Hình học dành cho học sinh 10–11–12 và luyện thi đại học

 TRUNG TÂM LUYỆN THI ĐẠI HỌC VĨNH VIỄN 
Chủ biên: Hoàng Hữu Vinh 
Biên soạn: Nguyễn Quang Hiển – Nguyễn Văn Hòa 
Trần Minh Quang – Trần Minh Thịnh 
HÌNH HỌC 
DÀNH CHO HỌC SINH 10–11–12 
VÀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC 
LƯU HÀNH NỘI BỘ 
 2 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
 Hình học 3 
Lời nĩi đầu 
Các em học sinh thân mến! 
Chúng tôi là nhóm giáo viên Toán của Trung tâm luyện thi Vĩnh Viễn có 
nhiều kinh nghiệm trong việc giảng dạy và biên soạn sách tham khảo. 
Nhằm mục đích giúp các em học sinh tự học, nâng cao bài tập ở các lớp 10, 
11, 12 và nhất là các em đang sắp thi vào Đại học, chúng tôi cùng biên 
soạn bộ Toán gồm ba quyển. 
Quyển 1: Hình học. 
Quyển 2: Khảo sát hàm số – Tích phân – Số phức 
Quyển 3: Lượng giác – Đại số – Giải tích tổ hợp 
Mỗi quyển sách gồm: 
 Tóm tắt lý thuyết một cách có hệ thống và đầy đủ. 
 Phân loại các dạng toán cùng với cách giải dễ hiểu. Nhiều bài tập mẫu 
từ dễ đến khó, trong đó có nhiều bài được giải bằng nhiều cách khác nhau. 
 Rất nhiều bài tập để học sinh tự luyện được soạn rất công phu, theo 
sát đề thi tuyển sinh Đại học (có Đáp số hoặc Hướng dẫn). 
Chúng tôi hy vọng quyển sách này sẽ giúp các em thích thú, nâng cao 
học lực và thành công trong kì thi tuyển sinh Đại học sắp đến. Dù đã cố 
gắng nhiều, nhưng chắc chắn vẫn còn nhiều thiếu sót, mong sự đóng góp ý 
kiến của các em học sinh và của độc giả. 
Nhóm biên soạn 
 4 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
PHẦN 1 
HÌNH GIẢI TÍCH 
TRÊN MẶT PHẲNG 
(Oxy) 
Biên soạn: NGUYỄN QUANG HIỂN 
TRẦN MINH QUANG 
HOÀNG HỮU VINH 
 Hình học 5 
BÀI 1 
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ 
TRÊN MẶT PHẲNG (Oxy) 
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
Hệ tọa độ Descartes vuông góc Oxy gồm 
hai trục vuông góc nhau x’Ox và y’Oy với 
hai vectơ đơn vị lần lượt là i và j mà: 
i = (1, 0), j = (0, 1) 
Gọi x’Ox: trục hoành 
y’Oy: trục tung 
O: gốc tọa độ 
I. TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ 
Đối với hệ tọa độ Oxy, cho hai vectơ: 
1 2
u (u ; u ) và 
1 2
v (v ; v ) . 
Ta có: 
1. 
1 1
2 2
u v .
u v
u v .

  

2. 
1 1 2 2
u v (u v ; u v )    
3. 
1 2
k.u (k.u ; k.u ). (k R) 
u và v cùng phương  k  R: u kv  
1 2
1 2
u u
v v
 = 0 
4. Tích vô hướng u.v u v cos(u, v) 
. . . . 
1 1 2 2
u v u v u v 
Hệ quả: u v u.v 0   
Độ dài vectơ: 
2 2
1 2
|u| u u  
II. TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM 
Cho hệ tọa độ Oxy và một điểm M tùy ý. 
Tọa độ (x; y) của vectơ OM được gọi là 
tọa độ của điểm M và ký hiệu là: M(x; y). 
x: hoành độ, y: tung độ. 
Cho hai điểm A(xA; yA) và B(xB; yB). 
y 
M2 
u
u1 x x' 
y' 
i
i
O 
y 
Q 
x x' 
y' 
i
i
O 
M 
P 
 6 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
( ; 
B A B A
AB x x y y )   
( 2 2
B A B A
AB (x x ) y y )   
Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là: 
A B A B
I I
x x y y
x ; y
2 2
 
  
G trọng tâm ABC: 
A B C
G
A B C
G
x x x
x
3
y y y
y
3
 


  

