Luyện thi đại học - Phương trình, bất phương trình chứa căn thức

Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
LUYỆN THI ĐẠI HỌC 2011- PHƯƠNG TRÌNH ,BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC 
1. Biến đổi tương đương 
Bài 1 : Giải phương trình : 
a) 5 5  x x b) 4 24 3 41 5   x x 
c) 9 40 15 8    x x x d) 22( 1) 1    x x x x (A-2010) 
HD : 
a)Điều kiện : 5x 
Bình phương hai vế ta được : 
25 2 5 25    x x x x  2 5 15  x x x 
 
2 2
15
5 225 30


   
x
x x x x
 x=9 >5 (thõa mãn) 
Phương trình có nghiệm x=9 
b)Điều kiện : 
41
3
x 
Biến đổi : 4 24 3 41 5   x x 
Bình phương hai vế : 4 24 3 41 10 3 41 25     x x x 
 10 3 41 40  x x 
 
2
10
220 5700 0
 

  
x
x x
  
10
220 160
2
 

 

x
x
 x=190, x=30 
Nghiệm của phương trình : x=190, x=30 
c)Đk : 
40
9
 x 
Biến đổi : 9 40 15 8    x x x 
Bình phương : 9 40 15 2 15. 8 8       x x x x x 
 2 15. 8 7 17   x x x 
 
2
17
7
45 146 191 0

 

   
x
x x
 
17
7
191
1,
45

 

   

x
x x
 
191
1,
45
  x x 
Nghiệm của phương trình : 
191
1,
45
  x x 
c) Biến đổi phương trình : 
22( 1) 1    x x x x  
 
2
2
1 0
2( 1) 1
   

    
x x
x x x x
 
2
1 0
1 2 2 2 0
   

     
x x
x x x x x x
 
2
1 0
(1 ) 0
   

  
x x
x x
Ta có 1 0  x x  
1 5
2
 
x  
3 5
2

x ( thõa mãn ) 
Nghiệm của phương trình : 
3 5
2

x 
2. Đặt 1 ẩn phụ 
Bài 2 : Giải phương trình 
a) 2 22 8 6 1 2 2x x x x      b) 23 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x        
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
c) 
2 25 1 ( 4) 1x x x x x      d) 2x x 5 2 x 5x 2x 25      
HD 
a) Điều kiện: 
2
2
1
2 8 6 0
1
1 0
3
 
          
x
x x
x
x
x
- Dễ thấy x = -1 là nghiệm của phương trình 
- Xét với 1x , thì pt đã cho tương đương với:  2 3 1 2 1    x x x 
Bình phương 2 vế, chuyển về dạng cơ bản ( ) ( )f x g x ta dẫn tới nghiệm trong trường hợp này nghiệm 
1x  
- Xét với 3 x , pt vn 
b) Điều kiện: 1x  
- Khi đó: 23 2 1 4 9 2 3 5 2       x x x x x 
 Đặt t = 3 2 1 ( 0)   x x t ta có: 2 26 6 0 3; 2( 0)          t t t t t t 
 Phương trình trở thành 3 2 1 3   x x 
 Giải tiếp bằng phương pháp tương đương, ta được nghiệm 2x 
c) Biến đổi :  2 21 4 ( 4 ) 1      x x x x x x 
 Đặt 2 1 0   t x x , pt đã cho trở thành:  2 4 4 0
4

      
t x
t x t x
t
Với 2 1 :    t x x x x vô nghiệm 
Với 2
1 61
4 15 0
2
 
      t x x x 
Vậy phương trình có nghiệm: 
1 61
2
 
x 
d) Đặt x x 5 t   => 2 2t 2x 5 2 x 5x    
 Phương trình trở thành : t2+t-30=0  t=5 , t=-6 
i) t=-6 không thoã mãn 
ii) t=5  x x 5 5   
  2x 5x 10 x   
  
2 2
x 10
x 5x 100 20x x


   
 x=4 
Phương trình có nghiệm x=4 
3. Đặt 2 ẩn phụ 
Bài 3 : Giải phương trình 
a) 
2
1 1
2
2x x
 

 b) 2
3
2 4
2

 
x
x x 
c) 32 3x 2 3 6 5x 8    d) 
x 3
4x 1 3x 2
5

    
HD : 
a) ĐK: ( 2; 2) \{0}x  
Đặt 
22 , 0y x y   Ta có hệ: 2 2
2
2
x y xy
x y
 

 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
Giải hệ đx ta được x = y = 1 và 
1 3 1 3
2 2;
1 3 1 3
2 2
    
  
 
 
       
x x
y y
 Kết hợp điều kiện ta được: x = 1 và 
1 3
2
x
 
 
b)  22
3 3
2 4 2 1 2
2 2
 
     
x x
x x x 
- Đặt 
3
1
2

 
x
y 
 
 
2
2
2 1 3
2 1 3
   
 
  
x y
y x
(1) 
(1) là hệ đối xứng loại (II) , thực hiện trừ theo vế : 
5
,
2
  y x y x 
Khi đó : 2 2
11
2( 1) 3, 2( 1)
2
    x x x x 
Ta có nghiệm của phương trình 
3 17 5 13
;
4 4
     
