Một số bài toán tổ hợp thường gặp trong kì thi tốt nghiệp trung học phổ thông

MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔ HỢP THƯỜNG GẶP TRONG KÌ THI 
TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 
 Trong những năm gần đây trong các đề thi tốt nghiệp THPT môn toán chúng ta thường gặp một bài toán về tổ hợp , phần lớn các em học sinh gặp rất nhiều khó khăn đối với bài toán loại này , để giúp các em học sinh lớp 12 làm được bài toán về tổ hợp một cách có hệ thống, bản thân sau nhiều năm giảng dạy đã rất trăn trở và suy nghĩ làm thế nào để phân loại được các bài toán tổ hợp một cách có hệ thống, để giúp các em trong quá trình ôn thi tốt nghiệp có kết quả cao. Xuất phát từ ý tưởng đó bản thân đã mạnh dạn viết và hệ thống lại một số bài toán tổ hợp thường gặp trong kì thi tốt nghiệp THPT.
 VẤN ĐỀ 1 : CÁC BÀI TOÁN CÓ SỬ DỤNG ĐẾN CHỈNH HỢP .
 DẠNG 1 : Tập hợp nền không chứa chữ số 0 .
 Bài 1 : Cho tập hợp A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 } 
Có bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau được lấy ra từ tập A ?
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có 6 chữ số đôi một khác nhau ?
Lời giải :
Gọi số cần tìm là : trong đó : a1 ¹ a2 ¹ a3 ¹ a4 ¹ a5 
Năm chữ số này được lấy từ tập A , đôi một khác nhau và sắp xếp theo một thứ tự nhất định nên số cần tìm là .
 số 
Gọi số cần tìm là : 
 Số n chẵn nên a6 Î { 2 , 4 , 6 } Þ a6 có ba cách chọn .
 Chọn 5 chữ số còn lại từ tập có 7 – a6 = 6 phần tử là 
 Ghép 5 chữ số này với chữ số a6 được số cần tìm .
 Vậy : Theo qui tắc nhân ta được số các số cần tìm là : số .
 Bài 2 : Cho tập hợp A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }
 Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn ?
Lời giải :
 Gọi số cần tìm là : 
 Chọn ba chữ số chẵn có cách 
 Chọn ba chữ số lẻ có cách .
 Vậy có : . = 1440 số cần tìm .
 Bài 3 : Cho tập hợp A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm có 6 chữ số đôi một khác nhau :
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 6 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đầu lẻ , chữ số cuối chẵn ? 
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đầu và chữ số cuối đều chẵn ? 
Lời giải :
a) Gọi số cần tìm là : 
 Số lẻ nên a6 Î { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } Þ a6 có năm cách chọn .
 Chọn 5 chữ số còn lại trong tập có 8 phần tử là 
 Vậy có : 5. = 33600 số cần tìm .
b) Gọi số cần tìm là : 
 Số có a6 chẵn Þ a6 Î { 2 ; 4 ; 6 ; 8 } 
 a1 lẻ Þ a1 Î { 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9} 
 a6 có 4 cách chọn 
 a1 có 5 cách chọn 
 Chọn 4 chữ số còn lại trong tập có 7 phần tử là 
 Vậy có : 4 . 5 . = 16800 số cần tìm .
Gọi số cần tìm là : 
 Số có a1 và a5 đều chẵn Þ a1 , a5 Î { 2 ; 4 ; 6 ; 8 } 
 a1 có 4 cách chọn .
 a5 có 3 cách chọn .
 Chọn 3 chữ số còn lại trong tập 7 phần tử là : 
 Vậy có : 4.3.
 Bài 4 : Cho tập hợp A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 }
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm có 5 chữ số khác nhau và không bắt đầu 345 ? 
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 luôn có mặt đúng một lần ?
Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm 4 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số thứ 2 luôn có mặt đúng một lần ? 
Lời giải :
a) Gọi số cần tìm là : 
 Số có 5 chữ số là : = 720 số .
