Đề thi khảo sát chất lượng năm 2010 (lần 1) môn thi: Toán

Trường THPT thanh sơn đề thi KSCL năm 2010 (lần 1)
Gv:ngô tùng lâm	 	 Môn Thi: Toán 
 Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm )
Câu I: (2 điểm) 
Cho hàm số 
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Cho M là điểm bất kì trên (C). Tiếp tuyến của (C) tại M cắt các đường tiệm cận của (C) tại A và B. Gọi I là giao điểm của các đường tiệm cận. Tìm toạ độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ nhất. 
Câu II (2 điểm) 
 1. Giải phương trình 
 2. Giải bất phương trình 
Câu III (1 điểm) 
 Tính tích phân 
Câu IV (1 điểm)Cho hình chóp S.ABC có AB = AC = a. BC = . , . Tính thể tích khối chóp S.ABC. 
Câu V (1 điểm) 
 Cho a, b, c là ba số dương thoả mãn : a + b + c = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Phần riêng (3điểm)Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần: Phần 1 hoặc phần 2
Phần 1:(Theo chương trình Chuẩn)
Câu VIa (2 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy cho cho hai đường thẳng . d2: 3x +6y – 7 = 0. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm P( 2; -1) sao cho đường thẳng đó cắt hai đường thẳng d1 và d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh là giao điểm của hai đường thẳng d1, d2.
	2. Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz cho 4 điểm A( 1; -1; 2), B( 1; 3; 2), C( 4; 3; 2), D( 4; -1; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình:. Gọi A’là hình chiêú của A lên mặt phẳng Oxy. Gọi ( S) là mặt cầu đi qua 4 điểm A’, B, C, D. Xác định toạ độ tâm và bán kính của đường tròn (C) là giao của (P) và (S). 
Câu VIIa (1 điểm) 
Tìm số nguyên dương n biết: 
Phần 2: (Theo chương trình Nâng cao) 
Câu VI.b (2 điểm) 
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy cho parabol (P): và elip (E): . Chứng minh rằng (P) giao (E) tại 4 điểm phân biệt cùng nằm trên một đường tròn. Viết phương trình đường tròn đi qua 4 điểm đó.
2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình và mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn có chu vi bằng 6p.
Câu VII.b(1điểm) 
 Tìm hệ số của số hạng chứa x2 trong khai triển nhị thức Niutơn của ,biết rằng n là số nguyên dương thỏa mãn: ( là số tổ hợp chập k của n phần tử)
-------------- Hết--------------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh:--------------------------- Số báo danh:-----------------------------
Trường THPT thanh sơn kì thi KSCL năm 2010 ( lần I)
 Hướng dẫn chấm môn toán
- Điểm toàn bài thi không làm tròn
- Học sinh làm cách khác nếu đúng vẫn được điểm tối đa.
- Nếu học sinh làm cả hai phần trong phần tự chọn thì không tính điểm phần tự chọn
Câu
Nội dung
Điểm
I. 1
 Khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số ..................
1,00
1) Hàm số có TXĐ: 
0,25
2) Sự biến thiên của hàm số:
a) Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận:
* 
Do đó đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 
* đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số 
0,25
b) Bảng biến thiên:
Ta có: 
Bảng biến thiên:
x
- Ơ 2 + Ơ
y’
-
-
y
2
-Ơ
+ Ơ
2
* Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng và 
0,25
3) Đồ thị:
+ Đồ thị cắt trục tung tại và cắt trục hoành tại điểm 
O
y
x
2
3/2
3/2
2
+ Nhận xét: Đồ thị nhận giao điểm I( 2; 2) của hai tiệm cận làm tâm đối xứng.
0,25
I. 2
Tìm M để đường tròn có diện tích nhỏ nhất ..........................
1,00
Ta có: , 
Phương trình tiếp tuyến với ( C) tại M có dạng: 
0,25
Toạ độ giao điểm A, B của và hai tiệm cận là: 
Ta thấy , suy ra M là trung điểm của AB.
0,25
Mặt khác I = (2; 2) và tam giác IAB vuông tại I nên đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 
S = 
0,25
Dấu “=” xảy ra khi 
Do đó có hai điểm M cần tìm là M(1; 1) và M(3; 3)
0,25
II. 1
 Giải phương trình lượng giác ......
1 điểm
0,25
0,25
0,25
0,25
II. 2
Giải bất phương trình.........................
1 điểm
ĐK: 
0,25
Với điều kiện (*) bất phương trình tương đương với: 
0,25
0,25
Kết hợp với điều kiện (*) ta có: hoặc x < 0.
0,25
III
Tính tích phân.............................
1 điểm
+) Tính . Đặt 
Đổi cận: 
0,25
0,25
+) Tính . Đặt 
0,25
0,25
0,25
IV
Tính thể tích hình chóp .........................
