Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số bậc bốn các bài toán liên quan

Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè bËc bèn C¸c bµi to¸n liªn quan
Bµi1 (DH KB 2009)Cho hàm số y = 2x4 – 4x2 (1)
	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
	2. Với các giá trị nào của m, phương trình có đúng 6 nghiệm thực phân biệt?
Bµi2 (DH KD 2009)Cho hàm số y = x4 – (3m + 2)x2 + 3m có đồ thị là (Cm), m là tham số.
	1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 0.
	2. Tìm m để đường thẳng y = -1 cắt đồ thị (Cm) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn 2.
Bµi 3: Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 
A,y = x4-2x2+1 B, y= -1/2 x4-x2+3/2
Bµi 4 : §HQG TPHCM 1996 Cho Cm : y= x4 -2 m x2 + m3-m2
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè øng víi m = 1,
2,T×m m ®Ó hµm sè tiÕp xóc víi trôc hoµnh t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt
Bµi 5 :§H HuÕ 1998 Cho Cm : y= -x4+2mx2-2m +1
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =1
2,CMR Cm lu«n ®i qua 2 ®iÓm A B cè ®Þnh.
3.t×m m ®Ó c¸c tiÕp tuyÕn t¹i A vµ B vu«ng gãc víi nhau.
Bµi 6: §Ò 122 I .Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y= x4+ x2+1
Bµi 7: §HNN 1999 1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè y= x4 -2x2 -
 2.ViÕt pt tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i c¸c giao ®iÓm cña nã víi trôc ox.
Bµi 8: §H HuÕ 2000 
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè y= x4-5x2+4
2.T×m m ®Ó ®­êng th¼ng y = m c¾t ®å thÞ 3 ®o¹n th¼ng b»ng nhau.
3.T×m m ®Ó y = m c¾t ®å thÞ hµm sè t¹i bèn ®iÓm ph©n biÖt,
Bµi 9: §H Y TPHCM 1998 Cho hµm sè y = x4 -2(m+1) x2 +2m+1
A,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m = -2
B,T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t ox t¹i 4 ®iÓm cã hoµnh ®é lËp thµnh cÊp sè céng.
Bµi 10; §HNT 1994 Cho hµm sè y = x4-4mx3+(3-3m)x2+3
A,kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ víi m =1
B,T×m m ®Ó hµm sè cã cùc tiÓu mµ kh«ng cã cùc ®¹i.
Bµi 11: §HSP II 1997. Cho hµm sè y= (1-m) x4-mx3 +2m-1
A,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ víi m = -2
B,T×m m ®Ó hµm sè c¾t ox t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt.
C,T×m m ®Ó hµm sè cã ®óng mét cùc trÞ.
D,T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu mµ tæng b×nh ph­¬ng c¸c hoµnh ®é b»ng 27.
Bµi 12: §HC§ B 2002 cho hµm sè y= mx4 + (m2-9) x2 +10
1,Ksv®t víi m=1
2,T×m m ®Ó hµm sè cã 3 cùc trÞ.
Bµi 13.§HC§ dù bÞ.2002 Cho hµm sè y=x4 –mx2+ m -1
1, Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m=8.
2.T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc ox t¹i 4 ®iÓm ph©n biÖt.
Bµi 14 §Ò tham kh¶o 2005
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè y= x4-6 x2+5
2.T×m m ®Ó pt sau cã 4 nghiÖm x4 -6 x2 –log2m =0
Bµi 15.	cho hµm sè y= x4-2 m2x2+1
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ víi m=1
2.T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã 3 ®iÓm cùc trÞ lµ 3 ®Ønh cña mét tam gi¸c vu«ng c©n.
Bµi 16 kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ c¸c hµm sè 
1,y =-x4+x2+1 2.y = x4+x3+x+1 3 
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm bËc ba
C¸c Bµi to¸n phô liªn quan
Bµi 1: (§¹i häc quèc gia 1998 D ) 	Cho hµm sè f(x) = x3 + 3 x2-9x + m
	1,kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ víi m = 1	2,T×m m ®Ó pt f(x) = 0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt.