 Số các chữ số bắt đầu bằng là số 
 Vậy số các số cần tìm là : 720 – 6 = 714 số .
b) Gọi số cần tìm là : 
 Chữ số 2 luôn có mặt một lần nên có 4 vị trí cho chữ số 2 
 Khi chọn vị trí cho chữ số 2 thì ta xem một chữ số nào đó trong số đã nhận chữ số 2 , nên ta cần chọn ba chữ số nữa và số cách chọn là .
 Vậy có : 4. = 240 số cần tìm .
c) Gọi số cần tìm là : 
 Số n chẵn Þ a4 Î { 2 ; 4 ; 6 } 
 TH1 : a4 = 2 Þ số cách chọn ba chữ số còn lại là : 
 TH2 : a4 ¹ 2 Þ a4 có hai cách chọn 
 Có ba vị trí cho chữ số 2 
 Có cách chọn hai chữ số còn lại 
Có 2.3. = 72 số .
 Vậy : Có tất cả : 60 + 72 = 132 số cần tìm .
 Bài 5 : Cho tập hợp A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ;6 ; 7 ; 8 }.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số lẻ gồm 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 3 luôn có mặt đúng một lần ?
 Lời giải : 
 Gọi số cần tìm là : 
 TH1 : a5 = 3 : chọn 4 chữ số còn lại có : cách 
 TH2 : a5 ¹ 3 :
 a5 có ba cách 
 có 4 vị trí cho chữ số 3 
 có cách chọn ba chữ số còn lại 
 Þ Có 3.4. số 
 Vậy : Có tất cả : + 3.4. = 2280 số cần tìm 
 Dạng 2: Tập hợp ban đầu có chứa chữ số 0 .
 Bài 1 : Cho tập hợp A = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.Từ tập A có thể lập được : 
Bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này đều chẵn ?
Bao nhiêu số có 5 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này đều lẻ ? 
Lời giải :
 a) Gọi số cần tìm là : , a1, a2 , a3 , a4 Î A , a5 Î {0 ; 2 ; 4 ; 6 }, a1¹ 0 
 - Trường hợp 1 : a5 = 0 : Số cách chọn các chữ số còn lại là 
 Þ Số các số có dạng là 
 - Trường hợp 2 : a5 ¹ 0 : a5 có 3 cách chọn 
 a1¹ 0 và a1 ¹ a5 ; a1 có 5 cách chọn 
 Các số còn lại có cách chọn là 
 Þ Số các số có dạng trên là 3.5.
Vậy : Số các số cần tìm là : + 3.5. = 1260 số .
b) Gọi số cần tìm là : , a1, a2 , a3 , a4 Î A , a5 Î {1 ; 3 }, a1¹ 0 
 a5 có 2 cách chọn 
 a1¹ 0 và a1 ¹ a5 ; a1 có 5 cách chọn 
 Các số còn lại có cách chọn là 
Vậy : Số các số cần tìm là : 2.5. = 600 số .
 Bài 2 : Cho tập hợp A = {0 , 2 , 4 , 5 , 6 , 9 } .Từ tập A có thể lập được 
Bao nhiêu số có 4 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5 ?
Bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau ? 
Lời giải :
Gọi số cần tìm là : a1 , a2 , a3 Î A , a4 Î {0 ; 5 }, a1¹ 0 
Trường hợp 1 : a4 = 0 : Số các chữ số còn lại có số cách chọn là cách 
 Þ Số các số có dạng trên là số .
 Trường hợp 2 : a4 = 5 : a1¹ 0 và a1¹ a4 ; a1 có 4 cách chọn .
 Số các số còn lại có số cách chọn là cách 
 Þ Số các số có dạng trên là 4.
 Vậy : Số các số cần tìm là + 4. = 108 số 
 Gọi số cần tìm là : a1 , a2 , a3 Î A , a4 Î {0 ; 2; 4 ; 6 }, a1¹ 0 
Trường hợp 1 : a4 = 0 : Số cách chọn các chữ số còn lại là cách 
Số các số có dạng trên là 
Trường hợp 2 : a4 ¹ 0 : a4 có 3 cách chọn 
 a1¹ 0 và a1¹ a4 ; a1 có 4 cách chọn .
