Đề tài Một số kinh nghiệm bồi dưỡng thi đại học

Một số Kinh nghiệm bồi dưỡng thi đại học
Hoàng Văn Cường
Phó hiệu trưởng trường THPT Chuyên Hùng Vương
Qua nhiều năm giảng dạy bồi dưỡng HSG và bồi dưỡng thi đại học, tôi đã đúc rút được một số kinh nghiệm và thực tế đã đem lại những hiệu quả khá tốt, xin được trao đổi với các thầy cô giáo một số kinh nghiệm sau đây:
1- Chuẩn bị về kiến thức.
Đây là công việc tất yếu của mỗi giáo viên trong quá trình giảng dạy, tuy nhiên để bồi dưỡng thi đại học thì các thầy cô giáo chúng ta phải chuẩn bị dài hơi hơn chứ không phải chuẩn bị từng bài, có như vậy thì mới có được một cách nhìn tổng quát và toàn diện hơn đối với mỗi bài toán. Theo kinh nghiệm thì chúng ta nên viết các chuyên đề cho mỗi đơn vị kiến thức, trong đó đào sâu, khai thác một cách sâu sắc các khía cạnh kiến thức liên quan, điều đó sẽ làm cho các bài giảng phong phú và có hiệu quả cao. Theo tôi thì chúng ta cần viết cần viết các chuyên đề sau:
Chương trình lớp 10
- Tam thức bậc hai
- Hệ phương trình bậc 2, bậc cao
- Bất đẳng thức
- Phương trình và bất phương trình vô tỷ
- Véc tơ và phương pháp tọa độ trong mặt phẳng
Chương trình lớp 11
	- Phương trình lượng giác
	- Giơi hạn của hàm số
	- Quan hệ song song và vuông góc trong không gian
Chương trình lớp 12
	- Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan
	- Phương pháp miền giá trị
	- Phương trình, bất phương trình mũ và logarit
	- Thể tích và diện tích
	- Véc tơ và phương pháp tọa độ trong không gian.
2- Tìm hiểu đối tượng
	Đây là vấn đề hết sức quan trọng vì tùy theo đối tượng mà chúng ta có cách dạy và xác định mức độ như thế nào cho hợp lý, điều này sẽ quyết định hiệu quả của công tác bồi dưỡng. Qua thực tế giảng dạy, có những học sinh có trí tuệ tốt, nhận thức nhanh nhưng hiệu quả qua bài thi lại thấp mà nguyên nhân chính là kỹ năng trình bày còn yếu hoặc việc tính toán hay nhầm lẫn, điều này thường xảy ra ở những học sinh có tính cẩu thả. Những đối tượng này cần phải được rèn luyện kỹ năng nhiều hơn bên cạnh việc phát huy ưu điểm về nhận thức của họ. Mặt khác có nhiều học sinh cẩn thạn, chu đáo, khả năng trình bày khá tốt nhưng khả năng nhận thức còn chậm thì việc đầu tư về kỹ năng vận dụng lại là khâu quan trọng nhất. Cuối cùng trong quá trình giảng dạy người thầy cũng phải định lượng được khả năng đạt điểm bao nhiêu của từng học sinh để đầu tư bồi dưỡng đúng hướng theo các đơn vị kiến thức thi đại học. 
