Các Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ và logarit

Written by Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Email: minhduc_1081@yahoo.com.vn Trang riờng VIOLET:  
Trang 1/7 
Ph−ơng trình, bất ph−ơng trình, Hệ ph−ơng trình 
mũ vμ logarit 
---------------------	--------------------- 
A. ph−ơng trình mũ 
I. Ph−ơng pháp logarít hóa, đ−a về cùng cơ số 
Vớ dụ 1. Giải cỏc phương trỡnh 
 1) 
2x 3 x 7x 123 5− − += 2) 2x x 12 3 −= 3) 
x 1
x x5 .8 500
−
= 4) 44 x xx x= 5) 26 6log x log x6 x 12+ ≤ 
 5) 
2x 5x 8 2x x− + = 6) ( ) 2x 2x 32 2x 1 x 1+− > − 7) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x 0,25x 0,25 log 4x 1log x0,05 2 5 −− −− ≥ 
Vớ dụ 2. Giải cỏc phương trỡnh, bất phương trỡnh 
 1) ( ) ( )2x 2x 11x 20x 2 x 2+ −− = − 2) ( ) 2x 3x 13 3 3 81 +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ 3) log x 5 log x 53x 10+ += 
 4) log x 2x 1000x= 5) 2log x 3log x 1x 1000− + > 6) x x7 55 7= 
 7) 
2x 6x 5 12x x− + = 8) 2log x 2log x 3log x 2x 10 − += 9) ( ) 6 63log 2x 4 log x3x 1988.x− = 
Vớ dụ 3. Giải, biện luận phương trỡnh, bất phương trỡnh 
 1) ( ) ( )x 1x 1 x 15 2 5 2 −− ++ ≥ − 2) ( ) ( )x 3 x 1x 1 x 310 3 10 3− +− ++ < − 3) 2x 1x x 15 .2 10−+ = 
 4) 
2
3 3log x log x3 x 12+ = 5) 
x 5 x 17
x 7 x 332 0,25.128
+ +
− −= 6) 2log x 42 32+ = 
 7) (BK'97) 
2
x x 1
x 2x 13
3
− −
− ⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 8) Cho phương trỡnh ( ) ( ) ( )2log 4 x 2 3x 2 2 x 2− α− = − 
 a. Giải phương trỡnh với 2α = . 
 b. Tỡm α để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt x1, x2 thỏa món 1 25 5x 4 x 42 2≤ ≤ ≤ ≤ và . 
II. ph−ơng pháp Đặt ẩn phụ 
Vớ dụ 1. Giải cỏc phương trỡnh, bất phương trỡnh 
 1) x 2 x 13 9 4+ ++ = 2) ( )x x8 4 4 2≤ − 3) 
2 1 1
x x1 13 12
3 3
+⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ >⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4) 
x x 19 2.3 5 0+− + ≤ 
 5) x x 2 x9 3 3 9+− > − 6) x x 1 x 2 x x 1 x 25 5 5 3 3 3+ + + ++ + = + + 
 7) 
2 2sin x cos x81 81 30+ = 8) 3x x 2x 2 4x 24.2 3.2 1 2 2+ +− = − + 
 9) (DB'B'06) 
2 2x x 1 x x 29 10.3 1 0+ − + −− + = 11) (SPHN'B'01) 
x x 2
x x
2.3 2 1
3 2
+− ≤− 
Vớ dụ 2. Giải cỏc phương trỡnh, bất phương trỡnh 
 1) ( ) ( )x x2 3 2 3 4− + + = 2) (QG'D'97) ( ) ( )x x x 35 21 7 5 21 2 +− + + = 
