Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thừa Thiên Huế khối 12 chuyên - Năm học 2008-2009 môn: Toán

	SỎ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO	KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
	THỪA THIÊN HUẾ	KHỐI 12 CHUYÊN - NĂM HỌC 2008-2009
	ĐỀ THI CHÍNH THỨC	
	Moân : TOAÙN 	Thôøi gian laøm baøi : 180 phuùt
 Bài 1: (4 điểm)
Tìm các cặp số thực sao cho: 
 Bài 2: (6 điểm)
Cho khối lăng trụ đứng (L) có cạnh bên bằng . Đáy của (L) là lục giác lồi ABCDEF có tất cả các góc đều bằng nhau và .
Tính theo thể tích của khối lăng trụ (L).
Chứng tỏ rằng có thể chia khối lăng trụ (L) thành 4 khối đa diện trong đó có một khối lăng trụ đều đáy tam giác và ba khối hộp.
 Bài 3: (6 điểm)
Gọi (C) là đồ thị hàm số được dựng trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Chứng tỏ rằng nếu một hình bình hành có tất cả các đỉnh đều nằm trên (C) thì tâm của hình bình hành đó là gốc tọa độ O.
Hỏi có bao nhiêu hình vuông có tất cả các đỉnh đều nằm trên (C) ?
 Bài 4: (4 điểm)
Cho tập hợp S có phần tử. Chứng minh rằng có đúng cặp có thứ tự với và là các tập con của S thỏa điều kiện: .
Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tập hợp , trong đó và là hai tập hợp khác nhau sao cho ?
Hết 
	Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o	Kú thi chän häc sinh giái tØnh
	Thõa Thiªn HuÕ	Khèi 12 CHUYÊN - N¨m häc 2008-2009
	 	Moân : TOAÙN 
 	 	ÑAÙP AÙN - THANG ÑIEÅM 
Bài 1
 NỘI DUNG 
ĐIỂM
(4đ)
 thỏa hệ phương trình.
Nếu thì và . Chỉ xét .
1,0
Thay vào phương trình đầu ta được: .
Xét hàm số với .
1,0
1,0
 nên là điểm cực tiểu của .
Vì vậy với mọi và .
Cặp số duy nhất thỏa mãn bài toán là: .
1,0
Chú ý: . 
Với thì . Do đó với mọi 
Bài 2
(6đ)
a)
(3 đ)
Thể tích của (L) là: 
Do các góc của lục giác ABCDEF đều bằng nhau nên mỗi góc của nó bằng 
Gọi X, Y, Z lần lượt là các giao điểm của các cặp đường thẳng AB và CD, AB và EF, CD và EF. Ta có tam giác XBC là tam giác đều cạnh , tam giác YAF là tam giác đều cạnh , ZDE là tam giác đều cạnh và XYZ là tam giác đều cạnh 
b)
(2,0)
Dựng điểm G sao cho , ta có: .
Dựng điểm H sao cho , ta có điểm H trên tia FG với và .
Dựng điểm K sao cho , ta có điểm K trên tia DH với và .
Do và nên K ở trên đoạn BG với .
Ta có:
 .
Do đó tam giác GHK là tam giác đều cạnh 
1,0
Xét phép tịnh tiến theo vectơ (AA1 là cạnh bên của (L)). Đáy ABCDEF của (L) biến thành đáy A1B1C1D1E1F1. Các điểm G, H, K lần lượt biến thành G1, H1, K1.
1,0
Khối (L) là hợp bởi các khối lăng trụ đứng sau:
1) 
Do ABGF, EFHD và CDKB là các hình bình hành nên các khối , , là các khối hộp.
Do tam giác GHK là tam giác đều nên khối là khối lăng trụ đều.
1,0
Bài 3
 (6 đ) 
a)
(3,0)
Xét hình bình hành có các đỉnh nằm trên đồ thị (C): .
Do nên và 
1,0
Vì nên . Do đó 
1,0
Để chứng tỏ tâm của hình bình hành là gốc tọa độ O ta chứng tỏ: và .
Ta có: .
Mà nên .
Chú ý: Có thể nhận xét O là tâm đối xứng (duy nhất) của (C). Sau đó lập luận nếu tâm của hình bình hành khác O thì mâu thuẫn.
1,0
b)
(3,0)
Giả sử tồn tại hình vuông có các đỉnh nằm trên đồ thị (C): . Theo câu a) hình vuông có tâm O. Gọi là hệ số góc của đường thẳng . Không mất tính tổng quát có thể giả sử . Lúc đó đường thẳng có hệ số góc là 
1,0
Xét hình thoi với .
Trong đó là nghiệm khác 0 của phương trình nên còn là nghiệm khác 0 cuả 
1,0
Hình thoi là hình vuông khi và chỉ khi:
.
Phương trình này có hai nghiệm. Chọn , nghiệm còn lại là . Đó chính là hệ số góc của hai đường chéo và của hình vuông đang xét.
Có đúng một hình vuông thỏa bài toán.
1,0
Bài 4
(3 đ)
a)
 (2,0)
Một phần tử thuộc khi và chỉ khi thuộc đúng vào một trong 3 tập phân li đôi một sau: 1) .
Ngoài ra: và 
1,0
Do đó, số cặp có thứ tự với là các tập con của S thỏa điều kiện: bằng số cách đặt tất cả n phần tử của S vào 3 tập hợp: sao cho mỗi phần tử được đặt vào đúng một trong 3 tập đó. Số cách đặt như thế bằng 
1,0
b)
(2,0)
S
Đặt . Khi thì A, B là các tập con của S.
Số cặp có thứ tự với là các tập con của S thỏa điều kiện: là 
1,0
Trong đó có một cặp và cặp với khác . Chú ý . Vì vậy số cách thành lập tập với A, B khác nhau và là: .
1,0