PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số: y =2x -1/x -1
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị (C) các cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: y=2x+4.
1 SỞ GD&ĐT NGHỆ AN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II NĂM 2011 TRƯỜNG THPT THANH CHƯƠNG I Môn: TOÁN; Khối A, B Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số: 2x 1 y x 1 - = - 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Tìm trên đồ thị (C) các cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d: y=2x+4. Câu II (2,0 điểm) 1.Giải phương trình 2 1 2sin x x 1 cos x 2sin tan x cos x 2 2 - p æ ö + - = + ç ÷ è ø . 2. Giải hệ phương trình : 2 2 2 xy y 2 2x 2x y 4x y 3x + - = ì í - + = î Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân: I= 1 0 6 9 3.6 2.4 x x x x dx + + ò . Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), đáy ABCD là hình thang cân đáy lớn AD=2a, AB=BC=CD=a, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD) bằng 2 a . Tính thể tích của khối chóp. Câu V: (1,0 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 1 1 P a 3b b 3c c 3a = + + + + + . PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) A. Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) 1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đường phân giác trong góc A và đường cao tương ứng đỉnh C có phương trình lần lượt là d1: xy=0, d2: x+2y+3=0. Biết đỉnh B thuộc trục Oy và M(0;1) là điểm của thuộc đường thẳng AC. Tìm toạ độ ba đỉnh của tam giác. 2.Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(0;0;2), B(0;1;0), C(2;0;0). Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Viết phương trình đường thẳng OH. Câu VII.a (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện: (1 ) 2 1 1 i z i + + = - . Tìm số phức có mô đun nhỏ nhất, lớn nhất. B. Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) 1. Cho (P) y 2 = x và đường thẳng (d): x – y – 2 = 0 cắt (P) tại hai điểm A và B. Tìm điểm C thuộc cung AB sao cho DABC có diện tích lớn nhất 2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho mặt phẳng ( ) 0 5 2 : = + - + z y x P , đường thẳng d: 3 2 1 3 x t y t z t = - + ì ï = - + í ï = + î và điểm A( -2; 3; 4). Gọi D là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P) cắt và vuông góc với đường thẳng d. Tìm trên D điểm M sao cho độ dài AM ngắn nhất. Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm số phức z sao cho z i z i - + có một acgumen bằng 2 p và 1 z z i + = - . ..Hết Họ và tên thí sinh...................................................................., Số báo danh.........www.laisac.page.tl 2 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM Câu ý Nội dung Điểm I.1 *Tập xác định : { } \ 1 D = ¡ Tính 2 1 ' 0 ( 1) y x D x - = < " Î - Hàm số nghịch biến trên các khoảng ( ;1) -¥ và (1; ) +¥ *Hàm số không có cực trị Giới hạn 1 + ® = +¥ x lim y 1 - ® = -¥ x lim y 2 ®+¥ = x lim y 2 ®-¥ = x lim y Đồ thị có tiệm cận đứng :x=1 , tiệm cận ngang y=2 *Bảng biến thiên x -¥ 1 +¥ y’ y *Vẽ đồ thị 0.25 0.25 0.25 0.25 I.2 *Xét đt dm vuông góc vơi d: y= 1 2 x m + . PT hoành độ giao điểm của dm với (C): 2 1 1 1 2 x x m x - = + Û - ( ) ( ) 2 1 5 2 2 2 0 1 ¹ ì ï í - - + - = ï î x x m x m có 2 nghiệm phân biệt với mọi m. *Gọi x1, x2 là các nghiệm của PT(1): 1 2 5 2 x x m Þ + = - . Toạ độ giao điểm của dm với (C): 1 1 2 2 1 1 ; , ; 2 2 A x x m B x x m æ ö æ ö + + ç ÷ ç ÷ è ø è ø .Gọi I là trung điểm của AB thì 5 2 5 2 ; 2 4 m m I - + æ ö ç ÷ è ø *A,B đối xứng nhau qua d 3 2 I d m Û Î Þ = * Khi đó PT(1) 2 1 2 2 1 0 1 2 x x x x é = - - - = Û ê = + ê ë . Vậy 4 2 4 2 1 2; , 1 2; 2 2 A B æ ö æ ö - + - + ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø là cặp điểm cần tìm. 0.25 0.25 0.25 0.25 II.1 *ĐK: osx 0 x 2 c k p p ¹ Û ¹ + . *Phương trình đã cho tương đương với: ( ) 1 2sin x 1 cos x 1 cos x tan x cos x - + - = + * ( )( ) osx+sinx sin 1 0 c x Û - = * ox+sinx=0 x= 4 c k p p Û + (thoả mãn đk) 0.25 0.25 0.25 0.25 3 s inx=1 x= 2 2 k p p Û + (loại) KL: 4 x k p p = - + II.2 *Xét x=0 không thoả mãn hệ PT. Xét 0 x ¹ hệ tương đương với 2 2 2 2 2 3 y y x x y y x x ìæ ö - + = ç ÷ ï è ø ï í æ ö æ ö ï - + = ç ÷ ç ÷ ï è ø è ø î *Đặt ẩn phụ 2 ; y u y v x x = - = , ta được hệ 2 2 2 3 u v u v + = ì í + = î *Giải hệ trên được nghiệm (u;v) là (1;1) *Từ đó giải được nghiệm (x;y) là (1;1) và (2;2) 0.25 0.25 0.25 0.25 III * 1 2 0 3 2 3 3 3 2 2 2 x x x dx I æ ö ç ÷ è ø = æ ö æ ö + + ç ÷ ç ÷ è ø è ø ò *Đăt 3 2 x t æ ö = ç ÷ è ø . 3 2 2 1 1 ln 3 ln 2 3 2 dt I t t = - + + ò * 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 ln ln 3 ln 2 1 2 ln3 ln 2 2 t dt t t t + æ ö = - = ç ÷ - + + - + è ø ò * ln15 ln14 ln 3 ln 2 - = - 0.25 0.25 0.25 0.25 IV *Vẽ hình Tính 2 3 3 4 ABCD S a = *Gọi I là trung điểm của AD IA IB IC ID a Þ = = = = nên ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AD 0 90 ACD Þ Ð = AC CD SA CD ^ ü Þ Þ ý ^ þ ( ) ( ) ( ) CD SAC SCD SAC ^ Þ ^ *Gọi H là hình chiếu của A trên SC thì ( ) ( ) ; 2 AH d A SCD a = = Tam giác SAC vuông tại A 2 2 2 1 1 1 AC SA AH Þ + = 6 SA a Þ = *Vậy 3 3 2 4 ABCD a V = 0.25 0.25 0.25 0.25 V *Áp dông BÊt ®¼ng thøc C«si cho ba sè d¬ng ta chøng minh ®îc: z y x 9 z 1 y 1 x 1 9 xyz 3 xyz 3 z 1 y 1 x 1 ) z y x ( 3 3 + + ³ + + Þ = ³ ÷ ÷ ø ö ç ç è æ + + + + (*) *Áp dông BÊt ®¼ng thøc C«si cho hai sè d¬ng ta cã 0.25 4 ( ) ( ) ( ) + + + £ + + + £ + + + £ (a 3b) 4 a 3b 4 2 (b 3c) 4 b 3c 4 2 (c 3a) 4 c 3a 4 2 Suy ra + + + + + £ a 3b b 3c c 3a 