò d/
2(2 ln x 1) dx
x
+
ò 
Giaûi: 
a/ Ta coù: 
4 4
3 31 1 (2x 3) (2x 3)(2x 3) dx (2x 3) d(2x 3) . C C.
2 2 4 8
+ +
+ = + + = + = +ò ò 
b/ Ta coù: 
5
4 4 cos xcos x.sin xdx cos xd(cos x) C
5
= - = - +ò ò 
c/ Ta coù: 
x x
x
x x
2e d(e 1)dx 2 2 ln(e 1) C
e 1 e 1
+
= = + +
+ +ò ò 
d/ Ta coù: 
2
2 3(2 ln x 1) 1 1dx (2 ln x 1) d(2 ln x 1) (2 ln x 1) C.
x 2 2
+
= + + = + +ò ò 
Ví duï 3: Tính caùc tích phaân baát ñònh sau: 
 a/ 2 x2sin dx
2ò b/
2cot g xdxò c/ tgxdxò d/ 3
tgx dx
cos xò 
Giaûi: 
a/ Ta coù: 2 x2sin dx (1 cosx)dx x sin x C
2
= - = - +ò ò 
b/ Ta coù: 2 2
1cot g xdx 1 dx cot gx x C
sin x
æ ö= - = - - +ç ÷
è øò ò 
c/ Ta coù: sin x d(cosx)tgxdx dx ln cosx C
cosx cosx
= = - = - +ò ò ò 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 9 
d/ Ta coù: 33 4 4 3
tgx sin x d(cosx) 1 1dx dx cos x C C.
cos x cos x cos x 3 3cos x
-= =- = - + = - +ò ò ò 
Ví duï 4: Tí ... a, y b (a b)= = = = < sinh ra khi quay quanh truïc Oy ñöôïc tính bôûi coâng 
thöùc: 
b b
2 2
a a
V x .dy [f(y)] .dy= p = pò ò 
 Dieän tích: 
b
a
S f(y) dy.= ò Theå tích: 
b
2
a
V [f(y)] .dy= pò 
y 
x b a 
(H) 
(C) 
y 
x 
(H) 
(C) 
a b 
y 
x 
b 
a 
(H) 
(C) 
0 
y 
x 
(C) 
a 
b 
0 
§Baøi 2: THEÅ TÍCH VAÄT TROØN XOAY 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 145 
Vaán ñeà 3: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: 
1 2(C ) : y f(x), (C ) : y g(x), x a, x b (a b)= = = = < vôùi f(x) vaø g(x) cuøng daáu) sinh ra khi 
quay quanh truïc Ox ñöôïc tính bôûi: 
b
2 2
a
V f (x) g (x) .dx= p -ò (3) 
* f(x) vaø g(x) cuøng daáu coù nghóa laø hai phaàn ñoà thò cuøng naèm moät phía ñoái vôùi truïc Ox, 
vôùi moïi x Î ñoaïn [a; b]. 
