Chuyên đề Số phức 12 - Luyện thi đại học

Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi Đại Học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn THPT Phong Điền -1- 
CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC 
I- LÝ THUYẾT: 
 1/ Tập hợp số phức: *N N Z Q R CÌ Ì Ì Ì Ì 
2/ Số phức (dạng đại số): 
2
 ( ) : phÇn thùc
: víi ( ) : phÇn ¶o
: §¬n vi ¶o víi 1 
a R
z C z a bi b R
i i
Ỵì
ï" Ỵ = + Ỵí
ï = -ỵ
 Nhận xét: + lµ sè thùc khi 0 : z b z a R= = Ỵ 
 + 
0
 lµ sè thuÇn ¶o : 
0
a
z z bi
b
=ìÛ =í ¹ỵ
3/ Hai số phức bằng nhau: 1 1 1 2 2 2 vµ . z a b i z a b i= + = + 
1 2
1 2
1 2
a a
z z
b b
=ì
= Û í =ỵ
4/ Biểu diễn hình học: 
So á phức z a bi= + (a, bỴ )R được bie åu diễn bởi điểm 
M(a;b) hay bởi ( ; )u a b= trong mp(Oxy). 
5/ Cộng và trừ số phức: Cho / /; z a bi z a b i= + = + 
( ) ( )/ / /z z a a b b i+ = + + + ( ) ( )/ / /z z a a b b i- = - + - 
6/ Nhân hai số phức: ( ) ( )/ / / / /.z z aa bb ab a b i= - + + 
7/ Số phức liên hợp của so á phức z a bi= + là z a bi= - 
 a) ; ' '; . ' . 'z z z z z z z z z z= + = + = 
 b) z là số thực z zÛ = ; z là số thuần ảo z zÛ = - 
8/ Môđun của số phức: z a bi= + 
 a) 2 2z a b zz OM= + = =

 b) 00,0 =Û=Ỵ"³ zzCzz 
9/ Chia hai số phức: 1 1 1 2 2 2 vµ . z a b i z a b i= + = + 
 Lúc đĩ: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )1 1 2 2 1 1 2 21 1 1 1 2
22 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
.a b i a b i a b i a b iz a b i z z
z a b i a b i a b i a b z
ỉ ư+ - + -+ ç ÷= = = =ç ÷+ + - + è ø
II- LUYỆN TẬP: 
1) Chứng minh rằng: 1 2, , z z z C" Ỵ , ta cĩ: 
a) (z )0¹ : 2
1 z
z z
= b) 2.z z z= c) 1 2 1 2. .z z z z= d) 1 1
2 2
z z
z z
ỉ ư
=ç ÷
è ø
e) 
zz
zz
z
zzzz
z
z '''' 2
1 === - f) = + £ + " Ỵ. ' ' , ' ' , 'z z z z z z z z z z C 
2) Thực hiện các phép tính sau: 
a) (3 – 5i) + (2 + 4i) b) (11 – 6i) – (2 – 4i) c) (2 – 4i)(3 + i) 
M(a;b)b
a y
x
O
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi Đại Học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn THPT Phong Điền -2- 
d) – 2i(3 – 8i) e) (3 + 2i)(1 – i) + (3 – 2i)(1 + i) f) 
2 + i
5 – 3i 
 g) 
4 – 3i
– i h) 
1 + 2i
1 – 2i + 
1 – 2i
1 + 2i 
k) 
(2 + i)(1 – 2i)
2 – i + 
(2 – i)(1 + 2i)
2 + i l) 
(2 + i) + (1 + i)(4 – 3i)
3 + 2i 
 m) 
(3 – i)(1 + 2i)
1 – 2i + 4 – 3i 
4) Tính các biểu thức sau: 
 a) 2 3 4 5 100 1008 2009, , , , , , i i i i i i i . Từ đĩ suy ra cách tính i n với *Ỵn N 
 b) (1 + i)2 ,(1 + i)3 ,(1 + i)4 ,(1 + i)5 , (1 + i)2006 , (1 – i)2006 
(1 + i)3
 (1 – i)4 c) 
5 + i
(1 + i)(2 – 3i) 
 d) 
331
1
i
i
+ỉ ư
ç ÷-è ø
+ (1 – i)10 + (2 + 3i)(2 – 3i) + 
1
 i e) 
cos
2p
3 + i.sin
2p
3
5(cos
7p
6 + i.sin
7p
6 )
è
ç
ỉ
ø
÷
ư
cos
p
3 + i.sin
p
3 (– 4i) 
5) Ph©n tÝch ra thõa sè phøc: 
a/ 2 1a + b/ 22 3a + c/ 2 24 9a b+ d/ 2 23 5a b+ 
6) Thùc hiƯn c¸c phÐp tÝnh: 
a/ ( )3 cos120 sin120o oi+ (cos45 sin 45 )o oi+ b/ ( )2 cos18 sin18o oi+ (cos72 sin 72 )o oi+ 
c/5 cos sin 3 cos sin
6 6 4 4
p p p pỉ ư ỉ ư+ +ç ÷ ç ÷è ø è ø
i i d) cos85 sin85
cos40 sin 40
i
i
+
+
 