Bµi 2 : (§¹i häc b¸ch khoa 1999)
	1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm y = x3 -3 x + 2
	2,Gi¶i vµ biÖn luËn theo m sè nghiÖm cña pt x3 -3 x + 2 = 
Bµi 3 : (Häc viÖn quan hÖ qt 2000)
1.Ks vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè (C) y = 4x3 -3 x
2,T×m sè nghiÖm cña pt 4 x3-3x =
Bµi 4 Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña c¸c hµm sè sau
1,y = 2x3 + 3x2-1 2,y = x3 + 3x2 + 3x +5 3,y=x3 -3x2-6x +8
4,y= 2x3 –x2.Gi¶ sö y = a cÊt ®thÞ t¹i x1,x2,x3..TÝnh x12+x22+x32 = ?
Bµi 5 : (§H Má 1997 ) Cho Cm :y = (m+2)x3 + 3 x2 + mx-5
	1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m = 0	2,T×m m ®Ó hµm sè cã C§ vµ CT
Bµi 6: (HVCNBCVT-2001) Cho hµm sè y=x3 -3x (C)
A,kh¶o s¸t hµm sè	
b,CMR khi m thay ®æi th× ®­êng th¼ng y = m(x+1)+2 lu«n c¾t ®å thÞ t¹i mét ®iÓm A cè ®Þnh.H·y x¸c ®Þnh m ®Ó ®­êng th¼ng c¾t (C) t¹i 3 ®iÓm A,B,C kh¸c nhau sao cho tiÕp tuyÕn t¹i B vµ C vu«ng gãc víi nhau.
Bµi 7:(§HL-§HD-2001) Cho hµm sè y= x3 -3(a-1)x2 + 3a(a-1)x +1
A,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè
B,Víi gi¸ trÞ nµo cña a th× hµm sè ®ång biÕn trªn tËp sao cho .
Bµi 8:(§HBK-99) Cho hµm sè y = x3 +ax +2 
A,kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè	
b,t×m a ®Ó ®å thÞ c¾t ox t¹i ®óng 1 ®iÓm(TiÕp xóc,c¾t t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt )
Bµi 9L§HC§ A 2002.cho hµm sè y=-x3 +3mx2 +3(1-m2)x +m3-m2 (1)
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m=1
2, T×m k ®Ó pt –x3+3x +k3-3k2 =0 cã 3 nghiÖm ph©n biÖt
3,ViÕt pt ®­êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm cùc trÞ cña ®å thÞ hµm sè
Bµi 10 §HC§ 2002 DùbÞ: Cho hµm sè y = (1) víi m lµ tham sè
Cho m =1/2 
 *h·y kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè
	 *ViÕt pt tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (C) biÕt r»ng tiÕp tuyÕn song song víi (d):y=4x+2	
Bµi 11.§HC§-B-2003: Cho hµm sè y=x3-3x2+m
	1,T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè cã 2 ®iÓm ph©n biÖt ®èi xøng nhau qua gèc to¹ ®é	
	2.Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ khi m = 2
Bµi 12>§HC§ dù bÞ 2003 Cho hµm sè y=(x-1)(x2+mx+m) víi m lµ tham sè 
1,T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc ox t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt
2,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m = 4
Bµi 13>§HC§ dù bÞ 2003 
1,Kh¶o s¸t y = 2x3 -3x2 -1 (C)
2, Gäi dk lµ ®­êng th¼ng ®i qua M(0:1) vµ cã hÖ sè gãc b»ng k.T×m k ®Ó ®­êng th¼ng c¾t ®å thÞ t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt.
Bµi 14>§HC§ B 2004 Cho hµm sè y= (1) cã ®å thÞ (C )
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (C )
2,ViÕt pt tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i ®iÓm uèn .CM hÖ sè gãc cña lµ tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc nhá nhÊt cña ®å thÞ (C )
Bµi 15>§HC§ D 2004 Cho hµm sè y=x3 -3 m x2 +9x +1 (1) Víi m lµ tham sè.
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =2
2,T×m m ®Ó ®iÓm uèn cña ®å thÞ hµm sè thuéc ®­êng th¼ng y=x +1
Bµi 16>§HC§ D 2005 Gäi( Cm) lµ ®å thÞ hµm sè (*) 
1.Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ víi m= 2
2.Gäi ®iÓm M thuéc ®å thÞ cã hoµnh ®é = -1,tim m sao cho tiÕp tuyÕn t¹i M song song víi ®­êng th¼ng 5 x – y = 0
Bµi 17>C§ SP Hµ Nam A 2005 Cho hµm sè (1 ) cã ®å thÞ (Cm )
1.Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè víi m =1
2.t×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc ox t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é lËp thµnh cÊp sè céng
3.T×m c¸c ®iÓm mµ ®å thÞ hµm sè lu«n ®i qua víi mäi gi¸ trÞ cña m. 
