Hướng dẫn giải đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 tỉnh Bình Định, năm học 2011-2012

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12 TỈNH BÌNH ĐỊNH , NĂM HỌC 2011-2012
 Lê Quang Dũng 
 Trường THPT số 2 Phù Cát , Bình Định
Bài 1 a) Giải phương trình : x-2+4-x=2x2-5x-1
Giải : Đk 2≤x≤4
Biến đổi phương trình về dạng
 x-2-1+4-x-1=2x2-5x-3
 ó x-2-1+4-x-1=x-3(2x+1)
ó 
ó 
ó 
Ta có (*)ó 
Mà VP=2x+1≥5,∀xϵ2,4 , 
 , 
Khi đó (*) vô nghiệm 
Phương trình đã cho có nghiệm x=3 
Bài 1b) Giải hệ phương trình : 
Giải : Đk : -1≤x≤1, 0≤y≤2
Biến đổi (1) ta được : 
ó 
ó 
ó 
mà : f't=3t2+6t≤0, tϵ-2,0
Hàm số f(t) nghịch biến trên [-2,0]
 -1≤x≤1, 0≤y≤2x-1 => -2≤x-1,y-2≤0
Nên (1)ó x-1= y-2 ó y=x+1
Thay vào phương trình (2) ta được : 
ó 
ó ó 
ó x=0
Hệ đã cho có nghiệm : x=0,y=1
Bài 2 : Xét tất cả các tam thức bậc hai f(x) =ax2+bx+c , a>0 , a,b,c ϵZ , sao cho f(x) có hai nghiệm phân biệt thuộc (0,1) , Trong các tam thức như thế , Xác định tam thức có hệ số a nhỏ nhất ?
Giải : f(x) có hai nghiệm biệt thuộc (0,1) 
 ó f(0)>0, f(1)>0 , 
 ó a>c>0 , a+b+c>0 , b2-4ac>0 , -2a0) 
Ta có : a+c>-b>0 => a2+2ac+c2>b2=> a2-2ac+c2>b2-4ac>0
 => 4ac<b2<(a-c)2+4ac
a,b,c thuộc Z
a
c
b
Chọn
2
1
8<b2<9
không
3
1
12<b2<16
không
3
2
24<b2<25
không
4
1
16<b2<25
không
4
2
32<b2<36
không
4
3
48<b2<49
Không
5
1
20<b2<36
Nhận 
Với a=5 , c=1 , b=5 , f(x)=5x2+5x+1=0 có 2 nghiệm phân biệt 
Vậy tam thức bậc hai cần tìm là f(x)=5x2+5x+1
Bài 3 : Chứng minh mọi tam giác ABC ta luôn có : 
( với la,lb,lc là độ dài các đường phân giác trong kẽ từ A,B,C và a,b,c lần lượt là các cạnh của BC,CA,AB)
 Giải : 
 , 
mà : 
Nên 
Dầu bằng xảy ra ó a=b=c ó ABC đều 
Bài 4 : Cho dãy số (un) xác định bởi 
Xét dãy (vn) , tính limvn
Giải : 
Ta có : 
Khi đó : 
Ta có : =
Dấu bằng không xảy ra vì u1> 3
Dãy un là dãy tăng 
Mặt khác dãy un không bị chặn trên , 
Thật vậy : Giả sử un không bị chặn trên => un có giới hạn là a
Khi đó : ó 
ó < u1 ( vô lý) 
Khi đó : limUn=+∞
Vậy : limvn=12 
Bài 5 : Cho tam giác ABC , các đường cao AD,BE ,CF cắt nhau tại H , M là trung điểm của BC,EF cắt BC tại I . Chứng minh rằng IH AM
Chọ hệ trục tọa độ , D(0,0) ; A(0,a) ,B(b,0) , C(c,0) ,
Khi đó : ,I(x,0) ,H(0,y) 
Ta có H là trực tâm nên , , 
Ta có , => y= hay H(0,)
 , áp dụng BT : 19 sbt hh10nc trang8 ( xeva , menelauyt)
Ta có : => 
Ta có : ó b(x-c)+c(x-b) =0 ó x=2bcb+c
. Khi đó 0 => đpcm