B. BÀI TẬP MẪU 
Bài 1. Cho tam giác ABC với: A(1; 0), B(5; 0), C(2; 3). Tìm các điểm sau 
của tam giác: 
 a) Trọng tâm G. 
 b) Trực tâm H. 
 c) Chân A’ của đường cao hạ từ A xuống cạnh BC. 
 d) Tâm I của đường tròn ngoại tiếp. 
Giải 
a) G là trọng tâm tam giác ABC nên: 
A B C
G
x x x 8
x ;
3 3
 
  A B C
G
y y y
y 1
3
 
  
Vậy: G(
8
; 1
3
) 
b) H(x, y) là trực tâm tam giác ABC: 
 
AH.BC 0
BH.AC 0
 


Mà: AH (x 1; y)  ; BC ( 3; 3)  ; 
BH (x 5; y)  ; AC (1; 3) 
Nên điều kiện trên thành: 
3(x 1) 3y 0
1(x 5) 3y 0
   

  
3x 3y 3
x 3y 5
 
 
 
  
x 2
y 1



Vậy: H(2; 1) 
c) A'(x, y) là chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC 
 Hình học 7 
 
AA '.BC 0
BA ' và BC cùng phương
 


Mà: AA' (x 1; y);  BC ( 3; 3);  BA' (x 5; y)  
Nên điều kiện trên thành: 
3(x 1) 3y 0
3(x 5) 3y 0
   

  
x y 1
x y 5
 
 
 
  
x 3
y 2



Vậy: A’(3; 2) 
d) I(x, y) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC: 
2 2
2 2
IA IB
IA IC
 
 

2 2 2 2
2 2 2 2
(x 1) y (x 5) y
(x 1) y (x 2) (y 3)
     
 
     
8x 24 0
x 3y 6
 
 
 
  
x 3
y 1



Vậy: I(3; 1). 
Bài 2. Cho ba điểm: A(–3; 3), B(–5; 2), C(1; 1) 
a) Chứng tỏ A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. 
b) Chứng tỏ 
ˆ
BAC là góc tù. 
c) Tính diện tích tam giác ABC. 
d) Tính bán kính r của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. 
Giải 
a) Ta có: AB ( 2; 1), AC (4; 2)     
2 1
 4 2
 

 = ( 2).( 2) ( 1).4 8 0.      
Nên AB và AC không cùng phương, tức là ba điểm A, B, C không 
thẳng hàng. Do đó A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. 
Ta có: 
2 2 2 2
ˆ ( 2).(4) ( 1).( 2) 3
cosBAC cos AB, AC) 0.
5( 2) ( 1) . (4) ( 2)
    
   
    
Nên 
ˆ
BAC là góc tù. 
b) Diện tích tam giác ABC: 
ˆ1
S AB.AC.sinBAC
2
 2
ˆ1
AB.AC. 1 cos BAC
2
  
1 9
5. 20. 1 4(đvdt)
2 25
   
c) Ta có: S = pr 
 8 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
Mà: 
1 1 1
p (AB BC CA) ( 5 37 2 5) (3 5 37)
2 2 2
        
 r = 
S
3 5 37
p
  . 
Bài 3. Tuyển sinh Đại Học khối B/2011 
 Cho : x – y – 4 = 0, d: 2x – y – 2 = 0 
 Tìm N thuộc d sao cho đường thẳng ON cắt  tại M thỏa OM.ON = 8. 
Giải 
Gọi M(m, m – 4)   
N(n, 2n – 2)  d 
Ta có: 
O, M, N thẳng hàng  
m m 4
n 2n 2


 = 0 
 m(2n – 2) = n(m – 4) 
 mn – 2m = –4n 
 (4 + m)n = 2m 
 n = 
2m
4 m
Ta có: OM
2
.ON
2
 = 64 
 [m2 + (m – 4)2]
2 2
2 2
4m 4(m 4)
(4 m) (m 4)
 
 
  
 = 64 
 [m2 + (m – 4)2][m2 + (m – 4)2] = 16(m + 4)2 
 (2m2 – 8m + 16)2 = [4(m + 4)]2 
 
2
2
2m 8m 16 4(m 4)
2m 8m 16 4(m 4)
    

    
 
2
2
2m 12m 0
2m 4m 32 0 (vô nghiệm)
  

  
 m = 0  m = 6 
Vậy M1(0; –4), N1(0, –2) hay M1(6, 2) N2
6 2
,
5 5
 
 
 
. 
Bài 4. Tuyển sinh Đại Học khối B/2007 
 Cho A(2, 2). Tìm B trên d1: x + y – 2 = 0 
4 
4 
-4 
O 
d 
N 
M 
 
y 
x 
 Hình học 9 
 C trên d2: x + y – 8 = 0 sao cho ABC vuông cân tại A. 
Giải 
Gọi B(b, 2 – b)  d1 
C(c, 8 – c)  d2 
Ta có: 
ABC  cân tại A  
AB (b 2, b) AC (c 2, 6 c)
AB AC
       


 
2 2 2 2
(b 2)(c 2) b(6 c) 0
(b 2) b (c 2) (6 c)
    

     
Đặt X = b – 1 và Y = c – 4 ta được hệ 
    

      
2 2 2 2
(X 1)(Y 2) (X 1)(2 Y)
(X 1) (X 1) (Y 2) (2 Y)
 
2 2
XY 2
2X 2 2Y 8


  
  
2 2
2
Y
X
X Y 3



  
 
2
2
2
Y
X
4
X 3
X



  

  
4 2
2
Y
X
X 3X 4 0



   
 
2 2
2
Y
X
X 1 (loại) X 4



    
  
X 2
Y 1



X 2
Y 1
 
 
 
Do 
b X 1
c Y 4
 

 
 nên 
b 3 b 1
c 5 c 3
   
 
  
Vậy B1(3, –1), C1(5, 3) và B2(–1, 3), C2(3, 5). 
Bài 5. Cho ABC có trọng tâm G(0, 4), C(–2, –4). Biết trung điểm M của 
BC nằm trên d: x + y – 2 = 0. Tìm M để độ dài AB ngắn nhất. 
Giải 
 10 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
Gọi M(m, 2 – m)  d 
Do M trung điểm BC nên 
B M C
B M C
x 2x x 2m 2
y 2y y 2(2 m) 4
   

    
Vậy B(2m + 2, 8 – 2m) 
Do G là trọng tâm ABC nên 
A G B C
A G B C
x 3x x x 2m
y 3y y y 8 2m
    

    
Vậy A(-2m, 8 + 2m) 
Ta có AB
2
 = (4m + 2)
2
 + (–4m)2 
= 32m
2
 + 16m + 4 = 32
2
1
m m
2
 
 
 
 + 4 
= 32
2 2
1 1 1
m 4 32 m 2 2
4 16 4
    
          
     
Vậy ABmin = 2  m = 
1
4
  M
1 9
,
4 4
 
 
 
. 
Bài 6. Chứng minh các bất đẳng thức: 
 a)       2 2 2 2 2 24cos x.cos y sin (x y) 4sin x.sin y sin (x y) 2, x, y 
 b) 
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz z y yz z , x, y, z         
Giải 
a/ Trong hệ tọa độ Oxy: Với mọi x, y xét hai vectơ: 
 a (2cosx.cosy; sin(x y));  b (2sinx.siny; sin(x y)) 
Ta có: a b (2cos(x y); 2sin(x y))    
Và: |a| |b| |a b| 
Nên: 
2 2 2 2 2 2
4cos xcos y sin (x y) 4sin xsin y sin (x y) 2; x, y.       
b/ Trong hệ tọa độ Oxy: Với mọi x, y, z, xét hai vectơ: 
y y 3
a (x ; );
2 2
 
z z 3
b x ;
2 2
 
    
 
Ta có: 
y z y 3 z 3
a b ( ; )
2 2 2 2
    
 Hình học 11 
Và: |a| |b| |a b| 
Nên: 
2 2 2 2
y y 3 z z 3
(x ) ( ) (x ) ( )
2 2 2 2
       2 2
y z y 3 z 3
( ) ( )
2 2 2 2
   
 2 2 2 2 2 2x xy y x xz z y yz z ; x, y, z         . 
Bài 7. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 
2 2
y cos 2cos 2 cos 6cos 13          
Giải 
Ta có: 
2 2
y (1 cos ) 1 (cos 3) 4        
Trong hệ tọa độ Oxy, xét hai vectơ: 
a (1 cos ; 1)   và b (cos 3; 2), R    
Thì: a b (4; 3)  
Và áp dụng bất đẳng thức tam giác ta được: 
y |a| |b|   2 2|a b| 4 3 5,      
y 5 a  và b cùng hướng k 0 : a k.b    
1 cos k.(cos 3)
1 2k
    
