Khảo sát hàm số các bài toán liên quan

PHẦN I: 	ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
I- ®¹o hµm vµ c¸c øng dông
1/- C¸c quy t¾c ®¹o hµm:
+ Quy t¾c céng, trõ: 
(§¹o hµm cña mét tæng b»ng tæng c¸c ®¹o hµm).
+ Quy t¾c nh©n: 
+ Quy t¾c th­¬ng: 
2/- B¶ng ®¹o hµm c¬ b¶n.
 Trong ®ã: u lµ hµm hîp cña x
 ( 
 u’
Á1.TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
I. Định nghĩa	
Cho hàm số y=f(x) xác định trên (a,b)
	1) f tăng trên (a,b) nếu với mọi x1, x2 Î(a,b) mà x1<x2 thì f(x1)<f(x2).
	2) f giảm trên (a,b) nếu với mọi x1, x2 Î(a,b) mà x1f(x2).
	3) x0 Î(a,b) được gọi là điểm tới hạn của hàm số nếu tại đó f’(x) không xác định hay bằng 0.
Á2. CỰC ĐẠI VÀ CỰC TIỂU
A. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1/. Điều kiện để hàm số có cực trị:
Định lý fermat: Nếu hàm số y=f(x) liên tục (a,b) có đạo hàm tại x0Î(a,b) và đạt cực trị tại điểm đó thì f’(x) = 0.
    Nói một cách vắn tắt: Nếu khi x đi qua x0, đạo hàm đổi dấu thì điểm x0 là điểm cực trị. 
    Định lí 2. Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục tới cấp 2 tại x0 và f’(x0) = 0, f''(xo) # 0 thì xo là một điểm cực trị của hàm số. Hơn nữa
1) Nếu f”(x0) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu.
2) Nếu f”(x0) < 0 thì x0 là điểm cực đại.
Nói cách khác:
1) f’(x0) = 0, f”(x0) > 0 ; x0 là điểm cực tiểu.
2) f’(x0) = 0, f”(x0) < 0 x0 là điểm cực đại.
Á3. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
A.CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN.
1) Cách tìm GTLN-GTNN trên (a,b)
	+ Lập bảng biến thiên của hàm số trên (a,b)
	+ Nếu trên bảng biến thiên có một cực trị duy nhất là cực đại( cực tiểu) thì giá trị cực đại (cực tiểu) là GTLN(GTNN) của hàm số trên (a,b)
2)-Cách tìm GTLN-GTNN trên [a,b].
	+ Tìm các điểm tới hạn x1,x2, ..., xn của f(x) trên [a,b].
	+ Tính f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b).
	+ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên
Á5. TIỆM CẬN
 A/CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
1/- Tiệm cận đứng: 
Nếu thì đường thẳng (d) có phương trình x=x0 là tiệm cân đứng của đồ thị (C).
2/- Tiệm cận ngang:
Nếu thì đường thẳng (d) có phương trình y=x0 là tiệm cân ngang của đồ thị (C).
PHẦN II: ÔN TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ
- c¸c bµi to¸nkh¶o s¸t.
Bµi to¸n 1: Kh¶o s¸t vµ vÏ ®å thÞ hµm sè.
1/- Hµm sè bËc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d ( a)
B­íc 1: TX§: R
B­íc 2: Sù biÕn thiªn: y’ = 3ax2 + 2bx + c.
+ y’ = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt HS cã C§; CT
+ y’ = 0 cã nghiÖm kÐp hoÆc v« nghiÖm HS lu«n ®ång biÕn hoÆc nghÞch biÕn trªn R do vËy HS kh«ng cã cùc trÞ.
*y” = 6ax + 2b, y” = 0 ó ®å thÞ lu«n cã mét ®iÓm uèn cã hoµnh ®é: 
* Giíi h¹n: ; 
* B¶ng biÕn thiªn:
B­íc 3: §å thÞ: Xem SGK –tr35( c¸c d¹ng ®å thÞ)
NhËn xÐt: §å thÞ lu«n cã t©m ®èi xøng lµ ®iÓm uèn.
Các dạng đồ thị hàm số: 
F Hàm số bậc 3: y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) 
x
y
O
·
I
x
y
O
·
I
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số không có cực trị Û ?
x
y
O
·
I
x
y
O
·
I
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 2 cực trị Û ?