Bµi 18>C§SP KT 2005 Cho hµm sè y=x3 +3x2+4 (1)
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®ß thÞ hµm sè 
2.Chøng minh ®å thÞ hµm sè lu«n cã t©m ®èi xøng
3,ViÕt pttt cña ®å thÞ hµm sè ®i qua A(0:1).
Bµi 19>§HC§ D 2006 Cho hµm sè y=x3-3x +2
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 
2.Gäi d lµ ®­êng th¼ng ®i qua ®iÓm A(3;20) cã hÖ sè gãc m.Tim m ®Ó d c¾t ®å thÞ hµm sè t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt.
Bµi 20.§HC§ A 2006 
	1.Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y=2x3-9x2+12x -4
	2.Tim m ®Ó pt sau cã 6 nghiÖm ph©n biÖt 
Kh¶o s¸t hµm ph©n thøc bËc 1/bËc 1
Bµi 1:§¹i häc th­¬ng m¹i 1999	cho hµm sè (C): 
1,kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 
2,Gi¶i vµ biÖn luËn sè giao ®iÓm cña (l) 2x-y +m=0 víi (C).Khi chóng cã hai giao ®iÓm M vµ N.H·y t×m quü tÝch trung ®iÓm I cña MN.
Bµi 2: §¹i häc an ninh 1997	
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 
2,T×m M(C) ®Ó tæng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn 2 ®­êng tiÖm cËn lµ nhá nhÊt.
Bµi 3:§¹i häc ngo¹i th­¬ng tp.HCM 1997
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 
2,T×m M(C) ®Ó tæng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn 2 trôc to¹ ®é lµ nhá nhÊt.
Bµi 4: [38 III]	1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C) 
2,CMR ®­êng th¼ng y=-x+m lu«n c¾t (C) t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt A,B.T×m m ®Ó AB ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
3,T×m m ®Ó ph­¬ng tr×nh cã ®óng 2 nghiÖm x
Bµi 5: [40 I]	cho (Cm) 
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè øng víi m=1
2.T×m M ®Ó tæng kho¶ng c¸ch ®Õn 2 ®­êng tiÖm cËn nhá nhÊt.
3.CMR≠0 ®å thÞ hµm sè lu«n tiÕp xóc víi mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh.
Bµi 6; [§HQG.TP.HCM1997]	
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 
2,T×m M víi xM=m.TiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M c¾t c¸c ®­êng tiÖm cËn t¹i A vµ B .Gäi I lµ giao ®iÓm cña 2 ®­êng tiÖm cËn .CMR M lµ trung ®iÓm cña AB vµ diÖn tÝch tam gi¸c (IAB) kh«ng ®æi .
Bµi 7: §¹i häc quèc gia 1997 D
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 
2,T×m Max y vµ Min y = ?
Bµi 8 : §¹i häc Th¸i Nguyªn 1997 D
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ (C)hµm sè 
2,T×m trªn (C) c¸c ®iÓm cã to¹ ®é nguyªn.
3.CMR kh«ng tån t¹i tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ ®i qua giao ®iÓm cña 2 ®­êng tiÖm cËn.
Bµi 9 : §¹i häc c¶nh s¸t 1997
1,Kh¶o s¸t,vÏ 
2,ViÕt pt tiÕp tuyÕn víi hÖ sè gãc =4.T×m tiÕp ®iÓm.
Bµi 10 §¹i häc quèc gia 1998.
1.Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 
2.T×m trªn oy c¸c ®iÓm kÎ ®­îc ®óng mét tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ .
Bµi 11: [C§SP-TP.HCM 1998]1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè 
2,CMR ®­êng th¼ng 2x-y+m=0 lu«n c¾t ®å thÞ hµm sè t¹i hai ®iÓm A,B n»m vÒ 2nh¸nh cña ®å thÞ.
3.T×m m sao cho AB nhá nhÊt.
Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè bËc hai/bËc nhÊt.
