Luyện tập phần Đại số 12 - Phần 3: Tích phân

Phần 3. TÍCH PHÂN
I.Nguyên hàm và tích phân bất định:
1.Nguyên hàm và tích phân bất định: Nếu F’(x)=f(x) với "xỴ(a;b) thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b). Nếu thêm F’(a+) = f(a) và F’(b-)=f(b) thì F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a;b]. Mọi nguyên hàm của f(x) đều có dạng F(x)+C, trong đó C là hằng số. Tập hợp các nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b), gọi là tích phân bất định của f(x) trên khoảng (a;b) và ký hiệu là . 
Vậy = F(x)+C Û F ’(x) = f(x) với "xỴ(a;b) và C là hằng số.
Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a;b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó.
2.Tính chất: 
a) = f(x) 
b)= k k¹0
c)=+
d)Þ với u = u(x)
3.Bảng các nguyên hàm:
Nguyên hàm của các hàm số sơ cấp
Nguyên hàm của các hàm số hợp
=x+C
=u+C
+C, a¹-1
+C, a¹-1
= ln½x½+ C, x ¹ 0
= ln½u½+ C, x ¹ 0
 = ex+C
 = eu+C
+C, 0<a¹1
+C, 0<a¹1
 = sinx+C
 = sinu+C
 = - cosx+C
 = - cosu+C
= tgx+C, x¹+kp và kỴZ
= tgu+C, u¹+kp và kỴZ
= - cotgx+C, x¹ kp và kỴZ
= - cotgu+C, u¹ kp và kỴZ
II. Phương pháp đồng nhất:
a.Hai đa thức đồng nhất:
Cho hai đa thức :
f(x) = anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0 (an ¹ 0)
g(x) = bnxn+bn-1xn-1+...+b1x+b0 (bn ¹ 0)
b.Phép đồng nhất:
1) Dạng f(x) =( với degg(x) < n):
Phương pháp: Phải tìm n số r1, r2, r3, ..., rn sao cho:
f(x) = 
Kiến thức:
1)+C với 2£ nỴN
2) 
2) Dạng f(x) =( với degg(x) £ 1 ):
Phương pháp: Phải tìm các số A, B sao cho:
f(x) = = 
3) Dạng f(x) =( với degg(x) < 3 và D=b2-4ac < 0 )
Phương pháp: Phải tìm các số A, B, C sao cho:
f(x) =
4) Dạng khác: Có thể liên quan đến lượng giác, ta có thể dùng phương pháp đồng nhất các hệ số của các biểu thức đồng dạng với nhau.
III. Tích phân xác định:
1) Định nghĩa : Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên khoảng K; a,bỴK; F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b)-F(a) được gọi là tích phân từ a đến b của f(x) và được ký hiệu là . Ta viết :
 (Công thức Niutơn-Laipnit) 
2) Các tính chất của tích phân :
Giả sử các hàm số f(x) và g(x) liên tục trên khoảng K và a,b,c Ỵ K.
* =0
* = -
*=k (kỴ|R)
* =±
*=+
* f(x) ³ 0 trên [a;b]Þ ³0
* f(x) ³ g(x) trên [a;b]Þ ³
* m £ f(x) £ M trên [a;b] Þ m(b-a) £ £ M(b-a)
* tỴ[a;b] Þ G(t)= là 1 nguyên hàm của f(t) thỏa G(a)=0.
IV. Các phương pháp tính tích phân xác định:
1) Phương pháp đổi biến số : Cho f(x) là một hàm số liên tục trên đoạn [a;b], giả sử cần tính , khi chưa tìm được trực tiếp nguyên hàm F(x) của f(x) trên đoạn [a;b] .