6 *Từ (*) suy ra 1 1 1 9 9 3 6 2 3 3 3 3 3 3 P a b b c c a a b b c c a = + + ³ ³ = + + + + + + + + *DÊu = x¶y ra + + = ì Û Û = = = í + = + = + = î a b c 3 a b c 1 a 3b b 3c c 3a 4 VËy P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng 3 2 khi 1 a b c = = = 0.25 0.25 0.25 VIa.1 *Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua d1 thì M’=(1;0) và M’ thuộc đường thẳng AB *Đường thẳng AB qua M’ và vuông góc với d2 có PT: 2xy+2=0 * 1 ( 2; 2) A d AB Ç Þ = = - - , (0;2) B AB Oy = Ç = *Đường thẳng AC qua A,M có phương trình: x2y2=0 2 1 5 ; 2 4 C AC d æ ö Þ = Ç = - - ç ÷ è ø 0.25 0.25 0.25 0.25 VIa.2 *Ta có ( ) AH BC BC AOH BC OH AO BC ^ ü Þ ^ Þ ^ ý ^ þ . Tương tự AB OH ^ Suy ra ( ) OH ABC ^ . *Phương trình mp (ABC): 1 2 2 0 2 1 2 x y z x y z + + = Û + - - = - *mp(ABC) có vtpt ( ) 1;2 1 n = - r nên OH có vtcp (1; 2; 1) u n = = - r r *Phương trình đường thẳng OH: 2 x t y t x t = ì ï = í ï = - î 0.25 0.25 0.25 0.25 VIIa *Đăt , ( ; ) z x yi x y R = + Î thì (1 ) 2 1 1 i z i + + = - ( ) 2 1 y xi Û - + = * ( ) 2 2 2 1 x y Û + - = (C) . *Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z thì M thuộc đường tròn (C) tâm I(0;2) bán kính r=1 v à z OM = *Xét đường thẳng OI (x=0) cắt (C) tại M1(0;1) và M2(0;3). OM nh ỏ nh ất khi M tr ùng v ới M1 z i Þ = OM l ớn nh ất khi M tr ùng v ới M2 3 z i Þ = 0.25 0.25 0.25 0.25 5 VIa.1 +Tọa độ A;B là nghiệm hệ: 2 2 0 y x x y ì = í - - = î A(1;1); B(4;2) +C(yo 2 ;yo)Î(P); h=d(C;d)= 2 2 2 o o y y - - + 1 3 . 2 2 ABC S h AB D = = 2 2 o o y y - - +Xét hàm số f = 2 2 o o y y - - Với 1 2 o y - £ £ Suy ra Max f = 9/4 Tại C(1/4;1/2) 0.25 0.25 0.25 0.25 VIa.2 *Gäi I lµ giao ®iÓm cña (d) vµ (P) ( ) 3 ; 1 ; 3 2 + - - Þ t t t I Do ( ) ( ) 4 ; 0 ; 1 1 0 5 ) 3 ( ) 1 ( 2 3 2 - Þ = Û = + - - - + - Þ Î I t t t t P I * (d) cã vect¬ chØ ph¬ng lµ ) 1 ; 1 ; 2 ( a , mp( P) cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ ( ) 1 ; 2 ; 1 - n . Ta có ( ) , 3;3;3 a n é ù = - ë û r r . *Gäi u lµ vect¬ chØ ph¬ng cña D ( ) 1 ; 1 ; 1 u - Þ Phương trình đt 1 : 4 x u y u z u = - ì ï D = í ï = + î . *V× ( ) u 4 ; u ; u 1 M M + - - Þ D Î , ( ) u ; 3 u ; u 1 AM - - Þ AM ng¾n nhÊt D ^ Û AM 0 u . 1 ) 3 u ( 1 ) u 1 ( 1 0 u . AM u AM = + - + - - Û = Û ^ Û 3 4 u = Û . VËy ÷ ø ö ç è æ - 3 16 ; 3 4 ; 3 7 M 0.25 0.25 0.25 0.25 VIIb *Đăt , ( ; ) z x yi x y R = + Î . Khi đó Z0= ( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 ( 1) 1 z i x y x i z i x y x y - + - - = + + + + + + *Z0 có một acgumen bằng 2 2 1 0 2 0 x y x p ì + - = Þ í < î (1) *Lại có 1 z z i x y + = - Û = (2) *Từ (1) v à (2) suy ra x=y= 2 2 2 2 2 2 z i Þ = + 0.25 0.25 0.25 0.25 Lưu ý : Nếu thí sinh làm cách khác đúng thì giám khảo chấm theo các bước làm của cách đó .
Tài liệu đính kèm: