Đề thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 môn thi: Toán thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Trần Sĩ Tùng 
Trung tâm BDVH & LTĐH 
QUANG MINH 
Đề số 7 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 
I. PHẦN CHUNG (7 điểm) 
Câu I (2 điểm): Cho hàm số 
x
y
x
2 4
1
-
=
+
. 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 
 2) Tìm trên đồ thị (C), hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN, biết M(–3; 0), N(–1; –1). 
Câu II (2 điểm): 
 1) Giải phương trình: 
x
x x x4
1 3 74 cos cos2 cos 4 cos
2 4 2
- - + = 
 2) Giải hệ phương trình: x xx x3 .2 3 2 1= + + 
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = x
x e dx
x
2
0
1 sin
1 cos
p
æ ö+
ç ÷+è øò 
Câu IV (1 điểm): Tính thể tích khối chóp S.ABC, biết SA = a, SB = b, SC = c, · · ·ASB BSC CSA0 0 060 , 90 , 120= = = . 
Câu V (1 điểm): Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 P = x y z2 2 22 2 2log 1 log 1 log 1+ + + + + 
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a (2 điểm): 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho 2 đường thẳng d1: x y 1 0+ + = và d2: x y2 1 0- - = . Lập phương trình 
đường thẳng d đi qua M(1; 1) và cắt d1, d2 tương ứng tại A, B sao cho MA MB2 0+ =
uuur uuur r
. 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x y z2 2 1 0+ - + = và hai điểm A(1; 7; –1), B(4; 2; 0). 
Lập phương trình đường thẳng d là hình chiếu vuông góc của đường thẳng AB lên mặt phẳng (P). 
Câu VII.a (1 điểm): Kí hiệu x1, x2 là các nghiệm phức của phương trình x x22 2 1 0- + = . Tính giá trị các biểu thức 
x21
1 
và 
x22
1 . 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b (2 điểm): 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C): x y x y2 2 2 2 3 0+ - - - = và điểm M(0; 2). Viết 
phương trình đường thẳng d qua M và cắt (C) tại hai điểm A, B sao cho AB có độ dài ngắn nhất. 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 3 điểm A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3). Tìm toạ độ trực tâm của tam 
giác ABC. 
Câu VII.b (1 điểm): Tìm các giá trị x, biết trong khai triển Newton ( )x
n
x5lg(10 3 ) ( 2)lg32 2- -+ số hạng thứ 6 bằng 21 
và n n nC C C
1 3 22+ = . 
============================ 
Trần Sĩ Tùng 
Hướng dẫn: 
I. PHẦN CHUNG 
Câu I: 2) Phương trình đường thẳng MN: x y2 3 0+ + = . Gọi I(a; b) Î MN Þ a b2 3 0+ + = (1) 
 Phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với MN là: y x a b2( )= - + . 
 Hoành độ các giao điểm A, B của (C) và d là nghiệm của phương trình: 
x
x a b
x
2 4 2( )
1
-
= - +
+
 (x ¹ –1) 
 Û x a b x a b22 (2 ) 2 4 0- - - + + = (x ¹ –1) 
 A, B đối xứng nhau qua MN Û I là trung điểm của AB. Khi đó: A BI
x x
x
2
+
= Û 
a b
a
2
4
-
= (2) 
 Từ (1) và (2) ta được: 
a b
a ba
2 3 0
2
4
ì + + =ï
-í =ïî
 Û a
b
1
2
ì =
í = -î
 Suy ra phương trình đường thẳng d: y x2 4= - Þ A(2; 0), B(0; –4). 
Câu II: 1) PT Û 
x
x
3cos2 cos 2
4
+ = (*). 
 Ta có: 
x
x
cos2 1
3cos 1
4
ì £ï
í £ïî
. Do đó (*) Û 
x
x
cos2 1
3cos 1
4
ì =ï
í =ïî
 Û 
x k
lx 8
3
p
p
ì =ï
í =ïî
 Û x m8 p= . 
 2) PT Û x x x3 (2 1) 2 1- = + (1). Ta thấy x 1
2
= không phải là nghiệm của (1). 
 Với x
1
2
¹ , ta có: (1) Û x
x
x
2 13
2 1
+
=
-
 Û x
x
x
2 13 0
2 1
+
- =
-
 Đặt x x
x
f x
x x
2 1 3( ) 3 3 2
2 1 2 1
+
= - = - -
- -
. Ta có: xf x x
x 2
6 1( ) 3 ln3 0,
2(2 1)
¢ = + > " ¹
-
 Do đó f(x) đồng biến trên các khoảng 
1;
2
æ ö
-¥ç ÷
è ø
 và 
1 ;
2
æ ö
+¥ç ÷
è ø
 Þ Phương trình f(x) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm trên 
từng khoảng 
1 1; , ;
2 2
æ ö æ ö
-¥ +¥ç ÷ ç ÷
è ø è ø
. 
 Ta thấy x x1, 1= = - là các nghiệm của f(x) = 0. Vậy PT có 2 nghiệm x x1, 1= = - . 
Câu III: Ta có: 
x x
x
2
1 sin 1 1 tan
1 cos 2 2
æ ö+
= +ç ÷
+ è ø
. 
 Do đó: I = x
x e dx
22
0
1 1 tan
2 2
p
æ ö
+ç ÷
è øò = 
xx x e dx
2
2
0
1 1 tan tan
2 2 2
p
æ ö
+ +ç ÷
è øò = 
x xx xe dx e dx
2 2
2
0 0
1 1 tan tan .
2 2 2
p p
æ ö
+ +ç ÷
è øò ò 
 Đặt 
xu e
xdv dx21 1 tan
2 2
ì =ï
æ öí
= +ç ÷ï è øî
 Þ 
xdu e dx
xv tan
2
ì =ï
í
=ïî
 Þ I = x x x
x x xe e dx e dx
2 22
0 0 0
tan tan tan
2 2 2
p pp
- +ò ò = e 2
p
. 
Câu IV: Trên AC lấy điểm D sao cho: DS ^ SC (D thuộc đoạn AC) Þ ·ASD 030= . 
 Ta có: ASD
CSD
AS SDSAD a
CD S cCS SD
01 . .sin 30
2
1 2.
2
= = = Þ 
a
DA DC
c2
= -
uuur uuur
 Þ 
cSA aSC
SD
c a
2
2
+
=
+
uur uuruuur
 Þ 
cSA aSC c
SD SB SB SA SB
c a c a
2 2. . .
2 2
æ ö+
= =ç ÷
+ +è ø
uur uuruuur uur uur uur uur
 = 
c abc
ab
c a c a
02 .cos60
2 2
=
+ +
Trần Sĩ Tùng 
 và 
c SA a SC caSA SCSD
c a
2 2 2 2
2
2
4 4 .
(2 )
+ +
=
+
uur uur
 = 
a c a c a c a c
c a c a
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2
4 2 3
(2 ) (2 )
+ -
=
+ +
 Þ SD = 
ac
c a
3
2 +
 Mặt khác, ·
abc
SD SB c aSDB
SD SB ac b
c a
. 32cos
. 33 .
2
+= = =
+
uuur uur
 Þ ·SDB 6sin
3
= 
 ·SDBC SDBV SC S SC SD SB SDB
1 1. . . .sin
3 6
= = = 
abc
c a
22 .
6 2 +
 Mà ASDB
CSDB
V AD a
V DC c2
= = Þ ASDB CSDB
a a bc
V V
c c a
22 .
2 12 2
= =
+
 Vậy: SABC ASDB CSDB
a bc abc
V V V abc
c a
2 22 2 2
12 2 12
æ ö+
= + = =ç ÷
+è ø
. 
