Một số bài toán về hàm số - Doãn Xuân Huy

[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN] 
1 
MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ 
I.Xét tính đơn điệu của hàm số: 
1/ Xét tính đơn điệu của các hàm số sau: ; 
2/ Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: đồng biến trên: 
 a/ R ; b/ khoảng 
3/ Tìm các giá trị của tham số m để hàm số: 
 a/ Nghịch biến trên khoảng (- 1; 0) ; b/ Nghịch biến trên các khoảng của tập xác định ; 
c/ đồng biến trên khoảng ( -2; 2 ) . 
4/ Xác định gt của m để hs sau luôn nghịch biến trên R: . 
5/ Tìm đk của a, b để hs sau luôn đb trên R: . 
6/ Biết hs đơn điệu trên R; hỏi nó đb hay nb ? 
II.Cực trị của hàm số: 
A - Lý thuyết: 
 Hàm số có CTR khi PT 
y’= 0 có hai nghiệm phân biệt. Hàm số (1) nếu có CTR và thì 
[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN] 
2 
 HS (2) nếu có CTR thì: và ptđt qua ĐCĐ và 
ĐCT là: y = (2mx+n)/q. 
 ĐK để đồ thị của hs (1) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt là : 
B – Luyện tập: 
1/ Cho hs . Viết ptđt đi qua 2 đctr của hs. Tìm gt của m để đths 
cắt Ox tại 3 điểm phân biệt . 
2/ Cho hs . Xác định m để đcđ & đct của đths đối xứng qua đt x – 2y = 5. 
3/ Cho hàm số: 3 23 4y x x   . Hãy tìm các giá trị của a để hai điểm cực trị của hàm số trên nằm về hai 
phía của đường tròn (C): 2 2 22 4 1 0x y x ay a      . 
4/ Cho hàm số 3 23 2 4y x mx m    (Cm).Tìm m để hàm số có điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía 
đường phân giác góc phần tư thứ nhất. 
 5/ Cho hàm số    1133 2223  mxmmxxy (Cm). Tìm m để (Cm) cắt trục Ox tại ba điểm phân 
biệt hoành độ dương. 
 6/ Cho hàm số   3223 133 mxmmxxy  ( )mC . Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt trong đó 
có đúng hai điểm có hoành độ âm. 
7/ Tìm gt của m để hs sau có . 
8/ Tìm các gt của a và b để hs . 
9/ Tìm các gt a,b để hs . 
10/ Tìm các gt của m để hs . 
[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN] 
3 
11/ Tìm các gt của m để hs sau có CĐ ( CT ): . 
12/ (B-2007): Tìm m để đths sau có đctr và các đctr cách đều gốc tọa độ O: 
13/ Cho hs . Tìm m để hs có ctr; viết pt parabôn 
đi qua 3 điểm ctr của đths. 
14/ Cho hs . Tìm gt của m để hs có 3 ctr; khi đó hãy cm cả 3 đctr của đths đều 
nằm trên parabôn . 
15/ Tìm tất cả các gt của m để hs sau có ctr và 2 ctr trái dấu: . 
16/ Tìm gt của m để hs sau có ctr TMĐK : . 
 17/ Cho hàm số 
1
82



x
mmxx
y . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đường 
thẳng 0179  yx . 
 18/ Tìm các gt của m để các hàm số sau có ctr . Tìm quỹ tích các đctr của đths : 
 a/ 
1
2
12


