Một nguyên lý so sánh của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic trên miền không bị chặn

MỘT NGUYÊN LÝ SO SÁNH CỦA NGHIỆM NHỚT CHO 
PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP HAI LOẠI 
ELLIPTIC TRÊN MIỀN KHÔNG BỊ CHẶN
A COMPARARISON PRINCIPLE OF VISCOSITY SOLUTIONS TO 
SECOND ORDER ELLIPTIC PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONS ON 
UNBOUNDED DOMAINS
NGUYỄN CHÁNH ĐỊNH
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng
NGUYỄN CỬU HUY
HV Cao học khoá 2004-2007
TÓM TẮT
Các tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục 
trên miền bị chặn đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả như các nguyên lý so sánh, các định 
lý duy nhất nghiệm và các định lý tồn tại nghiệm. Bài báo này trình bày một nguyên lý so sánh 
của nghiệm nhớt cho các phương trình đạo hàm riêng cấp hai loại elliptic trên miền không bị 
chặn.
ABSTRACT
The properties of viscosity solutions of scalar fully nonlinear partial differential equations 
of second order on bounded domains have been investigated by many authors providing 
comparison principles, uniqueness theorems and existence theorems. This paper describes a 
comparison principle for a viscosity solution of second order elliptic partial differential equations 
on unbounded domains.
1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Xét phương trình đạo hàm riêng cấp hai phi tuyến toàn cục có dạng:
F( u, Du, 2D u) = f(x), (1.1)
trong đó, F: R × nR × S(n) → R với S(n) là ký hiệu của tập hợp tất cả các ma trận vuông đối 
xứng cấp n. Ta xét hàm số F( u, Du, 2D u) với u là một hàm số giá trị thực xác định trên toàn 
nR , Du là ký hiệu gradient của u và uD
2
 ký hiệu cho ma trận Hessian các đạo hàm cấp hai 
của u, và f là một hàm cho trước. Tuy nhiên, trong khuôn khổ của bài toán sau đây, Du và 2D
u không còn theo nghĩa cổ điển, tức là u không đòi hỏi phải khả vi liên tục đến cấp hai.
Ta khảo sát tính chất của nghiệm nhớt cho phương trình F = f, trong đó F phải thỏa 
mãn điều kiện đơn điệu (monotonicity condition):
F(r, p, X) ≤ F(s, p, Y) với r ≤ s và Y ≤ X. (1.2)
Trong đó r, s ∈ R, p ∈ nR , X, Y ∈ S(n) và trên S(n) đã trang bị thứ tự thông thường của nó.
Lưu ý rằng, điều kiện ở trên cho ta hai điều kiện:
F(r, p, X) ≤ F(s, p, X) với r ≤ s (1.3)
 F(r, p, X) ≤ F(r, p, Y) với Y ≤ X. (1.4)
2. GIẢI QUYẾT BÀI TOÁN
 2.1. ĐỊNH NGHĨA NGHIỆM NHỚT
Để mô tả nghiệm nhớt cho phương trình (1.1) ta sử dụng các ký hiệu sau đây :
{)( =nRC |: RRu n → u liên tục trên }
nR
 {)( =
nRUC |: RRu n → u liên tục đều trên }
nR .
Cho )(
nRCu ∈ . Ta ký hiệu 
+,2J và 
−,2J của hàm số u như sau:
+,2J
u(
x
)={
))(),(( 2 xDxD ϕϕ ∈ nR ×
 S(n) | 
ϕ
là 
2C
và 
ϕ−u
 đạt cực đại địa phương tại 
x
}
−,2J
u(
x
)={
))(),(( 2 xDxD ϕϕ ∈ nR ×
 S(n) | 
ϕ
là
2C
và 
ϕ−u
 đạt cực tiểu địa phương tại 
x
}
Ta định nghĩa :
+,2J u(x) ={(p, X) 
∈
nR ×
 S(n) | 
∃
( n
x
, n
p
, n
X
) 
∈
nR × nR ×
 S(n), ( n
p
, n
X
) 
∈ +,2J
u( n
x
) và (
nx , u( nx ), np , nX )
→
( x, u(x), p, X)}
−,2J u(x) ={(p, X) 
∈
nR ×
 S(n) | 
∃
( n
x
, n
p
, n
X
) 
∈
nR × nR ×
 S(n), ( n
p
, n
X
) 
∈ −,2J
u( n
x
) và (
nx , u( nx ), np , nX )
→
( x, u(x), p, X)}.