Bµi 1.1,kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè 
2,biÖn luËn sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh x2+(3-a)x+3-2a=0 vµ so s¸nh c¸c nghiÖm ®ã víi -3 vµ -1
Bµi 2: 1,kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè 
2,BiÖn luËn sè nghiÖm cña pt 
Bµi 3:§¹i häc tµi chÝnh kÕ to¸n 1997
1,kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y= víi m=2
2,BiÖn luËn sè nghiÖm cña pt +log1/2a=0
Bµi 4: §¹i häc kiÕn tróc 1998
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè y=
2,T×m Max,Min cña A=
Bµi 5:HVKTQS 2000
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè y=
2,T×m M ®Ó kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn :y+3x+6=0
®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt.
Bµi 6 §HQG.HCM 1997
1,kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ y= (C)
2,BiÖn luËn sè nghiÖm cña pt x2+(1-m)x+1-m=0
3,T×m k ®Ó tån t¹i Ýt nhÊt 1 tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ s«ng song víi y=kx+2.Tõ ®ã t×m k ®Ó mäi tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ ®Òu c¾t y=kx+2
Bµi 7: 1,Kh¶o s¸t y=
2,T×m 2 ®iÓm M,N thuéc ®å thÞ ®èi xøng nhau qua A(3;0)
Bµi 8:§¹i häc kiÕn tróc	cho hµm sè y=
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ khi m=0
2.T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu
3.T×m ®iÓm cè ®Þnh cña ®å thÞ hµm sè
4.BiÖn luËn sè nghiÖm cña pt 
Bµi 9:§HC§ dù bÞ 2002
Cho hµm sè y= (1) (m lµ tham sè )
1,X¸c ®Þnh m ®Ó hµm sè nghÞch biÕn trªn ®o¹n [-1;0]
2,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ víi m=1
3,T×m a ®Ó pt sau cã nghiÖm 
Bµi 10 §HC§ dù bÞ 2002
Cho hµm sè y= (1)
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ cña hµm sè víi m=1
2.T×m m ®Ó hµm sè cã cùc ®¹i vµ cùc tiÓu ,Khi nµo kho¶ng c¸ch gi÷a chóng = 10
Bµi 11,§HC§ A 2003
Cho hµm sè y= (1) (m lµ tham sè )
1.Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè khi m=1
2.T×m m ®Ó ®å thÞ hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt cã hoµnh ®é d­¬ng
Bµi 12:§HC§ tk 2003
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè 
2.T×m m ®Ó pt 2x2-4x-3 +2m=0 cã2 nghiÖm ph©n biÖt
Bµi 13.§HC§ D 2004
1,Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè (1)
2,T×m m ®Ó ®­êng th¼ng dm : y=mx+2-2m c¾t ®å thÞ hµm sè t¹i 2 ®iÓm ph©n biÖt
HÀM SỐ
[1. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
 Dạng 1: Tính đơn điệu của hàm số
I. Kiến thức cơ bản
1. Định nghĩa
Giả sử hàm số y = f(x) xác định trên K:
+ Hàm số y = f(x) được gọi đồng biến trên khoảng K nếu:
+ Hàm số y = f(x) được gọi là nghịch biến trên khoảng K nếu:
2. Qui tắc xét tính đơn điệu
a. Định lí
Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K:
+ Nếu f’(x) > 0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến
+ Nếu f’(x) < 0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến
b. Qui tắc
B1: Tìm tập xác định của hàm số
B2: Tính đạo hàm của hàm số. Tìm các điểm xi (i = 1, 2,,n) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
B3: Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
B4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến.
II. Các ví dụ 
Loại 1: Xét sự biến thiên của hàm số
Ví dụ 1. Xét sự đồng biến và nghịc biến của hàm số:
Ví dụ 2. Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
Loại 2: Chứng minh hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng xác định.
Phương pháp
+ Dựa vào định lí.
Ví dụ 3.
Chứng minh hàm số nghịch biến trên đoạn [1; 2]
Ví dụ 4
Chứng minh hàm số đồng biến trên nửa khoảng [3; +).
Hàm số nghịc biến trên mỗi nửa khoảng [-2; 0) và (0;2]
Ví dụ 5. Chứng minh rằng
Hàm số nghịch b ... sẽ được một phép dời hình.
Phép dời hình biến đa diện H thành đa diện H’ và biến đỉnh, cạnh, mặt của H thành đỉnh, cạnh, mặt tương ứng của H’.