  e/
2 22 cos sin
3 3
2 cos sin
2 2
p p
p p
ỉ ư+ç ÷è ø
ỉ ư+ç ÷è ø
i
i
f/ 
( )
( )
2 cos 45 sin 45
3 cos15 sin15
+
+
 
 
i
i
 g/ ( )75cos sin . 1 33 3
p pỉ ư- +ç ÷è ø
i i i h/ 2008 2008
1z
z
+ biÕt 
1 1z
z
+ = 
7) H·y x¸c ®Þnh tËp hỵp c¸c ®iĨm trong mỈt ph¼ng phøc biĨu diƠn c¸c sè z tho¶ m·n mçi 
®iỊu kiƯn sau: 
a) Phần thực bằng đối phần ảo b) 1 1z + < c)1 2z i< - < 
d) Phần ảo bằng 2 lần phần thực cộng 1 e) 2 1 2 3iz z- = + f) Phần thực bằng phần ảo 
g) 2 2 2 1i z z- = - 
h) Tổng các bình phương của phần thực và phần ảo bằng 1, phần thực khơng âm. 
k) Phần thực khơng vượt quá phần ảo. 
l) Phần ảo lớn hơn 1 m) Phần ảo 1 
Tương tự: 1/ | 3 | 4z z+ + = 2/ | 1 | 2z z i- + - = 3/ 2 | | | 2 |z i z z i- = - + 
4/ ( )22| | 4z z- = 5/ | 2 | | |z i z+ = - 6/ | 2 | | 2 |z z+ > - 
7/ | 4 | | 4 | 10z i z i- + + = 8/ 1 | 1 | 2z i£ + - £ 
8) Tìm số phức z , biết: 
 a) z 2, vµ z lµ sè thuÇn ¶o= b) z 5, phÇn thùc b»ng 2 lÇn phÇn ¶o= 
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi Đại Học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn THPT Phong Điền -3- 
9) Tìm số thực , x y thoả mãn điều kiện: 
a) 2 5 b) ( 1) 3( 1) 5 6
c) (2 3 1) ( 2 ) (3 2 2) (4 3) d) 2 1 (1 2 ) 2 (3 2)
e) 4 3 (3 2) 1 ( 3) 
+ = + + + - = -
+ + + - + = - + + - - + + - = - + -
+ + - = + + -
x i yi x y i i
x y x y i x y x y i x y i x y i
x y i y x i f) 2 (2 ) 2 ( 2 )+ + - = + + +x y x y i x y x y i
 Chủ đề: SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ DẠNG TỐN CƠ BẢN 
Bài tập 1: Tìm phần thực của số phức z , biết rằng ( ) ( )22 1 2z i i= + - 
Gợi ý: Ta cĩ ( ) ( ) ( ) ( )22 1 2 1 2 2 1 2 5 2z i i i i i= + - = + - = + 
5 2z iÞ = - . Suy ra, phần thực của z là 5. 
Bài tập 2: Tìm số phức z , biết rằng 2 0z z+ = . 
Gợi ý: 
Đặt z x yi= + . Khi đĩ: 
( ) ( )22 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
0 0 2 0
0 0
2 0 0 0
z z x yi x y x y x y xyi
x y x y x y x y
xy x y
+ = Û + + + = Û - + + + =
ì ì- + + = - + + =ï ïÛ Ûí í
= = Ú =ï ïỵ ỵ
2 2 2 2 0 (1)
0
x y x y
x
ì - + + =ïÛ í
=ïỵ
 hoặc 
2 2 2 2 0 (2)
0
x y x y
y
ì - + + =ï
í
=ïỵ
* Giải (1) ta được 
0
1
x
y
=ì
í =ỵ
 và 
0
1
x
y
=ì
í = -ỵ
. 
* Giải (2) ta được 
0
0
x
y
=ì
í =ỵ
Kết luận: Cĩ 3 số phức thỏa y.c.b.t là: 0, , z z i z i= = = - . 
Bài tập 3: Tìm các số phức z thỏa mãn: 
( ) ( )
4
2
2 1 3a) 2 3 1 b) 2 4 0 c) 
1 2
d) 2 2 4 e) 0 f) 1
i ii z z i z z
i i
z iz z i z z
z i
+ - +
+ = - - - = =
- +
+ỉ ư+ = - + = =ç ÷-è ø
Gợi ý: 
( ) ( ) ( )2
1 31 1 3a) 2 3 1 1 3 1
1 3 1 9 10 10
i
i z z i z z i
i i
- --
+ = - Û + = - Û = = = - +
