Ôn thi Toán 12: Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp

Bài 1. Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp 
237 
CHƯƠNG III. TỔ HỢP, XÁC SUẤT VÀ SỐ PHỨC 
BÀI 1. CÁC BÀI TOÁN VỀ CÔNG THỨC TỔ HỢP, CHỈNH HỢP 
I. DẠNG 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC knC BẰNG ĐẠO HÀM 
1. Các bài tập mẫu minh họa: 
Bài 1. Chứng minh rằng: −1 2 n n 1n n nC + 2C + ...+ n.C = n2 
Giải 
Xét: (1 + x)n = o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n nn n n n n nC C x C x C x ... C x C x− −+ + ⋅ + ⋅ + + + 
Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: ( )n 1 1 2 3 2 n n 1n n n nn 1 x C 2C x 3C x nC x− −+ = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ 
Thế x = 1 vào đẳng thức trên ta có: 1 2 n n 1n n nC 2C ... n.C n2 −+ + + = 
Bài 2. Chứng minh rằng: −− −2 3 n n 2n n n2.1.C + 3.2.C + ...+ n(n 1)C = n(n 1)2 
Giải 
Xét: ( )1 nx+ = o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n nn n n n n nC C x C x C x ... C x C x− −+ + ⋅ + ⋅ + + + 
Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: ( )n 1 1 2 3 2 n n 1n n n nn 1 x C 2C x 3C x nC x− −+ = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ 
Lại lấy đạo hàm ta có: ( ) ( )n 2 2 3 n n 2n n nn n 1 1 x 2C 3.2.C .x n(n 1)C .x− −− + = + + + − 
Thế x = 1 vào đẳng thức trên ta có: 2 3 n n 2n n n2.1.C 3.2.C ... n(n 1)C n(n 1)2 −+ + + − = − 
Bài 3. (Đề thi TSĐH khối A − 2005): Giải phương trình: 
( )
− −
1 2 2 3 3 4 2n 2n+1
2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 2n+1C 2.2C + 3.2 C 4.2 C + ...+ 2n + 1 2 C = 2005 
Giải 
Xét ( ) 2 1 0 1 2 2 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 11 ... ...n k k n nn n n n nx C C x C x C x C x+ + ++ + + + ++ = + + + + + + 
Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: 
( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 22 1 2 1 2 1 2 12 1 1 2 ... ... 2 1n k k n nn n n nn x C C x kC x n C x− ++ + + ++ + = + + + + + + 
Thay x = −2 vào đẳng thức ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )1 21 2 2 12 1 2 1 2 1 2 12 1 2.2 ... 2 ... 2 2 1k nk nn n n nn C C kC n C− ++ + + ++ = − + + − + + − + 
Phương trình đã cho ⇔ 2n + 1 = 2005 ⇔ n = 1002 
www.VNMATH.com
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
238 
Bài 4. Giải phương trình: 
( ) ( ) ( )−
− − − − −
k2 3 k 2 k 2n-1 2n+1
2n+1 2n+1 2n+1 2n+12C 3.2C + ...+ 1 k k 1 2 C + ... 2n 2n + 1 2 C = 110 
Giải 
Xét ( ) ( )2 1 0 1 2 2 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 1 2 11 ... 1 ...n k k k n nn n n n nx C C x C x C x C x+ + ++ + + + +− = − + − + − + − 
Lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )2 1 2 1 2 1 22 1 2 1 2 1 2 12 1 1 2 ... 1 ... 2 1n k k k n nn n n nn x C C x kC x n C x− ++ + + +− + − = − + − + − + − + 
Lại lấy đạo hàm cả 2 vế ta có: ( ) ( )2 12 2 1 1 nn n x −+ − = 
( ) ( ) ( )2 3 2 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 12 3 ... 1 1 ... 2 2 1k k k n nn n n nC C x k k C x n n C x− + −+ + + += − + + − − + − + 
Thay x = 2 vào đẳng thức ta có: ( )2 2 1n n− + = 
( ) ( ) ( )2 3 2 2 1 2 12 1 2 1 2 1 2 12 3.2 ... 1 1 2 ... 2 2 1 2k k k n nn n n nC C k k C n n C− − ++ + + += − + + − − + − + 
Phương trình đã cho ⇔ ( ) 22 2 1 110 2 55 0 5n n n n n+ = ⇔ + − = ⇔ = 
2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 
Bài 1. Chứng minh rằng: 0 1 23 5 ... (2 1) ( 1)2n nn n n nC C C n C n+ + + + + = + 
Bài 2. Chứng minh rằng: 1 1 2 2 3 3 12 2.2 3.2 ... . .3n n n n nn n n nC C C n C n− − − −+ + + + = 
Bài 3. Chứng minh rằng: 1 2 3 4 12 3 4 ... ( 1) . 0n nn n n n nC C C C n C−− + − + + − = 
Bài 4. Chứng minh rằng: 
( ) ( ) ( )1 0 2 1 3 2 1 1 1 2 14 1 4 2 4 ... 1 2.2 .. .2nn n n n n n
n n n n n n n
n C n C n C C C C n C− − − − −− − + − − + − = + + +
Bài 5. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) ( )
( )[ ]
2 2 21 2
2
2 1 !2
1 !
n
n n n
nC C n C
n
−
+ +  + =
−
 ∀n ≥ 2 
Bài 6. Chứng minh rằng: ( ) ( )
( )
( )
2 3
2 3
2 1
1
1 1 1
n
n n n
n
C C n C
n n n
−
+ + + =
− − −
 ∀n ≥ 2 
Bài 7. Chứng minh rằng: ( ) 11
1
tg 1 tg
n
nk k
n
k
kC x n x −−
=
= +∑ ∀n ≥ 2 
Bài 8. Chứng minh rằng: ( )1 2 2 2 3 2 22 3 ... 1 2n n
n n n n
C C C n C n n −+ + + + = + 
Bài 9. Chứng minh rằng: ( ) ( ) ( ) 11 2 11 2 ... 1 0nn n n
n n n n
nC n C n C C−− −− − + − − + − = 
Bài 10. CMR: ( ) ( ) ( )1 20 1 1 2 1 11 2 1 2 .2 ... 1 2 ... 2n n n k k k n n
n n n n
C C kC nC n− − − − −− + − − + − + + =
www.VNMATH.com
Bài 1. Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp 
239 
II. DẠNG 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC knC BẰNG TÍCH PHÂN 
1. Các bài tập mẫu minh họa: 
Bài 1. Chứng minh rằng: −
n+1
1 2 n
n n n
2 11 1 11 + C + C + ...+ C =
2 3 n + 1 n + 1
Giải 
Xét (1 + x)n = o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n nn n n n n nC C x C x C x ... C x C x− −+ + ⋅ + ⋅ + + + 
Ta có: ( ) ( )
n 11 n 11
n
0
0
1 x 2 11 x dx
n 1 n 1
+ ++
−
+ = =
+ +∫ 
Mặt khác: ( )1 o 1 2 2 3 3 n 1 n 1 n nn n n n n n
0
C C x C x C x ... C x C x dx− −+ + ⋅ + ⋅ + + + =∫ 
Bài 2. Chứng minh rằng: −−
n+1
1 2 n
n n n
( 1)1 1 nC C + ...+ C =
2 3 n + 1 n + 1
Giải 
Ta có : (1 − x)n = 0 1 2 2 n n nn n n nC C x C x ... ( 1) C x− + + + − 
⇒ 
2 2 n 1
n 0 1 n n n 1 2 n
n n n n n n
0 0
( 1)1 1(1 x) dx C C x ... ( 1) C x dx C C ... C
2 3 n 1
+
−
 
− = − + + − = − + +  +∫ ∫ 
 Mặt khác 
12 n 1
n
0 0
(1 x) 1(1 x) dx
n 1 n 1
=
−
− = =
+ +∫ ⇒ (đpcm) 
Bài 3. Chứng minh rằng: ( )
−
n+1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 2 1C + C + C + + C =
3 6 3 3n + 3 3 n + 1
Giải 
Xét P(x) = ( ) ( )n2 3 2 0 1 3 2 6 n 3nn n n nx 1 x x C C x C x C x+ = + ⋅ + ⋅ + + ⋅ 
Ta có: 
( ) ( ) ( )
1 1 1
n n2 3 3 3
0 0 0
1P(x)dx x 1 x dx 1 x d 1 x
3
= + = + +∫ ∫ ∫
( )
( )
n 13 n 11 1 x 2 1
3 n 1 3 n 1
+ ++ −
= =
+ +
www.VNMATH.com
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
240 
Mặt khác: ( )1 1 0 2 1 5 n 3n 2n n n
0 0
P(x) dx C x C x C x dx+= ⋅ + ⋅ + + ⋅∫ ∫  = 
 = 
10 3 1 6 n 3n 3
n n n
0
C x C x C x
3 6 3n 3
+ 
⋅ ⋅ ⋅
+ + + 
+  
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1C C C C
3 6 3 3n 3
= + + + +
+
Vậy ( )
n 1
0 1 2 n
n n n n
1 1 1 1 2 1C C C C
3 6 3 3n 3 3 n 1
+
−
+ + + + =
+ +
2. Các bài tập dành cho bạn đọc tự giải: 
Bài 1. Chứng minh rằng: 
n
1 2 n n
n n
C1 1 11 C C ... ( 1)
2 3 n 1 n 1
− + − + − =
+ +
Bài 2. Chứng minh rằng: 
n
0 1 2 n
n n n n
( 1)1 1 1 1C C C ... C
2 4 6 n 2 2(n 1)
−
− + − + =
+ +
Bài 3. Chứng minh rằng: 
n n
0 2 1 3 2 n 1 n
n n n n
( 1) 1 ( 1)1 12C 2 C 2 C ... 2 C
2 3 n 1 n 1
+− + −
− ⋅ + ⋅ − + ⋅ =
+ +
Bài 4. Chứng minh rằng: 
n 1
0 2 1 3 2 n 1 n
n n n n
3 11 1 12C 2 C 2 C ... 2 C
2 3 n 1 n 1
+
+ −+ ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
+ +
Bài 5. Chứng minh rằng: ( ) ( )( )
0 1 2 3 2 !!1 1 1 1
... 13 5 7 2 1 2 1 !!