ĐỊNH NGHĨA: 
a. Một nghiệm nhớt dưới của phương trình (1.1) là một hàm u
∈ )( nRC sao cho :
F( u(x), p, X) 
≤
 f(x) với mọi 
nRx ∈ và ( p, X) 
∈ +,2J u(x) ;
b. Một nghiệm nhớt trên của phương trình (1.1) là một hàm u
∈ )( nRC sao cho :
F(u(x), p, X) 
≥
 f(x) với mọi 
nRx ∈ và ( p, X) 
∈ −,2J u(x) ;
c. Một nghiệm nhớt của phương trình (1.1) là một hàm u
∈ )( nRC sao cho u vừa là 
nghiệm nhớt dưới vừa là nghiệm nhớt trên của phương trình (1.1).
2.2. TÍNH DUY NHẤT NGHIỆM
Định lý: Cho )(
nRUCf ∈ . Giả sử F ))(( nSRRUC
n ××∈ thỏa mãn (1.2) và tồn tại một số 
thực 0>γ , một hàm liên tục ),0[),0[: ∞→∞ω thỏa mãn 0)0( =+ω sao cho :
(i) ≤− )( srγ F(r, p , X) - F(s, p, X) với ,sr ≥ ),(),( nSRXp
n ×∈
(ii) F(r, p, X) - F(r, q, Y) )|(| YXqp −+−≤ ω với mọi p, q 
nR∈ , r
R∈
, và X, Y 
)(nS∈
. Khi 
đó, nếu u là nghiệm nhới dưới của (1.1) và v là nghiệm nhớt trên của (1.1) sao cho u và v biến 
thiên hầu tuyến tính, thì u v≤ trên nR .
Chứng minh: 
Ta chứng minh định lý theo hai bước. Trước hết, ta lưu ý rằng vì )(
nRUCf ∈ nên tồn tại một 
hằng số K sao cho :
∞<−−−
×
)||)()((sup yxKyfxf
nn RR , (2.1)
ta sẽ chứng minh rằng
∞<−−−
×
)||2)()((sup yxKyvxu
nn RR γ . (2.2)
Vì u và v biến thiên hầu tuyến tính, nên tồn tại một hằng số L > 0 sao cho:
|)|||1()()( yxLyvxu ++≤− trên 
nn RR × . (2.3)
Chọn một họ rβ các hàm 2C trên nR được tham số hóa bởi 1≥r với các tính chất:
(i) ,0≥rβ
(ii) 
,2
||
)(inflim
||
L
x
xr
x
≥
∞→
β
(iii) 
CxDxD rr ≤+ )(|)(|
2 ββ
với 
,,1 nRxr ∈≥
(iv) 
0)(lim =
∞→
xrr β với 
nRx ∈
,
trong đó C là một hằng số. Từ (2.3) và (ii), ta thấy hàm số :
))()(()||1(2)()(),( 2/12 yxyxKyvxuyx rr ββγ +−−+−−=Φ
đạt giá trị lớn nhất tại điểm ).,( yx Bây giờ hoặc (2.2) đúng hoặc với r lớn ta có 0),( >Φ yx và 
điều này cho ta :
).()(||2 yvxuyxK −≤−
γ (2.4)
Lưu ý rằng
 ))(),(( 2 ∈++ xDZxDp rr ββ +,2J u( x )
 ))(),(( 2 ∈−−− yDZyDp rr ββ −,2J v( y ),
trong đó,
yxzz zD
Kp
−=
+= |))||1(2( 2/12
γ , 
yxzz zD
KZ
−=
+= |))||1(2( 2/122
γ .
Theo định nghĩa nghiệm nhớt, ta có :
)())(),(),(( 2 xfxDZxDpxuF rr ≤++ ββ
)())(),(),(( 2 yfyDZyDpyvF rr ≥−−− ββ .
Từ đây ta dùng (2.4) và lưu ý rằng p và Z là bị chặn và độc lập với 1≥r , ta có
γ
(
≤− ))()( yvxu ))(),(),(( 2 xDZxDpxuF rr ββ ++ - ))(),(),((
2 xDZxDpyvF rr ββ ++
 = ))(),(),((
2 xDZxDpxuF rr ββ ++ - ))(),(),((
2 yDZyDpyvF rr ββ −−−
 +
))(),(),(( 2 yDZyDpyvF rr ββ −−− - ))(),(),((
2 xDZxDpyvF rr ββ ++
CyvxuCyxKCyfxf +−≤+−≤+−≤ ))()((
2
||)()( γ
,
trong đó C là hằng số độc lập với 1≥r . Do đó )()( yvxu − là bị chặn độc lập với 1≥r .