 Số các số còn lại có số cách chọn là cách 
Số các số có dạng trên là 3.4. số 
 Vậy : Số các số cần tìm là : + 3.4. = 204 số .
 Bài 3 : Cho tập hợp A = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số có : 
Năm chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 2 ?
Sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số 2 luôn có mặt đúng một lần ? 
Lời giải :
a) Gọi số cần tìm là : , a1, a2 , a3 , a4 , a5 Î A , a5 Î {0;2;4;6} ; a1¹ 0 
 - Trường hợp 1 : a5 = 0 : Số các chữ số còn lại có số cách chọn là 
 Þ Số các số có dạng trên là 
 - Trường hợp 2 : a5 ¹ 0 : a5 có 3 cách chọn 
 a1 ¹ 0 và a1 ¹ a5 ; a1 có 6 cách chọn 
 Số các số còn lại có số cách chọn là 
Số các số có dạng trên là 3.6.
 Vậy : Số các số cần tìm là + 3.6. = 3000 số 
 b) Gọi số cần tìm là : 
 - Trường hợp 1 : a1 = 2 : Chọn 5 chữ số còn lại có Þ Có số 
 - Trường hợp 2 : a1 ¹ 2 : a1 có 6 cách chọn (a1 ¹ 2 ; a1 ¹ 0)
 Có 5 vị trí cho chữ số 2 
 Chọn 4 chữ số còn lại có cách 
Số các số có dạng trên là 6.2. số 
 Vậy : Số các số cần tìm là : + 6.5. = 13320 số .
 Bài 4: Cho tập hợp A = {0 , 1 , 2 , 4 , 5 , 7 , 8 , 9 }.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số : 
Có 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 50000 ? 
Có 5 chữ số khác nhau và đều là các số chẵn ? 
 Lời giải :
 a) Gọi số cần tìm là : 
 Số > 50000 nên a1 Î {5 ; 7; 8 ; 9 }
 a1 có 4 cách chọn 
 Chọn 4 chữ số còn lại có 
 Þ Có 4.= 3360 số .
 b) Gọi số cần tìm là : 
 Số chẵn nên a5 Î { 0 ; 2 ; 4 ; 8 }
Trường hợp 1 : a5 = 0 : Chọn 4 chữ số còn lại có cách 
 Þ Có số .
Trường hợp 2 : a5 ¹ 0 : a5 có 3 cách chọn 
 a1 ¹ 0 ; a1 ¹ a5 ; a1 có 6 cách chọn 
 Chọn 3 chữ số còn lại có cách 
 Þ Có 3.6. số 
 Vậy : Có tất cả : + 3.6. = 3000 số .
 Bài 5 :Cho tập hợp A = {0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5, 6 , 7 }.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số :
Có 5 chữ số khác nhau và chữ số 7 luôn có mặt một lần ? 
Có 6 chữ số sao cho các số này luôn lẻ , chữ số đứng ở vị trí thứ 3 luôn chia hết cho 6 ? 
 Lời giải :
Gọi số cần tìm là : 
Trường hợp 1 : a1 = 7 : Chọn 4 chữ số còn lại có cách Þ Có số .
Trường hợp 2 : a1 ¹ 7 : a1 có 6 cách chọn (a1 ¹ 7 ; a1 ¹ 0) .
 Có 4 vị trí cho chữ số 7 .
 Chọn 3 chữ số còn lại có cách 
 Þ Có 6.7. số .
 Vậy : Có tất cả : + 6.4. = 3720 số 
 b) Gọi số cần tìm là : 
 Số có tính chất : 
 + Lẻ Þ a6 Î {1 ; 3 ; 5 ; 7 }
 + a3 chia hết cho 6 Þ a3 Î {0 ; 6} .
Trường hợp 1 : a3 = 0 : 
 a6 có 4 cách .
 a1 có 6 cách .
 Chọn 3 chữ số còn lại có cách .