 3) ( ) ( )x x4 15 4 15 62+ + − = 4) ( ) ( )tgx tgx3 2 2 3 2 2 6+ + − = 
 5) ( ) ( )( ) ( )x x2 3 7 4 3 2 3 4 2 3+ + + − = + 6) ( ) ( ) ( )x x x26 15 3 2 7 4 3 2 2 3 1+ + + − − < 
 7) ( ) ( )( ) ( )x x x 226 15 3 8 4 3 2 3 2 3 0−+ − + + + − = 8) ( ) ( )x x x x8 4 4 54 2 2 101 0− −+ − + + = 
 9) ( ) ( )x x x3 5 3 5 7.2 0− + + − = ) 10) (Luật'98) ( ) ( )cosx cosx7 4 3 7 4 3 4+ + − = 
Written by Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Email: minhduc_1081@yahoo.com.vn Trang riờng VIOLET:  
Trang 2/7 
Vớ dụ 3. Giải cỏc phương trỡnh, bất phương trỡnh 
 1) 2x 6 x 72 2 17 0+ ++ − > 2) 
1 x x
x
2 2 1 0
2 1
− − + ≤− 3) ( )x x3 3 1 2 0+ − > 4) 
x
2x 3 20,125.4
8
−
− ⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 5) (AN'99) x x x 1cot 2 tan 2 2 tan 2 += + 6) 1 x 1 x x x3 3 9 9 6− + −− + + = 7) x 2 x 13 9 4+ ++ = 
Vớ dụ 4. Giải, biện luận cỏc phương trỡnh, bất phương trỡnh 
 1) (SPHN'B'00) 2x x x 4 x 43 8.3 9.9 0+ + +− − = 2) x x 3x 1125 50 2 ++ = 3) x x 2x 125 10 2 ++ = 
 4) x x x4 2.6 3.9− = 5) x x x8 18 2.27+ = 6) 
1 1 1
x x x2.4 6 9+ = 
 7)* ( ) ( )x x0 0 xcos 72 cos36 3.2−+ = 8) (A'06) x x x x3.8 4.12 18 2.27 0+ − − = 
 9) ( ) ( )2x 2x 320 14 2 20 14 2 2+ + − = x+1 10) x x x3.16 2.81 5.36+ = 
 11) 
4 4x x x 1 x8.3 9 9+ ++ ≥ 12) 2 2 22x 6x 9 x 3x 5 2x 6x 93 4.15 3.5+ − + − + −+ = 
 13) x x x 3(3 5) 16(3 5) 2 ++ + − = 14) (BK'99) ( ) ( )2log 100log 10 log4 6 2.3− = xx x 
 15) (B'07) ( ) ( )x x2 1 2 1 2 2 0+ + − − = 16) x x x3.16 2.8 5.36+ = 
 18) 
x
x 1 2x 1 23 2 12 0+ +− − < 19) 2 2 22x x 1 2x x 1 2x x 125 9 34.15− + − + − ++ ≥ 
Vớ dụ 5. Giải cỏc phương trỡnh sau 
 1) (D'06) 
2 2x x x x 22 4.2 2 4 0+ −− − + =x 2) x x x8.3 3.2 24 6+ = + 3) ( )22 2 x 1x x 1 x4 2 2 1++ −+ = + 
 4) x x x15 14 2.5 7.3+ = + 5) 2 2 x x5 3 2.5 2.3= + +x x 6) x 3 x8 x.2 2 x 0−− + − = 
 7) 2 x 2 2 x2 5x 3x 2x 2x.3 . 2 5x 3x 4x .3− − + > − − + 8) 2 2 2x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 74 4 4 1− + + + + ++ = + 
 9) x x x 112.3 3.15 5 20++ − = 10) (Dược'97) 2 2 22 x 1 x 2 x4 x.2 3.2 x .2 8 12++ + > +x x+ 
 11) 
2 2 2x 3x 2 x 6x 5 2x 3x 74 4 4 1− + + + + ++ = + 
III. Ph−ơng pháp hμm số 
Vớ dụ 1. Giải cỏc phương trỡnh, bất phương trỡnh 
 1) x x x3 4 5+ = 2) x x x2.2 3.3 6 1+ > − 3) 