a) Đổi biến số dạng 1: 
Đặt x = u(t)
Tính dx=u’(t)dt
Đổi cận x = a u(t) = at = a
 x = b u(t) = bt = b
Đổi biến và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên đoạn [a,b]
Tính =G(t)
b) Đổi biến số dạng 2:
Đặt t= v(x) ( hoặc biến đổi t= v(x) Û x = u(t))
Tính dt = v’(x)dx ( hoặc tính dx=u’(t)dt )
Đổi cận: x = a t = v(a) = a
 x = b t= v(b) = b
Đổi biến và tìm G(t) là một nguyên hàm của g(t) trên đoạn [a,b]
Tính = G(t)
2) Phương pháp tính tích phân từng phần : 
a) Định lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì:
	.v’(x)dx= u(x) v(x) .u’(x)dx
	hay: 	
b) Cách tính:
Biến đổi với cách đặt hợp lý : 
Biến đổi về: , sau đó tính từng phần uv 
c) Chú ý : Có thể sử dụng bảng nguyên hàm 2 sau đây để tính tích phân bằng phương pháp tích phân từng phần (a¹0):
+ C
+C, a¹-1
+ C
 ln½ax+b½+ C 
= tg(ax+b) +C 
+ C
= - cotg(ax+b)+C
+ C,
V. Ứng dụng của tích phân :
1.Diện tích hình phẳng:
1) Cho f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình (H) giới hạn bởi y=f(x); y=0 ( trục Ox) và hai đường thẳng x=a và x=b xác định bởi:
S= 
Một số lưu ý khi sử dụng công thức này:
a) Nếu f(x) giữ nguyên dấu khi xỴ[a;b] thì
b) Khi bài toán không cho hai đường thẳng x=a và x=b thì ta lập phương trình hoành độ giao điểm f(x) = 0 (1) :
Nếu phương trình này có 2 nghiệm phân biệt thì a=x1 < x2=b.
Nếu phương trình này có n nghiệm sắp xếp theo thứ tự tăng dần thì : 
 a= x1 < x2 < < xn=b. Để tính diện tích trong trường hợp này ta biến đổi:
S==+++
	 = +++
2) Cho f1(x) và f2(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Diện tích hình (H) giới hạn bởi y= f1(x); y= f2(x) và hai đường thẳng x=a và x=b xác định bởi: 
S= 
2.Thể tích vật thể hình học:
1. Cho vật thể (T) đặt trong hệ trục tọa độ Oxyz, sao cho (T) nằm giữa hai mặt phẳng ( a) và (b) đồng thời vuông góc Ox tại x=a và x=b. Gọi S(x) là diện tích của thiết diện của (T) với mặt phẳng (g) vuông góc với Ox. Thể tích của (T) được tính bởi: 
V=
2. Giả sử y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi cho hình (H) giới hạn bởi y=f(x); y=0 và hai đường thẳng x=a và x=b quay một vòng quanh trục Ox, tạo nên hình tròn xoay. Thể tích hình tròn xoay được tính bởi: V= 
3. Giả sử x=g(y) liên tục trên đoạn [a;b]. Khi cho hình (H) giới hạn bởi x=g(y); x=0 và hai đường thẳng y=a và y=b quay 1 vòng quanh trục Oy, tạo nên hình tròn xoay. Thể tích hình tròn xoay được tính bởi: V=
Kiến thức về lượng giác
I. Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản: Với "kỴZ :
· sin2a + cos2a = 1	 ·tga = 	 · cotga = 
· 1 + tg2a = , ·1 + cotg2a = , · tga.cotga = 1, 
II. Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt:
Cung đối nhau
Cung bù nhau
Cung hơn kém p
Cung phụ nhau
sin(-a) = - sina
cos(-a) = cosa 
tg(-a) = - tga 
cotg(-a) = - cotga
sin(p -a) = sina
cos(p -a) = -cosa 
tg(p -a) = - tga 
cotg(p -a) = - cotga
sin(p+a) = - sina
cos(p + a) = -cosa 
tg(p + a) = tga 
cotg(p+a) = cotga
sin(-a) = cosa
cos( -a) = sina 
tg(-a) = cotga 
cotg( -a) = tga
III. Công thức cộng:
 sin(a± b) = sina.cosb ± cosa.sinb.	(1)	
 cos(a± b) = cosa.cosb sina.sinb.	(2)
 tg(a± b) =.	(3) 
điều kiện a và b trong công thức (3) xem như có đủ.