+ -
( ) ( )( ) ( )
4 24 8 4 8 4b) 2 4 0
2 2 2 5 5 5 5
i
i z z i z i
i i i
+
- - = Û = = = - Þ = +
- - +
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
1 3 1 2 4 3 42 1 3 2 4 22 4c) 
1 2 3 4 25 25 252
i i i ii i iz z i
i i ii
- + - + -+ - + +
= Û = = = = +
- + ++
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi Đại Học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn THPT Phong Điền -4- 
d) Đặt z x yi= + . Khi đĩ: 
( ) ( )
23 2
2 2 4 2 2 4 3 2 4 3
4 4
x x
z z i x yi x yi i x yi i
y y
ì= =ì ï+ = - Û + + - = - Û - = - Û Ûí í=ỵ ï =ỵ
Vậy 2 4
3
z i= + 
Nhận xét: Trong ví dụ trên, ta tìm số phức z dựa vào định nghĩa hai số phức bằng nhau. 
2e) 0z z+ = 
Đặt z x yi= + . Khi đĩ: 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 20 2 0 2 0z z x y xyi x yi x y x xy y i+ = Þ - + + - = Û - + + - = 
( ) ( )
2 2 2 22 2 0 00
2 1 0 0 2 1 02 0
x y x x y xx y x
x y y xxy y
ì ì- + = - + =ì - + = ï ïÛ Û Ûí í í
- = = Ú - =- = ï ïỵ ỵ ỵ
2 2 0
 (1)
0
x y x
y
ì - + =Û í
=ỵ
 hoặc 
2 2 0
 (2)1
2
x y x
x
ì - + =
ï
í
=ïỵ
* Giải (1) ta được 
0
0
x
y
=ì
í =ỵ
 và 
1
0
x
y
= -ì
í =ỵ
. 
* Giải (2) ta được 
1
2
3
2
x
y
ì =ïï
í
ï =ïỵ
 và 
1
2
3
2
x
y
ì =ïï
í
ï = -ïỵ
Kết luận: Cĩ 4 số phức thỏa y.c.b.t là: 1 3 1 30, 1, , 
2 2 2 2
z z z i z i= = - = + = - . 
2
4
2
1 (1)
f) 1
1 (2)
z i
z iz i
z i z i
z i
é +ỉ ư =êç ÷-+ è øỉ ư ê= Ûç ÷ ê-è ø +ỉ ưê = -ç ÷-êè øë
Ta cĩ: 
1
(1) 0
01
z i
z i z i i iz i z
z i z i z i z
z i
+é =ê + = - = -é é-êÛ Û Û Þ =ê ê+ + = - + =ê ë ë= -ê -ë
( )
( )
1
(2)
1
z i i z i z i i zz i
z i zz i z i ii
z i
+é =ê é + = - =é-êÛ Û Ûê ê+ = -+ = - +ê ëêë= -ê -ë
Kết luận: Cĩ 3 số phức thỏa y.c.b.t là: 0, 1, 1z z z= = = - . 
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi Đại Học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn THPT Phong Điền -5- 
Bài tập 4: Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng theo thứ tự biểu diễn các số phức 
( ) ( )4 2 6; 1 1 2 ; 
1 3
i ii i
i i
+
- +
- -
. 
a) Chứng minh ABC là tam giác vuơng cân. 
b) Tìm số phức biểu diễn điểm D sao cho ABCD là hình vuơng. 
Gợi ý: 
a) Ta cĩ 4 2 2
1
i i
i
= -
-
. Vậy (2; 2)A - . 
( ) ( )1 1 2 3i i i- + = + , suy ra (3;0)B . 
Tương tự 2 6 2
3
i i
i
+
=
-
, vậy (0;2)C . 
Lúc đĩ, ta cĩ 2 2 2 2 2 210, 10, 20
AB BC
BC BA CA
AC AB BC
=ì
= = = Þ í
= +ỵ
Þ Tam giác ABC vuơng cân tại B. 
b) Gọi D là đỉnh thứ tư của hình vuơng ABCD. Do ABC là tam giác vuơng cân nên yêu cầu 
bài tốn tương đương với ( ) ( )
1
1; 3 ; 2 ( 1; 1)
1
D
D D
D
x
BA CD x y D
y
= -ì
= Û - - = - Û Û - -í = -ỵ
 
