Chuyên đề Khảo sát hàm số - Trường THPT Vĩnh Chân

 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  2 
CHUYÊN ĐỀ KHẢO SÁT HÀM SỐ 
C©u 1 Cho hàm số 
1
1
x
y
x



 (1) ,có đồ thị là (C) 
 1. Khảo sát hàm số (1). 
 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C),biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1). 
 3. 0 0( , )M x y la ømột điểm bất kỳ thuộc (C) .Tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm 
cận đứng và đường tiệm cận ngang của(C) theo thứ tự tại A và B .Gọi I là giao điểm của 
hai đường tiệm cận của (C) .Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không phụ thuộc 
vào vị trí của điểm M. 
C©u 2: (2 điểm) Cho hàm số: 
2
1
x
y
x



1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
2) Cho điểm A(0;a). Xác định a để từ A kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) sao cho hai 
tiếp điểm tương ứng nằm về hai phía đối với trục Ox. 
C©u 3: (2 điểm) 
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số
22 1
1
x x
y
x
 


2) Gọi ( )M C có hoành độ Mx m . Chứng tỏ rằng tích các khoảng cách từ M 
đến hai đường tiệm cận của ( )C không phụ thuộc vào m 
C©u 4: (2 điểm) Cho hàm số: 
22 2
1
x mx
y
x
 


 với m là tham số. 
1) Xác định m để tam giác tạo bởi 2 trục toạ độ và đường tiệm cận xiên của hàm số 
trên có diện tích bằng 4. 
2) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m= -3. 
C©u 5: (2 điểm) Cho hàm số: 4 2 2( 10) 9y x m x    
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với m=0 
2.Chứng minh rằng với mọi 0m  ,đồ thị của hàm số luôn cắt trục hoành tại 4 điểm phân 
biệt .Chứng minh rằng trong số các giao điểm đó có hai điểm nằm trong khoảng (-3,3) 
và có hai điểm nằm ngoài khoảng (-3,3) 
C©u 6: (2 điểm) Cho hàm số 3 2( ) ( 3) 3 4y f x x m x x      (m là tham số) 
 1.Tìm m để đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu.Khi đó viết phương 
trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị này 
 2.Tìm m để ( ) 3f x x với mọi 1x  
C©u i 7: (2 điểm) Cho hàm số 
2 6 9
2
x x
y
x
 

 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số. 
b) Tìm tất cả các điểm M trên trục tung sao cho từ M kẻ được 
tiếp tuyến với đồ thị,song song với đường thẳng 3
4
y x  
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  3 
C©u 8: (2 điểm) Cho hàm số 3 22 3(2 1) 6 ( 1) 1y x m x m m x      (1) 
a) Khảo sát hàm số (1) khi m=1 
b) Chứng minh rằng, m hàm số(1) luôn đạt cực trị tại 1x , 2x với 1 2x x không phụ thuộc 
m 
C©u 9: (2 điểm) 
a) Khảo sát hàm số: 2 5 4y x x   
b) Cho 2 parabol: 2 5 6y x x   và 2 5 11y x x    
Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 parabol trên 
Bµi 10: (2 điểm) 
a. Khảo sát,vẽ đồ thị (C) của hàm số 3 23y x x  
b. Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó vẽ được đúng ba tiếp tuyến của đồ 
thị (C) ,trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc nhau. 
C©u 11: (2 điểm) Cho hàm số 4 3 23 4(1 ) 6 1y x m x mx m      có đồ thị ( )mC . 
 1. Khảo sát hàm số trên khi m= -1 
 2. Tìm giá trị âm của tham số m để đồ thị và đường thẳng ( ) : 1y  có ba giao 
điểm phân biệt. 
 C©u 12: (2 điểm) 
 Cho hàm số: 3 23 ( 2) 2y x x m x m     ( )mC 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C1) của hàm số khi m=1 
C©u 13: (2 điểm) Cho hàm số 3 2 7 3y x mx x    (1) 
 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số (1) với m= 5 
 2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu. Lập phương trình đường thẳng qua 
điểm cực đại và cực tiểu đó. 
C©u 14: (2 điểm) Cho hàm số 4 22y x x  
 1a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
 1b. Dựa vào đồ thị (C) ,hãy biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình : 
4 22 0x x m   
C©u 15: (2 điểm) 
 a. Khảo sát hàm số (C) có phương trình: 
2 4 8
2
x x
y
x
 