 

1
cos
3
1
k
2

  
 
 

Vậy: 
R
Miny 5 . 
 12 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
C. BÀI TẬP TỰ GIẢI 
BT1. Cho ba điểm: A(1; –2), B(0; 4), C(3; 2). Tìm điểm D sao cho: 
a) CD 2.AB 3.AC  
b) AD 2.BD 4.CD 0   
c) ABCD là hình bình hành 
d) DOx và ABCD là hình thang đáy là AB. 
Đáp số: D(–5, –2) (11, 2) (4, –4) 
10
, 0
3
 
 
 
BT2. Cho điểm A(3; 1). Tìm các điểm B và C sao cho OABC là hình vuông 
và điểm B nằm trong góc tọa độ thứ nhất. 
Đáp số: B(2, 4); C(–1, 3). 
BT3. Cho một tam giác có trung điểm các cạnh là: M(1; 4), N(3; 0), P(–1; 1). 
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. 
Đáp số: (–3, 5); (5, 3); (1, –3). 
BT4. Cho hai điểm A(1; –1), B(4; 3). Tìm tọa độ những điểm M, N chia AB 
thành ba đoạn bằng nhau. 
Đáp số: M
1 5
2, ; N 3,
3 3
   
   
   
. 
BT5. Cho tam giác ABC có A(–1; 2), B(2; 1) và trực tâm H(1; 2). Tìm tâm I 
của đường tròn ngoại tiếp. Đáp số: I(1, 3). 
BT6. Cho tam giác đều ABC có A(2; 1) và B(–1; 2). Tìm đỉnh C. 
Đáp số: C
1 3 3 3 3
,
2 2
  
  
 
. 
BT7. (D/04) Cho A(–1, 0); B(4, 0); C(0, m) gọi G là trọng tâm ABC. Tìm m 
để ABG vuông tại G. 
Đáp số: m =  3 6 . 
BT8. (A/04) Cho A(2, 0); B(– 3 , –1). Tìm trực tâm và tâm đường tròn 
ngoại tiếp OAB. 
Đáp số: H( 3 , –1), I(– 3 , 1). 
BT9. (A/05) Tìm các đỉnh hình vuông ABCD biết A  d1: x – y = 0, 
C  d2: 2x + y – 1 = 0, B và D trên trục hoành. 
 Hình học 13 
Đáp số: A(1, 1); B(0, 0); C(1, –1); D(2, 0). 
BT10. (DB/D07) Cho A(2, 1). Tìm B  Ox, C  Oy sao cho ABC vuông tại 
A và có diện tích nhỏ nhất. 
Đáp số: B(2, 0); C(0, 1). 
BT11A/02. Cho  ... 
4 2 2
  
  . Tìm tọa độ điểm M  (S) sao cho đường thẳng 
OM vuông góc đường thẳng d và OM = 11 (O là gốc tọa độ) 
 Đáp số: (1, –3, 1); 
13 9 17
; ;
7 7 7
  
 
 
 292 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
Bài 95. Cho đường thẳng 1: 
x m
y m 1
z 1 t


 
   
 (t là tham số) và hai mặt phẳng: 
(P): mx + y – mz – 1 = 0; (Q): x – my + z – m = 0 
a) Tìm m để hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau. 
b) Gọi 2 là giao tuyến của (P) và (Q). Viết phương trình tham số của 
đường thẳng 2. 
c) Tìm m để d(Oz, 1) = d(Oz, 2) 
 Đáp số: m = 0. 
Bài 96. Cho hai đường thẳng: 
d1 là giao tuyến của hai mặt phẳng: mx + 3y – 3 = 0; x + 3z – 6 = 0 
d2 là giao tuyến của hai mặt phẳng: x – mz – m = 0; y – z + 1 = 0 
Tìm m để hai đường thẳng d1 và d2 cắt nhau tại điểm I sao cho OI = 
107
4
(O là gốc tọa độ) 
 Đáp số: m = 1 
Bài 97. Cho đường thẳng (dm): 
x 1 m y 2m z 1
m 2 2 m 3
   
 
  
