Giáo án môn Giải tích 12 tiết 21: Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

CHƯƠNG II : KHẢO SÁT HÀM SỐ
Ngày soạn: 1/ 10/ 2002 
SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
TÊN BÀI DẠY: 	
A. MỤC ĐÍCH YÊU CẦU :
1. Kiến thức : 	
	- Nội dung của định lí Lagrane, ý nghĩa hình học của định lí.
	- Dấu hiệu đủ về tính đồng biến và nghịch biến của hàm số.
	- Các điểm tới hạn.
2. Kĩ năng : 
	- Rèn luyện cho học sinh kỹ năng ttìm các khoảng đơn điệu của hàm số.
	3. Giáo dục :
	Giáo dục học sinh tính cẩn thận, có suy luận, khả năng tính toán.
	4. Trọng tâm :
	Các định lí về điều kiện cần và đủ của tính đơn điệu.
B. CHUẨN BỊ :
 	Tài liệu sách giáo khoa + SGV của 3 nhóm tác giả soạn giáo án.	
C. TIẾN TRÌNH:
NỘI DUNG
PHƯƠNG PHÁP
Tiết 21 :
. Ổn định lớp :
	Ổn định trật tự, kiểm diện sĩ số. 
‚. Kiểm tra :
ƒ. Nội dung bài mới:
I. Định lí LAGRANGE
1) Định lí mở đầu :
Cho (P) : y = f(x) = a1x2 + b1x + c1 (a1 ¹ 0)
và 2 điểm A(a, , f(a)), B(b, f(b)) thuộc (P). (a < b)
. CMR trên cung của đường cong luôn tìm được điểm M sao cho trung tuyến 
Giải :
* Chú ý : hệ thức cũng đúng cho những hàm số tổng quát hơn, dĩ nhiên với mỗi hàm số y = f(x), điểm x= c phải được chọn thích hợp.
Hướng dẫn :
Giả sử tại điểm M có xM = c của (P) tiếp tuyến (D) của (P) // với AB.
- Khi đó hệ số góc (D) = hệ số góc AB
- Yêu cầu h/s tìm hệ số góc (D) và AB ?
- Từ (*)
x
D
B
M
f(b)
f(a)
a
c
b
A
o
- Tìm được 
2. Định lí LAGRANGE
Nếu hàm số y = f(x) xác định trên (a, b) thỏa các hàm điều kiện sau :
1) f liên tục trên [a, b]
2) f có đạo hàm trong (a, b)
Thì liên tục ít nhất một điểm c ' (a, b) sao cho
3. Ýù nghĩa hình học 
Giả sử hàm số y = f(x) thỏa các điều kiện của đl thì trên cung AB, A(a, f(a)), B(b, f(b)) luôn tìm được ít nhất mốt điểm M(c, f(c)) sao cho tiếp tuyến tại M song song với dây AB.
* Ví dụ : Cho hàm số 
a) Tìm số c trong công thức Lagrange của hàm số trên [1, 2]
b) Tìm số c trên (a, b) (a.b > 0)
Củng cố :
 + Học sinh cần nắm vững nội dung của định lí Lagrange và ý nghĩa hình học của nó.
Bài tập :
1) Cho (C) : y = f(x) = x2 – 3x và 2 điểm A và B trên (C) có hoành độ lần lượt là –2 và 2. Tìm những điểm M trên cung của (C) sao cho tiếp tuyến tại các điểm ấy song song dây AB.
2) Tìm số (C) trong công thức Lagrange của hàm số 
y = f(x) = x2
a) Trên đoạn [-1, 1]
b) Trên đoạn [a, b]
3)* a) CMR : phương trình x3 – 3x + c = c không thể có 2 nghiệm trong (0,1)
 b) CMR phương trình ex = x + 1 có duy nhất nghiệm x = 0
y
x
f(b)-f(a)
B
M
f(b)
f(a)
a
c
b
f(c)
Hướng dẫn : 
a) Hàm số bị gián đoạn tại x = 0 nó có đạo hàm trên mỗi khoảng (- ¥, 0) ; (0, +¥) mà
[1, 2] C (0, + ¥). Vậy có thể áp dụng đl Lagrange với [1, 2].