3- Phương pháp giảng dạy
	Có thể nói rằng, phương pháp giảng dạy là yếu tố quan trọng nhất giúp người thầy thành công trong nghề nhiệp của mình. Lẽ dĩ nhiên là không có kiến thức thì không thể có phương pháp giảng dạy hay nhưng trên thực tế nhiều giáo viên có kiến thức tốt nhưng khi giảng dạy bồi dưỡng thi đại học thì học sinh lại không chấp nhận. Tại sao vậy? Có người cho rằng dạy học là một nghệ thuật nên cần phải có năng khiếu – điều có đúng một phần có chăng là năng khiếu nói thì đúng hơn, nhiều người hoàn toàn không có năng khiếu nói mà dạy học lại rất có hiệu quả và học sinh rất mê! Vậy vấn đề năng khiếu không phải yếu tố quyết định mà là chính phương pháp giảng dạy mới là quyết định, nó là sự tổng hợp nhiều yếu tố của người thầy, trước hết là một vốn kiến thức phong phú, uyên bác về bài giảng đó sau đó là sự nhạy cảm của người thầy trên lớp và thể hiện khả năng dẫn dắt của người thầy theo từng đối tượng để học sinh từng bước nắm được kiến thức bài giảng một cách tự nhiên, dễ hiểu và nắm được cái cốt lõi của vấn đề và như vậy học sinh sẽ “mê” mỗi bài học như thế.
4- Giao bài cho học sinh tự học ở nhà
Tất cả kiến thức và kỹ năng trong bài học không thể trong giờ giảng học sinh có thể nắm chắc ngay được, hơn nữa học sinh cần có thời gian để biến các kiến thức đó thành của mình và được rèn luyện thêm về kỹ năng vì vậy việc giao bài tập về nhà cho học sinh là vô cùng cần thiết, đây chính là lúc biến quá trình dạy học thành quá trình tự học của học sinh. Vì vậy mỗi bài giảng chúng ta cần chuẩn bị một số bài tập về nhà để học sinh tự làm ở nhà, điều đó giúp học sinh hiểu sâu sắc kiến thức và chủ động trong việc rèn kỹ năng cũng như việc độc lập nghiên cứu, học tập của mình.
Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi trong quá trình giảng dạy, hy vọng nó sẽ giúp phần nào cho các thầy cô giáo trên công tác giảng dạy và bồi dưỡng thi đại học cũng như trên con đường đi đến sự thành công của nghề dạy học.
Sau đây là một số ví dụ minh họa về phương pháp giảng dạy:
Một số bài giảng minh họa về Hệ phương trình bậc hai
A- Các dạng hệ phương trình bậc hai mẫu mực
I- Hệ bậc hai có chứa 1 phương trình bậc nhất
Có thể nói đây là hệ phương trình bậc hai cơ bản vì giải bất cứ hệ phương trình bậc hai nào đều phải đưa về dạng này.
Phương pháp giải: Dùng phương pháp thế
Ví dụ 1
Giải hệ phương trình: , giải hệ ta được hoặc 
Từ hệ đơn giản này ta có thể đưa ra các bài toán như sau:
1- Bằng cách thay X= x(y-2); Y=2y-3, ta được hệ 
2- Bằng cách thay ; Y= 2y-3, ta được hệ: 
3- Bằng cách thay X= x(y+1); Y=y(x+2), ta được hệ 
Ví dụ 2
Giải hệ phương trình 
HD: Rút X = 4-2Y từ phương trình (1) và thay vào phương trình (2) ta tìm được nghiệm. hoặc 
1- Bằng cách thay ta được hệ:
1- Bằng cách thay ta được hệ:
Ví dụ 3
Giải hệ phương trình: , giải hệ ta được:
1- Bằng cách thay , ta được hệ: 
2- Bằng cách thay , ta được hệ: 
II- Hệ đối xứng kiểu 1
Định nghĩa: Là hệ trong đó nếu ta thay x bởi y và y bởi x thì từng phương trình của hệ không thay đổi.
Phương pháp giải: Đặt , điều kiện của a, b để hệ này có nghiệm (x, y) là a24b. Khi đó ta nhận được hệ 2 ẩn (a,b) đơn giản hơn.