 (m  –2 và m  –3). Chứng minh rằng khi m thay đổi, (dm) luôn nằm 
trên một mặt phẳng cố định 
 Đáp số: 2x – y – 2z + 4 = 0 
Bài 98. Cho đường thẳng d1: 
x 1 y 2 z 3
2 3 1
  
  và hai điểm 
 A(5, 4, 3), B(6, 7, 2) 
a) Viết phương trình đường thẳng d2 đi qua hai điểm A, B. Chứng minh 
rằng d1 và d2 chéo nhau. 
b) Tìm điểm C  d1 sao cho ABC có điện tích nhỏ nhất. Tính giá trị 
nhỏ nhất đó. 
 Đáp số: C(3, 5, 4), 
66
2
Bài 99. Cho đường thẳng d: 
x y 1 z 3
1 1 2
 
 

 và ba điểm A(1, 0, –1), 
B(2, 3, –1), C (1, 3, 1). 
a) Tìm điểm D trên d sao cho tứ điện ABCD có thể tích bằng 1. 
b) Viết phương trình của đường thẳng đi qua trực tâm H của ABC và 
vuông góc mặt phẳng (ABC). 
 Hình học 293 
 Đáp số: 
x 1 y 3 z 1
6 2 3
  
 

Bài 100. Cho ba điểm A(1, –2, –5), B(1, –1, 0), C(3, –2, 2) 
a) Gọi E là điểm đối xứng của A qua đường thẳng BC; F là điểm đối 
xứng của A qua mặt phẳng (Oxz). Viết phương trình tham số của 
đường thẳng EF 
b) Tìm m để mặt cầu (S): x
2
 + y
2
 + z
2
 – 4x + 6y + 9 – 2m = 0 tiếp xúc 
đường thẳng EF. Tính khoảng cách từ E đến tiếp điểm của (S) và 
đường thẳng EF. 
Bài 101. Cho hai điểm A(6, 2, –5), B(–4, 0, 7) 
a) Viết phương trình mặt cầu (S) đường kính AB. 
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) tiếp xúc với (S) tại điểm A. 
c) Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Q): 5x + y – 6z + 3 = 0 sao cho 
đường thẳng qua M, vuông góc (Q) và cắt (S) tại hai điểm, đồng thời 
khoảng cách giữa hai điểm đó lớn nhất. 
Bài 102. Cho mặt cầu (S): x
2
 + y
2
 + z
2
 = 6 và đường thẳng d: 
x 4 2t
y t
z 2 2t
 

 
   
Tìm tọa độ điểm M trên d sao cho đường thẳng  qua M, vuông góc mặt 
phẳng (P): x – 2z + 5 = 0 và cắt (S) tại 2 điểm A, B thỏa AB = 2 5 . 
Bài 103. Cho mặt cầu (S): x
2
 + y
2
 + z
2
 + 4x – 2y + 10z – 19 = 0, đường 
thẳng d: 
x 5 y 6 z 1
3 1 1
  
 

 và 2 điểm A(–2, 1, 2), B(0, 4, 1). Tìm tọa 
độ điểm M trên d sao cho đường thẳng  qua M, song song đường thẳng 
AB và cắt (S) tại 2 điểm C, D thỏa CD = 14 . 
Bài 104. Cho mặt cầu (S): (x – 2)2 + (y + 2)2 + (z – 3)2 = 6 và mặt phẳng 
(P): –6x + 2y – 2z + 15 = 0. Tìm tọa độ điểm M  (S) sao cho tiếp tuyến 
tại M với (S) qua gốc tọa độ O và vuông góc mặt phẳng (P). 
Bài 105. Cho mặt phẳng (P): y – 3z + 2 = 0 và đường thẳng d: 
x 1 t
y 4 t
z 3 2t
 

 
   
Tìm điểm A trên (P) và điểm B trên d sao cho đường thẳng AB vuông 
góc mặt phẳng (P) và AB = 2 10 . 
Bài 106. Cho mặt phẳng (P): 6x + 2y – 5z – 25 = 0 và hai đường thẳng 
 294 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
d1: 
x 2 t
y 2t
z 4 t
 

 
   
 ; 
2
x 5 t
d : y 3t
z t
 


 
Tìm điểm A trên d1 và điểm B trên d2 sao cho đường thẳng AB song 
song mặt phẳng (P) và AB = 26 . 
Bài 107. Cho đường thẳng d: 
x 1 y 4 z 3
1 1 2
  
 