Vậy c = 
b) Hướng dẫn cho các h/s khá 
ab > 0 
Tìm được 
Cần xét 2 trường hợp :
(1). a < b < 0 c = 
(2). 0 < a < b 
-¥
y’
y
0
-
+
-1
+¥
x
y
- ¥
+ ¥
y’
+
+
0
- 1
- ¥
+ ¥
II. Dấu hiệu đồng biến – nghịch biến của hàm số :
1. Định nghĩa : Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (nghịch biến) trong khoảng (a, b) nếu mà x1 f(x2)]
2. Định lí 1 :
Giả sử hàm y = f(x) có đạo hàm trong khoảng (a,b)
Nếu f(x) > 0 "x Ỵ(a, b) thì f đồng biến trong (a, b)
Nếu f’(x) < 0 "x Ỵ(a, b) thì f nghịch biến trong (a, b)
Nếu f’(x) = 0 "x Ỵ(a, b) thì f phải là hàm số không đổi trong khỏang (a, b) đó
Chứng minh : 
* Ví dụ : Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số 
. Miền xác định 
. ; y’ = 0 Û x = 0, x = 2
. Bảng biến thiên :
x
y
- ¥
+ ¥
+ ¥
y’
+
+
0
-
-
0
0
1
2
+
+ ¥
+ ¥
+ ¥
+ ¥
3. Định lí 2 :
Giả sử hàm số y = (x) liên tục trên (a, c) và có f’(x) > 0 trên các khoảng (a, b), (b, c). Thì f(x) đồng biến trên (a,c)
4. Điểm tới hạn :
Các điểm thuộc tập xác định của hàm số y = f(x) tại đó f’(x) = 0 hoặc không tồn tại được gọi là các điểm tới hạn của hàm số đã cho.
* Chú ý quan trọng : đối vối các hàm số thường gặp các điểm tới hạn là hữu hạn. chúng chia tập các định của hàm số thành những khoảng, trong mỗi khoảng đó đạo hàm là liên tục, thì trong mỗi khoảng đó đạo hàm giữ nguyên một dấu.
„. Củng cố : :
+ H/S cần nắm vững nội dung của đl 1 .
+ Nắm vững phương pháp tìm các khoảng đơn điệu.
Bài tập : Cho hàm số y = f(x) = x3 + ax + bx + c
CMR : f đồng biến trên 
…. Dặn dò :
	H/s giải các bài tập trang 52, 53
f tăng (a,b)
f giảm (a, b)
y
x
a
b
x
y
a
b
(C) : y = f(x)
(C) : y = f(x)
- Giáo viên yêu cầu h/s nhắc lại định nghĩa hàm số đồng biến và nghịch biến trên một khoảng.
- Minh họa đồ thị hàm số đồng biến, giảm trong (a, b)
* Hướng dẫn chứng minh :
1). Đồng biến x1, x2 tùy ý thuộc (a, b) (x1 < x2) ta phải chứng minh f(x1) < f(x2)
. Kiểm tra xem hàm số có thỏa các kiều kiện định lý Lagrange trên [x1, x2] không ?
. Áp dụng định lí Lagrange cho hàm số f trên [x1, x2] 
. Do f(C) > 0 Þ f(x1) < f(x2)
* Phương pháp tìm cáckhoảng đơn điệu :
+ Tìm miền xác định
+ Định lý.
+ Lập bảng biến thiên, xét dấu y’.
* Ví dụ : (dùng cho h/s khá)
Cho HS y = f(x) = x3 + (a + 1) x2 + (a + 1) x + 2
Định a để hàm số đồng biến trên .
Giải :
. y’ = 3x2 + 2(a + 1)x + a + 1
. D’ = (a + 1)2 – 3(a + 1) = (a + 1).(a + 2)
. –1 0 
. a = -1 ; a = 2 thì theo định lí 2 hàm số cũng đồng biến trên .
Vậy –1 thì hàm số đồng biến trên .
* Ví dụ : (dùng cho h/s khá)
Cho hàm số y = f(x) = 
Tìm các điểm tới hạn, từ đó suy ra các khoảng đơn điệu của h/s.
Giải :
. Miền xác định 
. 
‘ y’ = 0 Û x = -1 (điểm tới hạn)
. 
. 
* Ví dụ : Cho hàm số y = x3 + 3x2 + 3x + 2
CMR : hàm số đồng biến trên 
Giải : ý= 3(x + 1)2 0
 Hàm số liên lục trên R, f ’(x) > 0 trên các khoảng (- ¥,-1), (-1,+¥) nên f đồng biến trên .
D. RÚT KINH NGHIỆM: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .