Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm học 2012 - Tỉnh Vĩnh Long

www.vnmath.com 
 1 
{ 2 2 00x y xx ay a+ − =+ − =
Đề thi HSG lớp 12 tỉnh Vĩnh Long 2011-2012 
Buổi sáng: 
Bài 1: (5đ) Cho hàm số 
2 2
2( ) ( ) ( ) , ,
2
x yf xy f x y x y+= + − ∀ ∈

2(2 1)
1
m x my
x
− −
=
−
(1), với m là tham số. 
a) Tìm m để đồ thị hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y=x. 
b) Khi m =2, tìm trên đồ thị (C) của hàm số (1) hai điểm phân biệt đối xứng với 
nhau qua đường thẳng (d): 12
4
y x= + . 
Bài 2: (3đ) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ( ) : 5 0x y− + =
 và hai elip 
2 2
1( ) : 125 16
x yE + = , 
2 2
2 2 2( ) : 1
x yE
a b
+ = (a>b>0) có cùng tiêu điểm. Biết rằng (E2) đi qua 
điểm M thuộc đường thẳng ∆. Tìm tọa độ điểm M sao cho elip (E2) có độ dài trục lớn 
nhỏ nhất. 
Bài 3: (4đ) Cho hệ phương trình ,với a là tham số 
a) Giải hệ phương trình với a=1. 
b) Tìm a để hệ có hai nghiệm phân biệt (x1,y1), (x2,y2). Chứng minh rằng 
2 2
1 2 2 1( ) ( ) 1x x y y− + − ≤ 
Bài 4: (4đ) Lớp 12A của trường trung học phổ thông chuyên có 33 học sinh trong đó 
có 7 học sinh nữ. Trong một chuyến tham quan thực tế, theo yêu cầu của ban tổ chức, 
cần chia lớp thành 3 tổ, tổ 1 có 10 học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh 
trong đó mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chia như vậy? 
Bài 5: (2đ) Tìm nghiệm nguyên của phương trình. 
4y3 – 4x2y2 – 4xy2 + x2y + 5x2 +4y2 + 4xy + 8x =0 
Bài 6: (2đ) Cho hàm số f: →
 
 thỏa điều kiện 
 ( ) ( )( ) ; , , 0f x f yf xy x y x y
x y
+
= ∀ ∈ + ≠
+

 
Chứng minh rằng f là hàm hằng trên 
 . 
www.vnmath.com 
 2 
Buổi chiều : 
Bài 1 : (4,5đ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Từ một điểm thuộc miền trong tam 
giác vẽ các đoạn thẳng IH, IK, IL lần lượt vuông góc với BC,CA, AB. Tìm vị trí của 
điểm I sao cho AL2 + BH2 + CK2 nhỏ nhất. 
Bài 2 : (4,5đ) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 2. Chứng 
minh rằng 
a2 + b2 + c2 +2abc < 2 
Bài 3 : (4,5đ) Xét phương trình 
x
n
 – x
2
 – x – 1 = 0, n∈
 , n>2 
 Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n>2 thì phương trình trên có một 
nghiệm dương duy nhất. Chứng minh rằng lim 1n
n
x
→+∞
= , trong đó xn là nghiệm dương 
của phương trình trên. 
Bài 4 :(4,5đ) Cho dãy số (un) xác định bởi 
1
2
1
3
1( 4); 1,2,3,...
5n n n
u
u u u n+
=
= + + =



a) Chứng minh rằng (un) là dãy tăng nhưng không bị chặn trên. 
b) Đặt 
1
1
, 1,2,3,...
3
n
n
k k
v n
u
=
= =
+
∑ . Tính lim n
n
v
→+∞
. 
Bài 5 : (2đ) Tìm tất cả các hàm số liên tục f : →
 
 thỏa điều kiện 
2 2
2( ) ( ) ( ) , ,
2
x yf xy f x y x y+= + − ∀ ∈