Luận văn Hàm nhiều biến và cực trị của hàm

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 
------------ 0 ------------- 
Phạm Thị Thu Trang 
HÀM NHIỀU BIẾN 
VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM 
Chuyên ngành: Toán giải tích 
 Mã số: 60.46.01 
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC 
Thái Nguyên - 2009 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 
------------ 0 ------------- 
Phạm Thị Thu Trang 
HÀM NHIỀU BIẾN 
VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM 
Chuyên ngành: Toán giải tích 
 Mã số: 60.46.01 
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC 
Người hướng dẫn khoa học: 
GS – TS Trần Vũ Thiệu 
Thái Nguyên - 2009 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM 
------------ 0 ------------- 
Phạm Thị Thu Trang 
HÀM NHIỀU BIẾN 
VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM 
Chuyên ngành: Toán giải tích 
 Mã số: 60.46.01 
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC 
Thái Nguyên - 2009 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  
CÔNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM –ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN 
Người hướng dẫn khoa học : GS.TS. Trần Vũ Thiệu 
 Phản biện 1: PGS.TS ĐỖ VĂN LƯU 
 Phản biện 2 : GS.TSKH LÊ DŨNG MƯU 
. 
Luận văn đã được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn họp tại: 
Trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên 
Ngày 8 tháng 11 năm 2009 
Có thể tìm hiểu luận văn tại thư viện 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÁI NGUYÊN 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  2
MỤC LỤC Trang 
LỜI NÓI ĐẦU 3 
Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5 
 1.1 Tập hợp lồi trong RN 5 
 1.2. Quan hệ và hàm số 7 
 1.3. Tô pô trong R
N 
10 
 1.4. Tính liên tục 17 
 1.5. Định lí tồn tại 20 
Chương 2: HÀM GIÁ TRỊ THỰC 23 
 2.1. Hàm số thực và các tập có liên quan 23 
 2.2. Một số hàm thông dụng 26 
 2.2.1. Hàm lồi và hàm tựa lồi 27 
 2.2.2. Hàm lõm và hàm tựa lõm 29 
 2.3. Vi phân của hàm số 30 
 2.3.1. Hàm một biến 31 
 2.3.2. Hàm nhiều biến 32 
 2.3.3. Hàm thuần nhất 36 
Chương 3: BÀI TOÁN TỐI ƢU 40 
 3.1. Cực trị của hàm số 40 
 3.2. Tối ưu không ràng buộc 41 
 3.3. Tối ưu có ràng buộc 48 
 3.3.1. Ràng buộc đẳng thức 49 
 3.3.2. Ràng buộc không âm 59 
 3.3.3. Điều kiện Karush- Kuhn- Tucker 61 
KẾT LUẬN 66 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 67 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  3
LỜI NÓI ĐẦU 
Toán học nói chung và toán giải tích nói riêng có những ứng dụng đa dạng 
trong nhiều ngành khoa học khác nhau, đặc biệt trong khoa học kinh tế. Các 
nghiên cứu và phân tích kinh tế về mặt định lượng thường được tiến hành thông 
qua các mô hình kinh tế toán (dùng toán học để mô tả, phân tích các mối quan 
hệ, các quá trình hay đối tượng kinh tế). Vì thế các nhà nghiên cứu kinh tế ngày 
càng có nhu cầu sử dụng nhiều hơn các công cụ toán học, đặc biệt là công cụ 
giải tích (như hàm số, đạo hàm, vi phân) và các phương pháp tối ưu hoá. 
Đề tài luận văn đề cập tới những kiến thức toán giải tích và tối ưu hoá cơ 
bản cần dùng trong kinh tế. Việc tìm hiểu những kiến thức này là hoàn toàn cần 
thiết và hữu ích, giúp hiểu sâu hơn về các công cụ toán giải tích, tối ưu hoá và 
vận dụng tốt hơn trong thực tiễn giảng dạy toán cho các đối tượng kinh tế. 
Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày khái quát những kiến thức 
toán học cơ bản cần dùng trong các nghiên cứu kinh tế, đặc biệt trong nghiên 
cứu lý thuyết kinh tế vi mô (micro-economic theory). Các nội dung đề cập tới 
trong luận văn được trình bày không quá hình thức mà gần gũi với tư duy kinh 
tế, với nhiều ví dụ minh hoạ cụ thể và có giải thích ý nghĩa kinh tế khi có thể, 
nhưng vẫn giữ tính chính xác, chặt chẽ về mặt toán học. 
