Đề thi thử đại học và cao đẳng năm 2010 môn thi: Toán học

Trần Sĩ Tùng 
Trung tâm BDVH & LTĐH 
THÀNH ĐẠT 
Đề số 3 
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 
Môn thi: TOÁN 
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) 
I. PHẦN CHUNG (7 điểm) 
Câu I (2 điểm): Cho hàm số y x mx m4 2 1= + - - (Cm) 
 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –2. 
 2) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (Cm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B. Tìm m để các tiếp tuyến tại A 
và B vuông góc với nhau. 
Câu II (2 điểm): 
 1) Giải hệ phương trình: 
ìï + + =
í
+ + + =ïî
x x y
x x y xy x
2
3 2 2
5 9
3 2 6 18
 2) Giải phương trình: x x x x2
1sin sin 2 1 cos cos
2
+ = + + 
Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I = 
x
dx
x
8
2
3
1
1
-
+
ò 
Câu IV (1 điểm): Cho hình lập phương ABCD.A¢B¢C¢D¢ cạnh a. Gọi K là trung điểm của cạnh BC và I là tâm của mặt 
bên CC¢D¢D. Tính thể tích của các hình đa diện do mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương. 
Câu V (1 điểm): Cho x, y là hai số thực thoả mãn x xy y2 2 2- + = . Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu 
thức: M = x xy y2 22 3+ - . 
II. PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a (2 điểm): 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có điểm M(–1; 1) là trung điểm của cạnh BC, hai cạnh 
AB, AC lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1: x y 2 0+ - = và d2: x y2 6 3 0+ + = . Tìm toạ độ các đỉnh A, B, C. 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x y z x y z2 2 2 2 2 4 2 0+ + - - - + = và đường thẳng d: 
x y z3 3
2 2 1
- -
= = . Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S). 
Câu VII.a (1 điểm): Giải phương trình sau trên tập số phức: z z z2 4 2( 9)( 2 4) 0+ + - = 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b (2 điểm): 
 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; –3), B(3; –2), diện tích tam giác bằng 1,5 và trọng 
tâm I nằm trên đường thẳng d: x y3 8 0- - = . Tìm toạ độ điểm C. 
 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1: 
x y z1 1
2 1 2
- +
= = và d2: 
x y z2 1
1 1 2
- -
= =
-
. Lập 
phương trình đường thẳng d cắt d1 và d2 và vuông góc với mặt phẳng (P): x y z2 5 3 0+ + + = . 
Câu VII.b (1 điểm): Cho hàm số 
x mx m
y
mx
2 1
1
+ + -
=
+
 (m là tham số). Tìm m để hàm số luôn đồng biến trên từng 
khoảng xác định của nó. 
============================ 
Trần Sĩ Tùng 
Hướng dẫn: 
I. PHẦN CHUNG 
Câu I: 2) Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0). Ta có: y x mx34 2¢ = + . 
 · Các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau Û y y(1). ( 1) 1¢ ¢ - = - Û m 2(4 2 ) 1+ = Û 
m
m
3
2
5
2
é
= -ê
ê
ê = -
ë
. 
Câu II: 1) Hệ PT Û y x x
x x x x+
2
4 3 2
9 5
4 5 18 18 0
ìï = - -
í
+ - - =ïî
 Û 
y x x
x
x
x
29 5
1
3
1 7
ì = - -
ïïé =
íê = -ïê
ï = - ±ëî
 Û 
x y
x y
x y
x y
1; 3
3; 15
1 7; 6 3 7
1 7; 6 3 7
é = =
ê = - =
ê
= - - = +ê
ê = - + = -ë
 2) PT Û x x x(sin 1)(sin cos 2) 0- + + = Û xsin 1= Û x k2
2
p
p= + . 
Câu III: I = 
x
dx
x x
8
2 2
3
1
1 1
æ ö
-ç ÷ç ÷+ +è ø
ò = ( )x x x
8
2 2
31 ln 1
é ù+ - + +ë û = ( ) ( )1 ln 3 2 ln 8 3+ + - + . 
Câu IV: Gọi E = AK Ç DC, M = IE Ç CC¢, N = IE Ç DD¢. Mặt phẳng (AKI) chia hình lập phương thành hai đa diện: 
 KMCAND và KBB¢C¢MAA¢D¢N. Đặt V1 = VKMCAND, V2 = VKBB¢C¢MAA¢D¢N. 
 · Vhlp = a3 , VEAND = ADNED S a
31 2. .
3 9D
= . 
 · EKMC
EAND
V EK EM EC
V EA EN ED
1. .
8
= = Þ KMCAND EANDV V V a a
3 3
1
7 7 2 7.