x x
x x
2 3 5
3 4 7
+ ≤+ 4) 
2 2 2log 9 log x log 32x x .3 x= − 
 5) ( ) ( )2008 2010log x 1 log x 12010 2008 2− +− = 
Vớ dụ 2. Giải phương trỡnh, bất phương trỡnh sau 
 1) 
x
x21 3 2+ = 2) ( )x x x3 1 4 4− = 3) x2 3 x= − 4) 7 7log 4 log xx 5.2 4 0+ − = 
 5) 
2 2cos x sin x2 2 cos 2x 0− + = 6) 
2
2 2
1 x 1 2x
x x 1 12 2
2 x
− −
− = − 7) 
2 x
x
3 3 2x 0
4 2
− + − ≥− 
 8) x 1 x 13 100 7+ −+ = 9) ( ) ( )5 7log x 1 log x 17 5 2− +− = 10) 2 2log x log 5x 3 x+ = 
 11) x x4 3 1= + 12) ( )x 2 x 23.25 3x 10 5 3 x 0− −+ − + − = 
IV. Nhận xét nghiệm, chứng minh tính duy nhất 
Giải cỏc phương trỡnh, bất phương trỡnh sau 
 1) 
2x3 cos x= 2) 
1
x 2x 2= 3) 2009 2010x 3 x 4 1− + − = 4) x3 x 4 0+ − = 
 5) ( )
( )x 1
x 1
log 2x 1
log x 5 30,12
3
−
−
−⎛ ⎞≥ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 6) ( )x x3.4 3x 10 2 3 x 0+ − + − = 7) 2 x xx (3 2 )x 2(1 2 ) 0− − + − = 
 8) (QHQT'97) ( ) ( ) ( )x x x3 2 3 2 5− + − = 9) x 3 2 x 3 42 x 1 2 x 1x .2 2 x .2 2− + − ++ −+ = + 
 10) x x x 1 1 x 1 x x2 3 5 2 3 5− − − −+ + = + + 
Written by Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Email: minhduc_1081@yahoo.com.vn Trang riờng VIOLET:  
Trang 3/7 
B. ph−ơng trình logarit 
I. Ph−ơng pháp mũ hóa, đ−a về cùng cơ số 
Vớ dụ 1. Giải cỏc phương trỡnh 
 1) ( )2xlog 5x 8x 3 2− + > 2) ( )1 2cos xlog cos 2x sin x 2 0− + + = 3) ( )2 2log 6 x log 3 x 1− = − − 
 4) ( )2x 3 1log 3 1 2x x 2+ − − + = 5) 2 3 4 10log x log x log x log x+ + = 
 6) ( )x 1 x3log 9 4.3 2 3x 1+ − − ≤ + 7) (SP2'94) 2sin xlog 2sin x 1 14⎡ π ⎤⎛ ⎞+ − =⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ 
 8) (A.Giang'B'00) ( ) ( ) ( ) ( )2 2ln 2x 3 ln 4 x ln 2x 3 ln 4 x− + − = − + − 
 9) 2 2x x 1
1log 2x 2x 1
2− +
− − < 10) 3 2x 1log 11 x
− <− 
 11) (QGHN'A'97) Giải và biện luận bất phương trỡnh ( ) ( )a 4logx ≥ax ax 
Vớ dụ 2. Giải cỏc phương trỡnh 
 1) (A'07) ( ) ( )3 1
3
2.log 4x 3 log 2x 3 2− + + ≤ 2) (B'06) ( ) ( )x x 25 5 5log 4 144 4log 2 1 log 2 1−+ − < + + 
 3) (D'08) 
2
1
2
x 3x 2log 0
x
− + ≥ 4) (D'07) ( )x x2 2 x1log 4 15.2 27 2log 04.2 3+ + + =− 
 5) (B'08) 
2
0,7 6
x xlog log 0
x 4
⎛ ⎞+ <⎜ ⎟+⎝ ⎠
 6) ( )1 1
3 3
x 4log log 3 x
2x 3
+ < −− 
 7) ( )2 3
e
log log x 3 0− ≥ 8) (An Giang'D'00) ( ) ( )2 4 4 2log log x log log x 2+ = 