 Hµm sè bËc 4: y = ax4 + bx2 + c ( a)
B­íc 1: TX§: R
B­íc 2: Sù biÕn thiªn: y’ = 4ax3 + 2bx : x¶y ra hai tr­êng hîp:
+ y’ = 0 cã ba nghiÖm ph©n biÖt HS cã 3 cùc trÞ.
+ y’ = 0 cã 1 nghiÖm HS cã mét cùc trÞ.
* Giíi h¹n: =
* B¶ng biÕn thiªn:
B­íc 3: §å thÞ: Xem SGK –tr38( c¸c d¹ng ®å thÞ)
NhËn xÐt: §å thÞ lu«n cã trôc ®èi xøng lµ Oy.
F Hàm số trùng phương: y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0)
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 2: hàm số có 1 cực trị Û ?
x
y
O
x
y
O
a < 0
a > 0
Dạng 1: hàm số có 3 cực trị Û ?
3/-HµmsèbËcnhÊt/bËcnhÊt: , ( c).
B­íc 1: TX§: D = R/
B­íc 2: Sù biÕn thiªn: y’ = X¶y ra hai tr­êng hîp
+ y’ < 0 HS lu«n nghÞch biÕn trªn D.
+ y’ > 0 HS lu«n ®ång biÕn trªn D.
Chó ý: Hµm sè nµy kh«ng cã cùc trÞ.
*Giíi h¹n: 
 (Nh×n vµo b¶ng biÕn thiªn mµ viÕt giíi h¹n)
§å thÞ HS cã tiÖm cËn ®øng: 
§å thÞ HS cã tiÖm cËn ngang: y
*B¶ng biÕn thiªn. 
+ NÕu y’> 0 th× hai nh¸nh ®å thÞ ë gãc phÇn t­ thø II;IV O x
Sự khác biệt : Hàm đa thức không có tiệm cận, hàm hữu tỉ không cần xét đaọ hàm cấp hai.
y
I
x
y
O
Dạng 2: hsố nghịch biến
Dạng 1: hsố đồng biến
x
O
I
Dạng 1: Dùng đồ thị biện luận phương trình:
f(x) = m hoặc f(x) = g(m) 	(1)
+ Với đồ thị (C) của hàm số y = f(x) đã được khảo sát 
+ Đường thẳng (d): y = m hoặc y = g(m) là một đường thẳng thay đổi luôn cùng phương với trục Ox.
Các bước giải
Bước : Biến đổi phương trình đã cho về dạng pt (1) và dùng 1 trong 2 bảng sau:
Bước ‚: Dựa vào đồ thị ta có bảng biện luận:
m
Số giao điểm của (C) & (d)
Số nghiệm của pt (1)
........
........
........
........
.......
.......
Bảng 1
g(m)
m
Số giao điểm của (C) & (d)
Số nghiệm của pt (1)
......
.......
........
.........
.......
.......
.........
.........
Bảng 2
Dạng 2: Tính diện tích hình phẳng & thể tích vật thể tròn xoay.
	Nhấn mạnh cho học sinh nhớ và vận dụng thành thạo các công thức:
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: 
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b)
	® Ta sử dụng công thức 	(I)
Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
 (C): y = f(x), y = g(x) / [a;b]
 	® Ta sử dụng công thức 	(II)
Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra từ hình phẳng (H) giới hạn bởi 
(C): y = f(x), trục Ox và 2 đường thẳng x = a, x = b ( a < b), khi (H) quay quanh Ox.
	® Ta dùng công thức 	(III)
Dạng 3: Cực trị của hàm số
Yêu cầu đối với học sinh: 
? Hàm số bậc 3 : y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) ® không có cực trị hoặc có 2 cực trị.
? Hàm số bậc 4 dạng : y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0) ® có 1 cực trị hoặc 3 cưc trị.
? Hàm số nhất biến dạng: ® chỉ tăng hoặc chỉ giảm và không có cực trị.
.
Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x0) ¹ 0 thì hàm số có cực trị tại x = x0. 
Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x0) > 0 thì hàm số có cực tiểu tại x = x0. 
Nếu f’(x0) = 0 và f’’(x0) < 0 thì hàm số có cực đại tại x = x0. 
Dạng 4: Viết PTTT của đồ thị hàm số?	