Phép vị tự: 
Định nghĩa: cho số k không đổi khác 0 và một điểm O cố định. Phép biến hình trong không gian biến mỗi điểm M thành M’ sao cho được gọi là phép vị tự.
Trong đó: + O gọi là tâm vị tự.
	 + k gọi là tỉ số vị tự .
 Tính chất cơ bản của phép vị tự:
Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M,N thành hai điểm M’,N’ thì và .
Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng, bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng.
Hai hình bằng nhau: 
Hai hình được gọi là bằng nhau nếu có một phép dời hình biến hình này thành hình kia.
Hai đa diện được gọi là bằng nhau nếu có môt phép dời hình biến đa diện này thành đa diện kia.
Hai hình đồng dạng: Hình H được gọi là đồng dạng với hình H’ nếu có một phép vị tự biến hình H thành hình H1 mà hình H1 bằng hình H’. 
4/ Khối đa diện lồi và khối đa diện đều:
Khối đa diện lồi: khối đa diện H được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của H luôn thuộc H.
Khối đa diện đều: là khối đa diện lồi có hai tính chất sau:
Các mặt là những đa giác đều và có cùng số cạnh.
Mỗi đỉnh là đỉnh chung của cùng một số cạnh.
Chú ý: 
Chỉ có 5 loại khối đa diện đều
	+ Khối tứ diện đều	+ Khối lập phương
	+ Khối 8 mặt đều	+ Khối 12 mặt đều
	+ Khối 20 mặt đều
Khối đa diện đều mà mỗi mặt là đa giác đều n cạnh và mỗi đỉnh là đỉnh chung của p cạnh được gọi là khối đa diện đều loại .
Như vậy: 
+ Khối tứ diện đều là loại 
+ Khối lập phương là loại 
+ Khối 8 mặt đều là loại 
+ Khối 12 mặt đều là loại 
+ Khối 20 mặt đều là loại 
Công thức Ơ-le: Gọi theo thứ tự là số đỉnh, số cạnh và số mặt của một khối đa diện lồi. Khi đó ta có mối liên hệ sau:
Baìi táûp
Bµi1: Chứng minh rằng một khối đa diện có các mặt là những tam giác thì số các mặt của nó phải là số chẵn.
Bµi 2: Chứng minh rằng nếu khối đa diện mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của 5 cạnh thì số đỉnh phải là số chẵn.
Bµi 3: Hãy chỉ ra một cách phân chia khối chóp S.ABCD có đáy là một đa giác lồi thành hai khối chóp tam giác.
Bµi 4: Hãy chỉ ra một cách phân chia khối chóp S.ABCDE có đáy là một đa giác lồi thành các khối chóp tam giác.
Bµi 5: Hãy chỉ ra một cách phân chia khối lăng trụ thành ba khối tứ diện
Bµi 6: Hãy dùng 4 mặt phẳng để chia một khối tứ diện đã cho thành 9 khối tứ diện.
Bµi 7: Có hay không các khối đa diện với các mặt là tam giác đều và số mặt là số chẵn lớn hơn 2 ?
Bµi 8: Hãy chỉ ra tất cả các mặt phẳng đối xứng của hình tứ diện đều ABCD.
Bµi 9: Cho tứ diện ABCD. Chứng tỏ rằng phép dời hình biến mỗi điểm A, B, C, D thành chính nó phải là phép đồng nhất.
Bµi 10: Cho hai điểm phân biệt A, B và phép dời hình F biến A thành A, biến B thành B. Chứng minh rằng F biến mọi điểm M nằm trên đường thẳng AB thành chính nó.
Bµi 11: Cho tam giác ABC và phép dời hình F biến tam giác ABC thành chính nó với , , . Chứng minh rằng F biến mọi điểm M của mặt phẳng (ABC) thành chính nó, tức là .
Bµi 12: Cho tứ diện đều ABCD và phép dời hình F biến ABCD thành chính nó, nghĩa là biến mỗi đỉnh của tứ diện thành một đỉnh của tứ diện. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho M = F(M). trong các trường hợp sau:
	a. 
	b. 
	c. 
Bµi 13: Cho tứ diện ABCD. Gọi lần lược là trọng tâm của các tam giác BCD, ACD, ABD, ABC. Chứng minh rằng có phép vị tự biến tứ diện ABCD thành tứ diện .