 9) ( )( )xx 2log log 4 6 1− ≤ 10) ( ) ( )31 1
2 2
1 log x 1 log 1 2 x
2
− > − − 
 11) (B'02) ( )( )xx 3log log 9 27 1− ≤ 12) ( )29 3 32 log x log x.log 2x 1 1= + − 
 13) (BK'98) ( )23 1 1
3 3
1log x 5x 6 log x 2 log x 3
2
− + + − > + 14) x 2x 1log 1x 1
−⎛ ⎞ >⎜ ⎟−⎝ ⎠ 
 15) (QHQT'A'00) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 4 2 4 22 2 2 2log x x 1 log x x 1 log x x 1 log x x 1+ + + − + = + + + − + 
 16) (QGHN'A'98) ( ) ( )2 22 2 2log x 3x 2 log x 7x 12 3 log 3+ + + + + = + 
Vớ dụ 3. Giải cỏc phương trỡnh 
 1) (BCVT'00) ( )229 331 x 1log x 5 6 log log x 32 2−− + = + −x 
 2) (BK'00) ( ) ( )2 24 82log x 1 2 log 4 x log 4 x+ + = − + + 
 3) ( ) ( ) ( )2 3 31 1 1
4 4 4
3 log x 2 3 log 4 x log x 6
2
+ − = − + + 
 4) (DB'B'06) ( ) ( )31 82
2
log x 1 log 3 x log x 3+ − − = − 
 5) ( ) ( ) ( )84 221 1log x 3 log x 1 log 4x2 4+ + − = 6) (DB'B'07) ( ) ( )
2
3 3log x 1 log 2x 1 2− + − = 
Vớ dụ 4. Giải phương trỡnh 
 1) (ĐHSP2-98) ( ) ( )x x 15 25log 5 1 .log 5 5 1+− − = 2) ( ) ( )2 2 3 3log log x log log x= 
Written by Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Email: minhduc_1081@yahoo.com.vn Trang riờng VIOLET:  
Trang 4/7 
 3) 3 1
3
x xlog sin sin x log sin cos 2x 0
2 2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 4) ( ) ( )
2
25 5 1
5
12 log x 1 log .log x 1
2x 1 1
− ≥ −− − 
 5) 2 3 5 2 3 5log x log x log x log x.log x.log x+ + = 6) 2 27 x 7 x
3sin 2x 2sin xlog log 2
sin 2x.cos x− −
− = 
 7) ( )4 2
2x 1
1 1log x 1 log x 2
log 4 2+
− + = + + 
Vớ dụ 5. Giải cỏc phương trỡnh 
 1) ( )32 7log 1 x log x+ = 2) ( )33 23log 1 x x 2log x+ + = 3) 3 22 log cot x log cos x= 
 4) ( )846 42 log x x log x+ = 5) ( )2 3log 1 x log x+ = 6) ( )46 42 log x x log x+ = 
 7) (KTr'00) ( )7 3log x log x 2= + 8) ( ) ( )2 22 32 2 3log x 2x 2 log x 2x 3++ − − = − − 
II. Ph−ơng pháp biến đổi, đặt ẩn phụ 
Vớ dụ 1. Giải cỏc phương trỡnh 
 1) 2 22xx log 16.log x x 15= + 2) ( )
2
5 5log x log x5 x 10+ ≤ 3) 5 3 5 9log x log x log 3.log 225+ = 
 4) ( )2x 3log 5x 18x 16 2− + > 5) 22x xlog 64 log 16 3+ ≥ 6) ( )23x xlog 3 x 1− − > 
 7) ( ) ( )
1
2
3
4 2 2
2 1 2 2
2
x 32log x log 9log 4log x
8 x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + <⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