Ví dụ 1:
Cho hệ phươg trình (I)
Giải hệ với m=1
Tìm m để hệ có nghiệm
HD :
Đặt với điều kiện a24b, ta được hệ (II)
1) Với m=1 ta có hệ 
Các nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện a24b
+) Với a=2, b=1 ta được 
+) Với a=–2, b=1 ta được 
2) Trong trường hợp tổng quát, ta có hệ (I) có nghiệm (x,y) khi và chỉ khi hệ (II) có nghiệm (a,b) thỏa mãn điều kiện a24b, tứ là hệ sau có nghiệm :
 (III)
Ta có hệ (III) tương đương với 
Ta có hệ có nghiệm (a,b) khi và chỉ khi phương trình 2b=m+1 có nghiệm b sao cho b1 và 3b+10 (để tồn tại a), tức là hệ có nghiệm, điều này tương đương với: .
Ví dụ 2:
Cho hệ phươg trình (I)
Giải hệ với m=1
Tìm m để hệ có nghiệm
HD :
Đây là hệ đối xứng kiểu I đối với x và –y nên ta vẫn giải như trên :
Đặt với điều kiện a2-4b ...
Ví dụ 3:
Cho hệ phươg trình 
Giải phương trình (1) với m=1.
Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
Từ đây ta có bài toán tương tự sau:
Cho phương trình (1)
 1) Giải phương trình (1) với m=1.
 2) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm.
III- Hệ đối xứng kiểu 2
Định nghĩa: Là hệ trong đó nếu ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình này của hệ trở thành phương trình kia và ngược lại.
Phương pháp giải:
Cách 1: Trừ hai phương trình cho nhau để xuất hiện nhân tử chung (x-y).
Cách 2: Dùng tính đồng biến hoặc nghịch biến của hàm số.
Xét hệ đối xứng kiểu 2: , nếu cả 2 hàm số f(t) và g(t) cùng đồng biến hoặc cùng nghịch biến trên R, khi đó nếu (x;y) là nghiệm của hệ thì x=y.
Ví dụ 1:
Giải hệ phương trình 
Từ hệ đã cho: , trừ phương trình (1) cho phương trình (2) ta được:
4(x2-y2) = 3(y-x) (x-y)(4x+4y+3) = 0 (*)
Từ đó hệ đã cho tương đương với :
. Từ đây dễ dàng giải được hệ phương trình đã cho.
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình 
HD:
Từ hệ đã cho: , trừ phương trình (1) cho phương trình (2) ta được:
3(x3-y3) = y-x (x-y)(3x2+3xy+3y2+1) = 0 (*)
Nhận thấy 3(x2+xy+y2+1) > 0 với mọi x, y. 
Do đó phương trình (*) tương đương với x=y. Thay x=y vào (1) ta được 3x3–3x = 0 3x(x2–1) = 0 x=0 ; x=–1 ; x=1.
Từ đây ta được các nghiệm của hệ là :
 ;  ; 
Ví dụ 3:
Giải hệ phương trình 
HD:
a) Cách 1:
Ta có hệ đã cho tương đương với , để ý rằng 4x2+4xy+4y2 0 với mọi x, y nên 4x2+4xy+4y2+3>0, do đó hệ trên tương đương với : , từ đây ta được các nghiệm của hệ là: (1 ; 1); .
b) Cách 2 :
Xét các hàm số f(t) = 4t3 và g(t) = 3t+1 ta có các hàm này đều đồng biến trên R.
Khi đó, hệ phương trình đã cho trở thành: 
Ta chứng minh rằng nếu (x ; y) là nghiệm của hệ thì x=y.
Thật vậy: Giả sử (x;y) là nghiệm của hệ và giả sử xy khi đó do f(t) là hàm đồng biến trên R nên f(x)f(y), khi đó từ hệ trên suy ra g(y)g(x), như do g(t) đồng biến trên R nên suy ra yx, vậy x=y.
Do vậy hệ đã cho tương đương với:
, từ đây ta được các nghiệm của hệ là: (1 ; 1); .
Từ đây ta có bài toán sau:
Giải phương trình 
HD: Đặt , ta được hệ , và đây là ví dụ trên.