 Þ Có 4.6. số .
Trường hợp 2 : a3 = 6 
 a6 có 4 cách chọn .
 a1 có 5 cách (a1 ¹ 0 ; a1 ¹ a3 ; a1 ¹ a6)
 Chọn 3 chữ số còn lại có cách 
 Þ Có 4.5. số .
 Vậy : 4.6. + 4.5. = 2640 số .
 Bài 6 : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2001 – 2002)
 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có bốn chữ số đôi một khác nhau ? 
 Lời giải : A = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }
 Gọi số cần tìm là : 
 Số chẵn Þ a4 Î {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 }
Trường hợp 1 : a4 = 0 : Chọn 3 chữ số còn lại có số cách chọn là Þ có số .
Trường hợp 2 : a4 ¹ 0 : a4 có 4 cách chọn .
 a1 có 8 cách chọn (a1 ¹ 0 ; a1 ¹ a4)
 Chọn 2 chữ số còn lại có số cách chọn là 
 Þ Có 4.8. số .
 Vậy : Có tất cả : + 4.8. = 2296 số .
 Bài 7 : (Đề kiểm tra học kỳ II năm học 2005 – 2006 của sở GD – ĐT Thừa Thiên - Huế )
 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số khác nhau đôi một ? 
 Lời giải : A = { 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 }
 Gọi số cần tìm là 
 Số chẵn Þ a3 Î {0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8 }.
Trường hợp 1 : a3 = 0 : Chọn 2 chữ số còn lại có số cách chọn là Þ Có số .
Trường hợp 2 : a3 ¹ 0 : a3 có 4 cách chọn .
 a1 có 8 cách chọn (a1 ¹ 0 ; a1 ¹ a3 )
 a2 có 8 cách chọn .
 Þ Có 4.8.8 số .
 Vậy : Có tất cả : + 4.8.8 = 328 số .
 VẤN ĐỀ 2 : CÁC BÀI TOÁN CÓ SỬ DỤNG ĐẾN TỔ HỢP .
 DẠNG 1 : Bài toán chọn người .
 Bài 1 : Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 người , cần chọn 3 người vào ban thường vụ .Nếu không có sự phân biệt về chức vụ của 3 người trong ban thường vụ thì có bao nhiêu cách chọn .
 Lời giải : 
 Số cách chọn 3 người vào ban thường vụ trong ban chấp hành đoàn gồm 7 người là : = 35 cách .
 Bài 2 : Một cuộc thi có 15 người tham dự , giả thiết rằng không có 2 người nào có điểm bằng nhau .Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra 4 người điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể ?
 Lời giải : Các kết quả có thể là : = 1365 .
 Bài 3 : Một tổ có 8 em nam và 2 em nữ .Người ta cần chọn ra 5 em trong tổ tham dự cuộc thi học sinh thanh lịch của trường .Yêu cầu trong các em được chọn phải có ít nhất một em nữ .Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
 Lời giải : 
Trường hợp 1 : Chọn 4 nam , 1 nữ : = 140 cách .
Trường hợp 2 : Chọn 3 nam , 2 nữ : = 56 cách .
 Vậy : Có tất cả : + = 140 + 56 = 196 cách .
 Bài 4 : Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ .Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng diễn thể dục .Trong 5 em được chọn , yêu cầu không có quá 1 em nữ .Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?
 Lời giải : 
Trường hợp 1 : Chọn 5 nam : 
Trường hợp 2 : Chọn 4 nam , 1 nữ : 
 Vậy : Có tất cả : + = 126 cách .
 Bài 5 : Một lớp học có 10 học sinh nam và 15 học sinh nữ .
Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một đội gồm 12 người ?
Chọn từ đó ra một đội văn nghệ gồm có 13 người sao cho có ít nhất là 10 nữ và phải có nam và nữ ?
 Lời giải : 
Số cách chọn là = 5.200.300 c ... hư và 6 bì thư .Chọn ra 3 con tem để dán vào ba bì thư , mỗi bì thư dán một con tem .hỏi có bao nhiêu cách dán ?