 8) ( )3 41 33
3
log x log x log 3x 3+ + = 
 9) (A'08) ( ) ( )222 1 x 1log 2 x 1 log 2 1 4− ++ − + − =x x x 10) (YHN'B'00) ( ) ( )2 34 2log x 1 log x 1 25− + − = 
 11) (KTQS'99) ( ) x 1x 2 xlog 2 log 2++ − ≤ 12) ( )2 33
1 1
log x 1log 2x 3x 1
≥ +− + 
 13) (DB'A'08) ( )28 4 2log x log x log 2x 0+ ≥ 14) ( ) 2x 3
3
log 3x log x 11+ < 
 15) ( ) ( )2 24
1 1
log 3x 1log x 3x
< −+ 16) (KTr'97) 
( )2log x 3x 2
2
log x log 2
− + >+ 
 17) (BK'97) ( ) ( )2 32 32log x 1 log x 1 0x 3x 4
+ − + >− − 18) ( )2 2xlog 2 log 4x 3+ = 
 19) ( )2
x 5 0
log x 4 1
− ≥− − 20) 
( )5log x 32 x+ = 
Vớ dụ 2. Giải cỏc phương trỡnh sau 
 1) 1 2 1
4 log x 2 log x
+ =− + 2) 2 2log x 10log x 6 0+ + = 3) 0,04 0,2log x 1 log x 3 1+ + + = 
Vớ dụ 3. Giải cỏc phương trỡnh 
 1) 2 2 2log 9 log x log 32x x 3 x= − 2) 7 7log 4 logx 5.2 x 4 0+ − = 3) 2 2log 3 log 5x x x+ = 
 4) (Luật HCM'A'01) ( ) ( )222 2 log 4xlog 2x log 64 x 2.3− = 
 5) (QGHN'A'01) 2 7 2 7log x 2log x 2 log x.log x+ = + 
Vớ dụ 4. Giải cỏc phương trỡnh, bất phương trỡnh 
 1. Giải cỏc phương trỡnh, bất phương trỡnh 
 a) ( ) ( )2 24 2log 2x 3x 2 1 log 2x 3x 2+ + + > + + b) x 4 7log 2 log x 06− + = c) 2 2xlog 2 log 4x 3+ = 
Written by Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Email: minhduc_1081@yahoo.com.vn Trang riờng VIOLET:  
Trang 5/7 
 d) 3 33. log x log 3x 1 0− − = e) 82 3log xlog x2.x 2.x 5 0−+ − = 
Vớ dụ 5. Giải cỏc phương trỡnh, bất phương trỡnh 
 1) ( )22 2log x 1 log x 2x 6 0+ − + − = 2) ( )2 22 1 4
2
log x log x 3 5 log x 3+ − > − 
III. Dùng hμm số, Nhận xét, chứng minh duy nhất 
Giải cỏc phương trỡnh 
 1) ( ) x 21
3
log 3 sin x 2 −+ = 2) ( )xlog x 1 lo g1,5+ = 3) ( ) ( )2log x x 6 x log x 2 4− − + = + − 
 4) ( ) ( ) ( ) ( )23 3x 3 log x 2 4 x 2 log x 2 16+ + + + + = 5) ( ) ( )2x log x x 6 4 log x 2+ − − = + + 
 6) ( ) ( )3 5log x 1 log 2x 1 2+ + + = 7) ( ) ( ) ( ) ( )23 3x 2 log x 1 4 x 1 log x 1 16 0+ + + + + − = 
 8)** (XD'94) Tỡm k để phương trỡnh sau cú đỳng ba nghiệm phõn biệt 
 ( ) ( )2x k 2 x 2x 12
2
4 log x 2x 3 2 log 2 x k 2 0− − − +− + + − + = 
C. Các bμi toán chứa tham số 
I. PHƯƠNG TRèNH MŨ CHỨA THAM SỐ 
 1)(QGHN'A'99) Tỡm cỏc giỏ trị của m để bất phương trỡnh 
2 2 2sin x cos x sin x2 3 m.3+ ≥ cú nghiệm. 