b. Từ đồ thị hàm số (C) suy ra đồ thị của hàm số : 
2 4 8
2
x x
y
x
 


c. xét đồ thị họ (Cm) cho bởi phương trình 
2 24 8
2
x x m
y
x
  


. Xác định tập 
hợp những điểm mà không có đồ thị nào trong họ (Cm) đi qua. 
C©u 16: 
1. khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C) hàm số: y = -(x + 1)2(x+4). 
2. Dùng đồ thị (C) để biện luận theo số nghiệm của phương trình : (x + 1)2(x+4) = 
(m+1)2(m+4) 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  4 
C©u 17: ( 3 điểm) Cho hàmsố 2( 1)( )y x x mx m    (1), với m là tham số thực 
 1.Khảo sát hàm số (1) ứng với m= -2 
 2.Tìm các giá trị của m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với trục hoành .Xác định tọa 
độ của tiếp điểm tương ứng trong mỗi trường hợp của m. 
C©u 18: ( 3 điểm) Cho hàm số 
1
1
x
y
x



 (1) ,có đồ thị là (C) 
 1. Khảo sát hàm số (1). 
 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C),biết tiếp tuyến đi qua điểm P(3;1). 
 3. 0 0( , )M x y la ømột điểm bất kỳ thuộc (C) .Tiếp tuyến của (C) tại M cắt tiệm cận đứng và 
đường tiệm cận ngang của(C) theo thứ tự tại A và B .Gọi I là giao điểm của hai đường 
tiệm cận của (C) .Chứng minh rằng diện tích tam giác IAB không phụ thuộc vào vị trí 
của điểm M. 
C©u 19: ( 2 điểm) Cho hàn số y= f(x) = 3 2( 1)
3
m
x m x  ( m là tham số ) 
 a. Khảo sát hàm số khi m= 1 
 b. Tìm tất cả giá trị m sao cho hàm số có cực đại ,cực tiểu và tung độ điểm cực đại CDy , 
tung độ điểm cực tiểu CTy thỏa: 
2 32( ) (4 4)
9
CD CTy y m   
C©u 20: ( 2 điểm) 
 1. Khảo sát hàm số 
1
1
y x
x
 

.Gọi (C) là đồ thị của hàm số. 
 2. Viết phương trình các tiếp tuyến với (C) kẻ từ điểm A=(0;3) 
CÂU 21: ( 4 điểm) Cho hàm số 3 2( ) 2 2y f x x x x     
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C) của hàm số trên. 
 b. Biện luận theo k số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng (D1) : y=kx+2 
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) ,trục hoành và đường thẳng(D2) : y = 
- x +1 
CÂU 22:( 2 điểm) Cho hàm số
2 3 2x x
y
x
 
 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị(C) của hàm số. 
 2. Tìm trên đường thẳng x=1 những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến 
(C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. 
CÂU 23:( 2 điểm) Cho hàm số
2 3 2x x
y
x
 
 
 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị( C) của hàm số. 
 2.Tìm trên đường thẳng x=1 những điểm M sao cho từ M kẻ được hai tiếp tuyến đến 
(C) và hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. 
CAU 24:(3 điểm) 
 Cho hàm số 4 22 2y x x m    (có đồ thị là ( )mC ), m là tham số 
 1. Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số khi m= 0 
 2. Tìm các giá trị của m sao cho đồ thị ( )mC chỉ có hai điểm chung với trục Ox 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  5 
 3. Chứng minh rằng với mọi giá trị của m tam giác có 3 đỉnh là ba điểm cực trị của 
đồ thị ( )mC là một tam giác vuông cân 
CAU 25 
 1. Khảo sát hàm số : 4 25 4y x x   
 2. Hãy tìm tất cả các giá trị a sao cho đồ thị hàm số 4 25 4y x x   tiếp xúc với đồ 
thị hàm số 2y x a  Khi đó hãy tìm tọa độ của tất cả các tiếp điểm 
CÂU 26: Cho hàm số 3 2 2(2 1) ( 3 2) 4y x m x m m x       
 1.Khảo sát hàm số khi m=1 
 2. Trong trường hợp tổng quát ,hãy xác định tất cả các tham số m để đồ thị của hàm 
số đã cho có điểm cực đại và cực tiểu ở về hai phía của trục tung 
CÂU 27: 
1. Khảo sát hàm số:
2 3 6
1
x x
y
x
 


 (1). 
2. Từ đồ thị của hàm số (1) , hãy nêu cách vẽ và vẽ đồ thị của hàm số: 
2 3 6
1
x x
y
x
 