8 8 9 36
= = = = , V2 = Vhlp – V1 = a3
29
36
. 
 Þ 
V
V
1
2
7
29
= . 
Câu V: · Nếu y = 0 thì M = x2 = 2. 
 · Nếu y ¹ 0 thì đặt 
x
t
y
= , ta được: M = 
x xy y
x xy y
2 2
2 2
2 32. + -
- +
 = 
t t
t t
2
2
2 32
1
+ -
- +
. 
 Xét phương trình: 
t t
m
t t
2
2
2 3
1
+ -
=
- +
 Û m t m t m2( 1) ( 2) 3 0- - + + + = (1) 
 (1) có nghiệm Û m = 1 hoặc D = m m m2( 2) 4( 1)( 3) 0+ - - + ³ Û m2( 13 1) 2( 13 1)
3 3
+ -
- £ £ . 
 Kết luận: M
4( 13 1) 4( 13 1)
3 3
+ -
- £ £ . 
II. PHẦN TỰ CHỌN 
1. Theo chương trình chuẩn 
Câu VI.a: 1) Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ: x y
x y
2 0
2 6 3 0
ì + - =
í + + =î
 Þ A
15 7;
4 4
æ ö
-ç ÷
è ø
. 
 Giả sử: B b b( ;2 )- Î d1, 
c
C c
3 2;
6
æ ö- -
ç ÷
è ø
Î d2. 
 M(–1; 1) là trung điểm của BC Û 
b c
cb
1
2
3 22
6 1
2
ì +
= -ï
ï
- -í - +ï
=ïî
 Û 
b
c
1
4
9
4
ì
=ï
í
ï = -
î
 Þ B
1 7;
4 4
æ ö
ç ÷
è ø
, C
9 1;
4 4
æ ö
-ç ÷
è ø
. 
 2) (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2. d có VTCP u (2;2;1)=r . 
 (P) // d, Ox Þ (P) có VTPT [ ]n u i, (0;1; 2)= = -rr r Þ Phương trình của (P) có dạng: y z D2 0- + = . 
Trần Sĩ Tùng 
 (P) tiếp xúc với (S) Û d I P R( ,( )) = Û D
2 2
1 4 2
1 2
- +
=
+
 Û D 3 2 5- = Û D
D
3 2 5
3 2 5
é = +
ê
= -ë
 Þ (P): y z2 3 2 5 0- + + = hoặc (P): y z2 3 2 5 0- + - = . 
Câu VII.a: PT Û z
z
2
2 2
9
( 1) 5
é = -
ê
+ =ë
 Û 
z i
z2
3
5 1
é = ±
ê = ± -ë
 Û 
z i
z
z i
3
5 1
5 1
é = ±
ê
= ± -ê
ê = ± +ë
. 
2. Theo chương trình nâng cao 
Câu VI.b: 1) Vẽ CH ^ AB, IK ^ AB. AB = 2 Þ CH = ABC
S
AB
2 3
2
D = ÞIK = CH
1 1
3 2
= . Giả sử I(a; 3a – 8) Î d. 
 Phương trình AB: x y 5 0- - = . d I AB IK( , ) = Û a3 2 1- = Û a
a
2
1
é =
ê =ë
 Þ I(2; –2) hoặc I(1; –5). 
 · Với I(2; –2) Þ C(1; –1) · Với I(1; –5) Þ C(–2; –10). 
 2) 
x t
d y t
z t
1
1 1
1
1 2
: 1
2
ì = +
ï = - +í
ï =î
, 
x t
d y t
z t
2
2 2
2
2
:
1 2
ì = +
ï =í
ï = -î
. (P) có VTPT n (2;1;5)=r . Gọi A = d Ç d1, B = d Ç d2. 
 Giả sử: A t t t1 1 1(1 2 ; 1 ;2 )+ - + , B t t t2 2 2((2 2 ; ;1 2 )+ - Þ AB t t t t t t2 1 2 1 2 1( 2 1; 1; 2 2 1)= - + - + - - +
uuur
. 
 · d ^ (P) Û AB n,
uuur r cùng phương Û 
t t t t t t2 1 2 1 2 12 1 1 2 2 1
2 1 5
- + - + - - +
= = Û 
t
t
1
2
1
1
ì = -
í = -î
 Þ A(–1; –2; –2). 
 Þ Phương trình đường thẳng d: 
x y z1 2 2
2 1 5
+ + +
= = . 
Câu VII.b: 
mx x m my
mx
2 2
2
2 2
( 1)
+ + -¢ =
+
. 
 Để hàm số luôn đồng biến trên từng khoảng xác định thì 
m
m m3 2
0
2 1 0D
ì >
í ¢ = - + <î
 Û m
1 51
2
+
< < . 
=====================