Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (GV- Nguyễn Văn Bình)

GV- Nguyễn Văn Bình - Đức Trạch 
 1
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT 
Bài 1: Tìm GTNN của biểu thức : 
 a b c dP
b c d a c d a b a b d c a b c d
   
           
 Trong đó a,b,c,d là các cạnh của tứ 
giác lồi. 
 Giải 
Đặt x = b + c + d – a ; y = a + c + d – b ;z = a+ b + d – c; t = b + c + a – d .Từ đó ta có: 
 ; ; ;
4 4 4 4
y z t x x z t y x y t z x y z ta b c d               .Khi đó ta có: 
P = 1
4 4 4 4 4
y z t x z t x y x y t z x y z t                
 
 1 (( ) ( ) ( ) ( ) 4) 2
4
y x y z z t t x
x y z y t z x t
          . 
Bài 2: (T3/388) Tìm GTLN của biểu thức 3 8P x y  với 2 217 72 9 9 0x xy y    (1). 
 Giải 
 2 2 2 2 2(1) (4 9 ) 9 9 0 9 9x y x y x y         
Áp dụng BĐT Bunhiacopski,ta có: 
  24 4 2 2 2 316(3 8 ) 25( 4 ) 25 ( 9 )(1 ) 25
9
P x y x y x y        
Vậy 5 5P  .Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
2 2
0 9
0 5
4 9 4
59 9
x
xy
x y
y
x y
    
   
  
Bài 3: Tìm GTNN của biểu thức : 
 4 4 4
1 1 1
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)
A
a b c b a c c b a
  
     
 Trong đó a,b,c là các số thực dương thoả mãn: abc = 1. 
 Giải 
 Đặt 1 1 1; ;x y z
a b c
   ,ta có x,y,z > 0 và xyz = 1.Thay vào A ta có: 
3 3 3
( 1)( 1) ( 1)( 1) ( 1)( 1)
x y zA
y z z x x y
  
     
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 
3
3
3
1 1 3
( 1)( 1) 8 8 4
1 1 3
( 1)( 1) 8 8 4
1 1 3
( 1)( 1) 8 8 4
x y z x
y z
y x z y
x z
z y x z
y x
 
  
 
 
  
 
 
  
 
Cộng các BĐT trên vế theo vế ta có: 
333 3 3
2 4 2 4 4
xyzx y zA       . 
Bài 4: Cho a,b,c là các số không âm thoả mãn điều kiện 2 2 2 1a b c   .Tìm GTLN của biểu 
thức : 3( ) (2 1) (2 1) (2 1)P a b c a bc b ac c ab         
 Giải 
GV- Nguyễn Văn Bình - Đức Trạch 
 2
 Ta có: 3( ) ( ) 6P a b c a b c abc       . 
 Theo BĐT Bunhiacopski ,ta có: 
 2 2 2 2( ) 3( ) 3 ( ) 3a b c a b c a b c          . 
 Do a,b,c không âm nên ta có: 
 3 3( ) 3( ) ( ) ( ) 2( ) 2 3a b c a b c a b c a b c a b c               
Áp dụng BĐT Cauchy ta có: 
3
2 3 3( )
3 3 9
a b cabc
  
    
 
. 
Như vậy: 3 8 32 3 6
9 3
P    . 8 3 1ax
3 3
M P a b c     
Bài 5: Cho 2 2 2 ( 0)x y z k k    cho trước.Tìm GTLN của biểu thức: 
 2 2 2 2 2 21( ) ( ( ) ( ) ( ) )
2
A k xy yz zx x y z y z x z x y         
 Giải 
Đặt , ,x y za b c
k k k
   ,đưa bài toán đã cho về dạng : 
Cho 2 2 2 1.a b c   Tìm GTLN của biểu thức: 
2 2 2 2 2 2 21( ( ( ) ( ) ( ) )
2
A k ab bc ca a b c b c a c a b         .Từ gt 2 2 2 1.a b c   ta có: 
 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2, , 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c a b c b c a c a b b c c a a b             
 Khi đó: A 2 2 2 2 2 2 2 2 21( (( ) ( ) (a ) ) ( )
2
k ab bc ca b c c a b k a b c k             
 Vậy MaxA = 2
3
kk x x z     
Bài 6: Trong các nghiệm của hệ: 
2 2
2 2
9
16
12
x y
z t
xt yz
  

 
  
.Tìm các nghiệm sao cho tổng x + z đạt GTLN. 
 Giải 
2 2 2 2
2 2 2 2
9 ( ) ( ) 1
3 3
16 ( ) ( ) 1
4 4
x yx y
z tz t
    
