Đề thi mẫu tốt nghiệp phổ thông 2009 môn toán

ĐỀ THI MẪU TỐT NGHIỆP PHỔ THÔNG 2009
Môn Toán: (150 phút)
Biên soạn và hướng dẫn: Thầy Nguyễn Văn Yến
---------------------------------------------------
ĐỀ SỐ 4
Mục tiêu: Giúp học sinh ôn thi TNPT và LTĐH 
Đối tượng... Học sinh lớp 12 và LTĐH 
Sơ lược nội dung: Ôn tập: Hàm bậc 4 có đúng 2 nghiệm, nghịch đảo số vô tỷ đặc biệt, công thức Cauchy trong tam giác...
         A - Phần Chung
         Câu I. (3 điểm)
                   Cho , đồ thị là (Cm)
          1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của (khi m = 1)
          2.Tìm điểm sao cho tại đó ta có : 
          3.Chứng minh (Cm) luôn luôn cắt (Ox) tại đúng hai điểm trừ một trường hợp. Xác định trường hợp đó. Tìm 
         Câu II.(3 điểm)
          1.Giải phương trình (số thực) : 
          2.Tính 
          3.Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 
         Câu III.(1 điểm)
                 Cho tứ diện đều ABCD. Tính góc giữa hai trung tuyến CM,DN của hai tam giác ΔACD, ΔABD.
         B - Phần Riêng
         I.Theo Chương Trình Chuẩn
         Câu IVa.(2 điểm)
                 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu 
          và mặt phẳng (α) : (tham số )
          1. là đường tròn khi t = 2. Tìm mặt cầu và . Tính khoảng cách giữa tâm của này với tâm của . 
              Mặt (α) có cắt hai mặt cầu này không?
          2.Viết phương trình chính tắc của đường thẳng (d) chứa tất cả các tâm của các hình cầu 
         Câu Va.(1 điểm)
                 Cho phương trình số phức:      (1)
          1.Giải (1) khi m = 0
          2.Tính khi 
II.Theo Chương Trình Nâng Cao
         Câu IVb.(2 điểm)
                 Trong Oxyz cho (Cm) : 
          1.Tính khoảng cách tâm những mặt cầu (Cm) có bán kính bằng 13, chúng cắt nhau?
          2.Chứng minh các mặt cầu ở câu 1 đều bị mặt phẳng (α) :  cắt theo các đường 
          tròn bằng nhau.Tính bán kính đường tròn ấy.
         Câu Vb.(1 điểm)
                 Cho phương trình số phức :   (1)  
          1.Định m để nghiệm của (1) là 
          2.Tính trong trường hợp   
---------------------------------------------------
ĐÁP ÁN 
         A - Phần Chung
         Câu 1.     (Cm)
          1. m = 1 khỏa sát và vẽ đồ thị    
          • D = R
          • Các giới hạn : () (Không tiệm cận)
          • () có nghiệm x = 0 (duy nhất)
          • Bảng biến thiên :
          • Điểm phụ thêm :
            - Giao điểm với (Ox) :
            - (16)
          • Đồ thị :
          2. :
          Giả thuyết yêu cầu : 
                  có 1 nghiệm : x = 1
                  (Đáp số)
          3. (Cm) luôn cắt (Ox) tại hai điểm,trường hợp loại trừ:
          Phương trình hoành độ giao điểm của (Cm) và (Ox):
                      (1)
             (2) có a và c khác dấu vậy (2) có đúng 2 nghiệm t 
           • Vậy (1) có hai nghiệm (và chỉ đúng 2 nghiệm x)
                    (Với )
           • Riêng trường hợp m = 0, (1)
          Kết luận : (Cm) luôn cắt (Ox) tại  trừ trường hợp m = 0 
          + Kết quả trên cho 
           Yêu cầu của đề : 
          • mà  là nghiệm  thay vào (2) đúng (1) - m = 0
          • Ngược lại m = 1 ; (1) trở thành : 
               Đáp án : m = 1     
Câu 2.
           1. Giải:      (1)
           + Ta có : 
           + Vậy: (1)
            (2) có có nghiệm 
            • Ta lại có :
            • Trở về x 
           Đáp số : 
          2. 
          + (Ta luôn lưu ý rằng 
              (tương tự )
          + Vậy đổi biến số : 
                  cận mới :          
           • Dùng tích phân từng phần : 
           Đáp số : 
          3. Biện luận số nghiệm số của    (1)
           + Ta có :  có đồ thị là một Parabol (P)
            Đỉnh S   cắt Ox tại 
           + Xét vế trái có đồ thị :(giữ nguyên phần của (P) và cung đối xứng của
           phần y < 0 của (P))
           + Nghiệm của (1) là hoành độ giao điểm của (C) với đường thẳng (d) : .Vậy theo đồ thị ta có :
           (vì )
           (1) có số nghiệm số theo các trường hợp :
            có hai giao điểm (1) có hai nghiệm
           có bốn giao điểm(1) có bốn nghiệm
            có ba giao điểm (1) có ba nghiệm
           có hai giao điểm (1) có hai nghiệm
Câu III. ABCD tứ diện đều. CM, DN 2 trung tuyến của ΔACD, ΔABD.Tính 
          Gọi L : Trung điểm của AN.Ta có ML song song DN (cạnh trung bình)
          + Vậy .Gọi a bằng cạnh tứ diện
           Ta có :
          + ΔALC cho: (Định lý cosin)
          + ΔMLC cho :
          Đáp số : 
  B - Phần Riêng
         I.Theo Chương Trình Chuẩn
         Câu IVa. 
          1. và 
          • có 
          • 
          • Vậy 
                                   có 
          • Nên Khoảng cách tâm : (đáp số)
         + (α) và  
         • Khoảng cách 
         • Khoảng cách 
         Vậy (α) cắt lẫn (C) ((α) qua tâm I của (C) nên cắt (C) theo đường tròn lớn của nó)
        2. Đường tròn (d) chứa các tâm và 
         Ta  có tâm của mặt cầu là 
         Vậy đường thẳng này có : và điểm 
         Vậy đường (d) chứa các tâm có phương trình chính tắc: (d) :   (đáp số)
  Câu Va.    (1)
          1.Giải khi m = 0
          Vậy : 
          2. Tính khi 
II.Theo Chương Trình Nâng Cao
          Câu IVb. (Cm): 
           1.Khoảng cách tâm những mặt cầu có R = 13
            có 
            • có 
            • có 
            khoảng cách tâm 
          + Vị trí Tương đối :
            Ta có :   .Vậy cắt nhau theo một đường tròn.
                               0         12      26  
          2.(α) cắt  : 
          Khoảng cách  
          Khoảng cách 
          Mặt phẳng (α) cách đều J và I một khoảng .Vậy (α) cắt theo
          hai đường tròn bằng nhau.
          Xét M thuộc giao tuyến của với (α) và T là tâm của vòng cắt này.Ta có 
          vuông tại T,
          Đáp số: Bán kính của hai đường cắt là r = TM = 5
   Câu Vb.   
          1.(m) : 
           (1) có 
           có dạng tam thức này có 
           Vậy : 
          2.Trường hợp tính 
           Trường hợp  ta có 
           mà z là nghiệm của (1) vậy 
           Vậy