Một số bài giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, bất đẳng thức trong đề thi đại học

 MỘT SỐ BÀI GTLN,GTNN-BĐT TRONG ĐỀTHI ĐẠI HỌC
Bài 1. (Đề TS-B-2009). Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
Giải: (Đề TS-B-2009).
 dấu “=” xảy ra khi : 
Ta có : 
Đặt t = x2 + y2 , đk t ≥ hàm số:	
. Vậy : 
Bài 2. (Đề TS-D-2009). Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.
Giải: (Đề TS-D-2009).
S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy = 16x2y2 + 12(x3 + y3) + 34xy
 = 16x2y2 + 12[(x + y)3 – 3xy(x + y)] + 34xy = 16x2y2 + 12(1 – 3xy) + 34xy
 = 16x2y2 – 2xy + 12 
Đặt t = x.y, vì x, y ³ 0 và x + y = 1 nên 0 £ t £ . Khi đó S = 16t2 – 2t + 12 
S’ = 32t – 2 ; S’ = 0 Û t = . S(0) = 12; ; S (. Vì S liên tục nên :
Max S = khi x = y = và Min S = khi hay 
4.(§Ò CT- K B - 08)Cho hai sè thùc x,y thay ®æi vµ tho¶ m·n hÖ thøc x2+y2=1.T×m GTLN vµ GTNN cña biÓu thøc 
5. (§Ò CT- K D - 08) Cho x,y lµ hai sè thùc kh«ng ©m thay ®æi.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 
6. )(DBB1-08).Cho 3 số dương x;y;z thỏa mãn hệ thức x + y +z = .Chứng minh rằng
7. )(DBB2-08).Cho số nguyên n (n ≥ 2) và hai số thức không âm x,y . Chứng minh rằng :
CM; (*)
Khi Hiển nhiên (*) luôn đúng 
Khi x,y >0 Không mất tính tổng quát . Giả sử 0 < x ≤ y . Đặt ; t Î (0 ; 1]
Ta luôn có 
 (đpcm)
8. (DB-kD1-08)Cho các số thực x,y thỏa mãn . Chứng minh rằng 
. CM; Theo BĐT Cô si Ta có 
 (1)
Với Xét hàm số 
"tÎ[0 ; 1) thì 
"tÎ (1 ; p/3] thì 
Vậy (2) 
Từ (1) và (2) Ta có (đpcm)
Bài 3. (ĐH-A-2007). Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz = 1. 
Tìm GTNN của biểu thức:P =++.
Giải: ĐH-A-2007).
Ta coù;;
P++. Đặt: a = ;b = ; c = 
; ; 
Vậy P =
Dấu “=” xảy ra . Vậy Min P = 2 .
Bài 4. (ĐH-B-2007). Cho x > 0, y > 0,z > 0 thay đổi. Tìm GTNN của:
P = ++.
HD: (ĐH-B-2007).
Biến đổi P = . Do x2 + y2 + z2 = ++xy + yz + zx nên P ; Xét hàm số f(t) = với t > 0. Từ BBT của f(t) suy ra . Suy ra P . Vậy Min P = .
. (KD - 07)Cho a> 0. Chøng minh r»ng : 
Bài 5. (DBĐH-A-2007). Cho x, y, z là các biến số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
. (DBKA - 07).Cho x,y.z lµ c¸c biÕn sè d­¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÕn thøc
 P=
Giải: (DBĐH-A-2007).
Với x, y > 0 ta chứng minh : 4(x3 + y3) ³ (x + y)3 (*) Dấu = xảy ra Û x = y
Thật vậy (*) Û 4(x + y)(x2 – xy + y2) ³ (x + y)3 Û 4(x2 – xy + y2) ³ (x + y)2 do x, y > 0
	 Û 3(x2 + y2 – 2xy) ³ 0 Û (x – y)2 ³ 0 (đúng)
Tương tự ta có 4(y3 + z3) ³ (y + z)3 Dấu = xảy ra Û y = z
4(z3 + x3) ³ (z + x)3 Dấu = xảy ra Û z = x
Do đó 
Ta lại có: Dấu = xảy ra Û x = y = z. Suy ra 
Dấu = xảy ra Û x = y = z = 1. Vậy minP = 12 khi x = y = z = 1
13. . (DBKD - 07)Cho a,b lµ c¸c sè d­¬ng tho¶ m·n ab + a +b = 3.Chøng minh r»ng : 
Bài 6. (DBĐH1-B-2006). Cho hai số dương x, y thay đổi thỏa mãn điều kiện Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
Giải: (DBĐH1-B-2006).