 2) (SP2'A'01) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của tham số m để bất phương trỡnh x x 2a.9 (a 1)3 a 1 0++ − + − > 
được nghiệm đỳng với mọi x. 
 3)(TCKT'A'99) Tỡm cỏc giỏ trị của m sao cho bất phương trỡnh sau nghiệm đỳng với 1x
2
∀ ≥ . 
2 2 22x x 2x x 2x x9 2(m 1)6 (m 1)4 0− − −− − + + ≥ . 
 4) Tỡm m để ( )x xm.25 4 m 1 5 m 1 0; x+ − + − > ∀ 
 5) Tỡm m để ( ) x x 1m 1 4 2 m 1 0+− + + + > thoả món với mọi x. 
 6) Tỡm m để phương trỡnh: ( )x xm.4 2m 1 2 m 4 0− + + + = cú hai nghiệm trỏi dấu. 
 7) Tỡm tất cả cỏc giỏ trị của a để phương trỡnh 2x 1 2x 1144 2.12 12a 0− − − −− + = cú nghiệm duy nhất. 
 8) (Cần Thơ'98) Cho phương trỡnh: x x 14 m.2 2m 0+− + = 
 a) Giải phương trỡnh với m = 2. 
 b) Tỡm m để phương trỡnh cú hai nghiệm phõn biệt 1 2x , x thoả món: 1 2x x 3+ = . 
 9) Tỡm m để x x9 2(m 1)3 2m 3 0− + − − > .Tỡm m để cho bất phương trỡnh nghiệm đỳng với mọi x. 
 10) ( N.Thương'A'98) Tỡm m để phương trỡnh 
2x 4x 3
4 21 m m 1
5
− +⎛ ⎞ = − +⎜ ⎟⎝ ⎠ cú bốn nghiệm phõn biệt. 
I. PHƯƠNG TRèNH LOGARIT CHỨA THAM SỐ 
 1) Tỡm m để phương trỡnh ( ) ( ) ( ) ( )21 1
2 2
m 3 log x 4 2m 1 log x 4 m 2 0− − − + − + + = cú hai nghiệm x1 và x2 
thỏa món 1 24 x , x 6< < 
 2) Tỡm m để phương trỡnh sau cú nghiệm duy nhất ( ) ( )22 2 7 2 2 7log x m 1 log mx x 0+ −− + + − = 
 3) (A'02) cho phương trỡnh 2 23 3log x log x 1 2m 1 0+ + − − = 
Written by Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Email: minhduc_1081@yahoo.com.vn Trang riờng VIOLET:  
Trang 6/7 
 a) Giải phương trỡnh với m= 2. 
 b) Tỡm m để phương trỡnh cú ớt nhất một nghiệm thuộc đoạn 31;3⎡ ⎤⎣ ⎦ 
 4) Tỡm GTNN của ( ) ( )2 22 2x 1 3 xy log 3 x log x 1+ −= − + + 
 5) (AN'99) Trong cỏc nghiệm của phương trỡnh ( )2 2x ylog x y 1+ + ≥ , tỡm nghiệm cú x + 2y lớn nhất 
 6) (Mỏ ĐC'01) Tỡm tớch cỏc nghiệm của phương trỡnh ( )6log 3 5 7x 36. x 0− =x 
 7) Giải phương trỡnh, bất phương trỡnh 
 a) 2 2
3 3log x log x 3
x x
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ b) ( )2 22log x x 1 1 x+ − = − 
 8) Tỡm x để ( ) ( )22 3 2 22 2 alog a x 5a x 6 a log 3 x 1+− + − = − − được nghiệm đỳng với mọi a. 