* Ñeå boû daáu “| |” trong coâng thöùc (3) ta chuù yù caùc tröôøng hôïp sau: 
TH1: 1 2(C ) (C ) vaø f(x) g(x) 0, x [a; b]:Ç = Æ > ³ " Î 
b
2 2
a
(3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ò 
TH2: 1 2(C ) (C ) vaø f(x) g(x) 0, x [a; b]:Ç = Æ < £ " Î 
b
2 2
a
(3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ò 
TH3: 1 2(C ) caét (C ) taïi 2 ñieåm A, B coù hoaønh ñoä 
 x = a, x = b vaø d(x) > g(x) ³ 0, x [a; b]:" Î 
b
2 2
a
(3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ò 
TH4: 1 2(C ) caét (C ) taïi 2 ñieåm A, B coù hoaønh ñoä 
 x = a vaø f(x) < g(x) £ 0, x [a; b]:" Î 
b
2 2
a
(3) V [f (x) g (x)].dxÛ = p -ò 
y 
x 0 
(H) 
a b 
(C2) 
(C1) 
y 
y 
x 
0 
(H) 
a b 
(C1) 
(C2) 
y 
y 
x 
(H) A B 
a b 0 
(C2) 
(C1) 
y 
x 
(H) A B 
a b 
0 
(C2) 
(C1) 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 146 
TH5: 1 2(C ) caét (C ) taïi 3 ñieåm A, B, C, trong ñoù xA = a 
 xB = b, xC = c vôùi a < c < b nhö hình beân: 
 1 2(3) V V VÛ = + 
c b
2 2 2 2
a c
[f (x) g (x)]dx [g (x) f (x)]dx.= p - + p -ò ò 
Vaán ñeà 4: Theå tích vaät troøn xoay do hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi 4 ñöôøng: 
1 2(C ) : x f(y), (C ) : x g(y), y a, y b (a b)= = = = < vôùi f(y) vaø g(y) cuøng daáu) sinh ra khi 
quay quanh truïc Oy ñöôïc tính bôûi: 
b
2 2
a
V f (y) g (x) .dy= p -ò (4) 
TH1: 1 2 1 2(C ) (C ) vaø x f(y) x g(y) 0,Ç =Æ = > = ³ 
 vôùi moïi y [a; b].Î 
b
2 2
a
(4) V [f (y) g (y)].dyÛ = p -ò 
TH3: 1 2(C ) caét (C ) taïi 2 ñieåm A, B coù tung ñoä 
 A By a y b= = ³ 
 vôùi moïi y [a; b].Î 
b
2 2
a
(4) V [f (y) g (y)].dyÛ = p -ò 
* Caùc TH2, TH4 vaø TH5 thöïc hieän töông töï nhö vaán ñeà 3. 
Ví duï 1: Xeùt hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) : y2 = 8x vaø ñöôøng thaúng x = 2. Tính theå tích 
khoái troøn xoay khi quay hình phaúng noùi treân: 
 a/ quanh truïc hoaønh 
 b/ quanh truïc tung. 
Giaûi: 
a/ 2(P): y 8x (P) : y 8x (x 0)= Û = ± ³ 
 Theå tích V khoái troøn xoay sinh ra khi quay hình phaúng giôùi haïn bôûi (P) vaø x = 2 quanh 
truïc Ox laø: 
y 
x 
C 
(C1) 
(C2) 
V2 V1 
A 
a c b 
B 
y 
x2 (H) 
C2 C1 
b 
a A 
B 
x1 
x 
(H) x1 x2 
y 
x 0 
C2 C1 
a 
b 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 147 
2 2
2
0 0
V y .dx 8x.dx 16= p = p = pò ò (ñvtt). 
b/ 2 21(P) : y 8x x y
8
= Û = 
 Theå tích V khoái ... quanh truïc tung laø: 
24 4
2 2 2 4
1 4
1 1 899V 2 y du 2 y dy ...
8 64 32- -
pæ ö æ ö= p - = p - = =ç ÷ ç ÷
è ø è øò ò (ñvtt). 
Ví duï 2: Goïi (H) laø hình phaúng giôùi haïn bôûi truïc hoaønh vaø parabol (p) : 2y 2x x= - . Tính 
theå tích cuûa khoái troøn xoay khi cho (H) 
 a/ quay quanh truïc hoaønh 
 b/ quay quanh truïc tung. 
Giaûi: 
a/ Theå tích V khoái troøn xoay khi quay (H) quanh truïc hoaønh laø: 
2 2
2 2 2
0 0
16V y .dx (2x x ) dx ...
15
p
= p = p - = =ò ò (ñvtt). 
b/ 2 2(P) : y 2x x x 2x y 0 (1)= - Û - + = 
 1 1
2 2
' 1 y 0 0 y 1
x 1 1 y, (0 x 1)
(1)
x 1 1 y, (1 x 2)
D = - ³ Û £ £
é = - - £ £
Û ê
ê = + - £ £ë
 Theå tích V khoái troøn xoay khi quay (H) quanh truïc tung laø: 
1 1 1
2 2
2 1 2 1 2 1
0 0 0
8V (x x )dy (x x )(x x )dy 2(2 1 y)dy ... .
