Dùng bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức hai, ba biến x, y, z

Trần Chí Thanh –2009 Page 1 
Dùng bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức hai, ba biến x, y, z 
1. Cho các số thực dương x, y, z thỏa maõn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
     2 2 2x y z y z x z x y
P
yz zx xy
  
   
HD: 
2 2 2 2 2 2x x y y z z
P
y z z x x y
      (1) 
Ta lại có:  2 0, ,x y x y     2 2 , ,x y xy xy x y     
Do đó:  3 3 ; , 0x y xy x y x y     hay 
2 2
; , 0
x y
x y x y
y x
     
Tương tự, ta có: 
2 2
; , 0
y z
y z y z
z y
     
2 2
; , 0
z x
z x z x
x z
     
Cộng các vế tương ứng của caùc bất đẳng thức treân ta được:  2 2P x y z    
và 
1
2
3
P x y z     
Vậy: minP = 2 khi x = y = z = 
1
3
2. Cho x, y, z là ba số dương và 1x y z   . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 2
2 2 2
1 1 1
P x y z
x y z
      
HD. 
+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 82 số không âm gồm một số 281x và 81 số 
2
1
x
 ta được 
281x   

2 2
81 soá
1 1
x x
 82
160
81
82.
x
  2 41
2 80
1 9
81 82.x
x x
     
  2 41
2 40
1 82 3
9
x
x x
   
+ Tương tự, ta có: 2 41
2 40
1 82 3
9
y
y y
   và 2 41
2 40
1 82 3
9
z
z z
   
+ Cộng các vế tương ứng các bất đẳng thức trên ta được 
4141 41
40 40 40
82 3 3 3
9
P
x y z
       
 (1) 
+ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm 41
40
3
x
, 41
40
3
y
, 41
40
3
z
 ta có: 
 
4141 41 123 4040 40 40
3 3 3 27
3.
x y z xyz
   (2) 
Trần Chí Thanh –2009 Page 2 
+ Từ (1) và (2) suy ra 
 
123 40
82 27
3
P
xyz
  (3) 
+ Mặt khác: 
 
40 1203
40
1
1 3. 27 3x y z xyz
xyz
       (4) 
+ Từ (3) và (4) suy ra 123 123
82
3 82
3
P   
+ 
2 2 2
2 2 2
4141 41
40 40 40
1 1 1
81 81 81
3 3 3 1
82
3
1
3
x y z
x y z
P x y z
x y z
x y z
               
3. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện 
1 1 1
4
x y z
   . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
1 1 1
2 2 2
P
x y z x y z x y z
  
     
HD. 
+ Theo bất đẳng thức Caychy ta có: 
4
1 1 1 1 1 1 1
164x x y z x x y zxxyz
            
 (1) 
4
1 1 1 1 1 1 1
164x y y z x y y zxyyz
            
 (2) 
4
1 1 1 1 1 1 1
164x y z z x y z zxyzz
            
 (3) 
+ Cộng các vế tương ứng ta được 
1 1 1 1 1
4 1
4 4
P
x y z
         
+ 
4
1
3
P x y z     
+ Vậy max 1P khi 
4
3
x y z   
4. Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn điều kiện 1xyz . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
3 3 3 3 3 31 1 1x y y z z x
P
xy yz zx
     
   
HD. 
+ Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 
3 3
3 3 3 33
1 3
1 3. 1. . 3
x y
x y x y xy
xy xy
 
      (1) 
Trần Chí Thanh –2009 Page 3 
3 3
3 3 3 33
1 3
1 3. 1. . 3
y z
y z y z yz
yz yz
 
      (2) 
3 3
33 3 3 3 1 31 3. 1. . 3
z x
z x z x zx
zx zx
 
      (3) 
+ Cộng các vế tương ứng các bất đẳng thức trên ta được 
1 1 1
3P
xy yz zx
       
 (4) 
+ Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có 
3
1 1 1 3
3
xy yz zx xyz
    (do xyz = 1) (5) 
+ Từ (4) và (5) suy ra 3 3P 
+ 
3 3
3 3
3 3
1
1
3 3 11
1 1 1
x y
y z
P x y zz x
xy yz zx
             
+ Vậy min 3 3P khi x = y = z = 1 
5. Cho các số x, y dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
 
2
9
1 1 1
y
P x
x y
             
HD. 
+ Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 
3
41 1 4
3 3 3 27
x x x x
x      (1) 
3
4
3
1 1 4
3 3 3 27
y y y y y
x x x x x
      (2) 
 
2
3 6
4
34 3
9 3 3 3 3 9 3
1 1 4 1 16
yy y y y yy
            
 (3) 
+ Nhân các vế tương ứng các bất đẳng thức trên ta được 
3 3 6
4
3 3
3
256 256
27 27
x y
P
x y
    