x
m
xy ; . 
19/ (A-2005): Tìm các gt của m để hs y = mx + 1/x có ctr và k/c từ ĐCT đến t/c xiên bằng . 
20/ (B-2005): Chứng minh với m bkì hs sau luôn có ctr và k/c giữa 2 đctr của đths luôn bằng 
[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN] 
4 
21/ (A-2007): Tìm các gt của m để hs sau có ctr và các đctr của đths cùng với gốc tọa độ O tạo thành 
tam giác vuông cân tại O : . 
III.Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số: 
1/ Tìm GTNN và GTLN của các hs sau: 
 ; 
2/ Cho pt: tìm gt của a để nghiệm lớn của pt đạt GTLN . 
3/ Tìm các gt của a,b để hs có GTLN = 5 và GTNN = - 1 
4/ Tìm GTNN và GTLN của bt: . 
5/ Tìm các gt của m để: pt 
6/ Tìm các gt của m để các pt, bpt sau có nghiệm: 
 ; 
[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN] 
5 
7/ Biện luận theo m số nghiệm của pt: 
8/ (B-2006): Tìm gt của m để pt sau có 2 nghiệm phân biệt: 
9/ Tìm gt của m để bpt sau được nghiệm đúng với : 
10/ Tìm các gt của m để: 
11/ (A-2007): Tìm các gt của m để pt sau có nghiệm thực: 
IV.Sự tương giao của đồ thị hai hàm số: 
1/ Tìm các gt của m để đths cắt parabôn tại 3 điểm phân biệt . 
2/ Tìm các gt của m để hpt sau có nhiều hơn 2 nghiệm: 
3/ Cho hs ; xác định a để đths cắt đt y = x tại 3 điểm pb cách đều nhau . 
4/ Tìm các gt của m để đths sau cắt Ox tại 4 điểm pbcđnhau: . 
5/ Cho hs 
 a/ Xác định k để cắt mọi ; b/ Xác định m để cắt mọi . 
6/ Tìm gt của k để đt y = 2kx – k cắt đths sau tại 2 điểm pb thuộc 2 nhánh của nó: . 
7/ (D-2006): Gọi (d) là đt đi qua điểm A(3;20) và có hsg là m. Tìm gt của m để đt (d) cắt đths sau tại 3 
điểm pb: . 
[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN] 
6 
8/ (D-2008): CMR mọi đt đi qua điểm I(1;2) với hsg k (k > -3) đều cắt đths tại 3 
điểm pb cách đều nhau . 
9/ (D-2009): Tìm các gt của m để đt y = -1 cắt đths sau tại 4 điểm pb có hoành độ đều nhỏ hơn 2: 
10/ (A-2010): Tìm các gt của m để đths cắt Ox tại 3 điểm pb có tổng 
bình phương các hoành độ nhỏ hơn 4 . 
11/ (B-2010): Tìm các gt của m để đt y = -2x + m cắt đths sau tại 2 điểm pb A, B sao cho tg OAB có dt 
bằng . 
V.Các bài toán về tiếp tuyến của đồ thị hàm số: 
1/ Cho hs . M là điểm bất kì trên (C); tiếp tuyến tại M cắt 2 
tiệm cận tại A và B. Gọi I là gđ của 2 t/c. CM: MA = MB và dt tg IAB không đổi . 
2/ Tìm các gt của m để đths sau t/x với Ox: . 
3/ Chứng minh họ đường cong luôn t/x với nhau . 
4/ Cho hs . Tìm các gt của m để đths cắt đt y = 1 – x tại 3 điểm phân biệt A(0;1), B, 
C sao cho các tiếp tuyến của đths tại B và C vuông góc với nhau. 
5/ Tìm các gt của m để đths sau t/x với Ox tại 2 điểm pb: . 
6/ Tìm các gt của m để đt 2 hs sau t/x với nhau: 
7/ Tìm các gt của m để đths sau t/x với đt y = m : 
[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN] 
7 
8/ Tìm các gt của m để đt 2 hs sau t/x với nhau: 
9/ (D-2005): Cho hs . M là điểm nằm trên đths có hđộ bằng -1. Tìm gt của m 
để tiếp tuyến với đths tại M song song với đt 5x – y = 0 . 
10/ (B-2006): Viết pttt của đths biết tt vuông góc với t/c xiên . 
11/ (D-2007): Cho hs y = 2x/(x + 1) . Tìm tđộ điểm M nằm trên đths biết tt của đths tại M cắt Ox, Oy 
tại A, B sao cho dt tg OAB bằng 1/4. 
12/ (B-2008): Viết pttt của đths biết tt đi qua điểm M( -1; -9) . 
13/ (A-2009):Cho hs y = (x + 2)/(2x + 3). Viết pttt của đths biết tt tạo với 2 trục tọa độ thành tgvc tại O. 
14/ (D-2010): ): Viết pttt của đths biết tt vgóc với đt 
VI.Một số bài toán khác: 
1/ Tìm điểm cố định của họ đường cong: 
2/ Chứng minh với mọi m, đths luôn đi qua 3 điểm cố định và 
các điểm cố định này thẳng hàng . 
3/ Chứng minh trên đths có 2 điểm không thuộc đths dù m 
lấy bất kì gt nào . 
4/ Tìm trên đths y = (x – 1)/(x + 2) các điểm cách đều hai t/c của nó . 
5/Tìm các gt của m để đt y =m –x cắt đths tại 2 điểm đ/x nhau qua đt y=x. 
6/ Tìm trên đths các điểm đ/x nhau qua điểm I(0; 2,5) . 
[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN] 
8 
7/ Tìm trên đths các cặp điểm đ/x qua đt y = x – 1 . 
8/ Tìm pt đường cong đ/x với đths qua đt y = 2 . 
9/ Cho hàm số: )(
2
542
H
x
xx
y


 
 Tìm M thuộc (H) sao cho khoảng cách từ M đến (D): 063  yx nhỏ nhất. 
10/ Cho hàm số: 
 
2
1
2



x
x
y (C) 
 Hãy xác định hàm số y = g(x) sao cho đồ thị của nó đối xứng với đồ thị (C) qua A(1;1). 
11/ Cho hàm số  
3 1
3
x
y C
x



. 
Tìm một hàm số mà đồ thị của nó đối xứng với (C) qua đường thẳng (D):x + y -3 = 0. 
12/ Cho hàm số: 3
1
1
3
y x x   (C) và hai điểm A(0;1), B(3;7) trên (C). Tìm M thuộc cung AB của (C) 
sao cho diện tích ΔMAB lớn nhất. 
13/ (A-2006): Tìm các gt của m để pt sau có 6 nghiệm pb: 
14/(A-2008): Tìm các gt của m để góc giữa 2 t/c của đths sau bằng 
15/(B-2009): Với gt nào của m thì pt sau có đúng 6 nghiêm thực pb: 
---------------------- o0o ------------------- 
[CÁC BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ *** DOÃN XUÂN HUY – THPT ÂN THI-HƯNG YÊN] 
9