 Lời giải : 
 + Chọn 3 con tem có cách 
 + Chọn 3 bì thư có cách 
 Một con tem có thể dán vào bì thư nào cũng được trong ba bì thư lấy ra nên có tất cả : 
 3! . = 1200 cách .
 Bài 4 : Trong một lô hàng có 10 quạt bàn và 5 quạt trần .
Có bao nhiêu cách lấy 5 quạt trong đó có 3 quạt bàn .
Có bao nhiêu cách lấy 4 quạt trong đó có ít nhất 2 quạt bàn .
 Lời giải : 
Chọn bất kì 3 quạt bàn trong 10 quạt bàn là 
 Chọn 2 quạt còn lại trong 5 quạt trần là 
 Vậy : Có tất cả là . = 1200 cách .
Có cách chọn trong đó có 2 quạt bàn và 2 quạt trần 
Có cách chọn trong đó có 3 quạt bàn và một quạt trần 
Có cách chọn trong đó có 4 quạt bàn và 0 quạt trần 
 Vậy : Có tất cả là + + = 1260 cách 
 Bài 5 : Có 8 bi xanh , 5 bi đỏ , 3 bi vàng .Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra 4 viên bi nếu :
Có đúng 2 bi xanh .
Số bi xanh bằng số bi đỏ .
Lời giải : 
Chọn 2 bi xanh trong 8 bi xanh là , 2 bi còn lại chọn bất kỳ trong 5 bi đỏ và 3 bi vàng là 
 Vậy : Có tất cả là . = 784 cách .
Có cách chọn có 2 bi xanh và 2 bi đỏ .
Có cách chọn có 1 bi xanh , 1 bi đỏ và 2 bi vàng 
 Vậy : Có tất cả là + = 400 cách 
 Bài 6 : Cho 5 bi xanh , 4 bi trắng và 3 bi vàng .Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi có đúng hai màu ?
 Lời giải : 
 + 6 viên (xanh và trắng) 
 Có = 84 cách (hay )
 + 6 viên (xanh và vàng)
 Có = 28 (hay )
 + 6 viên (trắng và vàng)
 Có = 7 cách (hay )
 Vậy : Có tất cả là 84 + 28 + 7 = 119 cách .
 Bài 7 : Có một hộp đựng 2 viên bi đỏ , 3 viên bi trắng , 5 viên bi vàng .Chọn ngẫu nhiên 4 viên bi từ hộp đó . Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong đó số viên bi lấy ra không đủ cả ba màu .
 Lời giải :
 Có cách chọn 4 viên bi chỉ có bi vàng 
 Có cách chọn 4 viên có đỏ và trắng 
 Có cách chọn 4 viên bi có đỏ và vàng 
 Có cách chọn 4 viên có bi trắng và vàng 
 Vậy có tất cả là : + + + = 115 cách 
 Bài 8 : Một người muốn chọn 6 bông hoa từ ba bó hoa để cắm vào một bình hoa .Bó thứ nhất có 10 bông hồng , bó thứ hai có 6 bông thược dược và bó thứ ba có 4 bông cúc .
Hỏi người đó có bao nhiêu cách chọn .
Nếu người đó muốn chọn đúng 2 bông hồng , 2 bông thược dược và 2 bông cúc thì người đó có bao nhiêu cách chọn ?
 Bài 9 : Từ 5 bông hồng vàng , 3 bông hồng trắng và 4 bông hồng đỏ (Các bông hồng xem như đôi một khác nhau ) người ta muốn chọn ra một bó hoa gồm 7 bông hồng .
Có bao nhiêu cách chọn một bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ ?
Có bao nhiêu cách chọn bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ ?
 VẤN ĐỀ 3 : MỘT SỐ BÀI TOÁN CÓ SỬ DỤNG ĐẾN HOÁN VỊ .
 Bài 1 : Từ tập hợp A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } .Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số : 
Có 8 chữ số khác nhau ? 
Có 8 chữ số khác nhau sao cho các số này đều chẵn ? 
