Đề thi thử đại học 2009 môn: Toán 12

 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2009
MÔN: TOÁN (Thời gian: 180 phút)       
Biên soạn và hướng dẫn: Thầy Nguyễn Ngọc Phụng
------------------------------------------------
ĐỀ SỐ 1A
Mục tiêu: Giúp học sinh ôn luyện thi ĐH 
Mô tả: Đề thi theo cấu trúc chuẩn của Bộ GDĐT năm 2009 
Đối tượng... Học sinh lớp 12 và LTĐH 
Sơ lược nội dung: Đề thi này tương đối khó, các em tham khảo cách chứng minh BĐT dùng tính chất đơn điệu của hàm số...
------------------------------------------------
        Câu I . (2 điểm)
          1) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : 
          2) Từ đó chứng tỏ rằng : 
        Câu II . (2 điểm)
          1) Giải phương trình : 
          2) Chứng minh 
        Câu III . (2 điểm)
          Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng 
         và và hai điểm A(3, 2, 0), B(5, 0, 4)
          1) Chứng minh : , , A, B cùng thộc một mặt phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó.
          2) Tìm so cho IA + IB nhỏ nhất.
        Câu IV . (2 điểm)
           1) Tính                2) 
        Câu V . (2 điểm)    
        Va. 1) Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình sau:
                                    x + y + z + t = 10
               2). Cho elip (E)  với hai đỉnh A(-2; 0), B(2; 0); hai điểm M(-2;m), N(2; n). Gọi I là giao điểm của AN và BM
                        a) Tìm hệ thức giữa m và n để MN tiếp xúc với (E).
                        b) Khi MN tiếp xúc với (E) thì I chạy trên đường nào.  
        Vb. 1) Cho tứ diện ABCD có : AB = x; CD = y (x, y > 0) và các cạnh còn lại đều bằng 1 đơn vị.Tính
                 thể tích tứ diện đó theo x, y.Tìm x và y để thể tích đó lớn nhất.
                2) Tính các góc của tam giác ABC khi cosA + cosB + cosC đạt giá trị lớn nhất.
-----------------------------------------
HƯỚNG DẪN GIẢI                                       
        Câu I:
        1/ Khảo sát và vẽ: 
        + 
        + , 
         , 
        + Bảng biến thiên:
        + , 
        + Điểm đặt biệt:
        + Nhận xét: Hàm số lẻ Đồ thị (c) đối xứng qua O.
        + Vẽ:
        2/ Chứng tỏ: 
           - Dựa vào đồ thị ta có: đồng biến trên 
             Mà: 
Câu II:
        1. Giải phương trình: 
        Giải:
        + Tập xác định: 
        + Đặt: 
        Ta có: 
                                  = 
                                  = 
                                             = 
                                             = 
                                                 = 
         Phương trình (1) 
                      (không thỏa)
         Vậy: Nghiệm của phương trình: 
        2. Chứng minh: 
           Giải: (1) 
           Đặt: 
          (1) 
         Đặt: 
         Lấy căn hai vế: (1)
         Đặt 
         Ta có: 
          +   
          +   nghich biến          
          + Bảng biến thiên : f(0) = 0, 
             đpcm
  Câu III : 
          1) Oxyz :
          (d) :        , : 
          A(3; -1; 0) , B(5; 0; 4)
          Lập            Ta có : , 
           Nhận xét : +  
                             +  Lấy 
                                Ta có : 
           Vậy  cùng thuộc                 
         2) Tìm 
            Bước 1 :Kiểm tra cắt đoạn thẳng AB hay không?
            +  Lập phương trình tham số của AB : 
            +  Đoạn thẳng AB tương ứng 
            +    (không thỏa)AB // (trường hợp đặc biệt)
            Vậy : không cắt đoạn thẳng AB.
            Bước 2 :
             Lấy đối xứng với A qua 
            + Lập .  
              Ta có :    , với 
              : 
              : 
              . Có B(5; 0; 4) 
              Ta có : 
  Câu IV:
        1/ 
        Đặt: 
        Ta có:
        Đặt: 
        Vậy: 
        2/ 
        Đặt: 
Câu V :
         Va. Tìm số nghiệm nguyên dương của phương trình : x + y + z + t = 10
         Giải
         Xét sơ đồ gồm 13 vị trí với 3 vách ngăn như sau :
        + Số dấu chấm bên trái vách 1 (v1) là giá trị của x.
        + Số dấu chấm giữa vách 1 (v1) và vách 2 (v2) là giá trị của y.
        + Số dấu chấm giữa vách 2 (v2) và vách (v3) là giá trị của z.
        + Số dấu chấm bên phải vách 3 (v3) là giá trị của t.
           (Ứng với sơ đồ trên ta có ).
        - Do x,t nguyên dương vị trí 1 và vị trí 13 phải là:
        Có cách chọn 3 vị trí cho các vách ngăn.
        - Ta cần loại trừ các trường hợp hoặc 
           Xét A = tập hợp các trường hợp 
                  B = tập hợp các trường hợp 
        + Tính 
            • 
        Ta cần hai vách chọn trong 10 vị trí (trừ vị trí 1 và 12 do )Có kết quả
        + Tính 
            • 
        Tương tự như trên ta có: Kết quả
        + Tính 
           Có kết quả (cần 1 vách ngăn tại 9 vị trí từ 
           Vậy: Số nghiệm nguyên dương của phương trình 
           Là (nghiệm).
           Kết quả khái quát:
           Số nguyên dương của 
           Là 
        2/ 
            a/ 
                  tiếp xúc 
                                                (thỏa 
            Vậy: Điều kiện 
            b/ tiếp xúc 
               Ta có: 
             Ta có: 
             Do 
             Vậy  tích của tâm là elip:
Câu V :
        VD: 1) Thể tích tứ diện theo x, y. Tìm x và y để thể tích lớn nhất
       Ta có: AB = x, CD = y (x, y > 0)
        CA = CB = DA = DB = 1
        (ABN)
        Ta có: 
         Vậy : (đvtt)       ( Điều kiện : )
         Ta có : 
         Ta có : 
         2) Tính các góc của tam giác ABC khi 
             Giải :
         Đặt : 
         Mà :  
        Vậy :