Vậy D biểu diễn số phức 1z i= - - . 
CHỦ ĐỀ: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC 
I- LÝ THUYẾT: 
 Cho số phức 0z ¹ . Giả sử điểm M là điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z . Số 
đo (rađian) của mỗi gĩc lượng giác cĩ tia đầu Ox, tia cuối OM được gọi là một argumen 
của z . 
Nhận xét: Nếu j là một argumen của z , thì mọi argumen của z cĩ dạng 2kj p+ . 
1. Dạng lượng giác của số phức: 
 Xét số phức 0z a bi= + ¹ . Giả sử mơđun của z là r thì 2 2r z a b= = + . 
Gọi j là một argumen của z thì: ( )cos + sinz r ij j= . 
Dạng đại số của z : z a bi= + 
Dạng lượng giác của z : ( ) cos + sin z r ij j= 
 Trong đĩ: 2 2r z a b= = + và 
cos
sin
a
r
b
r
j
j
ì =ïï
í
ï =ïỵ
2. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác: 
 Cho hai số phức ( ) ( )1 1 1 1 2 2 2 2cos + sin , cos + sinz r i z r ij j j j= = với 1 20, 0.r r> > 
Lúc đĩ: ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2 . cos + sin z z rr ij j j j= é + + ùë û 
 ( ) ( )1 1 1 2 1 2
2 2
 cos + sin z r i
z r
j j j j= é - - ùë û 
3. Cơng thức Moa-vrơ: Cho số phức ( )cos + sinz r ij j= 
 ( ) ( ) cos + sin cos + sin nn nz r i r n i nj j j j= é ù =ë û 
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi Đại Học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn THPT Phong Điền -6- 
4. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác: 
Cho số phức ( )cos + sin , 0z r i rj j= > . Khi đĩ z cĩ hai căn bậc hai là: 
 cos + sin
2 2
r ij jỉ ưç ÷è ø
 và cos + sin cos sin
2 2 2 2
r i r ij j j jp pé ùỉ ư ỉ ư ỉ ư- = + + +ç ÷ ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø è øë û
II- BÀI TẬP MINH HỌA: 
Bài tập 1: Cho 1 2, z z là các nghiệm của phương trình 
2 2 10 0z z+ + = . Tính giá trị biểu thức 
2 2
1 2A z z= + . 
Gợi ý: Xét phương trình 
( )
( ) ( )
2 2
1 12
2 2
2 2
1 3 1 3 10
2 10 0
1 3 1 3 10
z i z
z z
z i z
é = - + Þ = - + =ê+ + = Þ ê
= - - Þ = - + - =êë
Lúc đĩ: 2 21 2 10 10 20A z z= + = + = . 
Bài tập 2: Tìm số phức z thỏa mãn ( )2 10z i- + = và . 25.z z = 
Gợi ý: 
Đặt ( )= + Ỵ Þ = - Þ = +2 2, , .z x yi x y R z x yi z z x y . 
Mặt khác, ta cĩ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 22 2 1 2 1z i x y i x y- + = - + - = - + - . 
Ta cĩ: 
( ) ( )
2 2 2 2
2 2
3
25 425
2 10 52 1 10
0
x
x y yx y
x y xx y
y
é =ì
íêì + = =ì + =ï ỵêÛ Ûí í ê+ = =ì- + - = ỵïỵ êí =êỵë
Kết luận: Vậy cĩ hai số phức thỏa y.c.b.t là 3 4 , 5.z i z= + = 
Bài tập 3: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 
( ) ( ) 1 3a) 1 3 1 b) c) sin cos1
ii i i
i
j j-- + +
+
Gợi ý: 
a) Ta cĩ: 1 3 2 cos sin ; 1 2 cos sin
3 3 4 4
i i i ip p p pé ùỉ ư ỉ ư ỉ ư- = - + - + = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø è øë û
. 
Lúc đĩ: 
( ) ( )1 3 1 2 2 cos sin 2 2 cos sin3 4 3 4 12 12i i i i
p p p p p pé ù é ùỉ ư ỉ ư ỉ ư ỉ ư- + = - + + - + = - + -ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ê ú ê úè ø è ø è ø è øë û ë û
b) Tương tự: 1 3 2 cos sin ; 1 2 cos sin
3 3 4 4
i i i ip p p pé ùỉ ư ỉ ư ỉ ư- = - + - + = +ç ÷ ç ÷ ç ÷ê úè ø è ø è øë û
Lúc đĩ: 
p p
p p p p
p p
é ùỉ ư ỉ ư- + -ç ÷ ç ÷ê ú é ù- ỉ ư ỉ ưè ø è øë û= = - - + - -ç ÷ ç ÷ê ú+ ỉ ư è ø è øë û+ç ÷è ø
2 cos sin
3 31 3 2 cos sin
1 3 4 3 42 cos sin
4 4
i
i i
i i
p pé ùỉ ư ỉ ư= - + -ç ÷ ç ÷ê úè ø è øë û
7 7 2 cos sin
12 12
i 
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi Đại Học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO T ... thẳng : 4 0 d x y   . Giả sử  ;M x y là 
điểm biểu diễn của z thì .minminz OM OM d   
Ta tìm được  2;2 2 2M z i    . 
Bài tập 2: Biết rằng số phức z thỏa mãn 2 2
1
z i
z i
  