Nội dung luận văn được chia thành ba chương: 
Chương 1 “Kiến thức chuẩn bị” giới thiệu tóm tắt một số khái niệm cơ 
bản về tập hợp và ánh xạ, quan hệ và hàm số: tập mở, tập đóng, tập compact 
trong R
n; cận trên (cận dưới) của tập hợp số thực; tính liên tục của ánh xạ, mối 
quan hệ giữa tính liên tục với ảnh ngược của các tập mở (đóng), ảnh liên tục của 
tập compact; định lý Weierstrass về tồn tại giá trị cực trị của hàm liên tục trên 
tập compact; tập lồi và tính chất, định lý Minkowski về tách các tập lồi ... 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  4
Chương 2 “Hàm giá trị thực” đề cập tới các hàm số thực thường gặp trong 
kinh tế và một số tập có liên quan mật thiết với hàm: đồ thị, tập mức, tập mức 
trên, tập mức dưới. Xét tính tăng (giảm), tính lồi (lõm), tính lồi chặt (lõm chặt), 
độ dốc, độ cong và mối liên hệ với các tập mức, với đạo hàm và vi phân của 
hàm số, hàm thuần nhất và tính chất ... 
Chương 3 “Bài toán tối ƣu” trình bày khái quát vấn đề cực trị của hàm số: 
cực trị địa phương và cực trị toàn cục, cực trị tự do và cực trị có điều kiện, điều 
kiện cần, điều kiện đủ của cực trị (cấp 1 và cấp 2). Tính duy nhất của điểm cực 
tiểu (cực đại) liên quan với tính lồi (lõm) chặt. của hàm. Cực trị với ràng buộc 
đẳng thức (phương pháp Lagrange), với ràng buộc không âm và tổng quát hơn là 
với ràng buộc bất đẳng thức (điều kiện Karush-Kuhn-Tucker (điều kiện KKT) ... 
Do thời gian có hạn nên luận văn này mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu, tập 
hợp tài liệu, sắp xếp và trình bày các nội dung chính theo chủ đề đặt ra. Trong 
quá trình viết luận văn cũng như trong xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi 
có những sai sót nhất định. Tác giả luận văn rất mong nhận được sự góp ý của 
các thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. 
Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy hướng dẫn 
GS-TS Trần Vũ Thiệu đã tận tình giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn. 
Tác giả xin chân thành cảm ơn các thày, cô của Trường Đại học Sư phạm 
Thái Nguyên và Viện Toán học đã giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi 
trong quá trình tác giả học tập và nghiên cứu. 
 Thái Nguyên, tháng 9/2009 
 Tác giả 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  5
Chƣơng 1 
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 
Chương này đề cập tới một số khái niệm cơ bản về giải tích liên quan tới 
các hàm và cực trị của hàm. Nội dung của chương dựa chủ yếu trên các nguồn 
tài liệu [2], [3], [4]. 
1.1. TẬP LỒI TRONG ℝn (Convex sets in ℝn) 
 Tập số thực được biểu thị bởi ký hiệu đặc biệt ℝ và được định nghĩa như sau 
ℝ  {x | -  < x < + }. 
Nếu ta xây dựng tích của hai tập hợp 
ℝ  ℝ  {(x1, x2) | x1  ℝ, x2  ℝ } 
thì một điểm bất kỳ thuộc tập này (cặp hai số thực bất kỳ) được đồng nhất với 
một điểm trong mặt phẳng Descarte vẽ ở Hình 1.1. Tập ℝ  ℝ đôi khi được gọi 
là “không gian Euclid hai chiều” và được ký hiệu ngắn gọn bởi ℝ2. 