	Yêu cầu học sinh nắm được các bước trình bày bài giải các dạng bài toán sau:
Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của (C): y = f(x) tại M0(x0;y0) Î (C).
	F Bước 1: Nêu dạng pttt : y – y0 = f’(x0) hay y – y0 = k(x – x0) (*)
	F Bước 2: Tìm các thành phần chưa có x0, y0, f’(x0) thay vào (*).
	Rút gọn ta có kết quả
CÁC BÀI TẬP :
Bài 1: Cho hàm số .
	a) Khảo sát hàm số khi m=1.
	b) Xác định m để hàm số đồng biến trên tập xác định.
	c) Định m để hàm số giảm trên (1,4).
Bài 2: Cho hàm số 
a) Tính y’’(1)
b) Xét tính đơn điệu của hàm số.
 Bài 3: Cho hàm số 
Khảo sát và vẽ đồ thị khi m=2.
Xác định m để đồ thi hàm số không cắt đường thẳng x=-1.
Chứng minh rằng với mỗi giá trị m hàm số luôn đồng biến trên khoảng xác định của nó.
 Bài 4: Chứng minh rằng
	a) x > sinx	"x Î( 0,π/2).
	b) .
	c) .
 Bài 5 :  Chứng minh phương trình sau có đúng một nghiệm :   
Bài 6: Cho hàm số (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m=1/3.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
c) Biện luận theo m số cực trị của hàm số (1).
Bài 7: Cho hàm số 
	a)Khảo sát hàm số khi m = 1 gọi đồ thị là (C). Chứng tỏ rằng trục hoành là tiếp tuyến của (C).
	b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị 
 c) Định m để hàm số tăng trên khoảng (1;¥).
Bài 8 Định m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1.
Bài 9: Cho hàm số 
	a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị lớn hơn m.
b) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số góc lớn nhất trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Bài 10:Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
	a) trên [-2;-1/2] ; [1,3).
	b) .
	c)        trên đoạn [0,π]	(TN-THPT 03-04/1đ)
	d) 	xÎ[0,π/2]	(TN-THPT 01-02/1đ)
	e) trên đoạn [-10,10].
Bài 11: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm sốtrên đoạn[-1,3].
Bài 12,1. Biện luận phương trình	 = m 	( dùng bảng 1)
2. Biện luận phương trình	 = 3m -2 	( dùng bảng 2)
3. Biện luận phương trình	 = 	
Bài tập12: Định tham số m để:
Hàm số y = có cực đại và cực tiểu.
Kết quả: m 3
Hsố y = có cực trị.
Kết quả: - 1 < m < 1
Hàm số y = 2x3 – 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 có cực đại và cực tiểu tại x1, x2 và khi đó x2 – x1 không phụ thuộc tham số m.	
Kết quả : "m và x2 – x1 = 1
Hàm số y = x3 – 3x2 + 3mx + 1 – m có cực đại và cực tiểu. Giả sử M1(x1;y1), M2(x2;y2) là 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số. Chứng minh rằng : = 2.	Kết quả : m < 1
Bài tập về pttt của đồ thị:
Bài 1: Cho hàm số y = x2 – 2x + 3 có đồ thị là (C)và (d): 8x – 4y + 1 = 0
	a) CMR (C) và (d) cắt nhau tại 2 điểm A và B
	b) CMR các tiếp tuyến của (C) tại A,B vuông góc nhau.
Bài 2: Cho hàm số y = x3 + mx2 – m – 1, có đồ thị (C). 
	a) Tìm các điểm cố định của (Cm).
	b) Lập pttt tại các điểm cố định đó.
Bài 3: Cho hàm số y = -x4 + 2mx2 – 2m + 1. Tìm m để các tiếp tuyến của đồ thị 
	hàm số tại A(1;0), B(-1;0) vuông góc nhau
Bài 4: Cho hàm số y = . Lập pttt của đồ thị (C) của hàm số tại các giao điểm với 
	trục tung và trục hoành
Bài 5: Cho hàm số y = . Viết pttt của (C) đi qua A(-6;5)
Bài 6) Cho hàm số y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1. Tìm M Î đồ thị (C) của hàm số đã cho sao 
	cho tiếp tuyến tại M đi qua gốc tọa độ O.