3
p
= p - = p + - = p - = =ò ò ò 
Ví duï 3: Cho hình giôùi haïn elip: 
2
2x y 1
4
+ = quay quanh truïc hoaønh. Tính theå tích cuûa 
khoái troøn xoay ñöôïc taïo neân. 
Giaûi: 
2 2
2 2 2x x 1(E) : y 1 y 1 y 4 x , (| x | 2)
4 4 2
+ = Û = - Û = ± - £ 
Theå tích V khoái troøn xoay caàn tìm laø: 
2 2
2 2
2 2
8V y .dx (4 x ).dx ...
4 3- -
p p
= p = - = =ò ò (ñvtt). 
Ví duï 4: Goïi (D) laø mieàn kín giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: y x, y 2 x= = - vaø y = 0. 
 Tính theå tích vaät theå troøn xoay khi quay (D) quanh truïc Oy. 
Giaûi: 
y 
x 0 
–1 
2 –2 
1 
y 
x 2 1 0 
(H) 
1 (P) 
x2 
x1 
x 
y 
4 
0 
–
x = 2 
2 
(P) 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 148 
· 1y x x x 2= Û = = 
· 2y 2 x x x 2 y.= - Û = = - 
· Theå tích vaät theå troøn xoay 
khi quay (D) quanh truïc Oy laø: 
1 1
2 2 2 2 2
2 1
0 0
V (x x )dy [(2 y) (y ) ]= p - = p - -ò ò 
 32
15
p
= (ñvtt). 
BAØI TAÄP 
Baøi 18. Tính vaät theå troøn xoay sinh ra bôûi pheùp quay quanh truïc Ox cuûa mieàn (D) giôùi haïn 
bôûi caùc ñöôøng: 
a/ y = lnx; y = 0; x = 2. b/ 2x y 5 0; x y 3 0.+ - = + - = 
c/ 2y x ; y x.= = d/ 2 2y x 4x 6; y x 2x 6.= - + = - - + 
e/ 2y x(x 1) .= - f/ xy x.e ; x 1; y 0 (0 x 1)= = = £ £ 
g/ x x 2y e ; y ; x 0; x 2.- += = = = h/ 3y x ln(1 x ); x 1.= + = 
i/ 2(P) : y x (x 0), y 3x 10; y 1= > = - + = (mieàn (D)) naèm ngoaøi (P)). 
k/ 4 4y cos x sin x; y 0; x ; x .
2
p
= + = = = p 
ÑS: a/ 22 (ln 2 1) ;p - b/ 153 ;
5
p c/ 3 ;
10
p 
 d/ 3p e/ .
105
p f/ 
2(e 1) ;
4
p - 
 g/ 2 2(e 1) ;p - h/ (2 ln 2 1).
3
p
- i/ 56 .
5
p k/ 
23 .
8
p 
Baøi 19. Tính theå tích khoái troøn xoay ñöôïc taïo thaønh do quay xung quanh truïc oy hình 
phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 
a/ 2y x ; y 1; y 2.= = = . b/ 2 2y x ; x y .= = 
c/ Ñöôøng troøn taâm I(3 ; 0), baùn kính R = 2. 
ÑS: a/ 3 ;
2
p b/ 3 ;
10
p c/ 224 .p 
Baøi 20. Xeùt hình (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng cong 1y ;
x
= truïc Ox; x = 1 vaø x = t 
a/ Tính dieän tích S(t) cuûa (H) vaø theå tích V(t) sinh bôûi (H) khi quay quanh Ox. 
b/ Tính: 
t
lim S(t)
®+¥
 vaø 
t
lim V(t).
®+¥
y 
x 4 2 1 0 
1 
2 
y x= 
y 2 x= - 
A 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 149 
ÑS: a/ S(t) ln t; V(t) ;
t
p
= = p - b/ 
t t
lim S(t) ; lim V(t)
®+¥ ®+¥
= +¥ = p 
Baøi 21. Cho mieàn (D) giôùi haïn bôûi ñöôøng troøn (C): 2 2x y 8+ = vaø parabol (p): 2y 2x.= 
a/ Tính dieän tích S cuûa (D). 
b/ Tính theå tích V sinh bôûi (D) khi quay quanh Ox. 
ÑS: a/ 4 2 .
3
- p b/ 4 (8 2 7).
3
p
- 
Baøi 22. Tính theå tích vaät theå giôùi haïn bôûi caùc maët taïo neân khi quay caùc ñöôøng: 
a/ 
2 / 3xy b (0 x a)
a
æ ö= £ £ç ÷
è ø
 quanh truïc Ox. 
b/ y sin x; y 0 (0 x )= = £ £ p 
 a/ quanh truïc Ox b/ quanh truïc Oy. 
c/ 
2x xy b ; y b
a a
æ ö= =ç ÷
è ø
 a/ quanh truïc Ox. b/ Quanh truïc Oy. 
d/ xy e ; y 0 (0 x )-= = £ < +¥ quanh truïc Ox vaø Oy. 
ÑS: a/ 23 ab ;
7
p 
 b/ 
2
x/ V ;2
p
a = 2y/ V 2 .b = p 
 c/ 2x
4/ V ab ;
15
a = p 
2
y
ab/ V .
6
p
b = 
 d/ x/ V ;2
p
a = y/ V 2 .b = p 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 150 
Baøi 1. Tính caùc tích phaân sau: 
a/ 
2
2
2 x .dx;
-
+ò b/ 
1 2
2
0
x dx ;
4 x-
ò 
c/ 
2 2
1
x 1 dx;
x
-
ò d/ 
1
2 3
0
dx ;
(1 x )+
ò 
e/ 
1 2
2 2
0
x dx ;
(x 1)+ò f/ 
/ 4
2
0
x dx;
cos x
p
ò 
g/ 
/ 2
x
0
e .cos xdx;
p
ò h/ 
/ 4 4 4
x
/ 4
sin x cos xdx;
3 1
p
-p
+
+ò 
i/ 
0
cos2x.dx ;
sin x cosx 2
p
+ +ò k/ 
5 /12
2
/12
dx ;
sin 2x 2 3 cos x 2 3
p
p + + -
ò 
ÑS: a/ 8 (4 2);
3
- b/ 3 ;
3 2
p
- c/ 3 ;
3
p
- d/ 2 ;
2
 e/ 1 1 ln 2;
4 4
- + f/ 2ln ;
4 2
p
+ g/ / 21 (e 1);
2
p - h/ 3 ;
16
p 
 i/ 2ln3 – 2; k/ 3 .
4
Baøi 2. Bieát 2
2)x 1), x 0
f(x)
K(1 x ), x 0
- + £ì
= í
- >î
. Tìm giaù trò K ñeå 
1
1
f(x).dx 1.
-
=ò 
ÑS: K = 3. 
Baøi 3. a/ Cho haøm soá 
2x
x
e
e
f(x) t.ln t.dt.= ò Tìm hoaønh ñoä ñieåm cöïc ñaïi x. 
b/ Tìm giaù trò 3x 0;
2
pæ öÎç ÷
è ø
 ñeå haøm soá 
2x
x
sin tf(x) dt
t
= ò ñaït cöïc ñaïi. 
ÑS: a/ x ln 2.= - b/ x .
3
p
= 
Baøi 4. Cho haøm soá 
x
2
0
2t 1f(x) dt, 1 x 1.
t 2t 2
+
= - £ £
- +ò 
 Tìm giaù trò lôùn nhaát vaø giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá f. 
ÑS: a/ 1min f f ;
2
æ ö= -ç ÷
è ø
 b/ max f f(1).= 
Baøi 5. Cho haøm soá 
x
2
0
f(x) (t 1)(t 2) dt.= - -ò Tìm ñieåm cöïc trò vaø ñieåm uoán cuûa ñoà thò f. 
OÂN TAÄP TÍCH PHAÂN 
Traàn Só Tuøng Tích phaân 
 Trang 151 
ÑS: 17 4 4 112CT : 1; ; Ñ.Uoán : 2; ; ;
12 3 3 81
æ ö æ ö æ ö- -ç ÷ ç ÷ ç ÷
è ø è ø è ø
Baøi 6. Ñöôøng thaúng (D): x – 3y + 5 = 0 chia ñöôøng troøn (C) : 2 2x y 5+ = thaønh 2 phaàn, 
tính dieän tích cuûa moãi phaàn. 