Hình 1.1. Mặt phẳng Descarte ℝ2 
Tổng quát, véctơ n- chiều là một cặp có thứ tự của n số (x1, x2,  , xn) và 
được xem như một “điểm” trong không gian Euclid n - chiều hay “n - không 
gian”. Cũng như trước, n - không gian được định nghĩa như tích của n tập hợp 
ℝn  ℝ  ℝ    ℝ  {(x1, x2,  , xn) | xi  ℝ, i = 1, 2,  , n}. 
 n lần 
Ta sẽ thường ký hiệu các véctơ (hay điểm) trong ℝn bằng chữ in đậm. Ví 
dụ, x  {x1, x2,  , xn}. Đôi khi ta muốn thu hẹp sự chú ý vào tập con của ℝ
n
, 
gọi là “góc không âm” và ký hiệu ℝ n , trong đó 
x1 
x2 
-  
-  
+  
+  
x
0
2 
x
0 
= (x
0
1 , x
0
2 ) 
x
0
1 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  6
ℝ n  {(x1, x2, , xn) | xi  0, i = 1, 2,  , n}  ℝ
n
. 
Ta qui ước viết x  0 để chỉ các véctơ trong ℝ n mà mỗi thành phần xi của 
nó lớn hơn hay bằng 0 và dùng ký hiệu x > 0 để chỉ các véctơ mà mọi thành 
phần của nó thực sự dương. Tổng quát, với bất kỳ x, y  ℝn, ta viết x  y  xi  
yi, i = 1,  , n, và x > y  xi > yi, i = 1,  , n. 
Định nghĩa 1.1. Tập hợp lồi trong ℝn 
Tập S  ℝn được gọi là lồi nếu với mọi x1  S và x2  S ta có 
tx
1
 + (1 – t)x2  S. 
đối với mọi t trong khoảng 0  t  1. 
Như vậy một tập hợp là lồi nếu nó chứa hai điểm bất kỳ thì nó chứa tất cả 
các điểm trung bình theo trọng số (tổng trọng số bằng 1) của hai điểm đó. 
Các ví dụ về tập lồi và tập không lồi vẽ ở Hình 1.2. Các tập hợp lồi có hình 
dáng đẹp: không có hố, không nứt gẫy, không bị cong queo trên biên. 
 Các tập hợp lồi Các tập hợp không lồi 
Hình 1.2. Các tập lồi và tập không lồi trong ℝ2 
Ta chú ý tới tính chất đơn giản nhưng quan trọng của các tập lồi. 
Định lý 1.1. Giao của các tập lồi là lồi 
Giả sử S và T là các tập lồi trong ℝn. Khi đó, S  T là một tập lồi. 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  7
Chứng minh. Giả sử S và T là hai tập hợp lồi và x1, x2 là hai điểm bất kỳ 
thuộc S  T. Do x1  S  T nên x1  S và x1  T. Cũng cậy, do x2  S  T nên 
x
2
  S và x2  T. Cho z = tx1 + (1 – t)x2 với t  [0, 1] là một tổ hợp lồi bất kỳ 
của x1 và x2. Do S là tập lồi nên z  S và do T là tập lồi nên z  T. Vì z  S và z 
 T nên z  S  T. Do mọi tổ hợp lồi của hai điểm bất kỳ thuộc S  T cũng 
thuộc S  T nên S  T là một tập hợp lồi. 
1.2. QUAN HỆ VÀ HÀM SỐ(Relations and Functions) 
 Ta đã thấy mỗi cặp có thứ tự (s, t) tuỳ ý đặt tương ứng phần tử s  S nào 
đó với phần tử t  T. Các phần tử của S và T không nhất thiết là các số mà có 
thể là những đối tượng bất kỳ (người, vật hay đồ vật, ). Ta nói một họ hay 
một tập tuỳ ý các cặp có thứ tự là một quan hệ nhị nguyên (binary relation) của 
hai tập S và T. Như vậy, quan hệ nhị nguyên là một tập hợp con của tích hai 
tập, trong đó phần tử đầu của mỗi cặp thuộc S và phần tử sau thuộc T. 
Thông thường, họ các cặp được thiết lập khi giữa hai phần tử của cặp có 
mối quan hệ ý nghĩa nào đó. Chẳng hạn, S là tập các thành phố {Hà Nội, 
Wasington, London, Paris, Marseilles, Huế} và T là tập các nước {Việt Nam, 
Hoa Kỳ, Anh, Pháp, Đức}. Cụm từ “là thủ đô của” xác định nên một quan hệ 
mà nó là tập con của tập tích S  T, bao gồm các cặp {(Hà Nội, Việt Nam), 
(Wasington, Hoa Kỳ), (London, Anh), (Paris, Pháp)}. Ta thường đặt một ký 
hiệu chung để chỉ quan hệ, thay cho bản thân quan hệ đó và cả cụm từ “là thủ đô 
của”. 
Ký hiệu R để chỉ cụm từ “có quan hệ ý nghĩa nào đó với”. Ta nói R xác 
định một quan hệ và đọc xRy là “x có quan hệ với y”. Để phân biệt giữa tập tất 
cả các cặp có quan hệ bởi cụm từ R với bản thân phát biểu R đó, ta đặt ký hiệu 
xác định quan hệ đó trong hai dấu nháy kép. Như vậy, định nghĩa tổng quát của 
một quan hệ được cho bởi 
“R”  {(s, t) | s  S, t  T và sR t}  S  T. 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  8
Hay gặp nhất là các quan hệ nhị nguyên xác định bởi một tập con của tích 
một tập hợp nào đó với chính nó. Chẳng hạn, S là tập các điểm thuộc khoảng 
đóng đơn vị S = [0, 1]. Với cụm từ có nghĩa R  “lớn hơn hay bằng” thì quan hệ 
nhị nguyên 
“”  {(x, y) | x  S, y  S và x  y} 
được minh hoạ ở Hình 1.3. Quan hệ này bao gồm mọi cặp có thứ tự các số giữa 
0 và 1, trong đó số thứ nhất lớn hơn hay bằng số thứ hai. Khi quan hệ nhị 
nguyên là tập con của tích một tập S với chính nó thì ta nói đó là một quan hệ 
trên S. 
 1   
 S = {0, 1} 
 S  S = {(x ... với ràng buộc không âm 
Ví dụ 3.5. Xét bài toán 
x
min{x
2
 + 4x - 2} với điều kiện x  0. 
Lấy vi phân ta được f‟(x) = 2x + 4. Từ 3.28 x* cần thoả mãn 
 1. - 2x* - 4  0 
 2. x*[2x* + 4] = 0 
 3. x*  0. 
Từ các điều kiện này cho thấy x* = 0 là nghiệm cực tiểu. 
 Điều kiện cho cực đại của f(x) với x  0 cũng dễ dàng được nêu ra: Nếu 
x~ là điểm cực đại của bài toán với ràng buộc không âm x  0 thì 
 + Điều kiện 1. f‟( x~ )  0 
 + Điều kiện 2. x~ [f‟( x~ )] = 0 (3.29) 
 + Điều kiện 3. x~  0. 
Trong trường hợp nhiều biến, ba điều kiện trên cần đúng với từng biến 
riêng biệt và các đạo hàm riêng của hàm thay cho đạo hàm duy nhất. Định lý sau 
là một mở rộng trực tiếp của trường hợp một biến. 
Định lý 3.12. Điều kiện cần tối ƣu của hàm với ràng buộc không âm 
(Necessary Conditions for Optima of Real Valued Functions Subject to Non-negativity 
Constraints) 
Giả sử f(x) là hàm khả vi liên tục. Khi đó, 
 1. Nếu x* đạt cực tiểu của f(x) với điều kiện x  0 thì x* thoả mãn 
x
*
 = 0 x
1
x 
x
*
 = 0 x
*
 > 0 x
1
 = 0 
f(x) f(x) f(x) 
f ‟(x
*
) > 0 
f ‟(x
*
) = 0 f ‟(x
*
) = 0 
f ‟(x
1
) < 0 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  61 
 (1) 
ix
*)x(f


  0, i = 1,  , n 
 (2) xi [
ix
*)x(f


] = 0, i = 1,  , n 
 (3) xi  0, i = 1,  , n. 
 2. Nếu x~ đạt cực đại của f(x) với điều kiện x  0 thì x~ thoả mãn 
 (1) 
ix
)x~(f


  0, i = 1,  , n 
 (2) x~ i[
ix
)x~(f


] = 0, i = 1,  , n 
 (3) x~ i  0, i = 1,  , n. 
3.3.3. ĐIỀU KIỆN KARASH-KUHN-TUCKER(KKT Conditions) 
Cho đến nay trên thực tế ta chưa sử dụng đến phương pháp Lagrange, bởi 
vì ràng buộc bất đẳng thức được xét là đơn giản. Bây giờ ta xét bài toán với ràng 
buộc bất đẳng thức phức tạp hơn. 