    
 Đặt sin , os , sin , os
3 3 4 4
x y z tc c       .Thay vào BPT thứ 3 của hệ ta có: 
sin cos os sin 1
sin( ) 1 sin( ) 1 2 ,
2
c
k k Z
   

      
 
          
Mặt khác : 3sin 4sin 3sin 4sin( 2 ) 3sin 4 os2
5sin( ) 5
x z k c      
 
        
  
 Vậy Max(x + y) = 5 khi 4 3os ,sin
5 5
c      .... 
Bài 7: Cho x,y,z là ba số thực dương thay đổi thoả mãn với điều kiện : xyz = 1.Tìm GTNN 
GV- Nguyễn Văn Bình - Đức Trạch 
 3
 của biểu thức: 
2 2 2( ) ( ) ( )
2 2 2
x y z y z x z x yP
y y z z z z x x x x y y
  
  
  
 Giải 
 Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số thực dương,ta có: 
2
21 ( ) 22 2 ( ) 2
2 2
x y z x xy z yz x y z x x
x y y z z y y z z

       
 
.Tương tự ,ta thu được: 
 2( )
2 2 2
y yx x z zP
y y z z z z x x x x y y
  
  
(1).Đặt , ,a x x b y y c z z   
 Thì a,b,c dương và abc = 1.Ta có: 
 (1) 2( ) 2
2 2 2
a b cP S
b c c a a b
    
  
.Áp dụng BĐT Bunhiacopski ,ta có: 
 2( ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ))* ( )
2 2 a 2
a b ca b c b c a c a b a b c
b c c a b
              
 Từ đó ta có: 
2( ) 1
3( )
a b cS
ab bc ca
 
 
 
. 
Bài 8: Cho x,y,z là ba số thực dương thay đổi.Tìm GTNN của biểu thức: 
 1 1 1
2 2 2
x y zQ x y z
yz zx xy
             
    
 Giải 
2 2 2 2 2 21 1 1
2 2 2 2 2 2
x y z x y z x y zQ x y z
yz zx xy xyz
                   
    
 Mà 2 2 2x y z xy yz zx     .Do đó: 
2 2 2 2 2 2 1 1 1
2 2 2 2 2 2
x y z xy yz xz x y zQ
xyz x y z
 
          . 
 Mà 
2 2 2
3
1 1 1 1 1 33
2 2 2 2 2 2 2 2
x x x
x x x x x
      .Tương tự ,từ đó ta có: 
 9 9, 1
2 2
Q Q x y z      
Bài 9:(T4/395) Tìm GTNN của biểu thức P a b c   .Biết rằng a,b,c là các số thực thoả 
 mãn điều kiện : 2 2 23 , , 5, 50a b c a b c     
 Giải 
 Vì 3 , , 5a b c  nên 
 ( 3)( 3)( 3) 0
3( ) 9( ) 27 0(1)
a b c
abc ab bc ca a b c
   
        
 Và (5 )(5 )(5 ) 0a b c    
 5( ) 25( ) 125 0(2)abc ab bc ca a b c          
 Cộng (1) và (2) ta có: 
 2( ) 16( ) 98 0ab bc ca a b c       .Lại có: 2 2 2 50a b c   suy ra : 
2( ) 16( ) 48 0
4
12
a b c a b c
P
P
      

  
GV- Nguyễn Văn Bình - Đức Trạch 
 4
 Mà 3 , , 5 9a b c P    Vậy 12P  .
2 2 2
12
50
12 ( , , ) (3, 4,5)
( 3)( 3)( 3) 0
(5 )(5 )(5 ) 0
a b c
a b c
P a b c
a b c
a b c
  

     
   
    
 và 
các hoán vị . Vậy GTNN của P là 12. 
Bài 10: Cho 0 4, 2 3 4b a ab a b     .Tìm GTLN của 2 2a b 
 Giải 
Với 
2 2 2 2
2 2
0 3,0 4 4 3 25
25 4, 3
b b a a b
a b a b
         
    
Với 
2
2 2
3 4 0 4 3 1 ( )
2 (3 4 ) 4 3
b a a b a b a b
a b ab a b a b a b a b
            
          
 Áp dụng Bunhia ta có: 
2 2 2 2 2(4 3 ) (4 3 )( )a b a b    
 Như vậy: 2 2 2 2 2 2 2( ) 25( ) 25a b a b a b      .Tóm lại GTLN bằng 25.