MỘT SỐ BÀI TẬP ÔN TẬP TỔNG HỢP
Bài 1 :	Cho hàm số gọi (C) là đồ thị hàm số đã cho
a-Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
b-Tìm các điểm trên (C ) có tọa độ là những số nguyên
c-Chứng minh rằng đường thẳng D:y=2x+m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt MN ;xác định m để đoạn MN có độ dài nhỏ nhất 
d-Tìm tọa độ hai điểm thuộc hai nhánh của đồ thị (C) sao cho khoảng cách giửa chúng bé nhất
Bài 2:
	Cho hàm số
a.-Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b-Viết phương trình tiếp tuyến (C) đi qua điểm A(3;5)
c-Tìm m để đường thẳng y=3/4.x +m cắt (C) theo hai đoạn bằng nhau
d-Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt
Bài 3
Cho hàm số 
 a/Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
 b/Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3x3-6x2-5x+m=0.
 c/Tiếp tuyến với (C) tại gốc tọa độ O cắt đồ thị (C) ở điểm M tìm tọa độ M.
 d/Biện luận theo k vị trí tương đối của (C) và đường thẳng d có phương trình y=kx.
 e/Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành.
Ch­¬ngII:Phương trình và bất phương trình mũ-logarit
 c¸c tÝnh chÊt cña luü thõa
 1 2.
3. 
 4. 
5. 
* m,n lµ sè nguyªn th× a,b bÊt kú
* m,n lµ h÷u tØ th× a,b>0
6 .a>1 th× a
 0<a1 th× 
Hµm sè mò:
•H sè (a#1&a>0) lµ HS mò
 • §¹o hµm:
•TX§:R
• a>1 HS ®ång biÕn :
 0<a<1HS n biÕn
 §å thÞ cã tiÖm cËn ngang lµ trôc ox lu«n ®i qua ®iÓm (0;1), (1;a) vµ n»m trªn trôc hoµnh.
Luü thõa mò nguyªn ©m: 
a;
Luü thõa mò sè h÷u tØ:
(a>0)
Hµm sè luü thõa:
a.§ n:lµ HS d¹ng y=x(R )
b.TX§:-nguyªn d­¬ng th× D=R
 - nguyªn ©m hoÆc b»ng 0 th× x#0 
 kh«ng nguyªnth× D=
c. §¹o hµm:
 Hµm sè logarit:
• Hs • 
•TX§:(0,)
•§å thÞ n»m bªn f¶i trôc tung.
L«garit:
a.§ n: Sè tho¶ m·n gäi lµ loogarit c¬ sè a cu¶ b:
(a ,b>0 ,a#1)
b.TÝnh chÊt:
c. C¸c quy t¾c:
 *TÝch:
 *Th­¬ng: 
*Luü thõa:
® .C«ng thøc ®æi c¬ sè:
*. 
Phương trình và bất phương trình mũ-logarit
Phương trình mũ-logarit
Phương trình mũ:
4Đưa về cùng cơ số
+0<a¹1: af(x)=ag(x) (1)	Û f(x)=g(x). 
+ 0<a¹1: af(x)=b 	Û.
4Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=ax (t>0), để đưa về một phương trình đại số..
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2), (7), Nếu trong một phương trình có chứa {a2x;b2x;axbx} ta có thể chia hai vế cho b2x(hoặc a2x) rồi đặt t=( ...  Ox;Oy,Oz và N1, N2, N3 là hình chiếu của A lên ba mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx.
Tìm tọa độ các điểm M1, M2, M3 và N1, N2, N3.
Chứng minh rằng N1N2 ^ AN3 .
Gọi P,Q là các điểm chia đoạn N1N2, OA theo tỷ số k xác định k để PQ//M1N1.
Á2. MẶT PHẲNG
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Phương trình mặt phẳng:
Trong không gian Oxyz phương trình dạng Ax + By + Cz + D = 0 với A2+B2+C2≠0 là phương trình tổng quát của mặt phẳng, trong đó là một vectơ pháp tuyến của nó.
Mặt phẳng (P) đi qua điểm M0(x0;y0;z0) và nhận vectơ làm vectơ pháp tuyến có dạng : 
 A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0 .
Mặt phẳng (P) đi qua M0(x0;y0;z0) và nhận và làm cặp vectơ chỉ phương thì mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến :
 .