Vì ),( yxΦ ),()(),( yvxuyx −≤Φ≤ nên ta cho ∞→r và thu được 
2/12 )||1(2)()( yxKyvxu −+−−
γ
là bị chặn và như vậy (2.2) đúng.
Bây giờ, ta quay trở lại định lý. Giả sử tồn tại một x~ sao cho
.02)~()~( >=− δxvxu
Ta đặt
),|||(|||
2
)()(),( 222 yxyxyvxuyx +−−−−=Ψ εα
trong đó αε , là các tham số dương.
Với 
ε
 đủ nhỏ, ta thấy δ≥Ψ )
~,~( xx và theo (2.2) Ψ đạt cực đại tại ),ˆ,ˆ( yx và tại đó:
 ,4|ˆˆ|
4
|ˆˆ|2)ˆ()ˆ()|ˆ||ˆ(||ˆˆ|
2 2
2
2222 CKyxCyxKyvxuyxyx ++−≤+−≤−≤++−
αγ
α
γ
ε
α
 (2.5)
với một hằng số C nào đó. Hơn nữa, tồn tại S(n), ∈YX sao cho
∈++− )2,ˆ2)ˆˆ(( IXxyx εεα +,2J ),ˆ(xu ∈−−− )2,ˆ2)ˆˆ(( IYyyx εεα +,2J )ˆ(yv
và
-3
α




I
I
 0
0 ≤




− Y
X
 0
0 
≤
 3
α




− II
II
- 
. (2.6)
Như trên, ta thu được
γ
( ≤− ))ˆ()ˆ( yvxu )2,ˆ2)ˆˆ(),ˆ(( IXxyxxuF εεα ++− - )2,ˆ2)ˆˆ(),ˆ(( IXxyxyvF εεα ++−
 = )2,ˆ2)ˆˆ(),ˆ(( IXxyxxuF εεα ++− - )2,ˆ2)ˆˆ(),ˆ(( IYyyxyvF εεα −−−
 + )2,ˆ2)ˆˆ(),ˆ(( IYyyxyvF εεα −−− - )2,ˆ2)ˆˆ(),ˆ(( IXxyxyvF εεα ++−
)ˆ()ˆ( yfxf −≤ + )2,ˆ2)ˆˆ(),ˆ(( IYyyxyvF εεα −−−
- )2,ˆ2)ˆˆ(),ˆ(( IXxyxyvF εεα ++− .
Vì ),ˆ()ˆ()
~,~( yvxuxx −≤Ψ≤δ và vì YX ≤ theo (2.6), ta có
+−≤ |)ˆˆ(| yxfωγδ )2,ˆ2)ˆˆ(),ˆ(( IXyyxyvF εεα −−− - )2,ˆ2)ˆˆ(),ˆ(( IXxyxyvF εεα ++− ,
trong đó fω là modulus liên tục của f .
Ta lưu ý rằng, từ (2.5) ta thấy 
2|ˆˆ| yx −α và )|ˆ||ˆ(|
22 yx +ε là bị chặn độc lập với 1≥α và 
.10 ≤< ε Vì vậy 0ˆ,ˆ →yx εε và )ˆˆ( yx −α vẫn bị chặn khi .0→ε Mặt khác 0|ˆˆ| →− yx khi 
∞→α đều đối với .0>ε Do đó, từ giả thiết liên tục đều của f và F ta nhận được khi cho 
0→ε rồi thì ∞→α :
,0≤γδ
và đưa đến điều vô lý. Như vậy, định lý được chứng minh.
3. KẾT LUẬN
Bài báo đã đưa ra một nguyên lý so sánh của nghiệm nhớt cho phương trình đạo hàm 
riêng cấp hai phi tuyến loại elliptic trong miền không bị chặn. Trong trường hợp này, giả thiết 
nghiệm biến thiên hầu tuyến tính là cần thiết để đánh giá nghiệm khi miền khảo sát không bị 
chặn. Tất nhiên, chúng ta có thể nghiên cứu bài toán này mà không cần giả thiết ấy, nhưng đó 
là vấn đề khá phức tạp.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] M. G. Crandall, H. Ishii, P. L. Lions, User’s guide to viscosity solutions of second 
order partial differential equations, Bull. Amer. Math. Soc 1[27], 1992.
[2] M. G. Crandall, P. L. Lions, The maximum principle for semicontinuous functions, 
Diff. Int. Equ. [3], 1990.
[3] R. Jensen, The maximum principle for viscosity solutions of fully nonlinear second 
order partial differential equations, Arch. Rat. Mech. Anal. [101], 1988.