3.Từ 
góc toạ độ có thể vẽ được bao nhiêu tiếp tuyến của hàm số (1) ? Tìm toạ độ các tiếp 
điểm (nếu có). 
CÂU 28: Cho hàm số : 3
1
3
y x x m   (1) , m là tham số 
 1. Khảo sát hàm số (1) khi 
2
3
m  
2. Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân 
biệt. 
CÂU 29: Cho hàm số :
2
2
x x
y
x



 (C) 
 1. Khảo sát hàm số (C) 
 2. Đường thẳng ( ) đi qua điểm B(0,b) và song song với tiếp tuyến của (C) tại 
điểm O(0,0) .Xác định b để đường thẳng ( ) cắt (C) tại hai điểm phân biệt M,N. Chứng 
minh trung điểm I của MN nằm trên một đường thẳng cố định khi b thay đổi. 
CÂU 30: Cho hàm số :
2 2 2
1
x mx
y
x
 


 , (m là tham số ) 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số với m=1 
 2. Tìm giá trị của m để đường thẳng hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và 
khoảng cách từ hai điểm đó đến đường thẳng x+y+2=0 bằng nhau 
Câu 31: Cho hàm số : 3 26 9y x x x   
 1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
 2.a) Từ đồ thị của hàm số đã cho hãy suy ra đồ thị của hàm số : 
3 26 9y x x x   
 b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình: 
3 26 9 3 0x x x m     
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  6 
Câu 32 :( 2,5 điểm) 1. Cho hàm số 
2 1
1
x x
y
x
 


 a. Khảo sát hàm số đã cho. 
 b. Xác định điểm 1 1( ; )A x y ( với 1 1x  ) thuộc đồ thị của hàm số trên sao cho khoảng 
cách từ A đến giao điểm của 2 tiệm cận của đồ thị là nhỏ nhất. 
 2. Tìm tập giá trị của hàm số 
2
3
1
x
y
x



 và các tiệm cận của đồ thị của hàm số đó 
Câu 33: 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 
2 2 2
1
x x
y
x
 


 2. Tìm điểm M trên đồ thị của hàm số sao cho khoảng cách từ M đến giao điểm 
của hai đường tiệm cận là nhỏ nhất. 
Câu 34: Cho hàm số :
2 1
1
x mx
y
x
 


 Tìm các giá trị của m để tiệm cận xiên của đồ thị của hàm số đã cho cắt trục toạ 
độ tại hai điểm A và B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 18. 
Câu 35 : Cho hàm số 3 23( 1) 3(2 1) 4y x m x m x       ( m là tham số ) 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m=1 
 2. Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số có điểm cực đại ,điểm cực tiểu và hai điểm 
đó đối xứng qua điểm I(0,4) 
Câu 36: Cho hàm số 
22 (6 )
2
x m x
y
mx
 


 1. Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu. 
 2. Khảo sát hàm số khi m=1 (C). 
 3. Chứng minh rằng tại mọi điểm của đồ thị (C) tiếp tuyến luôn luôn cắt hai tiệm 
cận một tam giác có diện tích không đổi. 
Câu 37: 
 1. Cho hàm số 3 23( 1) 3 ( 2) 1y x a x a a x      trong đó a là tham số . 
 a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a= 0 
 b. Với các giá trị nào của a thì hàm số đồng biến trên tập hợp các giá trị của x sao 
cho:1 2x  ... á nghịch biến trong từng khoảng xác định. 
 Tiệm cận đứng: 
1
x
2
1
x vì lim y
2 
    
Ta có: 
2
y x 1
2 x 1
   

 Tiệm cận xiên : 
x
2
y x 1 vì lim 0
2 x 1
   

 BBT: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  78 
 Điểm đặt biệt: 
Câu 57: 
Cho hàm số y = mx3 – 3mx2 + 2(m – 1)x + 2 
1) Tìm những điểm cố định mà mọi đường cong của họ trên đều đi qua. 
Ta có thể viết : m(x3 – 3x2 + 2x) + 2 – 2x – y = 0 (1) 
Điểm cố định A(x, y) thoả (1), m. 
3 2 2x 3x 2 x 0 x(x 3x 2) 0
2 2 x y 0 y 2 x 2
x 0 , y 2
x 1 , y 0
x 2 , y 2
       
  
       
 

  
   