 
 là một số thực. Tìm giá trị nhỏ 
nhất và lớn nhất của z . 
Gợi ý: Giả sử  , z x iy x y   , ta cĩ: 
   
       
 
2 2 2 2
22
2 2 2 1 2 1 1
1
2 1 2 1 1
3 10.
z i x y i x y i
z i
x y x y
x y
          
 
          
   
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn của z 
là đường trịn tâm  0; 3I  , bán kính 10R  . 
Giả sử  ;M x y là điểm biểu diễn của z thì minmin
maxmax
z OM
z OM
  
. 
Tìm được: 
 
 
3 10 3 10
3 10 3 10
min , khi 
max , khi 
z z i
z z i
         
Bài tập 3: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 1 2 2z i- - = . Tìm số phức z cĩ 
mođun nhỏ nhất. 
Gợi ý: 
x
y
M
O
- 10
I
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi Đại Học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn THPT Phong Điền -19- 
Cách 1: Như bài trên. 
Cách 2: Giả sử  , z x iy x y   và ( );M x y là điểm biểu diễn số phức z . 
Ta cĩ: 1 2 2z i- - = trở thành: ( ) ( )2 21 2 4x y- + - = . 
Vậy tập hợp điểm M là đường trịn ( ) ( ) ( )2 2: 1 2 4C x y- + - = cĩ tâm (1;2)I bán kính 
2R = . 
Chuyển phương trình đường trịn về dạng tham số: 
Đặt ( )
1 2sin
1 2sin ;2 2cos
2 2cos
x t
M t t
y t
= +ì Þ + +í = +ỵ
. 
Mơđun của số phức z chính là độ dài của vectơ OM

Ta cĩ: ( ) ( ) ( )
22 2 21 2sin 2 2cos 9 4 sin 2cosz OM t t t t= = + + + = + +

Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki ( hoặc cách khác ): 
( ) ( ) ( )2 2 2 21.sin 2.cos 1 2 sin cos 5 5 sin cos 5t t t t t t+ £ + + = Þ - £ + £ 
9 4 5 9 4 5zÞ - £ £ + 
Vậy 
min
1 2sin 1
5 59 4 5 sin 2cos 5
2 4cos 2
5 5
t x
z t t
t y
ì ì= - = -ï ïï ï= - Û + = - Û Þí í
ï ï= - = -
ï ïỵ ỵ
2 41 2
5 5
z iỉ ư ỉ ưÞ = - + -ç ÷ ç ÷è ø è ø
BÀI TẬP TỰ LUYỆN: 
Bài tập 1: a) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: 3 5 2
1 3
z i
z i
  