Giải :
Số các số có 8 chữ số khác nhau được lấy ra từ tập A có 8 phần tử là 8! = 40320 số.
Gọi số cần tìm là : 
 Số chẵn nên 
a8 có 4 cách chọn.
Chọn 7 chữ số còn lại trong tập có 7 phần tử là : P7 = 7!
 Vậy : Có tất cả : 4.7! số cần tìm.
 Bài 2 : Cho tập hợp A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 } .Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số : 
Có 8 chữ số khác nhau sao cho các số này đều lẻ và không chia hết cho 5 ? 
Có 8 chữ số khác nhau sao cho các chữ số đứng đầu lẻ và chữ số đứng cuối chẵn ? 
Giải : 
Gọi số cần tìm là : 
 Số lẻ và không chia hết cho 5 è a8 = { 1 , 3 , 7 }
 + a8 có 3 cách chọn 
 + Chọn 7 chữ số còn lại trong tập có 7 phần tử có P7 = 7! Cách
 Vậy có tất cả 3.7! = 15120 số 
Gọi số cần tìm là : 
 Chữ số đứng đầu lẻ : a1 = { 1, 3, 5, 7} è a1 có 4 cách chọn.
 Chữ số đứng cuối chẵn : a8 = {2, 4, 6, 8} è a8 có 4 cách chọn
 Chọn 6 chữ số còn lại P6 = 6!
 Vậy có tất cả : 4.6!.4 = 11520 số.
 Bài 3 : Cho tập hợp A = { 1 , 2, 3 ,4 , 5 , 6 , 7 } .Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số 
Có 7 chữ số khác nhau sao cho chữ số đứng đầu và đứng cuối cũng lẻ ?
Có 7 chữ số khác nhau sao cho các số này đều chẵn và chữ số đứng giữa chia hết cho 3 ? 
 Giải : 
Gọi số cần tìm là : 
 Số có a1 và a7 đều lẻ è a1, a7 = {1, 3, 5, 7}
 + a1 có 4 cách chọn.
 + a7 có 3 cách chọn.
 + Chọn 5 chữ số còn lại có P5 = 5! cách.
 Vậy có tất cả : 4.3.5! = 1440 số cần tìm.
Gọi số cần tìm là : 
 Số chẵn è a7 = {2, 4, 6}
 a4 chia hết cho 3 è a4 = {3 , 6}
Trường hợp 1 : a4 = 6
a7 có 2 cách chọn.
Chọn 5 chữ số còn lại có 5! cách.
è có 2.5! cách.
Trường hợp 2 : a4 = 3
a7 có 3 cách chọn.
Chọn 5 chữ số còn lại có 5! cách.
è có 3.5!
Vậy có tất cả 2.5! + 3.5! = 600 số cần tìm.
 Bài 4 : Cho tập hợp A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 }.Từ tập hợp A có thể lập được bao nhiêu số : 
Có 8 chữ số khác nhau sao cho các số này đều chẵn và chữ số đứng đầu chia hết cho 4 ? 
Có 8 chữ số khác nhau sao cho chữ số đứng thứ 3 chia hết cho 3 , chữ số đứng đầu chẵn và chữ số đứng cuối lẻ ? 
Giải :
Gọi số cần tìm là : 
 Số chẵn è a8 = {2, 4, 6, 8}
 a1 chia hết cho 4 è a1 = {4, 8}
Trường hợp 1 : a1 = 4 
a8 có 3 cách chọn.
Chọn 6 chữ số còn lại có 6! cách
è có 3.6! số.
Trường hợp 2 : a1 = 8
a8 có 3 cách chọn.
Chọn 6 chữ số còn lại có 6! cách.
è có 3.6! số.
Vậy có tất cả : 3.6! + 3.6! = 4320 số cần tìm.
 Bài 5 : Cho tập hợp A = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 } .Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số : 
Có 7 chữ số khác nhau sao cho chữ số 1 và 2 luôn đứng cạnh nhau ? 
