Đề thi chọn học sinh giỏi năm môn Toán 12 - Đề 4

®Ò thi thö HSG
§Ò thi häc sinh giái n¨m häc 2008-2009
m«n To¸n Líp 12 
Thêi gian : 150phót.
Bµi 1: Cho hµm sè y = .
Kh¶o s¸t hµm sè khi m = 1. Gäi ®å thÞ lµ (C).
Dùa vµo ®å thÞ (C), biÖn luËn theo k sè nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh:t4 –(k+1)t3+(k+3)t2-(k+1)t +1=0.
T×m m ®Ó ®å thÞ h.sè c¾t trôc hoµnh t¹i hai ®iÓm mµ c¸c tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ t¹i hai ®iÓm ®ã vu«ng gãc víi nhau.
Bµi 2: 
T×m m ®Ó hÖ sau cã nghiÖm: .
Cho f(x) liªn tôc trªn ®o¹n[a; b] vµ n ®iÓm 
 x1;x2;;xn [a, b]. Chøng minh r»ng:c sao cho :
 f(c) = .
Bµi 3: Trong hÖ trôc to¹ ®é vu«ng gãc Oxy cho elip.
 1) A, B lµ 2 ®iÓm thuéc elip sao cho OA vu«ng gãc víi OB. Chøng minh r»ng: kh«ng ®æi
 2) Trôc lín MM’=2a>0, I lµ ®iÓm chuyÓn ®éng trªn (E). T×m quü tÝch trùc t©m H cña tam gi¸c MIM’.
Bµi 4: CMR: §¹o hµm cña mét hµm sè lÎ lµ mét hµm sè ch½n, ®¹o hµm cña mét hµm sè ch½n lµ mét hµm sè lÎ.
Bµi 5: T×m nghiÖm x > 0 cña ph­¬ng tr×nh :
 .