 
. 
 b) Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của z . 
Bài tập 2: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 32 3
2
z i- + = . Tìm số phức z cĩ 
mođun nhỏ nhất. 
Bài tập 4: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 1 5 2
3
z i
z i
  
 
. Tìm số phức z cĩ 
mođun nhỏ nhất. 
Bài tập 5: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện 2 4 2z i z i- - = - . Tìm số phức z cĩ 
mođun nhỏ nhất. 
Bài tập 6: Xét số phức z thỏa mãn 
( ) ( )
1
1 2
mz m
m m i
-
= Ỵ
- -
a) Tìm m để 1.
2
z z = . 
b) Tìm m để 1
4
z i- £ . 
c) Tìm số phức z cĩ mođun lớn nhất. 
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi Đại Học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn THPT Phong Điền -20- 
DẠNG TỐN: MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ CHỨNG MINH 
Phương pháp: 
 Lời giải các bài tốn về chứng minh thường được dựa trên các tính chất về mơđun và 
liên hợp của số phức. 
 Chú ý rằng: Nếu các số phức 1 2, z z cĩ điểm biểu diễn tương ứng là A, B thì 
1 2 1 2, , . OA z OB z AB z z    
Bài tập 1: Giả sử 1 2, z z là các số phức khác 0 . Chứng minh rằng: 
11
2 2
zz
z z
 
Gợi ý: 
Cách 1: Dựa vào tính chất: 2.z z z 
Ta cĩ: 
2 2
1 11 1 1 1 1 1 1 1
2
2 2 2 2 2 2 2 2 22
. .
z zz z z z z z z z
z z z z z z z z zz
          
 ( đ.p.c.m ) 
Cách 2: Xuất phát từ: 1 1 1
2 2 2
z a b i
z a b i
    
Bài tập 2: Giả sử 1 2, z z là các số phức khác 0 , thỏa mãn 
2 2
1 1 2 2 0.z z z z   Gọi A, B là 
các điểm biểu diễn tương ứng của 1 2, z z . Chứng minh rằng: OAB là tam giác đều. 
Gợi ý: 
Ta cĩ:   3 3 2 21 2 1 2 1 1 2 2 0z z z z z z z z      
suy ra: 3 33 31 2 1 2 1 2 .z z z z z z OA OB       
Mặt khác:    2 2 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2z z z z z z z z z z      nên 1 2 1 2 1 2z z z z z z   
Suy ra: 2 2.AB OA OB OA  nên OA OB AB  . 
Vậy OAB là tam giác đều ( đ.p.c.m ). 
Bài tập 3: Cho 3 số phức 1 2 3, , z z z đều cĩ mơđun bằng 1. Chứng minh rằng: 
1 2 3 1 1 2 3 1 3z z z z z z z z z     
Gợi ý: Vì 1 2 3 1z z z  nên 
1 1 2 3 1 3 1 1 2 3 1 3
1 1 2 3 1 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 1 1
z z z z z z z z z z z zz z z z z z
z z z z z z z z z
z z z z z z z z z
         
        
Suy ra: 1 2 3 1 1 2 3 1 3z z z z z z z z z     ( đ.p.c.m ). 
Nhận xét: Trong bài giải trên cĩ sử dụng một số kết quả sau: 
2 1 1
1 2 1 2
2 2
, . , , z zz z z z z z z z z
z z
          
Bài tập 4: Chứng minh rằng nếu số phức z thỏa mãn 3 3
8 9z
z
  thì 2 3z
z
  . 
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi Đại Học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn THPT Phong Điền -21- 
Gợi ý: Đặt  2 0, a z a a
z
    . 
Ta cĩ: 
3
3
3
2 8 26z z z
z zz
                
 suy ra 
3
3 3
3
2 8 26 9 6a z z z a
z zz
        
Ta được:   3 26 9 0 3 3 3 0a a a a a        (1) 
Vì 2 3 3 0, a a a     , nên (1) 22 2a z
z
     ( đ.p.c.m ). 
Bài tập 5: Cho hai số phức 1 2, z z đều cĩ mơđun bằng 1. Chứng minh rằng 1 2
1 21
z zz
z z


 là 
một số thực. 
Gợi ý: 
Ta cĩ: 21 1 1 1
1
11z z z z
z
    . Tương tự 2
2
1z
z
 
Lúc đĩ: 1 2 1 2 1 2 1 21 2
1 2 1 2 1 21 2
1 2
1 1
1 11 1 11 1
z z z z z z z zz zz z
z z z z z zz z
z z
                 