Có 7 chữ số khác nhau sao cho các số này không bắt đầu bởi 123 ? 
 Giải : 
Gọi số cần tìm là : 
Khi hai chữ số 1, 2 đứng cạnh nhau được hoặc 
è có hai kiểu đứng cạnh nhau cho hai chữ số 1 , 2
+ Có 6 vị trí cho chữ số 
+ Chọn 5 chữ số còn lại có 5! cách
Vậy có tất cả : 2.6.5! = 1440 số cần tìm.
- Tìm số có 7 chữ số bất kì có 7! số 
- Tìm số có 7 chữ số bắt đầu bởi 123 có 4! số
Vậy có tất cả : 7! – 4! = 5016 số.
VẤN ĐỀ 4 : TÍNH HỆ SỐ CỦA MỘT LUỸ THỪA TRONG MỘT (HOẶC NHIỀU) KHAI TRIỂN CỦA NHỊ THỨC NIUTƠN .
 Bài 1 : Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhị thức (x2 + 1)n bằng 1024 , hãy tìm hệ số a của số hạng ax12 trong khai triển đó .
 Lời giải : 
 Ta có : 
 Cho x = 1 , ta được tổng các hệ số là : 
 Theo giả thiết , ta có : 2n = 1024 Û n = 10 
 Do đó : 
 Vậy hệ số a phải tìm là : 
 Bài 2 : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2000 – 2001) 
 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn .
 Lời giải : , k = 0 , 1 , 2 , 3 , , n
 Với n = 12 , ta có : 
 Điều kiện cần và đủ để số hạng trong khai triển không chứa ẩn x là 
 là số hạng thứ 9 trong khai triển không chứa x .
 Bài 3 : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2005 – 2006) 
 Tìm hệ số của x5 trong khai triển nhị thức Niutơn của (1 + x)n , n Î N* , biết tổng tất cả các hệ số trong khai triển trên bằng 1024 .
 Lời giải : Ta có : 
 Tổng tất cả các hệ số của khai triển : 
 T = 1024 Û n = 10 .
 Hệ số của x5 trong khai triển : .
 Bài 4: (Đề kiểm tra học kỳ II năm học : 2005 – 2006 của sở GD TT - Huế) .
 Tìm hệ số của x4 trong khai triển của biểu thức : 
 (x + 1)4 + (x + 1)5 + (x + 1)6 
 Lời giải : 
 Ta có : .
 Hệ số của x4 trong khai triển của biểu thức đã cho là : 
 Bài 5 : 
Tìm hệ số của x3 trong khai triển : (x + 1)2 + (x + 1)3 + (x + 1)4 + (x + 1)5 
Tìm hệ số của x9 trong khai triển : (x + 1)9 + (x + 1)10 + + (x + 1)14 
 Lời giải : 
 Ta có : .
Hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức đã cho là : 
Hệ số của x9 trong khai triển của biểu thức đã cho là : 
 Bài 6 : 
 Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niutơn .
 Lời giải : 
 , k = 0 , 1 , 2 , 3 , , n
 Với n = 16 , ta có : 
 Điều kiện cần và đủ để số hạng trong khai triển không chứa ẩn x là 
 là số hạng thứ 13 trong khai triển không chứa x .
 VẤN ĐỀ 5 : GIẢI PHƯƠNG TRÌNH , BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA , .
 Bài 1 : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2002 – 2003) 
 Giải hệ phương trình cho bởi hệ thức sau : 
 Lời giải : 
 Hệ thức với x và y là các số nguyên dương mà 
 cho hệ phương trình sau : 
 Giải hệ : 
 Bài 2 : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2003 – 2004) 
 Giải bất phương trình (Với hai ẩn là n , k Î N)
 Lời giải : 
 Û 
 Xét với n ³ 4 : Khẳng định bất phương trình vô nghiệm .
 Xét với n Î {0 , 1 , 2 , 3 } tìm được các nghiệm (n ; k) của bất phương trình là : 
 ( 0 ; 0 ) , (1 ; 0) , (1 ; 1) , (2 ; 2) , (3 ; 3) .