 9) Tỡm ( )m 2;5∈ sao cho phương trỡnh ( )2log 3 cos mx cos x 6π⎛ ⎞− = π −⎜ ⎟⎝ ⎠ cú nghiệm [ ]x 2;3∈ 
 10) ( ) ( )221 x 1 x 2 log x x 0− + + − − = 
 11) * (QGHN'A'00) ( ) ( )2 2log x log x 22 2 x. 2 2 1 x+ + − = + 
D. Hệ ph−ơng trình mũ vμ logarit 
 Giải cỏc hệ, hệ bất phương trỡnh sau. 
 1) a) ( ) y
3
3 4 xx 1 1 3
x
log x y 1
⎧ −+ − =⎪⎨⎪ + =⎩
 b) 
( )
( )
x
y
log 3x 2y 2
log 2x 3y 2
⎧ + =⎪⎨ + =⎪⎩
 c) 
2 4 4
3 9 9
4 16 16
log x log y log z 2
log y log z log x 2
log z log x log y 2
+ + =⎧⎪ + + =⎨⎪ + + =⎩
 2) (ĐN'A'97) 
2 2
2 2
3
2
log x log x 0
x 3x 5x 9 0
3
⎧ − ⎪⎩
 3) 
( )
( )
2 x
4 y
log 2 y 0
log 2x 2 0
−
−
⎧ − >⎪⎨ − >⎪⎩
 4) 4 2
2 2
log x log y 0
x 5y 4 0
− =⎧⎨ − + =⎩
 5) (HVQY'00) Tỡm cỏc nghiệm nguyờn của hệ bất phương trỡnh 
2 4sin x
5
2
5 xlog 0
1 1 x
4 5 9 3 1
x 3
π⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎧ − ≤⎪ + +⎪⎨⎪ + + > +⎪ +⎩
x x
x
 6) Giải hệ phương trỡnh ( )
3
2 x
x log y 3
2y y 12 .3 81y
+ =⎧⎪⎨ − + =⎪⎩
 7) 
y
y
2 3 12
2 3 18
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
x
x
 8) 
2x y
x y
3 2 77
3 2 7
⎧ − =⎪⎨ − =⎪⎩
 9) (Mỏ ĐC'99) 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2
4 4 4
2
4 4 4
log x y log 2 1 log x 3y
xlog xy 1 log 4y 2y 2 4 log 1
y
⎧ + − + = +⎪⎨ + − + − + = −⎪⎩
x
x
 10) Cho hệ phương trỡnh 
2
3 3
3 2
1 log x log y 0
2
x y ay 0
⎧ − =⎪⎨⎪ + − =⎩
 a) Giải hệ với a = 2. b) Tỡm a để hệ cú nghiệm. 
