Đề thi chọn học sinh giỏi TP. Hà Nội môn thi: Toán học vòng 1

ht
tp
:/
/m
at
h.
vn
Sở Giáo Dục - Đào Tạo Hà Nội 2010-2011
Ngày thi
Đề thi Chọn Học Sinh Giỏi
Môn thi: Toán học
Vòng 1
Bài 1.
1) Giải hệ phương trình x2+ y2+1= 2x+2y(2x− y−2)y= 1
2) Tìm tất cả giá trị của tham số a để hệ bất phương trình sau có nghiệmx2−7x−8 (3a−2)x+2
Bài 2.
1) Cho ∆ABC có a,b,c là độ dài các cạnh, ha,hb,hc là các đường cao tương ứng và R là bán
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh rằng
(ab+bc+ ca)
(
1
ha
+
1
hb
+
1
hc
)
≥ 18R
2) Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau mà
trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số thuộc hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm lớn hơn tổng của 3
chữ số còn lại là 3 đơn vị.
Bài 3.
1) Chứng minh rằng có duy nhất một điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = x3− 3x2+ 2 mà
qua điểm đó chỉ kẻ được một tiếp tuyến tới (C)
2) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho ứng với các giá trị đó hàm số sau đạt giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất
y= sin5 x−3sin4 x+ sin3 xcos2 x−3sin2 xcos2 x+2
Bài 4.
Cho dãy số (un) với un =
4n+1
2n
. Dãy (sn) được cho bởi sn =
n
∑
i=1
ui. Tìm limsn.
Bài 5.
Trong mặt phẳng (P) cho đoạn thẳng AB. Gọi O là trung điểm AB vàM là điểm tùy ý trên đoạn
OB(M 6=B). Trên cùngmột nửa mặt phẳng bờ AB của (P), dựng các hình vuông AMCD,MBEF .
Điểm S thuộc đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại A(S 6= A).
1) Xác định vị trí của điểmM để tổng thể tích của 2 khối chóp S.ABF và S.ACF đạt giá trị nhỏ
nhất.
2) Đường thẳng AF cắt đường thẳng BC tại điểm N. Điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm
S trên đường thẳng MN. Tìm quỹ tích của H khi M di chuyển trên đoạn OM
———Hết ———