21 x,x
min f(x1, x2) với điều kiện g(x1, x2)  0, x1  0, x2  0. (3.30) 
Bài toán này được gọi là bài toán quy hoạch phi tuyến (non-linear 
programming problem). Thêm biến mới z  0 để đưa bài toán (3.30) về dạng: 
z,x,x 21
min f(x1, x2) với điều kiện g(x1, x2) + z = 0, x1  0, x2  0, z  0. (3.31) 
Định lý 3.1 cho thấy cực tiểu theo x của f với ràng buộc đẳng thức trùng 
với cực tiểu không điều kiện theo x của hàm Lagrange tương ứng khi không có 
ràng buộc về dấu. Định lý 3.4 cho biết phải thay đổi thế nào điều kiện cấp một 
đối với cực tiểu không ràng buộc của hàm Lagrange để tính đến các ràng buộc 
không âm này. Để có thể vận dụng các định lý trên, trước hết ta xây dựng hàm 
Lagrange cho bài toán (3.31): 
L(x1, x2, z, )  f(x1, x2) + [g(x1, x2) + z]. 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  62 
Ta sẽ mô tả đặc trưng cho điểm cực tiểu của hàm Lagrange L với các ràng 
buộc x1  0, x2  0, z  0. Điều kiện cấp một đối với x1, x2 và z có dạng 
 L1  f1 + g1  0 (i) 
 x1L1  x1[f1 + g1] = 0 (ii) 
 L2  f2 + g2  0 (iii) 
 x2L2  x2[f2 + g2] = 0 (iv) 
 Lz    0 (v) 
 zLz  z = 0 (vi) 
 x1  0, x2  0, z  0. (vii) 
Điều kiện cấp một đối với , khuyết điều kiện không âm, đơn giản chỉ là 
 L  g(x1, x2) + z = 0. (viii) 
Từ các điều kiện (v) – (viii) suy ra 
 g(x1, x2)  0 
 g(x1, x2) = 0 
   0. 
Kết hợp các điều kiện này với (i) – (iv) ta nhận được các điều kiện gọi là 
điều kiện Karush - Kuhn - Tucker (hay đơn giản là điều kiện KKT): 
 f1 + g1  0 (i) 
 x1[f1 + g1] = 0 (ii) 
 f2 + g2  0 (iii) 
 x2[f2 + g2] = 0 (iv) 
 g(x1, x2)  0 (v‟) 
 g(x1, x2) = 0 (vi‟) 
 x1  0, x2  0,   0. (vii‟) 
Ta bàn kỹ các điều kiện này: Các điều kiện từ (i) – (iv) cùng với hai điều 
kiện đầu của (vii‟) là những điều kiện cấp một thông thường cho cực tiểu của L 
với ràng buộc không âm trên x1, x2. Các điều kiện (v‟), (vi‟) và điều kiện cuối 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  63 
của (vii‟) không thể xem như điều kiện cho cực tiểu của L theo , bởi vì bất 
đẳng thức trong (v‟) “đảo ngược dấu”. Song nếu nhìn lại Định lý 3.4 ta biết sẽ 
nhận được gì nếu ta định tìm cực đại của L theo  với ràng buộc không âm. 
Đúng thế, các điều kiện (v‟), (vi‟) và điều kiện cuối của (vii‟) chính là điều kiện 
L  0, L = 0 và   0 mà ta sẽ nhận được nếu ta định tìm cực đại của L theo  
với điều kiện không âm   0. 
Bây giờ có thể thấy rằng (i) – (vii‟) là các điều kiện cần hay điều kiện cho 
điểm cực tiểu của hàm Lagrange theo các biến xi và cho cực đại của hàm 
Lagrange theo nhân tử . Nếu tại một điểm nào đó (x 1 , x

2 , ), L đạt cực tiểu 
theo x1 và x2, đồng thời L đạt cực đại theo , thì (x

1 , x

2 , ) được gọi là điểm 
yên ngựa (saddle point) của hàm Lagrange. Tất nhiên điều này được mở rộng 
cho trường hợp bài toán có nhiều biến và nhiều ràng buộc, miễn là các hàm ràng 
buộc cần thoả mãn một số điều kiện nhất định nào đó (gọi là điều kiện chính 
qui). 