Vậy z z nên z là một số thực. 
Nhận xét: 
 1. z là một số thực z z  . 2. 0z  là một số thuần ảo z z  . 
Bài tập 6: Chứng minh rằng:  2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 22 , , z z z z z z z z       
Gợi ý: 
Nhận xét rằng: 
     21 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 
z z z z z z z z z z
z z z z z z z z z z z z z z
      
       
Lúc đĩ: 2 21 2 1 2VT z z z z    
     2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 22 z z z z z z z z z z z z z z VP           
Hoặc cĩ thể bắt đầu với: 1 1 1
2 2 2
z a b i
z a b i
    
 và biến đổi để được đẳng thức cần chứng minh. 
Bài tập 7: Chứng minh rằng: 
a.    2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 21 1 1 , , z z z z z z z z        . 
b.    2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 21 1 1 , , z z z z z z z z        
Gợi ý: 
a. Ta cĩ: 
   2 22 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 21 1 1 1z z z z z z z z z z z z z z z z z z             
b. Ta cĩ: 
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi Đại Học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn THPT Phong Điền -22- 
  2 22 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 21 1 1 1z z z z z z z z z z z z z z z z z z              
Bài tập 8: Chứng minh rằng: 
 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21. , ,4 z z z z z z i z iz i z iz z z          
Gợi ý: 
Ta cĩ: 
   
   
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 24
z z z z i z iz i z iz
z z z z z z z z z z z z z z z z
iz z z z z z iz z iz z z z z z iz z
z z
      
       
        

Suy ra:  2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 21. , ,4 z z z z z z i z iz i z iz z z          ( đ.p.c.m ) 
Bài tập 9: Chứng minh rằng với mỗi số phức z , cĩ ít nhất một trong hai bất đẳng thức sau 
xãy ra: 11
2
z  hoặc 2 1 1z   . 
Gợi ý: 
Giả sử ta cĩ đồng thời 
2
11
2
1 1
 (*)
z
z
    
Đặt  , z a bi a b   . Lúc đĩ 
(*)
 
 
 