1 điểm
S
A
B
C
M
N
Theo định lí côsin ta có: 
Suy ra . Tương tự ta cũng có SC = a. 
0,25
Gọi M là trung điểm của SA , do hai tam giác SAB và SAC là hai tam giác cân nên MB ^ SA, MC ^ SA. Suy ra SA ^ (MBC).
Ta có 
0,25
Hai tam giác SAB và SAC có ba cặp cạnh tương ứng bằng nhau nên chúng bằng nhau. Do đó MB = MC hay tam giác MBC cân tại M. Gọi N là trung điểm của BC suy ra MN ^ BC. Tương tự ta cũng có MN ^ SA. 
. 
0,25
Do đó 
0,25
V
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ..................
1 điểm
áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có 
 (*)
áp dụng (*) ta có 
0,25
áp dụng Bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có 
0,25
Suy ra 
Do đó 
0,25
Dấu = xảy ra 
Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất bằng 3 khi 
0,25
VIa.1
 Lập phương trình đường thẳng ......................
1 điểm
Cách 1: d1 có vectơ chỉ phương ; d2 có vectơ chỉ phương 
Ta có: nên và d1 cắt d2 tại một điểm I khác P. Gọi d là đường thẳng đi qua P( 2; -1) có phương trình: 
0,25
d cắt d1, d2 tạo ra một tam giác cân có đỉnh I khi và chỉ khi d tạo với d1 ( hoặc d2) một góc 450
0,25
* Nếu A = 3B ta có đường thẳng 
0,25
* Nếu B = -3A ta có đường thẳng 
Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. 
0,25
Cách 2: Gọi d là đường thẳng cần tìm, khi đó d song song với đường phân giác ngoài của đỉnh là giao điểm của d1, d2 của tam giác đã cho.
 Các đường phân giác của góc tạo bởi d1, d2 có phương trình 
0,25
+) Nếu d // D1 thì d có phương trình . 
Do Pd nên 
0,25
+) Nếu d // D2 thì d có phương trình . 
Do Pd nên 
0,25
Vậy qua P có hai đường thẳng thoả mãn yêu cầu bài toán. 
0,25
VIa. 2
Xác định tâm và bán kính của đường tròn........
1 điểm
Dễ thấy A’ ( 1; -1; 0)
* Giả sử phương trình mặt cầu ( S) đi qua A’, B, C, D là: 
0,25
Vì nên ta có hệ: 
Vậy mặt cầu ( S) có phương trình: 
0,25
(S) có tâm , bán kính 
+) Gọi H là hình chiếu của I lên (P). H là tâm của đường tròn ( C)
+) Gọi ( d) là đường thẳng đi qua I và vuông góc với (P). 
(d) có vectơ chỉ phương là: 
Suy ra phương trình của d:
Do nên: 
0,25
 , (C) có bán kính 
0,25
VII a.
Tìm số nguyên dương n biết.......
1 điểm
* Xét (1) 
* Lấy đạo hàm cả hai vế của (1) ta có: (2) 
0,25
 Lại lấy đạo hàm cả hai vế của (2) ta có: 
0,25
 Thay x = 2 vào đẳng thức trên ta có: 
0,25
 Phương trình đã cho 
0,25
VIb.1
Viết phương trình đường tròn đi qua giao điểm của(E) và (P) 
1,00
Hoành độ giao điểm của (E) và (P) là nghiệm của phương trình
 (*) 
0,25
Xét , f(x) liên tục trên R có f(-1)f(0) < 0, 
f(0)f(1) < 0, f(1)f(2) < 0, f(2)f(3) < 0 suy ra (*) có 4 nghiệm phân biệt, do đó (E) cắt (P) tại 4 điểm phân biệt
0,25
Toạ độ các giao điểm của (E) và (P) thỏa mãn hệ 
0,25
 (**)
(**) là phương trình của đường tròn có tâm , bán kính R = Do đó 4 giao điểm của (E) và (P) cùng nằm trên đường tròn có phương trình (**)
0,25
VIb.2
Viết phương trình mặt phẳng (b).... 
1,00
Do (b) // (a) nên (b) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D17)
Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 3), bán kính R = 5
Đường tròn có chu vi 6p nên có bán kính r = 3. 
0,25
Khoảng cách từ I tới (b) là h = 
0,25
Do đó 
0,25
Vậy (b) có phương trình 2x + 2y – z - 7 = 0 
0,25
VII.b
Tìm hệ số của x2...
1,00
Ta có 
suy ra I (1) 
0,25
Mặt khác (2)
Từ (1) và (2) ta có 
Theo bài ra thì 
0,25
Ta có khai triển
0,25
Tim k=2 taco a2=
0,25