 Bài 3 : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2004 – 2005) 
 Giải bất phương trình , ẩn n thuộc tập số tự nhiên : 
 Lời giải : 
 Điều kiện : n ³ 2.
 Bất phương trình đã cho tương đương với 
 Û n3 – 9n2 + 26n + 6 > 0 
 Û n(n2 – 9n + 26) + 6 > 0 , luôn đúng với mọi n ³ 2.
 Vậy : n Î N , n ³ 2.
 Bài 4 : (Đề thi tốt nghiệp THPT năm học 2006 – 2007 lần 1)
 Giải phương trình : (trong đó là số tổ hợp chập k của n phần tử) 
 Lời giải : 
 Điều kiện : n Î N , n ³ 5 .
 Phương trình đã cho tương đương với : 
 Vậy : n = 6 .
 Bài 5 : (Đề kiểm tra học kỳ II năm học 2006 – 2007 của sở GD – ĐT Thừa Thiên - Huế) .
 Giải bất phương trình (ẩn là n Î N*) : 
 Lời giải : 
 Suy ra : n = 1 hoặc n = 2 .
MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ 
 Bài 1 : Cho tập hợp A = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5; 6 ; 7; 8 ; 9 }.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số chẵn có sáu chữ số đôi một khác nhau sao cho chữ số đứng đầu chẵn và chữ số 4 luôn có mặt đúng một lần ? 
 Bài 2 : Từ bốn chữ số 1 , 4 , 5 , 9 ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có bốn chữ số mà mỗi số gồm các chữ số khác nhau .Hãy viết tất cả các số tự nhiên đó .
 Bài 3 : Giải phương trình (trong đó là số chỉnh hợp chập k của n phần tử , là tổ hợp chập k của n phần tử) .
 Bài 4 : Chứng minh rằng (trong đó là số chỉnh hợp chập k của n phần tử , là số tổ hợp chập k của n phần tử và Pn là số hoán vị của n phần tử).
 Bài 5 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :
 Bài 6 : Tìm số hạng không chứa x trong khai triển :
 biết 
 Bài 7 : Giải các phương trình : 
 a. , "xÎN*
 b. 
 c. 
 Bài 8 : Giải phương trình : , "xÎN*
 Bài 9 : Tìm các số tự nhiên x , y thỏa hệ phương trình :
 Bài 10 : Cho tập hợp A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 }.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số 
Có 7 chữ số khác nhau .
Có 7 chữ số khác nhau và các số này đều lẻ ? 
 Bài 11 : Cho tập hợp A = { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 }.Từ tập A có thể lập được bao nhiêu số : 
Có 8 chữ số khác nhau sao cho các số này đều chẵn ? 
Có 8 chữ số khác nhau sao cho các số này có chữ số đầu và chữ số cuối đều chẵn ?
 Bài 12 : Xếp 6 người A , B , C , D , E , F vào một ghế dài .Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu : 
6 người ngồi bất kỳ .
A và F ngồi ở hai đầu ghế .
A và F luôn ngồi cạnh nhau .
 Trên đây là một số dạng toán về tổ hợp thường gặp trong kì thi tốt nghiệp THPT môn toán, người viết đã tích luỹ được trong nhiều năm giảng dạy, một số dạng toán này người viết đã đem ra giảng dạy ở các lớp 12 trường THPT Phong Điền trong những năm gần đây, một phần nào đó đã giúp cho các em học sinh ôn tập về tổ hợp một cách có hệ thống và đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPT.
LỜI CẢM ƠN
 Người viết xin chân thành cảm ơn BGH trường THPT Phong Điền đã quan tâm giúp đỡ, về mặt vật chất lẫn tinh thần, cảm ơn các ý kiến đóng góp hết sức thiết thực của quí thầy cô giáo trong tổ toán để bài viết được hoàn thành.
 Phong Điền, ngày 20 tháng 05 năm 2008
 Người viết sáng kiến kinh nghiệm
 NGUYỄN VĂN TRUNG