Ta có 	A = Þ A
Với x = y = 2 thì A = . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 
Bài 7. (DBĐH2-B-2006). Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: với .
Giải: DBĐH2-B-2006).
Áp dụng bất đẳng thức : 
Ta có : Þ 
Khi x = 3 thì y = nên giá trị nhỏ nhất của y là .
Bài 8. (ĐH-A-2006). . Cho hai sè thùc x thay ®æi vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : 
( x + y )xy = x2 + y2 - xy.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = 
Giải: (ĐH-A-2006).
Từ gt suy ra . Đặt a = ta được a + b = a2 – ab + b2 (1)
A = a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2) = (a + b)2. Từ (1) suy ra: a + b = (a + b)2 – 3ab.
.
15. . (DBKA - 06)Cho x,y lµ c¸c sè thùc d­¬ng tho¶ m·n x2 +xy +y2 Chøng minh r»ng : 
16. . (DBKA - 06)Cho c¸c sè thùc x,y,z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : 3-x +3-y +3-z = 1.Chøng minh r»ng :
	.
Bài 9. (ĐH-B-2006). Cho x , y lµ c¸c sè thùc thay ®æi .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc :
	A = 
Giải: . (ĐH-B-2006).
Trong mpOxy xét các điểm M(x - 1; y) và N(x + 1; y). Do OM + ONMN nên :
Vôùi ;f’(y) = 0. 
Lập BBT: f(y) trên , ta có được 
Với .Do vậy A . 
Vậy 
18. . (DBKB - 06) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè : víi x > 0.
19. . (DBKB - 06) Cho hai sè d­¬ng x,y thay ®æi tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y 4.
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = .
Bài 10. (ĐH-A-2005). Cho ;. Tìm Min của S 
Giải: (ĐH-A-2005).
Sử dụng bất đẳng thức Côsi cho các số a, b, c, d > 0 ta có: 
20. (KA - 05) Cho x ,y,z lµ c¸c sè d­¬ng tho¶ m·n Chøng minh r»ng 
21. (DBKA - 05)Chøng minh r»ng víi mäi x,y > 0 ta cã : 
	Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra.
22. (KB - 05) Chøng minh r»ng víi mäi x, ta cã: 
	Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra?.
23. (DBKB - 05)Cho x,y,z lµ ba sè d­¬ng tho¶ m·n xyz = 1. Chøng minh r»ng 
	.
24. (DBKB - 05)Cho x,y,z lµ ba sè tho¶ m·n x +y +z = 0. Chøng minh r»ng 
	 Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra ? 
25. (KD - 05) Cho c¸c sè d­¬ng x,y,z tho¶ m·n xyz = 1.Chøng minh r»ng :
Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra?
26. (DBKD - 05)Cho a,b,c lµ c¸c sè d­¬ng tho¶ m·n a+b+c = 3/4.Chøng minh r»ng :
	Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra?
27. (DBKD - 05)Cho vµ Chøng minh r»ng 
	Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra ?
28. (DB-KA-04)Gäi (x,y) lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh 	( m lµ tham sè)
	T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = x2 +y2 -2x , khi m thay ®æi.
29. (DB-KB-04)Cho hµm sè y = ex -sinx +.
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f(x) vµ chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh f(x) = 3
 cã ®óng hai nghiÖm .
30. (DB-KB-04)Cho tam gi¸c ABC tho¶ m·n vµ sinA = 2sinB sinC tg.
	T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 
Bài 11. (Đề thi TSĐH 2003 khối B). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
Giải: TSĐH 2003 khối B).
Cách 1: Tập xác định ;
 Þ 
Cách 2: Đặt Þ; 
Bài 12. (DB TSĐH-B-2003). Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của trên đoạn 
Giải: (DB TSĐH-B-2003).
Cách 1. Đặt . Ta có 
Nhìn bảng biến thiên ta có 
Cách 2. Đặt 
Với thì. Sử dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
. Với 
31. (CT-KA-03)Cho x,y,z lµ ba sè d­¬ng vµ x + y + z .Chøng minh r»ng 
32.(DB -KA-03)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè 
33. . (CT -KB-03)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè y = x + 
34. . (CT -KD-03) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè trªn ®o¹n [-1;2]
35.(DB -KA-02)Gi¶ sö a,b,c,d lµ bèn sè nguyªn thay ®æi tho¶ m¶n 1a <b <c <d 50.Chøng minh bÊt ®¼ng thøc 
 vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = 
36.(DB -KA-02)Gäi A, B, C, lµ ba gãc cña tam gi¸c ABC .Chøng minh r»ng ®Ó tam gi¸c ABC ®Òu th× ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ 
37. (DB -KB-02)Gi¶ sö x,y lµ hai sè d­¬ng thay ®æi tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau S = 
Bài 13. (ĐH SPHN-A-2002) Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = 
HD:
Đặt t = sin2x , t.ta được y =1+. Ta coù y’=. 
Từ BBT của hàm số ta được : max y = và min y = .
Bài 14. (ĐH QGHN , HVNH –D – 2001). Tùy theo giá trị tham số m, tìm GTNN của biểu thức: 
P = (x + my – 2)2 + [4x + 2(m – 2)y –1]2 . 
HD:
. Hệ PT có nghiệm
Khi Min P =0 .
Khi m = –2 thì P = (x – 2y – 2)2+(4x – 8y –1)2 . Đặt t = x – 2y – 2 ta được 
P = t2 + (4t + 7)2 = 7 
Đẳng thức xảy ra . Khi đóù Min P = .
Bài 15. (ĐH TCKT -2000). Tìm GTLN,GTNN của hàm số y = 2sin8x + cos42x.
Giải:
Đặt t = cos2x , ĐK: . Khi đó: y = 2.
f’(t) = 4. Ta cóù f(–1) = 3 ;f(1) = 1; f. 
Vậy vaø .
Bài 16. (ĐH GTVT 2000). Tùy theo giá trị tham số m, hãy tìm GTNN của biểu thức: : 
P = (x – 2y + 1)2 + (2x + my + 5)2 . 
HD: Giải tương tự bài 14
 BÊT §¼NG THøC Vµ GI¸ TRÞ LN-NN TRONG §Ò THI §H Tõ 02-09
1. (§Ò CT- khèi A - 2009)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x(x + y + z) = 3yz, ta có:
.
2.(K B - 2009) (1 điểm)
	Cho các số thực x, y thay đổi và thoả mãn (x + y)3 + 4xy ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :A = 3(x4 + y4 + x2y2) – 2(x2 + y2) + 1
3.K D - 09 (1,0 điểm).Cho các số thực không âm x, y thay đổi và thỏa mãn x + y = 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = (4x2 + 3y)(4y2 + 3x) + 25xy.
4.(§Ò CT- K B - 08)Cho hai sè thùc x,y thay ®æi vµ tho¶ m·n hÖ thøc x2+y2=1.T×m GTLN vµ GTNN cña biÓu thøc 
5. (§Ò CT- K D - 08) Cho x,y lµ hai sè thùc kh«ng ©m thay ®æi.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 
6. )(DBB1-08).Cho 3 số dương x;y;z thỏa mãn hệ thức x + y +z = .Chứng minh rằng
7. )(DBB2-08).Cho số nguyên n (n ≥ 2) và hai số thức không âm x,y . Chứng minh rằng :
CM; (*)
Khi Hiển nhiên (*) luôn đúng 
Khi x,y >0 Không mất tính tổng quát . Giả sử 0 < x ≤ y . Đặt ; t Î (0 ; 1]
Ta luôn có 
 (đpcm)
8. (DB-kD1-08)Cho các số thực x,y thỏa mãn . Chứng minh rằng 
. CM; Theo BĐT Cô si Ta có 
 (1)
Với Xét hàm số 
"tÎ[0 ; 1) thì 
"tÎ (1 ; p/3] thì 
Vậy (2) 
Từ (1) và (2) Ta có (đpcm)
9. . (KA - 07)Cho x,y,z lµ c¸c sè thùc d­¬ng thay ®æi vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn xyz = 1
 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biªu thøc: P = 
10. (KB - 07)Cho x,y,z lµ 3 sè thùc d­¬ng hay ®æi .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc :
11. . (KD - 07)Cho a> 0. Chøng minh r»ng : 
12. . (DBKA - 07).Cho x,y.z lµ c¸c biÕn sè d­¬ng. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÕn thøc
 P=
13. . (DBKD - 07)Cho a,b lµ c¸c sè d­¬ng tho¶ m·n ab + a +b = 3.Chøng minh r»ng : 
14. (KA - 06)Cho hai sè thùc x thay ®æi vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : 
( x + y )xy = x2 + y2 - xy.T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = 
15. . (DBKA - 06)Cho x,y lµ c¸c sè thùc d­¬ng tho¶ m·n x2 +xy +y2 Chøng minh r»ng : 
16. . (DBKA - 06)Cho c¸c sè thùc x,y,z tho¶ m·n ®iÒu kiÖn : 3-x +3-y +3-z = 1.Chøng minh r»ng :
	.
17. . (KB - 06) Cho x , y lµ c¸c sè thùc thay ®æi .T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc :
	A = 
18. . (DBKB - 06) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè : víi x > 0.
19. . (DBKB - 06) Cho hai sè d­¬ng x,y thay ®æi tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y 4.
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A = .
20. (KA - 05) Cho x ,y,z lµ c¸c sè d­¬ng tho¶ m·n Chøng minh r»ng 
21. (DBKA - 05)Chøng minh r»ng víi mäi x,y > 0 ta cã : 
	Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra.
22. (KB - 05) Chøng minh r»ng víi mäi x, ta cã: 
	Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra?.
23. (DBKB - 05)Cho x,y,z lµ ba sè d­¬ng tho¶ m·n xyz = 1. Chøng minh r»ng 
	.
24. (DBKB - 05)Cho x,y,z lµ ba sè tho¶ m·n x +y +z = 0. Chøng minh r»ng 
	 Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra ? 
25. (KD - 05) Cho c¸c sè d­¬ng x,y,z tho¶ m·n xyz = 1.Chøng minh r»ng :
Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra?
26. (DBKD - 05)Cho a,b,c lµ c¸c sè d­¬ng tho¶ m·n a+b+c = 3/4.Chøng minh r»ng :
	Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra?
27. (DBKD - 05)Cho vµ Chøng minh r»ng 
	Khi nµo ®¼ng thøc x¶y ra ?
28. (DB-KA-04)Gäi (x,y) lµ nghiÖm cña hÖ ph­¬ng tr×nh 	( m lµ tham sè)
	T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc A = x2 +y2 -2x , khi m thay ®æi.
29. (DB-KB-04)Cho hµm sè y = ex -sinx +.
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè f(x) vµ chøng minh r»ng ph­¬ng tr×nh f(x) = 3
 cã ®óng hai nghiÖm .
30. (DB-KB-04)Cho tam gi¸c ABC tho¶ m·n vµ sinA = 2sinB sinC tg.
	T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc 
31. (CT-KA-03)Cho x,y,z lµ ba sè d­¬ng vµ x + y + z .Chøng minh r»ng 
32.(DB -KA-03)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña hµm sè 
33. . (CT -KB-03)T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña hµm sè y = x + 
34. . (CT -KD-03) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ gi¸ trÞ nhá nhÊt cña hµm sè trªn ®o¹n [-1;2]
35.(DB -KA-02)Gi¶ sö a,b,c,d lµ bèn sè nguyªn thay ®æi tho¶ m¶n 1a <b <c <d 50.Chøng minh bÊt ®¼ng thøc 
 vµ t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc S = 
36.(DB -KA-02)Gäi A, B, C, lµ ba gãc cña tam gi¸c ABC .Chøng minh r»ng ®Ó tam gi¸c ABC ®Òu th× ®iÒu kiÖn cÇn vµ ®ñ lµ 
37. (DB -KB-02)Gi¶ sö x,y lµ hai sè d­¬ng thay ®æi tho¶ m·n ®iÒu kiÖn x + y = T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc sau S =