Ta cũng có thể đưa ra các điều kiện tương tự, nhưng không đồng nhất, đối 
với bài toán cực đại với ràng buộc bất đẳng thức và ràng buộc không âm. Với 
bài toán cực đại ta qui ước viết (các) bất đẳng thức ràng buộc ở dạng g(.)  0, 
chứ không phải ở dạng g(.)  0 như đã làm khi xét bài toán cực tiểu. Lúc này ta 
có thể áp dụng cùng những lập luận và cùng phương pháp để tìm thấy rằng điểm 
yên ngựa của hàm Lagrange trùng với nghiệm của bài toán cực đại có ràng buộc. 
Tuy nhiên, lúc này điểm yên ngựa bao gồm cực đại của hàm Lagrange theo các 
biến quyết định và cực tiểu theo các nhân tử Lagrange. 
Ta tổng kết các kết quả này trong định lý sau. 
Định lý 3.13. Điều kiện cần tối ƣu KKT của hàm thực với ràng buộc 
bất đẳng thức và ràng buộc không âm (KKT Necessary Conditions for Optima 
of Real Valued Functions Subject to Inequality and Non-negativity Constraints) 
Giả sử f(x) hai lần khả vi liên tục. 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  64 
 1. Xét bài toán cực tiểu: 
x
min f(x) với điều kiện gi(x)  0, i = 1,  , m, và x  0 (T.1) 
 với hàm Lagrange 
 L(x,  ) = f(x) + 


m
1j
jj )x(g (T.2) 
Nếu x* là nghiệm của (T.1) và nếu các véctơ građiên của những ràng buộc 
chặt tại x* độc lập tuyến tính thì tồn tại m số  j  0, j = 1,  , m sao cho 
(x*, * ) là điểm yên ngựa của hàm Lagrange và thoả mãn điều kiện Karush - 
Kuhn - Tucker: 
Li(x*, * )  0 và x

j Li(x*, * ) = 0, j = 1,  , n 
 L
i
(x*, * )  0 và  i L i (x*, * ) = 0, i = 1,  , m. 
 2. Xét bài toán cực đại: 
x
max f(x) với điều kiện gi(x)  0, i = 1,  , m, và x  0 (T.3) 
với hàm Lagrange tương ứng (T.2). Nếu x~ là nghiệm của (T.3) và nếu các véctơ 
građiên của những ràng buộc chặt tại x~ độc lập tuyến tính thì tồn tại m số i
~
  
0, i = 1,  , m sao cho ( x~ , 
~
) là điểm yên ngựa của hàm Lagrange và thoả 
mãn điều kiện Karush - Kuhn - Tucker: 
Li( x
~ , 
~
)  0 và x~ iLj( x
~ , 
~
) = 0, j = 1,  , n 
 L
i
( x~ , 
~
)  0 và i
~
 L
i
( x~ , 
~
) = 0, i = 1,  , m. 
Chứng minh đầy đủ định lý này có thể tìm trong Luenberger (1973). 
Điều kiện Karush - Kuhn - Tucker nêu trong Định lý 3.13 là các điều kiện 
cần. Chúng cho biết những điều kiện gì cần được thoả mãn khi ta biết (hay giả 
thiết) có một nghiệm tối ưu cho bài toán quy hoạch phi tuyến. Vì thế, chúng 
không cho ta một “thuật toán” để giải thực sự bài toán. Muốn thế cần có thêm 
các điều kiện đủ và chúng thực sự khó ở trường hợp tổng quát này. Tuy nhiên, 
trong một số trường hợp riêng khi hàm mục tiêu lồi (lõm) hay tựa lồi (lõm) thì 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  65 
các điều kiện đủ như thế đã được bàn tới. Với các nhà kinh tế thì các điều kiện 
cần nêu trong Định lý 3.13 là tạm đủ. 