Ví dụ 4 :
Giải hệ phương trình 
HD:
+ Xét hàm f(t)=5t, g(t) = 20t – 15, suy ra f(t) và g(t) đều là những hàm đồng biến, do đó nếu (x,y) là nghiệm của hệ đã cho thì buộc x=y. Do đó hệ đã cho tương đương với: 
+ Xét phương trình , ta nhận thấy x=1, x=2 là các nghiệm của phương trình.
Ta sẽ chứng minh rằng phương trình này có không quá 2 nghiệm, thật vậy:
Xét hàm , có >0 với mọi x, từ đó f’(x) là hàm đồng biến trên R nên f’(x)=0 có không quá 1 nghiệm nên theo Lagrăng thì f(x)=0 có không quá 2 nghiệm.
Vậy phương trình có 2 nghiệm x-1; x=2. Do đó hệ đã cho có 2 nghiệm:
 , 
IV- Hệ đẳng cấp bậc hai 
1) Hệ có chứa 1 phương trình thuần nhất (vế phải bằng 0)
* Phương trình thuần nhất cấp 2 là phương trình có dạng: 
ax2+bxy+cy2 = 0
(vế trái tất cả các số hạng có cấp là 2 còn vế phải luôn bằng 0)
* Phương trình thuần nhất cấp 3 là phương trình có dạng:
Ax3+bx2y+cxy2+dy3 = 0
(vế trái tất cả các số hạng có cấp là 3 còn vế phải luôn bằng 0)
* Đối với 2 phương trình trên do vế phải bằng 0 và các số hạng ở vế trái cùng bậc nên khi chia cả 2 vế cho y2 (hoặc y3), ta được phương trình bậc 2 (hoặc bậc 3) đối vứi ẩn t= x/y, và do đó nếu hệ có nghiệm thì ngay từ phương trình này ta tìm được t, tứ là timg được tỷ số x/y, và sau đó kết hợp với phương trình còn lại của hệ ta được hệ có chứa 1 phương trình bậc nhất.
Ví dụ 1 
Giải hệ phương trình 
HD:
Phương trình (1) : x2 – 5xy + 6y2 = 0 là phương trình thuần nhất cấp 2, ta thấy nếu x=0 thì y=0 và thay vào phương trình (2) thấy không là nghiệm, vậy chia cả 2 vế của phương trình (1) cho y2 ta được :
, từ đây ta tìm được x/y=2 hoặc x/y=3.
Vậy hệ đã cho tương đương với :
, đây là các hệ có chứa 1 phương trình bậc nhất.
2) Trong trường hợp tổng quát ta đưa về hệ có chứa một phương trình thuần nhất bằng cách nhân 2 phương trình của hệ với nhau 
Để đưa được một hệ về hệ có chứa một phương trình thuần nhất bằng cách nhân 2 phương trình của hệ với nhau thì hệ cần có những đặc điểm sau
Mỗi phương trình của hệ trong đó vế trái tất cả các số hạng cùng bậc và vế phải tất cả các số hạng cùng bậc.
Hiệu các bậc ở 2 vế của mỗi phương trình bằng nhau.
Ví dụ 1 
Giải hệ phương trình: 
Phân tích:
+ Phương trình (1) có VT bậc 2 (tất cả các số hạng bậc 2), VP bậc 0 (số hạng 0 chứa x, y là bậc 0, chẳng hạn số 2 coi như 2= 2x0y0)
+ Phương trình (2) có VT bậc 2 (tất cả các số hạng bậc 2), VP bậc 0.
+ Hiệu các bậc 2 vế của phương trình (1) là 2- 0=2, hiệu các bậc 2 vế của phương trình (1) là 2- 0=2. 
Vậy ta có thể nhân 2 phương trình của hệ với nhau để được hệ có chứa một phương trình thuần nhất 
Cụ thể hệ đã cho tương đương với:
, được hệ có chứa một phương trình thuần nhất cấp 2.
Ví dụ 2 (KB–2006)
Giải hệ phương trình:
Ví dụ 3 (KD–2006.DB)
Ví dụ 4 
Giải hệ phương trình: 
+ Phương trình (1): Bậc 3 – bậc 0
+ Phương trình (2): Bậc 4 – bậc 1
+ Thấy 3-0 = 4-1.
Vậy nhân 2 phương trình với nhau (chú ý vế nào của phương trình này với vế nào của phương trình kia để sau khi nhân ta được phương trình thuần nhất).
HD: 
Hệ đã cho tương đương với:
Từ đây ta giải được hệ đã cho.
Ví dụ 5
Giải hệ phương trình: 
HD:
Hệ đã cho tương đương với: 
+ Nếu y = 0 thì hệ vô nghiệm
+ Nếu y0 thì từ phương trình (1) ta có: 
Đặt ta dược phương trình: t3+t2+2t+8 = 0 (t+2)(t2-t+4) = 0 t=-2. 
Từ đó x=-2y và thay vào phương trình (2) ta được 4y2+8y2 = 12 y=1 hoặc y=-1, từ đó ta được nghiệm của hệ đã cho là:
; 
Ví dụ 6
Giải hệ phương trình: 
Ví dụ 7
Giải hệ phương trình: 
Ví dụ 8
Giải phương trình: 
HD:
Phương trình ttương đương với 
Đặt ta được phương trình 2a2 – b2 = ab, từ đây ta tìm được , từ đó suy ra x.
Ví dụ 9
Giải phương trình: (1)
HD:
Đặt với y0, ta được: y2 = 1–x2 (2)
Từ (1) và (2) ta được hệ : 
Ta thấy y0 vậy phương trình (1) tương đương với :
Đặt , ta được phương trình : t3 – t2 – 3t – 1 = 0 
+ Với t=–1 x=–y, kết hợp với (2) ta được hệ , kết hợp với y0 ta được các nghiệm : 
+ Với hoặc , giải tương tự như trên.
Ví dụ 10
Giải phương trình: 
1) 
2) 
HD: Giải tương tự như bài trên.
B- Các dạng khác thường gặp
I– Phân tích ra nhân tử từ 1 phương trình của hệ:
Thông thường để phân tích biểu thức bậc 2 hai biến: f(x,y) = ax2+bxy+cy2+dx+ey+f ra nhân tử bậc nhất, ta coi f(x,y) là tam thức bậc 2 ẩn x, còn y là tham số và tiến hành phân tích như tam thực bậc hai bằng cách tìm các nghiệm của nó và áp dụng định lý:
Nếu x1, x2 là các nghiệm của f(x) = ax2+bx+c thì f(x) phân tích được: 
f(x)=a(x-x1)(x-x2).
Ví dụ1: 
Giải hệ phương trình: 
HD:
Hệ này không nằm trong bất cứ hệ nào đã biết cách giải, tuy nhiên nếu tinh ý một chút ta thấy phương trình (1) có thể phân tích được thành 2 phương trình bậc nhất:
Thật vậy: Xét phương trình x2-2xy+y2-1=0 (coi x là ẩn, y là tham số)
Có (1) có 2 nghiệm x= y–1 và x= y+1 nên phương trình x2–2xy+y2–1=0 (x–y+1)(x–y–1) = 0.
Do đó hệ , dễ dàng giải được hệ này.
Ví dụ 2:
Giải hệ phương trình: 
HD:
Biến đổi (bằng cách từ phương trình (1) coi x là ẩn và y là tham số từ phương trình) 
Giải hệ tìm được nghiệm ( x = 2; y = 1); (x = 2; y = -1)
Giải hệ tìm được nghiệm ( x = -2; y = -1); (x = ; y = )
II- Đặt ẩn phụ để đưa về các dạng đã biết cách giải
Ví dụ1: 
Giải hệ phương trình: 
HD:
Hệ 
Đặt x(x+2) = t, ta được hệ: , từ đây ta được hoặc 
Từ đó ta tìm được các nghiệm của hệ đã cho.
Ví dụ2 (KA–2006.DB)
Giải hệ phương trình: 
HD:
+ Nếu y=0, hệ vô nghiệm.
+ Nếu 
Hệ 
Từ đây ta đặt ẩn phụ , ta được hệ , từ đây tìm được a, b.
Bài tập
Bài 1 (Khối D-2008)
Giải hệ phương trình: 
HD:
Hệ đã cho tương đương với:
Bài 2 (KA-2006)
HD:
Đặt với a0, b0 , ta được hệ 
, từ đây ta tìm được a,b.
Bài 3 (Khối A-2008)
Giải hệ phương trình: 
HD:
Hệ đã cho tương đương với:
Đặt 
Từ đây ta được các nghiệm của hệ đã cho là và .
Bài 4 (Khối B-2008)
Giải hệ phương trình: 
HD:
Hệ đã cho tương đương với:
 x(x+4)3=0.
Từ đây ta được nghiệm của hệ đã cho là .
Bài 5 
Giải phương trình: 
HD
Ta thấy x=0 không là nghiệm của phương trình đã cho, đặt , ta được phương trình: 
Đặt , ta được hệ phương trình 
Giải hệ (đối xứng kiểu 1) này ta được a, b, từ đó được nghiệm của phương trình đã cho là: ; ; ; 
c- ứng dụng hệ phương trình vào bài toán max, min
Ví dụ 1
Cho x, y là các số thực sao cho x2+y2-xy = 1, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biẻu thức A = 2x+y
HD:
Để tìm max, min của biểu thức A, ta đi tìm tất cả các giá trị có thể của A, đó là tập các giá trị của A sao cho hệ phương trình sau đây có nghiệm:
(Đây là hệ bậc hai có chứa 1 phương trình bậc nhất)
Ví dụ 2
Cho x, y là các số thực sao cho x2+2y2-3xy = 1, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biẻu thức A = 2x2+y2+3xy
HD:
Để tìm max, min của biểu thức A, ta đi tìm tất cả các giá trị có thể của A, đó là tập các giá trị của A sao cho hệ phương trình sau đây có nghiệm:
+) Nếu A=0, ta có hệ , thấy ngay hệ này có nghiệm.
+) Nếu A0, hệ 
– Xét y=0 hệ có nghiệm khi A=2.
– Xét y0 hệ 
Đặt ta được hệ (*).
Ta cần tìm A để hệ (*) có nghiệm (t,y), muốn vậy phương trình :
 (A-2)t2-(A+3)t+(A-1) = 0 (**) có nghiệm t sao cho t2– 3t + 2 > 0 t2.
Phương trình (**) , khảo sát miềm giá trị của f(t) trên miền t2, ta được Amax, Amin.
Ví dụ 3 (Khối B–2008)
Cho x, y là các số thực sao cho x2+y2= 1, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biẻu thức 
Ví dụ 4
Cho x, y là các số thực sao cho x2+y2+xy = 3, tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biẻu thức A = x4+y4+4xy-x3y3
HD:
Để tìm max, min của biểu thức A, ta đi tìm tất cả các giá trị có thể của A, đó là tập các giá trị của A sao cho hệ phương trình sau đây có nghiệm:
Ta có hệ tương đương với:
Đặt với điều kiện u24t, ta được hệ :
 (*)
Từ đây suy ra hệ đã cho có nghiệm (x,y) khi và chỉ khi hệ (*) có nghiệm (u,t), điều này tương đương với phương trình t3 + t2 + 2t = 9 – A có nghiệm trên [–3 ;1].
Bằng phương pháp bảng biến thiên ta tìm được tập giá trị của A và từ đó suy ra Amax và Amin .
–––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––