   
2 2 22
22 2 2 2 22 2 2 2
1 2 4 1 01
2
2 01 4 1
 (1)
 (2)
a b aa b
a b a ba b a b
                     
Cộng (1)- (2) vế theo vế ta được:    2 22 2 2 1 0a b a    ( vơ lý ). Suy ra đ.p.c.m. 
Bài tập 10: Cho 1 2, z z  . Chứng minh rằng: 1 2 1 2. .E z z z z   
Gợi ý: 
Để giải bài tốn này, ta sử dụng một tính chất quan trọng của số phức liên hợp là: 
 z z z   
Thật vậy: Giả sử z x yi z x yi     . 
Ta cĩ: 2 0 0z z x yi x yi yi y z x            
Trở lại bài tốn trên: 
Ta cĩ: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2. . . . . .E z z z z z z z z z z z z E E         ( đ.p.c.m ) 
--------------------------------------- 
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi Đại Học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn THPT Phong Điền -23- 
MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC 
1) A- 2011 
a) Tính mơđun của số phức z , biết: ( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 1 1 2 2z i z i i- + + + - = - . 
b) Tìm tất cả các số phức z , biết: 22z z z= + . 
2) B- 2011 
 a) Tìm số phức z , biết: 5 3 1 0iz
z
+
- - = . 
 b) Tìm phần thực và phần ảo của số phức 
3
1 3
1
iz
i
ỉ ư+
= ç ÷
+è ø
3) D- 2011 Tìm số phức z , biết: ( )2 3 1 9z i z i- + = - . 
4) A- 2010 
 a) Tìm phần ảo của số phức z , biết ( ) ( )22 1 2 .z i i= + - 
 b) Cho phức z thỏa mãn: 
( )31 3
1
i
z
i
-
=
-
. Tìm mơđun của số phức z iz+ . 
5) B- 2010 
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn 
(1 ) .z i i z- = + 
6) D- 2010 Tìm số phức z thỏa mãn: 2z = và 2z là số thuần ảo. 
7) A- 2009 Gọi z1 và z2 là 2 nghiệm phức của phương trình: z2+2z+10=0. Tính giá trị của 
biểu thức A = ½z1½2 + ½z2½2 
8) B- 2009 Tìm số phức z thoả mãn : z (2 i) 10 và z.z 25- + = = 
9) D- 2009 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn 
điều kiện z (3 4i) 2- - = . 
10) Tốt nghiệp 2008 ( ) ( )= + + -2 2TÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: 1 3 1 3P i i 
11) Tốt nghiệp 2008 L2 - + =2Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2 2 0 trªn tËp sè phøc.x x 
12) Tốt nghiệp 2009 
- + =
- + =
= +
2
2
2
1) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 8z 4 1 0 trªn tËp sè phøc.
2) Gi¶i ph­¬ng tr×nh: 2z 1 0 trªn tËp sè phøc.
3) Cho sè phøc 3 - 2 . X¸c ®Þnh phÇn thùc vµ phÇn ¶o cđa sè phøc: 
z
iz
z i z z
13) Tốt nghiệp 2010 
1 2 1 2
1 2 1 2
2
1) Cho sè phøc 1 2 vµ 2 3 . X¸c ®Þnh phÇn thùc vµ phÇn ¶o cđa sè phøc 2
2) Cho sè phøc 2 5 vµ 3 4 . X¸c ®Þnh phÇn thùc vµ phÇn ¶o cđa sè phøc .
3) Gi¶i ph­¬ng tr×nh 2 6 5 0 trª
= + = - -
= + = -
+ + =
z i z i z z
z i z i z z
z z n tËp sè phøc.
14) (THTT/1 /2009) KÝ hiƯu x1, x2 lµ hai nghiƯm phøc cđa ph­¬ng tr×nh bËc hai: 
0122 2 =+- xx . TÝnh gi¸ trÞ c¸c sè phøc 2
1
1
x
 vµ 2
2
1
x
. 
Chuyên đề SỐ PHỨC Luyện thi Đại Học 2012 
Giáo viên: LÊ BÁ BẢO Tổ Tốn THPT Phong Điền -24- 
15) Chứng minh 
12
1
3
÷÷ø
ư
ççè
ỉ
+
+-
=
i
iz là một số thực. 
16) Giải phương trình : 2 1 3
1 2
i iz
i i
+ - +
=
- +
4
3
17) T×m sè phøc z tho¶ m·n: 1
18) T×m c¸c sè thùc x, y tho¶ m·n: ( 1 4 ) (1 2 ) 2 9
19) TÝnh c¨n bËc hai cđa sè phøc:
z i
z i
x i y i i
+ỉ ư =ç ÷-è ø
- + + + = + 
 a/ 15 112i+ b/ 
( )22 21 2 1 2 1 21 2
1 1 1 2 1 1
z z z z z zz z
ỉ ư ỉ ư
+ + +ç ÷ ç ÷+ +è ø è ø
 với 1 20; 0z z¹ ¹ 
20) Tìm giá trị nhỏ nhất của | |z nếu | 2 2 | 1z i- + = . 
21) Cho biết 
1
+ =z a
z
. Tìm số phức z cĩ mơdun lớn nhất, mơđun nhỏ nhất. 
22) T×m c¸c sè nguyªn x,y sao cho sè phøc z x yi= + tho¶ m·n 3 18 26z i= + . 
23) Cho hai sè phøc 1 2z z, tho¶ m·n 1 2 1 21 3z z z z= = + =; . TÝnh 1 2z z- . 
24) T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm biĨu diƠn trong mỈt ph¼ng phøc sè phøc 1 3 2i zw = + +( ) biÕt 
r»ng sè phøc z tho¶ m·n: 1 2z - £ . 
25) TÝnh m«®un vµ x¸c ®Þnh phÇn thùc, phÇn ¶o cđa c¸c sè phøc sau: 
61) 
3 2
iz
i
-
=
+
 2) ( ) ( )2 27 3 2z i i= - - - 3) ( )34 3 1z i i= - + -