Vậy họ đường cong luôn đi qua 3 điểm cố định : 
 A(0, 2), B(1, 0), C(2, - 2) 
2) Chứng tỏ rằng những điểm cố định đó thẳng hàng. Từ đó suy ra họ đường cong có 1 
tâm đối xứng. 
Toạ độ 3 điểm A, B, C thoả phương trình y = –2x + 2 nên 3 điểm A, B, C thẳng hàng vì 
A và C đối xứng qua B nên họ đường cong có chung 1 tâm đối xứng là B(1, 0). 
3) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 1: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  79 
 y = x3 – 3x2 + 2 (C) 
- TXĐ : D = R 
2y' 3x 6 x
x 0
y' 0
x 2
y'' 6 x 6
 

   
 
 y'' 0 x 1 y 0      điểm uốn (1, 0) 
-BBT 
- Đồ thị : 
 Cho x = –1 , y = –2 
 x = 3 , y = 2 
4) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm uốn và chứng tỏ rằng trong các tiếp 
tuyến của (C) thì tiếp tuyến này có hệ số góc nhỏ nhất. 
Ta có điểm uốn I(1, 0)  phương trình tiếp tuyến của (C) tại I: 
 y = f’(1).(x – 1)  y = –3(x – 1) 
  y = –3x + 3 
Ta có hệ số góc các tiếp tuyến là: 
 y’= 3x2 – 6x 
  y = 6x – 6 
 y’’= 0  x = 1 
BXĐ: 
 min y’ = –3 tại x = 1 
Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm uốn I nhỏ nhất. 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  80 
5) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) tiếp tuyến tại điểm uốn và trục Oy. 
Diện tích hình phẳng là : 
11 4 2
3 2 3
0 0
x 3x
S ( 3x 3) (x 3x 2) x x x
4 2
1
S
4
d
 
              
 
 

(đvdt)
Câu 58: 
Cho hàm số y = x3 – 3mx2 + 3(m2 – 1)x + 2 
1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1 
 y = x3 – 3x2 + 2 
- TXĐ: D = R 
2y' 3x 6 x
x 0
y' 0
x 2
y'' 6 x 6
 

   
 
 y'' 0 x 1 y 0      điểm uốn (1, 0) 
- BBT: 
- Đồ Thị: 
2) Tìm m để đồ thị hàm số đã cho có điểm CĐ và điểm CT đồng thời các điểm CĐ và 
điểm CT nằm về 2 phía đối với trục tung. 
Ta có: y = x3 – 3mx2 +3(m2 – 1)x +2 
 y’ = 3x2 – 6mx +3(m2 – 1) 
 y’= 0  x2 – 2mx + m2 – 1 = 0 (1) 
Hàm số có điểm CĐ và điểm CT ở hai bên Oy 
  (1) có hai nghiệm x1, x2 sao cho : x1 < 0 < x2 
  P < 0  m2 – 1 < 0  –1 < m < 1 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  81 
Vậy -1< m < 1. 
Câu 59: 
 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 
2x 3
y (1)
x 1



 TXD: D = R \{1} 
2
2
x 2 x 3
y'
(x 1)
x 1
y' 0
x 3
 



    
 Tiệm cận đứng: 
 x = -1 vì 
1
lim y
x
  
 Ta có: 
4
y x 1
x 1
  

 Tiệm cân xiên: 
 y = x – 1 vì 
4
lim 0
x 1x


 BBT: 
 Đồ thị 
 Cho x = 0  y = 3 
 x = -2  y = – 7 
 Đồ thị: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  82 
 2) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm 
2
M(2, )
5
 sao cho (d) cắt đồ thị 
hàm số (1) tại hai điểm A, B và M là trung điểm AB. 
 Đường thẳng (d) qua 
2
M(2, )
5
 và có hệ số góc k: 
2
y (x 2)
5
k   
 Phương trình hoành độ giao điểm của (1) và (d): 
2
2 2
2
x 3 2
(x 2)
x 1 5
5(x 3)x 5 (x 2)(x 1) 2(x 1) x 0
5(1 )x (5 2)x 10 13 0
k
k
k k k

  

       
      
 Đường thẳng (d) cắt đồ thị (1) tại 2 điểm A, B sao cho M là trung điểm của AB. 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  83 
A B M
2
2
1 0
0
x x 2 x
1
(5 2) 20(1 )(10 13) 0
2 5
4
5(1 )
1
1 6
4 20 (25) 0
5 5
6
5
k
k
k k k
k
k
k
k
k
 

  
  

 

       
 
 


 

  
         
 