. Tìm điểm M  d và 
điểm N  Oy sao cho MN = 6 và khoảng cách từ N đến mặt phẳng 
(Oxz) bằng 2. 
Bài 108. Cho đường thẳng d: 
x 2 t
y 1 3t
z 2 2t
  

 
  
và ba điểm A(0, 2, 0), B(1, 3, –1), C(1, 1, –3). 
a) Tìm điểm M trên d để thể tích tứ điện ABCM bằng 
11
3
. 
b) Tìm điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 
c) Tính thể tích khối chóp S.ABCD, biết điểm S trên d và mặt phẳng 
(SAB) tạo với mặt phẳng đáy góc 60
o
. 
Bài 109. Cho khối chóp S.ABC có A(1, 2, 0), B(–2, 2, 0), C(–5, 1, 0) và đỉnh 
thuộc trục Oz sao cho mặt phẳng (SAB) hợp với mặt phẳng đáy góc 30
o
. 
Tính thể tích khối chóp. 
Bài 110. Cho hai điểm A(–3, 1, –2), B(1, –1, 2) và mặt phẳng 
 (P): x – (2m + 1)z – m2 + m – 1 = 0. Gọi A là điểm đối xứng của A qua 
mặt phẳng (Oyz); B là điểm đối xứng của B qua trục Oz. 
a) Tìm m để đường thẳng AB song song mặt phẳng (P). 
b) Tìm m để mặt phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB. 
c) Tìm m để đường thẳng AB tạo với mặt phẳng (P) góc 45o. 
Bài 111. Cho ba điểm A(1, –2, 0), B(–2, 1, 3), C(4, –2, –3) 
Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P): x – 2z + 3 = 0 sao cho: 
a) MA MB MC  nhỏ nhất. 
b) 4MA MB MC  nhỏ nhất 
 Hình học 295 
c) MA 2MB MC  nhỏ nhất 
Bài 112. Cho 2 đường thẳng d: 
x t
y 1 t
z 5 2t


 
  
; d: 
x 1 2t
y 3 t
z 1 2t
 

 
  
và điểm I
5 3
, ,4
2 2
 
 
 
1. Chứng minh rằng d, d và I cùng nằm trên một mặt phẳng. 
2. Gọi A là giao điểm của d và d;  là đường thẳng đi qua I và cắt d, 
d lần lượt tại hai điểm M, N (khác A). Viết phương trình đường 
thẳng  biết: 
a) I là trung điểm MN. b) IMN vuông tại M. 
c) Khoảng cách từ A đến  lớn nhất. 
d) 
AM 6
AN 3
 . Xác định tọa độ hai điểm M, N. 
Bài 113. Cho hai đường thẳng d: 
x t
y 2 2t
z t


 
 
 và d: 
x 1 2t
y 2 t
z 1 4t
 

 
  
a) Chứng minh rằng d và d không cắt nhau và vuông góc nhau. 
b) Viết phương trình đường thẳng d1 song song trục Oz và cắt hai đường 
thẳng d, d. 
c) Viết phương trình đường thẳng d2 vuông góc mặt phẳng (Oxz) và cắt 
hai đường thẳng d, d. 
d) Viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất và tiếp xúc hai 
đường thẳng d, d. 
 Đáp số: 
2 2 2
16 34 10 2
x y z
21 21 21 7
     
          
     
Bài 114. Cho ba điểm A(1, –2, 3), B(–1, 2, –3), C(1, 3, –4). 
a) Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với đường thẳng BC. 
Tìm tọa độ tiếp điểm. 
b) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng BC và qua 2 
điểm A, B. 
c) Viết phương trình mặt cầu qua hai điểm A, B và có tâm thuộc trục Ox. 
 296 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
d) Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C và có tâm thuộc mặt 
phẳng (Oxy). 
e) Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C và có tâm cách mặt 
phẳng (ABC) một đoạn bằng 3 . 
f) Viết phương trình mặt cầu tâm A và chắn trên trục Ox một đoạn 
thẳng có độ dài bằng độ dài đoạn BC. 
Bài 115. Cho ba điểm A(2,0, –1), B(–1,3, –3), C(5, –3, –5) 
1. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (Oxy) sao cho: 
a) Khoảng cách từ M đến trọng tâm của ABC nhỏ nhất 
 Đáp số: M(2, 0, 0) 
b) Độ dài vectơ 2MA 5MB 5MC  nhỏ nhất 
 Đáp số: M(2, 0, 0) 
c) Thể tích tứ điện MABC lớn nhất biết OM = 3 (O là gốc tọa độ) 
 Đáp số: M
3 2 3 2
; ;0
2 2
 
 
 
2. Tìm tọa độ điểm N thuộc mặt phẳng (P): x – 2y – z + 1 = 0 sao cho độ 
dài vectơ 2NA + 5NB + 5NC nhỏ nhất 
 Đáp số: N
11 13 29
; ;
12 6 12
 
 
 
Bài 116. Cho mặt cầu (S): x
2
 + y
2
 + z
2
 = 9 và đường thẳng d: 
x t
y 1 t
z 1 t


 
  
a) Tìm tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao tuyến của mặt phẳng 
(P): z –1 = 0 và mặt cầu (S). 
b) Viết phương trình mặt cầu (S1) chứa (C) và chắn trên đường thẳng d 
một đoạn có độ dài bằng 
14
3
. 
 Đáp số: x
2
 + y
2
 + (z + 3)
2
 = 25 
c) Viết phương trình mặt cầu (S 2 ) chứa (C) và chắn trên đường thẳng d 
một đoạn có độ dài nhỏ nhất. 
 Đáp số: x
2
 + y
2
 + (z – 2)2 = 10 
 Hình học 297 
Bài 117. Cho hai đường thẳng: d: 
x y 1 z 1
2 1 1
 
 

 và d: 
x 1
y t
z 1 t



  
a) Chứng minh rằng d và d chéo nhau. 
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d. 
 Đáp số: x – y + z – 2 = 0 
c) Điểm M di động trên d, hai điểm A và B di động trên d sao cho 
AB = 3 . Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác MAB. 
 Đáp số: 
2
3
Bài 118. Cho ba điểm A(4, –1, 2), B(1, 2, 2), C(1, –1, 5). 
a) Tính thể tích khối tứ điện giới hạn bởi mặt phẳng (ABC) và ba mặt 
phẳng tọa độ. Đáp số: 
125
6
b) Viết phương trình trục của dường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 
 Đáp số: 
x 2 t
y t
z 3 t
 


  
c) Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là tứ điện đều. 
 Đáp số: D(4, 2, 5); (0, –2, 1) 
 Giải các bài tập sau đây bằng phương pháp tọa độ: 
Bài 119. Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có chiều cao bằng h. 
Biết AB vuông góc BC. Tính thể tích khối lăng trụ theo h. 
Bài 120. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA = SB = a, 
mặt phẳng (SAB) vuông góc mặt phẳng (ABCD). Tính thể tích hình cầu 
ngoại tiếp hình chóp. 
Bài 121. Cho hình lập phương ABCD.ABCD có cạnh bằng a. Tìm điểm I 
thuộc cạnh AA sao cho mặt phẳng (BDI) cắt hình lặp phương theo một 
thiết điện có điện tích nhỏ nhất 
Bài 122. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, BAD= 60
o
, 
SA = SB = AD = 
a 3
2
a) Tính thể tích khối chóp. b) Tính góc giữa hai đường thẳng SB và AD. 
Bài 123. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O, cạnh a; 
BAD = 60
o
, đường cao SO của hình chóp bằng a. Tính khoảng cách giữa 
hai đường thẳng AD và SB. 
 298 Trung Tâm Luyện Thi CLC VĨNH VIỄN 
MỤC LỤC 
LỜI NÓI ĐẦU 3 
Phần 1: HÌNH GIẢI TÍCH TRÊN MẶT PHẲNG (Oxy) 4 
Bài 1. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRÊN MẶT PHẲNG (Oxy) 5 
Bài 2. ĐƯỜNG THẲNG 15 
Bài 3. ĐƯỜNG TRÒN 38 
Bài 4. ELIP 58 
Bài 5. HYPERBOL 66 
Bài 6. PARABOL 71 
Phần 2: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN 78 
Bài 1. QUAN HỆ SONG SONG VÀ VUÔNG GÓC 79 
Bài 2. QUAN HỆ VUÔNG GÓC 82 
Bài 3. CÁC BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH 99 
Phần 3: HÌNH GIẢI TÍCH TRONG KHÔNG GIAN (Oxyz) 155 
Bài 1. HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 156 
Bài 2. MẶT PHẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 175 
Bài 3. MẶT CẦU 191 
Bài 4. ĐƯỜNG THẲNG VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 198 
BÀI TẬP ÔN TỔNG HỢP 254