Bµi 14: Cho một khối tứ diện đều. Hãy chứng minh rằng:
Các trọng tâm của các mặt của nó là các đỉnh của một khối tứ diện đều
Các trung điểm của các cạnh của nó là các đỉnh của một khối tám mặt đều.
Bµi 15: Hai đỉnh của một khối tám mặt đều được gọi là hai đỉnh đối diện nếu chúng không cùng thuộc một cạnh của khối đó. Đoạn thẳng nối hai đỉnh đối diện gọi là đường chéo của khối tám mặt đều. Chứng minh rằng trong khối tám mặt đều:
Ba đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Ba đường chéo đôi một vuông góc với nhau.
Ba đường chéo bằng nhau.
————————≈≈≈—————————
Ch­¬ng 2: THÓ TÝCH KHèI §A DIÖN 
 ------@&?-------
1/ Tính chất của thể tích: 
Hai khối đa diện bằng nhau thì có thể tích bằng nhau.
Nếu một khối đa diện được phân chia thành nhiều khối đa diện nhỏ thì thể tích của nó bằng tổng thể của các khối đa diện nhỏ đó.
Khối lập phương có cạnh bằng 1 thì có thể tích bằng 1.
2/ Công thức tính thể tích của các khối đa diện:
a/ 	Thể tích khối lập phương: cho khối lập phương cạnh a. 
	 Lúc đó: 	
b/ 	Thể tích khối hộp chữ nhật: cho khối hộp chữ nhật có kích thước ba cạnh lần lược là 
	 Lúc đó:	
	c/ Thể tích khối lăng trụ: cho khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h.
	 Lúc đó:	
	d/ Thể tích khối chóp: cho khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h.
	 Lúc đó:
e/ Thể tích khối chóp cụt: cho khối chóp cụt có diện tích hai đáy là B và B’ , chiều cao h.
	Lúc đó: 
BµI TËP
Bµi1: Tính thể tích của :
Khối tứ diện đều có cạnh bằng a.
Khối lập phương có các đỉnh là trọng tâm các mặt của một khối tám mặt đều cạnh a.
khối 8 mặt đều có cạnh bằng a.
Bµi 2: Cho khối lăng trụ tứ giác đều có khoảng cách giữa hai đường thẳng và bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5. 
Hạ . Chứng minh rằng .
	b. Tính thể tích của khối lăng trụ .
Bµi 3: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng . Tính thể tích khối chóp, biết:
Góc giữa mặt bên và đáy bằng .
Góc giữa cạnh bên và đáy bằng .
Bµi 4: Tính thể tích của khối chóp cụt tam giác đều có cạnh đáy lớn là , đáy nhỏ là a và góc của mặt bên và mặt đáy bằng 600.
Bµi 5: Cho khối lăng trụ tam giác . Tìm tỉ số thể tích của khối tứ diện và khối lăng trụ đã cho.
Baìi 6: Cho khối lăng trụ tam giác . Gọi lần lược là trung điểm của hai cạnh và . Mặt phẳng chia khối lăng trụ đã cho thành hai phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó.
Bµi 7: Cho khối chóp tam giác . Trên các đoạn lần lược lấy ba điểm khác với . Chứng minh rằng: .
Bµi 8: Cho khối chóp có đáy là hình bình hành. Gọi lần lược là trung điểm của . Mặt phẳng cắt tại . Tìm tỉ số thể tích của hai khối chóp và .
Bµi 9: Đáy của khối lăng trụ đứng là tam giác đều. Mặt phẳng tạo với đáy một góc 300 và tam giác có diện tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.
Bµi 10: Cho khối lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành và . Các đường chéo và lần lược tạo với đáy những góc 450 và 600. Hãy tính thể của khối lăng trụ, cho biết chiều cao của nó bằng 2.
Bµi 11: Cho khối tứ diện có ba cạnh vuông góc với nhau từng đôi một, .
Tính thể tích khối tứ diện .
Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Bµi 12: Cho khối chóp có đáy là tam giác vuông tại , cạnh vuông góc với đáy. Biết rằng . Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng .
Bµi13: Cho hình hộp chữ nhật có . Lấy điểm trên cạnh sao cho .
Tính thể tích khối chóp .
Tính khoảng cách từ đến mặt phẳng .
Bµi14: Cho khối hộp có đáy là hình chữ nhật với , . Hai mặt bên và lần lược tạo với đáy những góc 450 và 600. Hãy tính thể tích khối hộp nếu biết cạnh bên bằng 1.
Bµi15: Hình lăng trụ đứng có đáy là một tam giác vuông tại , . Đường chéo của mặt bên tạo với mặt phẳng một góc 300.
Tính độ dài đoạn .
Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bµi16: Cho lăng trụ tam giác có đáy là một tam giác đều cạnh a và điểm cách đều các điểm . Cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc 600.
Tính thể tích của khối lăng trụ.
Chứng minh mặt bên là một hình chữ nhật.
Tính tổng diện tích các mặt bên của khối lăng trụ ( tổng này được gọi là diện tích xung quanh của hình lăng trụ đã cho)
Bµi17: Cho khối lăng trụ , đáy là tam giác vuông cân đỉnh A. Mặt bên là hình thoi cạnh , nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Mặt bên hợp với đáy một góc . Tính thể tích của lăng trụ.
Bµi18: Cho hình chóp tứ giác đều .
Biết và góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng . Tính thể tích khối chóp.
Biết trung đoạn bằng và góc giữa cạnh bên và đáy bằng . Tính thể tích khối chóp
Bµi19: Cho khối chóp có đáy là tam giác vuông tại B. Cạnh vuông góc với đáy, góc và . Gọi M là trung điểm của cạnh .
Chứng minh: .
Tính thể tích khối tứ diện .
Bµi20: Cho khối chóp có đáy là hình vuông cạnh , và vuông góc với đáy. Gọi là trung điểm của .
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng và .
Tính thể tích khối tứ diện .
Bµi21: Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm của tam giác và khoảng cách từ G đến mặt bên bằng . Tính khoảng cách từ tâm O đến mặt bên và thể tích khối chóp .
Bµi22: Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng , góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng . Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng và theo . Tính thể tích khối chóp theo và .
Bµi23: Cho khối chóp có đáy là tam giác đều cạnh a. Cạnh bên vuông góc với đáy và .
Tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng .
Tính thể tích khối chóp và diện tích tam giác .
Bµi24: Cho tam giác vuông cân có cạnh huyền . Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng tại A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng và bằng 600. Tính thể tích khối chóp .
Bµi25: Khối chóp có đáy là tam giác vuông cân đỉnh và , . Hãy tìm góc giữa hai mặt phẳng và để thể 
tích khối chóp lớn nhất.
Bµi26: Cho lăng trụ có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A, , và hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng .	 (KA – 2008)
Bµi27: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, , và mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN.	 (KB – 2008)
Bµi28: Cho lăng trụ đứng , đáy ABC là tam giác vuông, , cạnh bên . Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C	 	 (KD – 2008)
Bµi29Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D; AB = AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 600. Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a. (KA – 2009) 
Bµi30 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc giữa đường thẳng BB’ và mặt phẳng (ABC) bằng 600; tam giác ABC vuông tại C và = 600. Hình chiếu vuông góc của điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. (KB – 2009)
Bµi 31Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A’C’, I là giao điểm của AM và A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC). (KD – 2009)
§¸P ¸N
1/ a. ; c. ; 2/ b. ; 3/ a. ; b. ; 4/ ; 5/ ; 6/ ; 8/ ; 9/ ; 10/ 11/ a. ; b. ; 12/ ; 13/ a. ; b. ; 14/ ; 
15/ a. ; b. ; 16/ a. ; c. ;
17/ ; 18/ a. ; b. 
19/ b. ; 20/ a. ; b. ; 21/ ; 22/ 
23/ a. ; b. ; 24/ ;
25/ ; 26/ ; 
27/ ; ; 28/ ; 
29/Vì (SBI)và (SCI)vuông góc với (ABCD) nên .
Ta có 
Hạ tính được ;
Trong tam giác vuông SIH có .
(E là trung điểm của AB).
.
C
A
B
M
N
H
30/BH= , ; 
goïi CA= x, BA=2x, 
Ta có: 
V= 
H laø hình chieáu cuûa I xuoáng maët ABC
Ta coù 
 (đvtt)
31/Tam giaùc A’BC vuoâng taïi B
Neân SA’BC=
Xeùt 2 tam giaùc A’BC vaø IBC, Ñaùy 
Vaäy d(A,IBC) 
————————≈≈≈—————————