Câu V: Đặt a x b y c z2 2 2log , log , log= = = Þ a b c xyz2 2log ( ) log 8 3+ + = = = 
 Þ P = x y z2 2 22 2 2log 1 log 1 log 1+ + + + + = a b c
2 2 21 1 1+ + + + + 
 Đặt m a n b p c( ;1), ( ;1), ( ;1)= = =r r r . 
 Khi đó: P = m n p m n p+ + ³ + +r r r r r r = a b c 2 2( ) (1 1 1)+ + + + + = 3 2 
 Dấu "=" xảy ra Û a b c 1= = = Û x y z 2= = = . Vậy MinP = 3 2 khi x y z 2= = = . 
II. PHẦN TỰ CHỌN 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a: 1) Giả sử A(a; –a –1) Î d1, B(b; 2b – 1) Î d2. MA a a MB b b( 1; 2), ( 1;2 2)= - - - = - -
uuur uuur
 MA MB2 0+ =
uuur uuur
 Û a b
a b
2 2 1 0
2 4 2 2 0
ì - + - =
í- - + - =î
 Û a
b
0
3
ì =
í =î
 Þ A(0; –1), B(3; 5) Þ Phương trình d: x y2 1 0- - = . 
 2) PTTS của AB: 
x t
y t
z t
4 3
2 5
ì = +ï
= -í
ï =î
 Þ Giao điểm của AB với (P) là: M(7; –3; 1) 
 Gọi I là hình chiếu của B trên (P). Tìm được I(3; 0; 2). Hình chiếu d của đường thẳng AB là đường thẳng MI. 
 Þ Phương trình đường thẳng d là: 
x t
y t
z t
3 4
3
2
ì = -ï
=í
ï = +î
Câu VII.a: PT có các nghiệm 
i i
x x1 2
1 1;
2 2
+ -
= = Þ i i
x x2 21 2
1 12 ; 2= - = . 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b: 1) (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 5 . IM = 2 5< Þ M nằm trong đường tròn (C). 
 Giả sử d là đường thẳng qua M và H là hình chiếu của I trên d. 
 Ta có: AB = 2AH = IA IH IH IM2 2 2 22 2 5 2 5 2 3- = - ³ - = . 
 Dấu "=" xảy ra Û H º M hay d ^ IM. Vậy d là đường thẳng qua M và có VTPT MI (1; 1)= -
uuur
 Þ Phương trình d: x y 2 0- + = . 
 2) Phương trình mp(ABC): 
x y z 1
1 2 3
+ + = . Gọi H(x; y; z) là trực tâm của DABC. 
 Ta có: 
AH BC
BH AC
H P( )
ì ^ï
í ^
ï Îî
uuur uuur
uuur uuur
 Û 
y z
x z
y z
x
2 3 0
3 0
1
2 3
ì- + =
ïï- + =
í
ï + + =
ïî
 Û 
x
y
z
36
49
18
49
12
49
ì
=ï
ïï
=í
ï
ï =ïî
 Þ H
36 18 12; ;
49 49 49
æ ö
ç ÷
è ø
. 
Trần Sĩ Tùng 
Câu VII.b: Phương trình n n nC C C
1 3 22+ = Û n n n2( 9 14) 0- + = Û n 7= 
 Số hạng thứ 6 trong khai triển ( )x x
7
5lg(10 3 ) ( 2)lg32 2- -+ là ( ) ( )x xC
2 5
55 lg(10 3 ) ( 2) lg3
7 2 2
- - 
 Ta có: 
x xC5 lg(10 3 ) ( 2) lg37 .2 .2 21
- - = Û 
x xlg(10 3 ) ( 2) lg32 1- + - = Û x xlg(10 3 ) ( 2) lg3 0- + - = 
 Û x x 2(10 3 ).3 1-- = Û x x23 10.3 9 0- + = Û x x0; 2= = 
=====================