n n
n n n n n
nC C C C C
n n
− + − + + − =
+ +
Bài 6. Chứng minh rằng: 
( )n 1 n nn 1k k k 1
n n
k 0 k 0
1 e 1 2 1C C e
n 1 k 1 n 1 k 1
+ +
+
= =
+
+ = +
+ + + +∑ ∑ 
Bài 7. Chứng minh rằng: ( )0 1 2 11 1 1...
2 3 1 1
n
n
n n n n
C C C C
n n
−
− + − + =
+ +
Bài 8. Chứng minh rằng: ( )1 2 33 7 ... 2 1 3 2n n n n
n n n n
C C C C+ + + + − = − 
Bài 9. Chứng minh rằng: ( ) ( )
k kn n 2n 2 n 1
n n
k 1 n 1
k 0 k 0
C C 2 3
k 1 k 1 2 n 1 2
+ +
+ +
= =
−
− =
+ + +
∑ ∑ 
Bài 10. Đặt Sn = 
1 1 11
2 3 n
+ + + + . Chứng minh rằng: 
 ( ) ( )
n 1
n 11 2 n 1
n n n 1 n n 2 n 1
1
S C S C S 1 C S
n
−
−
−
− −
−
− + − + − = 
Bài 11. Chứng minh: ( )n 11 2 3 nn n n n1 1 1 1 1 1C C C 1 C 11 2 3 n 2 n
−
⋅ − ⋅ + ⋅ − + − ⋅ ⋅ = + + + 
www.VNMATH.com
Bài 1. Các bài toán về công thức tổ hợp, chỉnh hợp 
241 
III. DẠNG 3: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC knC BẰNG ĐỊNH NGHĨA 
1
1
k k
n n
nC Ck
−
−
= ( k n< ) ; ( ) 11m m
n m n m
nC m C ++ += + ; 
m k k m k
n m n n kC C C C
−
−
⋅ = ⋅ (k ≤ m ≤ n) ; 
( )2 31
1 2 1 1
12 3 ... ...
2
p n
n n n n
n p n
n n n n
C C C C n nC p n
C C C C− −
++ + + + + + = ; 
( ) ( )111 2 3
1
0
2 3 ... 1 1
n
n kn k
n n n n n
k
C C C nC n C
−
−
−
=
− + − + − = −∑ ; 1 12 2 2 212
n n n
n n n
C C C− +++ = ; 
0 1 2
1 2 3 1 1
2 3 4 2 2 2
1
... ...
2
k n
n n n n n
k n
n n n n k n
C C C C C
C C C C C+ ++ + + + + +
+ + + + + + = ; 1 1 122
m m m m
n n n n
C C C C+ − +++ + = ; 
IV. DẠNG 4: CHỨNG MINH BẰNG CÔNG THỨC 11 1;− −− −= + =k n k k k kn n n n nC C C C C 
1
1 2 1 1...
k k k k k k
n n n k k nC C C C C C
+
− − + ++ + + + + = ; 
1 2 3
33 3
k k k k k
n n n n n
C C C C C− − − ++ + + = 
1 2 3 2 3
2 32 5 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C+ + + + ++ ++ + + = + ; 1
0
m
k m
n k n m
k
C C+ + +
=
=∑ 
1 2 3 4
44 6 4
k k k k k k
n n n n n n
C C C C C C− − − − ++ + + + = 
V. DẠNG 5: CHỨNG MINH BẰNG KHAI TRIỂN NEWTON 
0 1
... 2n n
n n n
C C C+ + + = ; 1 3 2 1 0 2 2 2 12 2 2 2 2 2... ... 2
n n n
n n n n n n
C C C C C C− −+ + + = + + + = 
0 1 1 13 3 ... 3 4n n n n n
n n n n
C C C C− −+ + + + = ; 0 1 2 2 3 36 6 6 ... 6 7n n n
n n n n n
C C C C C+ + + + + = 
( )0 1 2 3
... 1 0n n
n n n n n
C C C C C− + − + + − =
 ; 0 1 1 2 2 3 1 12 2 .2 2 .3 ... 2 . .3n n n
n n n n
C C C nC n− −+ + + + = 
0 2 2 1 3 2 1
... ... ... ...
