Luyện thi đại học - Bài 5: Hệ thức lượng trong tam giác

Bài 5: Hệ thức lượng trong tam giác
Một số kiến thức cần nhớ 
*Một số phép biến đổi thường dùng
+ Cung liên kết
+ Các công thức biến đổi.
*Một số hệ thức trong tam giác cần nhớ: 
+
+ 
+ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
+
+ 
+ cotgA.cotgB + cotgB.cotgC + cotgC.cotgA = 1
+
+
+ Sin2A + Sin2B + Sin2C = 4SinA.SinB.SinC
+ Cos2A + Cos2B + Cos2C = -1 - 4CosACosBCosC
Các ví dụ
Bài 1: 	Cho tam giác ABC, CMR 
Bài 2:Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn CMR:
a) tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC
b) 
dấu “=” xảy ra khi nào?
HD: áp dụng BĐT côsi
lập phương hai vế thay trở lại phương trình đầu ta được đpcm.
Bài 3: CMR: trong mọi tam giác ABC, ta luôn có :
HD: Biến đổi liên tiếp tích thành tổng ở VP.
VP= [cos(B-C) – cos(B+C)].cosA + [cos(C-A) – cos(A+C)].cosB + [cos(A-B) – cos(A+B)].cosC
=Cos(B-C).cosA + Cos2A + Cos(C-A).cosB +Cos2B + Cos(A-B).cosC + cos2C.
thực hiện nhân phá ngoặc xuất hiện cos2A, cos2B, cos2C sử dụng công thức nhân đôi thay bởi cos2A, cos2B, cos2C suy ra đpcm.
Bài 4: CMR với mọi tam giác ABC ta có
Từ đó suy ra tam giác ABC có một góc tù khi và chỉ khi 
Bài 5: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
2tgA = tgB + tgC
CMR : tgB.tgC = 3 Và Cos(B - C) = 2CosA
HD: xuất phát: đpcm
Từ tgB.tgC = 3 khi và chỉ khi sinA.sinB=3cosB.cosC (*)
Mà cos(B - C) =2.cos[] khai triển suy ra đẳng thức (*).
Bài 6: CMR với mọi tam giác ABC ta có:
HD: thay 
áp dụng công thức nhân đôi. 
Bài 7: CMR trong mọi tam giác ABC ta có
Bài 8:	Cho tam giác ABC có ba góc A, B, C 
thoả mãn đk 4A = 2B = C. CMR:
 và 
Bài 9: CMR trong mọi tam giác ABC ta đều có:
Bài 10: Cho tam giác ABC thoả mãn đk: 
, CMR tam giác ABC cân
Bài 11:Cho tam giác ABC thoả mãn đk
CMR tam giác ABC cân
Bài 12. CMR nếu tam giác ABC có
 thì tam giác vuông
Bài 13: Cho tam giác ABC với BC=a, AC=b, AB=c
CMR tam giác ABC vuông hoặc cân tại A khi và chỉ khi 
Bài 14:	Cho tam giác ABC có các góc thoả mãn đk:
3(cosB+2sinC) + 4(sinB+ 2cosC) =15
CMR tam giác vuông
Bài 15:Các góc tam giác ABC thoả mãn đk
CMR tam giác ABC vuông.
Bài 16: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
CMR tam giác ABC đều.
Bài 17: Tam giác ABC thoả mán đk:
CMR tam giác ABC là tam giác đều
Bài 18: Tam giác ABC thoả mãn đk
CMR tam giác ABC là tam giác đều
Bài 19: tam giác ABC có các góc thoả mãn hệ thức: 
Bài 20:CMR nếu trong tam giác ABC ta có
thì tam giác đều
Bài 21: Cho tam giác ABC thoả mãn đk:
8(p-a)(p-b)(p-c)=abc
CMR tam giác đều
Bài 22: Cho tam giác ABC thoả mãn đk
Bài 23: 
Bài 24: 
Bài 25: Tìm GTNN biểu thức
Bài 26: Tam giác ABC bất kỳ tìm GTLN của:
P= cosA+ cosB +cosC
Bài 27: 
Cho tam giác ABC bất kỳ. Tìm GTLN của biểu thức 
Bài 28: Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức:
Hỏi tam giác ABC là tam giác gì? CM?