  
  
x 
c)Đặt : 3u 3x 2, v 6 5x 0     => 3 23x 2 u ,6 5x v 0     
Khi đó : 
3 2
2u 3v 8 (1)
5u 3v 8 (2)
 

 
Từ (1) => 
8 2u
v
3

 thay vào (2) ta được : 
2
3 8 2u5u 3 8
3
 
  
 
   2u 2 15u 26u 20 0     u=-2 
Suy ra x=-2 
Phương trình có nghiệm x=-2 
d) ĐK : 
2
x
3
 
Đặt : u 4x 1 0, v 3x 2 0      => 2 2u v x 3   
Khi đó : 2 2u v 5(v v)    u-v=0 , u+v=5 
i) u=v  4x+1=3x-2 x=-3 ( không thõa mãn) 
ii) u+v=5  4x 1 3x 2 5    
  2 4x 1 3x 2 7x 26     
  
2
26
x
7
x 344x 684 0



   
 
26
x
7
x 2, x 342



  
 x=2 
Phương trình có nghiệm x=2 
4. Phân tích thành nhân tử 
Bài 4 : Giải phương trình : 
a) 3 2 5 7   x x x b) 23 1 6 3 1 4 8 0      x x x x (B.2010) 
c) 2 2x 1 x 2(1 2x )    d) 
1 1 x 1
x 1
x x x

    
HD : 
a) D=R , nhận thấy rằng x=2 là nghiệm 
 3 2 5 7   x x x  3 2( 8 ) 2 ( 5 3 ) 0      x x x 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
 2
2
2
( 2 )( 2 5 ) 0
5 3

    
 
x
x x x
x
 x=2 , 2
2
2
2 5
5 3

  
 
x
x x
x
Mà 2 22 5 ( 1) 4 4     x x x , 2
2
2
4 5 10 4
5 3

    
 
x
x x
x
Nên 2
2
2
2 5
5 3

  
 
x
x x
x
 vô nghiệm 
Vậy nghiệm của phương trình : x=2 
b) Nhận thấy x=5 là nghiệm , ĐK : 
1
6
3
  x 
23 1 6 3 1 4 8 0      x x x x 
     23 1 4 6 1 3 ( 2 5 ) 1 4 ( 5 ) 0         x x x x 
 
23 ( 5 ) ( 5 ) 3 ( 2 5 ) 1 4 ( 5 ) 0
3 1 4 6 1
 
     
   
x x
x x
x x
 x=5 , 
3 1
3 1 0
3 1 4 6 1
   
   
x
x x
Mà 
3 1 1
3 1 0 , , 6
33 1 4 6 1
 
            
x x
x x
nên x=5 là nghiệm duy nhất của 
phương trình 
c) ĐK phương trình có nghiệm là : 2
1
1 2x 0 x
2
    
Với mọi x sao cho 2 2
1
x, x 1 x x x 1 x x x 0
2
           
Khi đó phương trình : 2 2 2x 1 x 2( 1 x x)( 1 x x)       
    2 2x 1 x 2( 1 x x) 1 0      
i) 2x 1 x 0    21 x x    
 
22
x 0
1 x x


  
..  
1
x
2
  
ii) 22( 1 x x) 1 0     2
1
1 x x
2
    
2 2
1
x
2
1
1 x x x 2
2

 

    

 
2
1
x
2
4x 2x 2 1 0

 

   
 
1
x
6 22
x
42 6
x
4

  
 
  
Phương trình đã cho có hai nghiệm : 
1
x
2
  , 
6 2
x
4

 
 d) ĐK: 1 x 0, x 1    
Biến đổi phương trình : 
(x 1)(x 1) x 1 x 1
x x x
   
  
  
x 1 x 1
x 1 1 0
x x
  
     
 
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.
Lê Quang Dũng – THPT số 2 Phù Cát , Bình Định 
  
x 1 x 1
0, x 1 1 0
x x
  
      
 
i) x=1 
ii) 
x 1
x 1 1 0
x

     
x 1
x 1 1 0
x

    
 1 x 0   => x 1 1  => phương trình vô nghiệm 
x>1 , Biến đổi phương trình về dạng : 
x 1
x 1 1
x

   
 Bình phương hai vế ta được : 
x 1 x 1
x 1 1 2
x x
 
     
1 x 1
x 1 2
x x

   
Ta có : 
1 x 1
x 1 2
x x

   , mọi x >1 khi đó : phương trình trở thành : 
1
x 1
x
  
 2x x 1 0    
1 5
x
2

 
=> 
1 5
x
2

 thõa mãn 
Vậy nghiệm của phương trình là : x=1, 
1 5
x
2

 
5) Dùng tính chất của hàm số 
Bài 5 : 
a) d) 
Bài tập tương tự 
1.Giải phương trình 
a) 
6
3 x 9 5x
3 x
   

 b) 
2x 16 5
x 3
x 3 x 3

  
 
c) 
4x x 1 3
x 1 4x 2

 

 d) 22x 1 x 3x 1    
2) Giải phương trình 
a) 3 x 2 x 6 2(x 3)     b) 2 2x 12 x 5 3x 5     
c) 2x 2 4 x 2x 5x 1      d) 3 x 24 12 x 6    
Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software
 For evaluation only.