 Vậy phương trình đường thẳng (d) là: 
6 2
y (x 2)
5 5
6
y x 2
5
  
  
Câu 60: 
 Cho hàm số: 2 2 2y x 3x xm m    
 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ứng với m = 0. 
 3 2y x 3x  
 TXD: D = R 
 y’ = 3x2- 6x 
x 0
y' 0
x 2

   
 y’’= 6x – 6 
 y’’= 0  x = 1 y = -2 
  điểm uốn I(1, -2) 
 BBT: 
 Đồ thị: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  84 
 2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và các điểm CĐ và CT đối xứng nhau 
qua đường thẳng 
1 5
y x
2 2
  
 Ta có: y = x3 - 3x2 + m2x + m 
 y'= 3x2 - 6x + m2 
 y'= 0  3x2 - 6x + m2 = 0 (1) 
 Hàm số có cực đại, cực tiểu  (1) có hai nghiệm phân biệt. 
  ’ > 0  9 – 3m2 > 0 
  3 m 3   
 Gọi M1(x1, y1), M2(x2, y2) là điểm CĐ, điểm CT của đồ thị. 
 M1, M2 đối xứng qua (d): 
1 5
y x
2 2
  
1 2M M (d)
1 2Trung điểm I của M M (d)  

 - Chia f(x) cho f’(x) ta được phương trình đường thẳng M1M2: 
 2 2
1 1 2 1
y f'(x) x m 2 x m m
3 3 3 3
   
        
   
   2 21 2
2 1
M M : y m 2 x m m
3 3
 
     
 
 - Trung điểm I của M1M2 là điểm uốn của đồ thị: 
 Ta có: y’’= 6x – 6 
 y' = 0  x = 1  y = m2 + m – 2  I(1, m2 + m – 2) 
 Ta có: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  85 
2
1 2
2
2
2 1
m 2 . 1
M M 3 2
I (d) 1 5
m m 2
2 2
m 0 m 0
m 0
m 0 m 1m m 0
 
      
     

 
   
     
 So với điều kiện: 3 m 3   nhận m = 0. 
 ĐS: m = 0 
Câu 61: 
 1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 
2x x 1
y (C)
x 1
  


 TXD: D = R\{1} 
2
2
x 2 x 2
y' 0, x 1
(x 1)
  
   

  Hàm số giảm trong từng khoảng xác định. 
 Tiệm cận đứng: 
x = 1 vì 
1
lim y
x
  
 Chia tử cho mẫu: 
1
y x
x 1
  

 Tiệm cận xiên: 
 Ta có: y = - x vì 
1
lim
x 1x 
 BBT: 
 Đồ thị: 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  86 
 2) Chứng minh rằng  đường thẳng y = m cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Xác 
định m để độ dài đoạn AB ngắn nhất. 
 Phương trình hoành độ giao điểm: 
2
2
2
2 2
2
x x 1
m
x 1
x x 1 m x m
x (m 1) x m 1 0
(m 1) 4(m 1) m 2m 5
(m 1) 4 0, m
  


     
     
       
    
  Đường thẳng (d) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B, m. 
 Ta có: 
2 2 2 2
2 1 2 2 2 1
2 2
2 1 1 2
2 2
A B (x x ) (y y ) (x x ) 0
x x 2 x x
S -2P-2P=S -4P
      
  

 Mà: 
b
m 1
a
c
m 1
a
S
P
    
   
2 2 2
2 2
2
A B ( m 1) 4(m 1) m 2m 5
A B (m 1) 4
A B (m 1) 4
Min(A B) 2 khi m+1=0 m= -1
        
   
   
  
Câu 62: 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số: 
2x
y (C)
x 1


 TXĐ: D = R\{1} 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  87 
2
2
x 2 x
y'
(x 1)
x 0
y' 0
x 2




   
 Tiệm cận đứng: 
x = 1 vì 
1
lim y
x
  
 Ta có: 
1
y x 1
x 1
  

 Tiệm cận xiên: 
 y = x + 1 vì 
1
lim 0
x 1x


 BBT: 
 Đồ thị: 
 2) Tìm trên đường thẳng y = 4 tất cả các điểm mà từ mỗi điểm đó có thể kẻ tới 
(C) 2 tiếp tuyến lập với nhau 1 góc 450. 
 - Gọi M(a, 4)  đường thẳng y = 4, ta có đường thẳng y = 4 là tiếp tuyến kẻ từ M 
đến (C) và song song Ox  tiếp tuyến thứ hai tạo với Ox 1 góc bằng ± 450 
  Hệ số góc tiếp tuyến tại M0(x0, y0)  (C) là f’(x0) = ± 1 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  88 
2
0 0
0 2
0
2
0 0
0 2
0
0
2
0 0
0
0
0
x 2 x
f'(x ) 1 =1 (vô nghiệm)
(x 1)
x 2 x
f'(x ) 1 = 1 
(x 1)
2
x 1
22 x 4 x 1 0
2
x 1
2
3 2
y 2
2
3 2
y 2
2