 11) (HVTC'A'00) 
8 8log y log x
4 4
x y 4
log x log y 1
⎧ + =⎪⎨ − =⎪⎩
 12) (T.Lợi'A'00) 
2 2 2
3 3 3
3xx log 3 log y y log
2
2yx log 12 log x y log
3
⎧ + = +⎪⎪⎨⎪ + = +⎪⎩
Written by Tạ Minh Đức. THPT Cẩm Khê - Cẩm Khê - Phú Thọ 
Email: minhduc_1081@yahoo.com.vn Trang riờng VIOLET:  
Trang 7/7 
 13) 
( )
y
2
x y
2log x
log xy log x
y 4y 3
⎧ =⎪⎨ = +⎪⎩
 14) ( ) ( )
x y
y x
3 3
4 32
log x y 1 log x y
+⎧⎪ =⎨⎪ + = − +⎩
 15) 2 2
lo g x lo g y 1
x y 29
+ =⎧⎨ + =⎩
 16) 3 3 3
log x log y 1 log 2
x y 5
+ = +⎧⎨ + =⎩
 17) 
( )
( ) ( )
2 2lo g x y 1 3lo g 2
lo g x y lo g x y lo g 3
⎧ + = +⎪⎨ + − − =⎪⎩
 18) 
x y
3x 2y 3
4 128
5 1
+
− −
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
 19) 2
x y
(x y) 1
5 125
4 1
+
− −
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
 38) (DB'02) y x
x y
log xy log y
2 2 3
⎧ =⎪⎨ + =⎪⎩
 21) 
( ) ( )
( ) ( )
22 log 3log xy
2 2
9 3 2 xy
x 1 y 1 1
⎧ − =⎪⎨ + + + =⎪⎩
 23) (DB'D'06) 
( ) ( )
2 2
ln x 1 ln y 1 x y
x 12 y 20y 0
+ − + = −⎧⎪⎨ − + =⎪⎩ x
 24) (B'05) ( )2 39 3
x 1 2 y 1
3log 9 log y 3
⎧ − + − =⎪⎨ − =⎪⎩ x
 25) 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 x 1 y
1 x 1 y
log 1 2y y log 1 2 x 4
1 2y log 1 2 2
+ −
+ −
⎧ − + + + + =⎪⎨ + + + =⎪⎩
x
log x
 26) 
( ) ( )x y 2 2
2 2
log y log x . xy 1
x y 1
⎧ − = − +⎪⎨ + =⎪⎩
e e
 27) (KTQD'00) Tỡm cỏc cặp số dương (x; y) thoả món hệ 
x5 y
y 4x 3
3 1
x y
x y
⎛ ⎞−⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
−
⎧⎪ =⎨⎪ =⎩
 28) (SP2'A'98) 
3 1 y 2 y 3
2
2 2 3.2
3 1 xy x 1
+ − +⎧ + =⎪⎨ + + = +⎪⎩
x x
x
 29) (DB'05) 
4 4
x 4 y 3 0
log x log y 0
⎧ − + =⎪⎨ − =⎪⎩
 30) (D'06) Chứng minh rằng với mọi a 0> hệ sau cú nghiệm duy nhất ( ) ( )x ye e ln x 1 ln y 1
y x a
⎧ − = + − +⎪⎨ − =⎪⎩
 31) (SP2'97) 
( )1 1
3 3
log 5 x log 3 x
1x
3
⎧ − < −⎪⎪⎨⎪ +⎪⎩ là số nguyên
 32) (A'04) 
( )1 4
4
2 2
1log y x log 1
y
x y 25
⎧ − − =⎪⎨⎪ + =⎩
 33) ( ) ( )
2 2
2 3
4 y 2
log 2 y log 2 y 1
⎧ − =⎪⎨ + − − =⎪⎩
x
x x
 34) (D'02) 
3 2
x x 1
x
2 5y 4y
4 2 y
2 2
+
⎧ = −⎪⎨ + =⎪⎩ +
x
 35) (TC'00) 
8 8log y log x
4 4
x y 4
log x log y 1
⎧ + =⎪⎨ − =⎪⎩
 36) (BK'94) ( )
3
2 x
x log y 3
2y y 12 3 81y
+ =⎧⎪⎨ − + =⎪⎩
 37) (NN1'B'99) ( ) ( )
log x log y
log 4 log3
3 4
4x 3y
⎧ =⎪⎨ =⎪⎩
 38) 
x y2 2 12
x y 5
⎧ + =⎨ + =⎩
 38) (DB'B'03) 
x
2
y
2
ye 2007
y 1
xe 2007
x 1
⎧ = −⎪ −⎪⎨⎪ = −⎪ −⎩
 41) (QGHN'A'95)
( ) ( )x y
2 2
2 2 y x . xy 2
x y 2
⎧ − = − +⎪⎨ + =⎪⎩
-----The End-----