k k
n n n n n n
C C C C C C ++ + + + = + + + + 
0 1 2 2 3 3 2 1 2 1 2 2
2 2 2 2 2 210 10 10 ... 10 10 81
n n n n n
n n n n n n
C C C C C C− −− + − + − + = 
( ) ( )0 1 1 2 22 2 2 ... 1 2 ... 1 1k nn n n n k k n
n n n n n
C C C C C− − −− + − + − + + − = 
( )0 1 1 2 2 0 1 2 24 4 4 ... 1 2 2 .. 2nn n n n n n
n n n n n n n n
C C C C C C C C− −− + − + − = + + + + 
0 2 1 3 2 1 12 2 2 2 3 1
...1 2 3 1 1
n n
n
n n n n
C C C C
n n
+ +
−+ + + + =
+ +
( )0 2 2 4 4 2 2 2 1 2
2 2 2 23 3 ... 3 2 2 1
n n n n
n n n n
C C C C −+ + + + = + 
( )0 2 2 4 4 2000 2000 2000 2001
2001 2001 2001 20013 3 ... 3 2 2 1C C C C+ + + + = − 
www.VNMATH.com
Chương III. Tổ hợp, Xác suất và Số phức − Trần Phương 
242 
VI. DẠNG 6: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH ĐỒNG NHẤT HỆ SỐ THEO 2 
CÁCH KHAI TRIỂN 
0 1 1 1 1 0
. . ... . .
k k k k k
n m n m n m n m m n
C C C C C C C C C− − ++ + + + = 
0 1 1
2. . ... .
k k n k n n k
n n n n n n n
C C C C C C C+ − ++ + + = 
( ) ( ) ( )2 2 20 1 2... n nn n n nC C C C+ + + = 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 1 2 2 12 1 2 1 2 1 2 1... 0nn n n nC C C C ++ + + +− + − − = 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 20 1 2 22 2 2 2 2... 1 nn nn n n n nC C C C C− + − + = − 
VII. DẠNG 7: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BPT CHỨA ; ;k k
n n n
A C P 
1. Giải các phương trình sau đây: 
3 2
2 20n nC C= ; 
4
3 4
1
24
23
n
n
n n
A
A C −+
=
−
 ; 35
5
720n
n n
P
A P
+
−
= ; 1 3 172 72n nA A +− = ; 
1 2 3 26 6 9 14
n n n
C C C n n+ + = − ; ( )2 272 6 2n n n nP A A P+ = + ; 
5 6 7
5 2 14
n n nC C C
− = ; 
4 3 2
1 1 2
5 0
4n n n
C C A
− − −
− − =
 ; 1 11 1 1: : 5 :5 :3
m m m
n n n
C C C+ −+ + + = ; 
3 2 14n
n n
A C n−+ = ; 
3 3
8 65
n
n n
C A++ += ; 
1
2 2 235 132
n n
n n
C C−
−
= ; 
4 5 6
1 1 1
n n nC C C
− = ; 
( )2 4 4 21 1 4 1n nn n nn C xC x C− −− −+ = + ; 1 12 2 13 2n nn nC C− −+= ; 3 2 114 nn n nA C C −+ = 
2. Giải các bất phương trình sau đây: 
( )
4
4 42
2 !
n
n
A
Pn
+ ≤
+
 ; ( )
4
4 143
42 !
n
n
A
Pn
+ ≤
+
; 
2
1
2
1
2
n
n
n
n
A
P
C
−
+
−
≥ ; 
3
3
1
195 0
4
n
n n
A
P P
+
+
− > ; 
4
4
2
143 0
4
n
n n
A
P P
+
+
− > ; 
2 2 3
2
61 102 n n nA A Cx− ≤ + ; 
11
13 13
n mC C −≥ ; 4 3 21 1 2
5 0
4n n n
C C A
− − −
− − = ; 1 1112 162n nC C
−
++ ≥ ; 
1 3
172 72n nA A +− ≤ ; 
2 2
12 3 30n nC A+ + < ; 
3 1
1 1100
n
n n
C C −+ +≥ + 
3. Giải các hệ phương trình sau đây: 
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y
x x
A C
A C
 + =


− =
;
( ) ( )
( )
221 1 1 1
31 1
2 3
2 1
x y x y
x y x y
x y
x y
C C A C
C A
− − − −
− −
 + =


= +
; 
( ) ( ) ( )
1 1
1 1
3
23 2
1 1
6 14 32 1
x y
x y x y
x y
y
yx
x
C A
C A
C
x C
y y
− −
− −
−
−

− = −




= + +
− −
www.VNMATH.com