 


   


 
   

 


 


 

 Phương trình tiếp tuyến tại M0 là: 
0 0
1
2
y (x x ) y
y x 3 2 2 (d )
y x 3 2 2 (d )
   
    
 
    
 (d1) qua M(a, 4)  4 a 3 2 2 a 1 2 2        
 (d2) qua M(a, 4)  4 a 3 2 2 a 1 2 2        
 Vậy có 2 điểm M thỏa điều kiện của bài toán. 
 1 2M ( 1 2 2,4); M ( 1 2 2,4)    
CÂU 63: 
Cho hàm số 3 22 3( - 3) 11- 3y x m x m   ( mC ) 
 1. Cho m=2. Tìm phương trình các đường thẳng qua 
9
( ,4)
12
A và tiếp xúc với (C2). 
 Với m=2: 3 22 3 5y x x   (C2). 
 Đường thẳng (d) qua A và có hệ số góc k: 
19
( ) 4
12
y k x   
 (d) tiếp xúc (C2) 
193 22x 3 5 ( ) 4 (1)
12 
26 6 (2)
x k x
x x k

    

  
 có nghiệm. 
 Thay (2) vào (1): 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  89 
193 2 22 3 5 (6 6 )( ) 4
12
3 28 25 19 2 0
2( 1)(8 17 2) 0
1 0
2 12
1 21
8 32
x x x x x
x x x
x x x
x k
x k
x k
     
    
    

   

   

   

 Vậy phương trình đường thẳng qua A và tiếp xúc với (C2) là: 
 y=4 hay y=12x - 15 hay
21 645
32 128
y x   
 2. Tìm m để hàm số có 2 cực trị. 
 Ta có: 3 22 3( 3) 11 3y x m x m     
 , 26 6( 3)y x m   
 , 20 6 6( 3) 0y x m     (1) 
 0
(1)
3
x
x m

   
 Hàm số có 2 cực trị  (1) có 2 nghiệm phân biệt 
 3 0 3m m     . 
 Tìm m để 2 điểm cực trị M1, M2 và B(0, -1) thẳng hàng. 
 Để tìm phương trình đường thẳng qua 2 điểm cực trị M1, M2 ta chia f(x) cho
' ( )f x : 
1 3' 2( ) ( ) ( 3) 11 3
3 6
m
f x f x x m x m
 
      
 
 Suy ra phương trình đường thẳng M1M2 là: 
 2( 3) 11 3y m x m     
 M1, M2, B thẳng hàng B  M1M2 
  -1=11-3m  m= 4 
 So với điều kiện m 3 nhận m= 4 
 ĐS:m=4 
Câu 64: 
1) a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:   3
1 2
3 3
y x x (C) 
 TXĐ: D = R 
 
 
   

2' 1
1
' 0
1
" 2
y x
x
y
x
y x
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  90 
     
2
" 0 0
3
y x y Điểm uốn 
 
 
 
2
0,
3
 BBT: 
 Đồ thị: 
Cho   2, 0x y 
  
4
2,
3
x y 
b. Tìm điểm trên (C) tại đó tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 
   
1 2
3 3
y x (d) 
Gọi  0 0 0( , ) ( )M x y C hệ số góc tiếp tuyến tại 0M là:  
2
0 0'( ) 1f x x 
Tiếp tuyến tại 0M vuông góc (d)   0
1
'( )
d
f x
k
       
  
   
2 2
0 0 0
0 0
0 0
1 3 4 2
4
2
3
2 0
x x x
x y
x y
Vậy có 2 điểm M: 0 ( 2,0)M và 1
4
(2, )
3
M 
2)   
1
2 2
0
(1 ) .I x x dx 
 Cï §øc Hoµ Tr­êng THPT VÜnh Ch©n - Tỉ : To¸n - Lý 
  91 
     
     
    
    


1
2 4 2 3
0
1
4 3 2
0
1
5 3
4 2
0
1 1 1 11
1 1
5 2 3 30
(1 2 2 2 )
( 2 2 1)
1
5 2 3
x x x x x dx
x x x x dx
x x
x x x