ÑS: 1 2
5 5 15 5S ; S .
4 2 4 2
p p
= - = + 
Baøi 7. Xeùt hình phaúng (H) giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C): 1y ; y 0
x
= = ; x = 1; x = 2. Tìm 
toaï ñoä ñieåm M treân (C) maø tieáp tuyeán taïi M seõ caét töø (H) ra moät hình thang coù 
dieän tích lôùn nhaát. 
ÑS: 3 2M ; .
2 3
æ ö
ç ÷
è ø
Baøi 8. Cho ñieåm A thuoäc (P): y = x2, (A khaùc goác O); (D) laø phaùp tuyeán taïi A cuûa (P) 
((D) vuoâng goùc vôùi tieáp tuyeán taïi A vôùi (P)). Ñònh vò trí cuûa A ñeå dieän tích giôùi 
haïn ñænh bôûi (P) vaø (D) laø nhoû nhaát. 
ÑS: 4 1 1 1 1min S ; A ; hay A ; .
3 2 4 2 4
æ ö æ ö= -ç ÷ ç ÷
è ø è ø
Baøi 9. Cho hình (H) giôùi haïn bôûi: 
2 2x y 1
16 4
x 4 2
ì
- =ï
í
ï =î
. 
 Tính theå tích sinh ra khi (H) quay quanh Oy. 
ÑS: 128 .
3
p 
Baøi 10. Cho hình (H) giôùi haïn bôûi: 
2y ax , a 0
y bx, b 0
ì = >
í
= - >î
. 
 Quay hình (H) ôû goùc phaàn tö thöù hai cuûa heä toaï ñoä quanh truïc Ox. Tìm heä thöùc 
giöõa a vaø b ñeå theå tích khoái troøn xoay sinh ra laø haèng soá, khoâng phuï thuoäc vaøo a 
vaø b. 
ÑS: b5 = K.a3, vôùi K laø haèng soá döông baát kyø. 
Baøi 11. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 
 2y x 4x 3 , y x 3.= - + = + (Ñeà thi chung cuûa Boä GDÑT–khoái A_2002) 
ÑS: 109
6
 (ñvdt). 
Baøi 12. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi caùc ñöôøng: 
2 2x xy 4 vaø y .
4 4 2
= - = (Ñeà thi chung cuûa Boä GDÑT – khoái B _ 2002) 
Tích phaân Traàn Só Tuøng 
 Trang 152 
ÑS: 42
3
p + (ñvdt). 
Baøi 13. Tính dieän tích hình phaúng giôùi haïn bôûi ñöôøng cong (C): 3x 1y
x 1
- -
=
-
 vaø hai truïc 
toaï ñoä. (Ñeà thi.......................................... khoái D_2002) 
ÑS: 41 4 ln
3
+ (ñvdt). 
Baøi 14. Tính tích phaân 
2 3
2
5
dxI .
x x 4
=
+
ò 
 (Ñeà thi.......................................... khoái A_2003) 
ÑS: 1 5ln .
4 3
Baøi 15. Tính tích phaân 
/ 2 2
0
1 2sin xI dx.
1 sin2x
p -
=
+ò 
 (Ñeà thi.......................................... khoái B_2003) 
ÑS: 1 ln2.
2
Baøi 16. Tính tích phaân 
2
2
0
I x x dx.= -ò 
 (Ñeà thi.......................................... khoái D_2003) 
ÑS: 1. 
Baøi 17. Tính tích phaân 
2
1
xI dx.
1 x 1
=
+ +ò 
 (Ñeà thi.......................................... khoái A_2004) 
ÑS: 11 4 ln 2.
3
- 
Baøi 18. Tính tích phaân 
e
1
1 3ln x.ln xI dx
x
+
= ò 
 (Ñeà thi.......................................... khoái B_2004) 
ÑS: 116 .
135
Baøi 19. Tính tích phaân 
3
2
2
I ln(x x)dx.= -ò 
 (Ñeà thi.......................................... khoái D_2004) 
ÑS: 3ln3 – 2.