Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa năm học: 2011 – 2012 môn toán, lớp 12 THPT

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HOÁ
Đề chính thức
Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học: 2011 – 2012
Môn Toán, Lớp 12 THPT
Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề.
CâuI (4,0 điểm) Cho hàm số 
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị đã cho
Gọi , tìm số nghiệm đã cho của phương trình:
Câu II (4,0 điểm)
Giải phương trình :.
Giải hệ phương trình: 
Câu III (4,0 điểm) 
1/ Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 lập các số chẵn có 4 chữ số đôi một khác nhau.Lấy ngẫu nhiên một số vừa lập.Tính xác suất để lấy được một số lớn hơn 2012.
2/Tính tích phân:
.
Câu IV. (6,0 điểm)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn , đường thẳng và điểm .Gọi M là một điểm thay đổi trên (C) và B là điểm sao cho tứ giác ABMO là hình bình hành.Tính diện tích tam giác ABM, biết trọng tâm G của tam giác ABM thuộc và G có tung độ dương
2.Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật có AB=a và BC=2a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với đáy, các mặt phẳng (SBC) và (SCD) cùng tạo với đáy một góc bằng nhau.Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng 
 a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
	 b.Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SA và BD
Câu V. (2,0 điểm) Cho các số thực x, y, z thoả mãn và.
 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức.
----------Hết-----------
Thí sinh không được sử dụng tài liệu
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
THANH HÓA
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
Năm học: 2011-2012
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
(Đề chính thức)
Lớp 12 THPT 
Ngày thi: 23 tháng 3 năm 2012
(Hướng dẫn gồm 04 trang)
CÂU
NỘI DUNG
ĐIỂM
I
1) 3,0 điểm
4,0 điểm
● Tập xác định: .
● Sự biến thiên:
+ Chiều biến thiên: ; hoặc .
0,5
Hàm số nghịch biến trong khoảng: và ; đồng biến trên khoảng: .
+ Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại ; , đạt cực đại tại ; yCĐ .
+ Giới hạn: ; .
1,0
+ Bảng biến thiên
x 1 3 
 0 0 
1,0
4
● Đồ thị: 
+ Đi qua điểm: và .
+ Nhận xét: Đồ thị (C) đối xứng qua điểm .
0,5
2) 1,0 điểm
 (1)
(1) .
Đặt , ta có: (1) 
0,5
Số nghiệm của (1) là số nghiệm của (3), với nhận tất cả các giá trị thoả mãn (2).
Từ đồ thị (C), suy ra (2) có 3 nghiệm , thoả mãn: , và .
Cũng từ (C), ta có:
+ Nếu hay thì (3) có 3 nghiệm phân biệt.
+ Nếu hay thì (3) có đúng 1 nghiệm.
+ Nếu hay thì (3) có đúng 1 nghiệm.
Rõ ràng, các nghiệm của (3) trong 3 trường hợp trên là đôi một khác nhau.
Do đó (1) có đúng 5 nghiệm.
0,5
II
1) 2,0 điểm 
4,0 điểm
 (1).
(1) 
 (2) 
hoặc (3)
● (2) .
1,0
● (3) 
 , .
Vậy, (1) có nghiệm: hoặc , (với ).
1,0
2) 2,0 điểm
+ Điều kiện: (*).
+ Khi đó: .
Xét hàm , suy ra: (1) có dạng .
Mặt khác đồng biến, do đó (1) hay .
1,0
+ Thế vào (2), ta được: (3).
Đặt , phương trình (3) trở thành hệ: 
Trừ vế tương ứng các phương trình của hệ, ta được: 
Thế vào hệ:.
, thoả mãn (*). Vậy, hệ đã cho có nghiệm (duy nhất): .
1,0
III
1) 2,0 điểm
4,0 điểm
● Lập số chẵn dạng . Đặt .
+ Chọn , chọn thứ tự trong tập có cách. Dạng này có 24 số.
+ Chọn có 2 cách, chọn có 3 cách, chọn b và c thứ tự trong tập có cách. Dạng này có số. Lập được số.
1,0
● Tính số các số chẵn lập được không lớn hơn 2012, có dạng : 
Chọn chẵn có 3 cách, chọn b và c thứ tự trong tập có cách. 
Dạng này có: số. Suy ra số lớn hơn 2012 có số. 
Xác suất cần tính: .
1,0
2) 2,0 điểm
Đặt , ta có: .
1,0
Suy ra: 
.
1,0
IV
1) 3,0 điểm
6,0 điểm
(C) có tâm O(0; 0), bán kính .
Nhận xét: là hình thoi .
x
y
O
M
B
A
G
K
 I
Gọi .
Kẻ , , ta có: . 
1,0
 . 
Suy ra thuộc đường tròn đường kính .
Toạ độ thoả mãn: 
.
1,0
Diện tích: .
1,0
2) 3,0 điểm
S
A
B
C
D
E
t
H
a) Gọi là hình chiếu của trên , suy ra (do ).
, suy ra góc giữa hai mặt phẳng và là . 
Hạ , suy ra góc giữa hai mặt phẳng và là . 
Do đó .
Ta được (do là trung điểm ) .
1,0
Nhận xét rằng đôi một vuông góc, suy ra:
.
Thể tích: .
1,0
b), suy ra góc giữa hai đường thẳng và là .
Áp dụng định lý hàm số côsin cho tam giác , với và , ta có: .
1,0
V
2,0 điểm
Đặt ; ta có: là các số dương và .
Khi đó: 
.
0,5
Suy ra: hay (1).
0,5
Tương tự: (2) và (3).
Nhân vế tương ứng của (1), (2) và (3), ta được: .
0,5
Dấu bằng xảy ra, khi và chỉ khi: 
 .
Vậy, max .
0,5
... HẾT.