1
3
3
256 1
93
3
1
x
xy
P
yx
y
           
Trần Chí Thanh –2009 Page 4 
+ Vậy min 256P khi x=3, y = 9 
6. Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
3 4 3 4 3 4x y zP      
HD. 
+Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 
843 4 1 1 1 4 4. 4 3 4 2. 4x x x x x         
Tương tự: 83 4 2. 4y y  và 83 4 2. 4z z  
+ Cộng các vế tương ứng của các bất đẳng thức trên ta được  8 8 82 4 4 4x y yP   (1) 
+ Lại theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 
8 8 8 244 4 4 3. 4 3x y z x y z     (do x + y +z = 0) (2) 
+ Từ (1) và (2) suy ra 6P 
+ 
4 4 4 1
6 0
0
x y z
P x y z
x y z
           
+Vậy minP = 6 khi x = y = 0 
7. Cho hai số dương x, y và thỏa điều kiện 4x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 3
2
3 4 2
4
x y
P
x y
 
  
HD. Ta có: 
2 2
3 1 2 1 2
4 4 2 4 4 2
x x y y y
P x y
x y x y
           
2
1 1
2.
4 8 8 2
x y y x y
x y
          
 (1) 
+ Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 
1 1
2. 1
4 4
x x
x x
    (2) 
3
2 2
1 1 3
3.
8 8 8 8 4
y y y y
y y
      (3) 
+ theo giả thiết, ta lại có: 4 2
2
x y
x y

    (4) 
+ Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra 
3 9
1 2 2
4 2
P
      
 và 
2
1
9 4
 2
12
8
x
x
P x y
y
y
      
8. Cho các số dương x, y, z. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
     3 3 3 3 3 33 3 3 2 2 24 4 4 2
x y z
P x y y z z x
y z x
             
Trần Chí Thanh –2009 Page 5 
HD. 
+ Ta chứng minh:    33 34 ; , 0x y x y x y     
 Thật vậy: 
        3 33 3 2 24 ; , 0 4 ; , 0x y x y x y x y x y xy x y x y             
   22 2 4 ; , 0x y xy x y x y        23 0 ; , 0x y x y     (1) 
bất đẳng thức (1) luôn luôn đúng và dấu đẳng thức xảy ra khi x = y 
+ Khi đó  3 33 4 x y x y   
+ Tương tự:  3 33 4 y z y z   và  3 33 4 z x z x   
+ Do đó ta có:  
2 2 2
2 2
x y z
P x y z
y z x
          
 (2) 
+ Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 
33.x y z xyz   
3
2 2 2 2 2 2 3
1
3. 3
x y z x y z
y z x y z x xyz
       
+ Từ (2) suy ra 3
3
1
6 6.2 12P xyz
xyz
       
+ 
2 2 2
3
3
12 1
1
1
x y z
y z x
x y z
P x y z x y z
xyz
xyz
xyz
                  
+ Vậy minP =12 khi x = y = z = 1 
9. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2 2
1 2009
27 18
P
xyz x y z xyz
 
  
HD. 
+ Ta có:    22 2 2 2x y z x y z xy yz zx         1 2 xy yz zx    
+ Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 
3 33. 1 3.x y z xyz xyz     và  233.xy yz zx xyz   
 suy ra:  23 39. . 9xy yz zx xyz xyz xyz    
+ Từ đó  2 2 2 1 2 1 18x y z xy yz zx xyz        2 2 2 18 1x y z xyz     
2 2 2
1
1
18x y z xyz
 
  
2 2 2
2009
2009
18x y z xyz
 
  
+ Mặt khác, ta lại có: 3
1
1 3. 1
27
xyz
xyz
   
Trần Chí Thanh –2009 Page 6 
+ Khi đó 2010P 
1
2010
1 3
x y z
P x y z
x y z
          
+ Vậy minP = 2010 khi 
1
3
x y z   
10. Cho hai số thực dương x, y và 2 2 1x y  . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
   1 11 1 1 1P x y
y x
                
HD. 
+ Ta có: 
1 1
2
1 1 1 1 1
 2
2 2 2
x y
P x y
x y y x
x y
x y
x y y x x y
      
                                     
+ Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có: 
1 1
2. 2
2 2
x x
x x
    
1 1
2. 2
2 2
y y
y y
    
2. 2
x y x y
y x y x
    
1 1 1 1 2 1 1 1 1
2. 
2x y x y x yxy xy
          
2 2 2 2 2 22 2 2.x y x y xy x y xy      
2 2
1 2
2
xy x y
  

+ Khi đó 4 3 2P  
+ 
2 2
1
2
1
224 3 2
2
1
x
x
y
yP x y
x y
y x
x y
          
+ Vậy min 4 3 2P  khi 
2
2
x y 