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P): Ax+By+Cz+D=0 và (Q):A’x+B’y+C’z+D’=0 
(P) cắt (Q) Û A : B : C ≠ A’: B’: C’
(P) // (Q) Û A : A’ = B : B’ = C : C’ ≠ D : D’
(P) ≡ (Q) Û A : B : C : D = A’: B’: C’: D’
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng:
Khoảng cách từ M0(x0;y0;z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 cho bởi công thức :
B/. BÀI TẬP:
Bài 1: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), và D( -1;1;2).
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
Viết phương trình mặt phẳng (P)chứa AB và song song với CD.
Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD và vuông góc với mp(ABC).
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y + 2z – 4 = 0, (Q): x – 2y – 2z + 4 = 0.
Chứng tỏ rằng hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc nhau.
Viết phương trình tham số đường thẳng (D) là giao tuyến của hai mặt phẳng đó.
Chứng minh rằng đường thẳng (D) cắt trục Oz .Tìm tọa độ giao điểm.
Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ tai ba điểm A,B,C. Tính diện tích tam giác ABC.
Chứng tỏ rằng điểm O gốc tọa độ không thuộc mặt phẳng (P) từ đó tính thể tích tứ diện OABC.
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho một mặt phẳng (P): 2x + y – z – 6 = 0.
Viết phương trình mp (Q) đi qua gốc tọa độ và song song với mp (P).
Viết phương trình tham số ,chính tắc đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với mặt mp(P).
Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P). 
( TNPT năm 1993)
Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z + 5 = 0 và (Q): 2x – z = 0 .
Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt nhau,tính góc giữa chúng. 
Lập phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) đi qua A(-1;2;3).
Lập phương trình mặt phẳng (b) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (Q) và song song với Oy.
Lập phương trình mặt phẳng (R) đi qua gốc tọa độ O và vuông góc với hai mặt phẳng (P)và (Q).
Bài 5: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x + 2y – z + 2 = 0 và điểm M(2;1;-1). 
Tính độ dài đoạn vuông góc kẽ từ M đến mặt phẳng (P).
Viết phương trình đường thẳng (d) qua M vuông góc với mặt phẳng (P).
Bài 6: Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + ky + 3z – 5 = 0 và (Q): mx – 6y – 6 z + 2 = 0.
Xác định giá trị k và m để hai mặt phẳng (P) và (Q) song song nhau,lúc đó hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng.
Trong trường hợp k = m = 0 gọi (d) là giao tuyến của (P) và (Q) hãy tính khoảng cách từ A(1;1;1) đến đường thẳng (d)
Á3. ĐƯỜNG THẲNG
A/. CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Phương trình đường thẳng:
Phương trình ttham số của đường thẳng : 
Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Phương trình chính tắc của đuờng thẳng : 
Trong đó M0(x0;y0;z0) là điểm thuộc đường thẳng và là vectơ chỉ phương của đường thẳng.
Vị Trí tương đối của các đường thẳng và các mặt phẳng:
Vị trí tương đối của hai đường thẳng :
a/ Trong kh«ng gian 2 ®t x¶y ra 1 trong 4 vÞ trÝ t­¬ng ®èi sau:
 * d // d’ ; d trïng d’ ; ; d,d’ chÐo nhau.
b/ C¸ch xÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi cña hai ®­êng th¼ng.
Gi¶ sö: 
 - §­êng th¼ng (d) cã VTCP vµ ®i qua ®iÓm M0(x0;y0;z0)
 - §­êng th¼ng (d’) cã VTCP vµ ®i qua ®iÓm M0’(x0’ ;y0’;z0’)
TH1: vµ kh«ng cïng ph­¬ng th× d c¾t d’ hoÆc d chÐo d’; Muèn t×m giao ®iÓm ta gi¶i hÖ chøa hai ®t d; d’ .HÖ v« nghiÖm th× d vµ d’ chÐo nhau ,cßn hÖ cã nghiÖm th× d vµ d’ c¾t nhau.
TH2: vµ cïng ph­¬ng th× ta lÊy®iÓm M0 thuéc d 
NÕu M0 thuéc d’ => d trïng d’
NÕu M0 kh«ng thuéc d ‘=> d // d’
2/- VÞ trÝ t­¬ng ®èi gi÷a ®­êng th¼ng vµ mÆt ph¼ng.
a/- (d) vµ mp(P) cã mét trong 3 vÞ trÝ:
b/-C¸ch xÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi gi÷a ®­êng th¼ng (d) vµ mp(P).
Gi· sö ®t d cã VTCP ®i qua ®iÓm M0(x0;y0;z0) mp(P) 
cã VTPT d
TH1: d c¾t (P) ó kh«ng vu«ng gãc víi 
 ó . # 0 P
 ó aA +bB + cC # 0 
TH2: d//(P) ó d
TH3: 
*§Æc biÖt: d1
HoÆc xÐt vÞ trÝ t­¬ng ®èi gi÷a ®­êng th¼ng (d) vµ mp(P).
ta gi¶i PT:A()+B()+C()+D=0 
-NÕu PT cã 1 nghiÖm th× d c¾t (P) M0
-NÕu PT v« nghiÖm th× d kh«ng c¾t (P) 
-NÕu PT cã v« s« nghiÖm th× d n»m trong (P)
Khoảng cách:
Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (D) đi qua M0 có VTCP .
 -T×m h×nh chiÕu vu«ng gãc cña M lªn (D) lµ H - Khoảng cách từ M đến đuờng thẳng (D) lµ MH 
Khoảng cách giữa hai đường chéo nhau :
-Kho¶ng c¸ch gi÷a 2 ®­êng th¼ng chÐo nhau b»ng k/c tõ DT nµy ®Õn MP chøa DT kia mµ song víi DT thø nhÊt
Góc :
Góc giữa hai đường thẳng :
	(D) đi qua M(x0;y0;z0) có VTCP 
	(D’) đi qua M’(x’0;y’0;z’0) có VTCP 
B/. BÀI TẬP:
Bài 1: 
Viết phương trình tham số chính tắc tổng quát đường thẳng qua hai điểm A(1;3;1) và B(4;1;2).
Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua M(2;-1;1) vuông góc với mặt phẳng (P) : 2x – z + 1=0 . Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P).
Bài 2 : Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua ba điểm A,B,C.
Viết phương trình tham số chính tắc đường thẳng BC
Bài 3: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp chữ nhật có các đỉnh A(3;0;0), B(0;4;0), C(0;0;5), O(0;0;0) và D là đỉnh đối diện với O.
Xác định tọa độ đỉnh D.Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (A,B,D).
Viết phương trình đường thẳng đi qua D và vuông góc với mặt phẳng (A,B,D).
Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (ABD). (TNPT năm 1999)
Bài 4: Cho hai đường thẳng:	
Chứng minh rằng hai đường thẳng (D) và (D’) không cắt nhau nhưng vuông góc nhau.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng (D)và (D’).
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua (D) và vuông góc với (D’). 
Viết phương trình đường vuông góc chung của (D)và (D’).
Bài 5: Trong không gian Oxyz cho bốn điểm A(-1;-2;0), B(2;-6;3), C(3;-3;-1) 	 D(-1;-5;3).
Lập phương trình đường thẳng AB.
Lập phương trình mp (P) đi qua điểm C và vuông góc với đường thẳng AB.
Lập phương trình đường thẳng (d) là hình chiếu vuông góc của đường thẳng CD xuống mặt phẳng (P).
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD.
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0), B(0;-7;3), C(-2;1;-1), D(3;2;6).
Tính các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện của tứ diện ABCD.
Viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC).
Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB.
 Bài 7: Trong không gian Oxyz cho ba điểm A(5;0;0), B(0;5/2;0), C(0;0;5/3) và đường thẳng .
Lập phương trình mặt phẳng (α) di qua A , B, C. Chứng minh rằng (α) và (D) vuông góc nhau, tìm tọa độ giao điểm H của chúng.
Chuyển phương trình của (D) về dạng tổng quát. Tính khoảng cách từ M(4;-1;1) đến (D).
Lập phương trình đường thẳng (d) qua A vuông góc với (D), biết (d) và (D) cắt nhau.	
(Đề HK2 2005)
Á4. MẶT CẦU
 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN:
Phương trình mặt cầu:
Phương trình mặt cầu tâm I(a;b;c) bán kính R là:
	 (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 . 
Phương trình x2 + y2  + z2 + 2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A2+B2+C2–D>0 là phương trình mặt cầu tâm I(-A;-B;-C), bán kính .
 BÀI TẬP:
Bài 1: Trong KG Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 4y – 6z = 0 và hai điểm M(1;1;1) N(2;-1;5).
Xác định tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu (S).
Viết phương trình đường thẳng MN.
Tìm k để mặt phẳng (P): x + y – z + k = 0 tiếp xúc mặt cầu(S).
Tìm tọa độ giao điểm của mặt cầu (S) và đường thẳng MN. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu tại các giao điểm.
Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho A(6;-2;3), B(0;1;6), C(2;0;-1), D(4;1;0)
Chứng minh rằng A,B,C,D là bốn đỉnh của tứ diện.
Viết phương trình mặt phẳng qua ba điểm A,B,C.
Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. Xác định tọa độ tâm và bán kính.
Bài 3: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (P): 2x – 3y + 4z – 5 = 0 và mặt cầu (S): x2 + y2  + z2 + 3x + 4y – 5z + 6 = 0.	
Xác định tọa độ tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).
Tính khoảng cách từ tâm I đên mặt phẳng (P).Từ đó suy ra rằng mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn mà ta ký hiệu là (C). Xác định bán kính R và tọa độ tâm H của đường tròn (C).
 (Thi HK2, 2002-2003)
Bài 4 Trong không gian Oxyz ,cho A(1;-1;2), B(1;3;2), C(4;3;2), D(4;-1;2).
Chứng minh A, B, C, D là bốn điểm đồng phẳng.
Gọi A’ là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng Oxy. hãy viết phương trình mặt cầu (S) đi qua bốn điểm A’, B, C, D.
Viết phương trình tiếp diện (α) của mặt cầu (S) tại điểm A’.
Bài 5 Trong không gian Oxyz cho A(1;0;0) B(1;1;1) và C(1/3; 1/3;1/3)
Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc OC tại C. Chứng minh O, B, C thẳng hàng. Xét vị trí tương đối của mặt cầu (S) tâm B, bán kính   với mặt phẳng(P).
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng(P).
Bài 6: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x + y + z – 1 = 0. mp(P) cắt các trục tọa độ tại A, B, C. 
Tìm tọa độ A, B, C. Viết phương trình giao tuyến của (P) với các mặt tọa độ. Tìm tọa độ giao điểm D của (d): với mp(Oxy). Tính thể tích tứ diện ABCD.
Lập phương trình mặt cầu (S) ngoại tiếp ABCD. Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp ACD. Xác định tâm và bán kính của đường tròn đó.
	 (TN THPT 2001-2002)
Bài 7: Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ xác định bởi : .
Chứng minh AB^AC, AC^AD, AD^AB. 
Viết phương trình tham số của đường (d) vuông góc chung của hai đường thẳng AB và CD. Tính góc giữa (d) và mặt phẳng (ABD). 
Viết phương trình mặt cầu (S) qua 4 điểm A, B, C, D. Viết phương trình tiếp diện (α ) của (S) song song với mặt phẳng (ABD). 
Bài 8 Trong không gian Oxyz cho 3 điểm A(2;0;1), B(1;0;0), C(1;1;1) và mặt phẳng (P): x + y + z – 2 = 0. 
Viết pt mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C và có tâm thuộc mp (P).
Tính độ dài đường cao kẽ từ A xuống BC
Cho D(0;3;0).Chứng tỏ rằng DC song song với mp(P) từ đó tính khoảng cách giữa đường thẳng DC và mặt phẳng (P).
Bài10: Trong không gian Oxyz cho A(2;0;0) , B(0;4;0), C(0;0;4).
Viết phương trình mặt cầu qua 4 điểm O, A, B, C. Tìm tọa độ tâm I và bán kính của mặt cầu.
Viết phương trình mặt phẳng(ABC). 
Viết phương trình tham số của đường thẳng qua I và vuông góc mặt phẳng(ABC).
Tìm tọa độ tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 11: Cho mặt cầu (S) có phương trình x2 + y2 + z2 - 2x - 4y - 6z =0 
Xác định tâm và bán kính mặt cầu (S).
Gọi A, B, C lần lượt là giao điểm (khác điểm gốc tọa độ) của mặt cầu (S) với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz. Tính tọa độ A, B, C và viết phương trình mặt phẳng (ABC).
Tính khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng.Từ đó hãy xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.