IV. Công thức nhân:
Công thức nhân đôi:
	sin2a = 2sina.cosa. tg2a =.
	cos2a = cos2a- sin2a= 2cos2a-1= 1-2sin2a
Công thức nhân ba:
 sin3a = 3sina-4 sin3a. cos3a = 4cos3a- 3cosa. tg3a =.
Công thức hạ bậc:
 sina.cosa=sin2a. sin2a= 	 cos2a=	 tg2a=	 sin3a= cos3a=
Biểu diễn theo t=tg:
 sina = 	 cosa = tga =	
V. Công thức biến đổi:
Tích thành tổng:
 cosa.cosb=[cos(a-b)+cos(a+b)] sina.sinb= [cos(a-b)-cos(a+b)]
 sina.cosb= [sin(a-b)+sin(a+b)]
2. Tổng thành tích:
 cos a + cos b = 2 cos. cos cos a - cos b = -2 sin. sin
 sin a + sin b = 2 sin. cos sin a - sin b = 2 cos. sin
 tg a ± tg b = 	 cotg a ± cotg b = 
Phần IV . ĐẠI SỐ TỔ HỢP
I. HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP:
1.Qui tắc cộng và qui tắc nhân:
a) Qui tắc cộng :
Nếu có m1 cách chọn đối tượng x1, m2 cách chọn đối tượng x2, , mn cách chọn đối tượng xn, và nếu cách chọn đối tượng xi không trùng bất kỳ cách chọn đối tượng xj nào (i¹j; i,j=1,2,,n) thì có m1+m2++mn cách chọn một trong các đối tượng đã cho.
Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều trường hợp độc lập nhau. Trường hợp 1 có m1 cách thực hiện, trường hợp 2 có m2 cách thực hiện, trường hợp n có mn cách thực hiện thì số cách thực hiện cả công việc là m1+m2++mn.
b) Qui tắc nhân :
Nếu 1 phép chọn được thực hiện qua n bước liên tiếp nhau, bước 1 có m1 cách, bước 2 có m2 cách, . . ., bước n có mn cách, thì phép chọn đó được thực hiện theo m1 . m2 .  .mn cách khác nhau.
Cách khác: Một công việc được thực hiện qua nhiều giai đoạn:Giai đoạn 1 có m1 cách thực hiện, giai đoạn 2 có m2 cách thực hiện, giai đoạn n có mn cách thực hiện thì số cách thực hiện cả công việc là m1 . m2 .  .mn
2.Hoán vị:
A. Hoán vị thẳng:
a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử . Mỗi cách sắp thứ tự n phần tử (n³1) của tập hợp A được gọi là 1 hoán vị của n phần tử đó.
b) Định lý: Nếu ký hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn, thì: 
!
Qui ước: 0!=1
B. Hoán vị có lặp lại:
a) Định nghĩa: Có n vật, sắp vào n vị trí. Trong đó:
	n1 vật giống nhau 
	n2 vật giống nhau
	.
	nk vật giống nhau
	( Hẳn nhiên là n= n1+n2++nk)
b) Định lý: Số hoán vị có lặp lại của n vật trên là:
C. Hoán vị tròn :
a) Định nghĩa: Có n vật, sắp vào n vị trí chung quanh một đường tròn.
b) Định lý: Số hoán vị tròn của n vật trên là:
Pn-1= (n-1)!
3.Chỉnh hợp:
a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi bộ gồm k phần tử sắp thứ tự của tập hợp A được gọi là 1 chỉnh hợp chập k của của n phần tử .
b) Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là: 
Đặc biệt: Khi 
4.Tổ hợp:
a) Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là 1 tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.
b) Số tổ hợp chập k của n phần tử là: 
c) Tính chất: 	
1) 
2) 
3) 
II.CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON:
1.Công thức nhị thức Newton: 
Với hai số thực a và b và nỴN ta có công thức:
2.Các tính chất: 
a) Vế phải có n+1 số hạng.
b) Trong mỗi số hạng tổng số mũ của a và b là n.
c) Số hạng thứ k+1 của công thức khai triển có dạng :
d) Các hệ số cách đều số hạng đầu và cuối là bằng nhau.
.
.