Hình 3.6. Điểm yên ngựa của hàm Lagrange 
 Tóm lại, trong chương này chúng tôi đã trình bày khái quát về vấn đề 
tìm cực trị của các hàm số một hay nhiều biến số và giới thiệu tương đối đày đủ 
các khái niệm và kiến thức tối ưu cơ bản, chủ yếu dưới hình thức phi toán, các 
kết quả chính được ghi thành các định lý, phần lớn chúng được giải thích và 
minh hoạ thông qua nhiều ví dụ số và hình vẽ cụ thể. 
Đáng chú ý là các điều kiện cần và điều kiện đủ, cấp 1 và cấp 2, cho điểm 
cực tiểu hay cực đại của hàm số khi có hay không có ràng buộc. Phương pháp 
quen biết tìm cực trị là phương pháp nhân tử Lagrange và tổng quát hơn là 
phương pháp dùng điều kiện cần KKT, kết hợp với các điều kiện đủ tối ưu. 
L(x, l) 
l 
x (0, 0) 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  66 
KẾT LUẬN 
Hàm (rộng hơn là ánh xạ) là một trong những khái niệm cơ bản của giải 
tích toán học. Nói riêng, hàm thực nhiều biến được sử dụng rộng rãi trong nhiều 
lĩnh vực khác nhau của khoa học và kỹ thuật. Nhiều tính chất đáng quí của hàm 
được khai thác triệt để và là giả thiết không thể thiếu trong nhiều nghiên cứu: 
tính liên tục, tính khả vi và tính chất cực trị của hàm. 
Luận văn này nhằm tập trung tìm hiểu những kiến thức giải tích và tối ưu 
hoá cơ bản liên quan đến các hàm nhiều biến số, cần dùng trong phân tích và 
nghiên cứu kinh tế về mặt định lượng (bổ sung cho các nghiên cứu định tính). 
Chương 1 giới thiệu tóm tắt một số kiến thức giải tích cơ bản về tập hợp và 
ánh xạ: tập mở, tập đóng, tập compact trong Rn, cận trên (cận dưới) của tập hợp 
số thực, tập lồi và tính chất; tính liên tục của ánh xạ, quan hệ giữa tính liên tục 
với ảnh ngược của các tập mở (đóng), ảnh liên tục của tập compact ... 
Chương 2 đề cập tới các hàm số thường gặp trong kinh tế và trong các tính 
toán tối ưu: hàm lồi, hàm lõm, hàm thuần nhất. Khảo sát tính tăng (giảm), tính 
lồi (lõm), độ dốc, độ cong của hàm qua các tập liên quan mật thiết với hàm (đồ 
thị, tập mức, tập mức trên, dưới), qua đạo hàm và vi phân của hàm. 
Chương 3 trình bày khái quát về cực trị của hàm số nhiều biến số và các 
kiến thức tối ưu cơ bản: điều kiện cần (điều kiện đủ) đối với điểm cực trị trong 
các bài toán tối ưu có hay không có ràng buộc, phương pháp Lagrange cho tối 
ưu với ràng buộc đẳng thức và mở rộng cho tối ưu với ràng buộc bất đẳng thức. 
Tác giả đã cố gắng sắp xếp và trình bày vấn đề theo cách hiểu rõ ràng và 
trực quan nhất có thể, đưa ra các ví dụ và hình vẽ để minh hoạ cho nhiều khái 
niệm và sự kiện được đề cập tới trong luận văn. 
Hy vọng luận văn này sẽ là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các đối tượng 
không chuyên sâu về toán muôn tìm hiểu và vận dụng công cụ giải tích, đặc biệt 
là các phương pháp tối ưu trong chuyên môn của mình. 
www.VNMATH.com
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên  67 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
Tiếng Việt 
[1] N. T. B. Kim (2008), Giáo trình các phương pháp tối ưu (Lý thuyết và 
thuật toán), Nxb Bách khoa - Hà Nội. 
[2] Đ. V. Lưu và P. H. Khải (2000), Giải tích lồi, Nxb Khoa học và Kỹ 
thuật Hà Nội. 
Tiếng Anh 
[3] G. A. Jehle (1995), Advanced Microeconomic Theory, Part I, Prentice 
Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. 
[4] W. F. Trench (2003), Introduction to Real Analysis, Free Edition, 
Library of Congress Cataloging-in-Publication Data. 
[5] D. G. Luenberger and Y. Ye (2008), Linear and Nonlinear 
Programming, 3
rd
 Edition, Springer. 
www.VNMATH.com