Đề tài Hệ thống hoá kiến thức ôn thi học kì II, tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh đại học, cao đẳng môn toán

HỆ THỐNG HOÁ KIẾN THỨC ÔN THI HỌC KÌ II,
TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG
MÔN TOÁN
–––&———
PHẦN GIẢI TÍCH
ýýýLỜI NÓI ĐẦU
–&—
Để giúp các bạn có được cái nhìn tổng quan, hiểu được bản chất của mỗi vấn đề đặt ra, nắm vững kiến thức trọng tâm, từ đó đưa ra phương pháp giải mạch lạc và làm quen với các dạng câu hỏi trong các đề thi Học kì II, Tốt nghiệp Trung học phổ thông, Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, Ban Cán Sự Bộ Môn Khoa Học Tự Nhiên – Tổ 1 – Lớp 12A1 – Trường THPT Lưu Văn Liệt chúng tôi biên soạn tập tài liệu Hệ thống hóa kiến thức về Khảo sát hàm số ôn thi Học kì II, Tốt nghiệp THPT - Tuyển sinh Đại học, Cao đẳng - môn Toán. 
F Nội dung của tập tài liệu gồm:
A. Kiến thức trọng tâm: Trình bày một cách ngắn gọn, đầy đủ kiến thức theo chủ đề, nhằm giúp các bạn hệ thống lại kiến thức một cách lôgic.
B. Các dạng toán thường gặp: Gồm các dạng toán và hướng dẫn phương pháp giải nhằm giúp các bạn làm quen và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúng tôi hi vọng tài liệu sẽ giúp cho các bạn phân loại tốt các dạng bài tập, nắm vững phương pháp giải, nâng cao kĩ năng làm bài, bám sát theo nội dung chương trình học.
Mặc dù đã có nhiều cố gắng trong biên soạn, nhưng khó tránh khỏi những sai sót ngoài ý muốn, chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng góp xây dựng quý báo của thầy cô giáo và các bạn để tập tài liệu được hoàn thiện hơn.
Mọi ý kiến đóng góp xin vui lòng gửi về địa chỉ: Ban Cán Sự Bộ Môn Khoa Học Tự Nhiên, Tổ 1, Lớp 12A1, Trường THPT Lưu Văn Liệt – 92A Phạm Thái Bường, Phường 4, Thành phố Vĩnh Long, Tỉnh Vĩnh Long.
Điện thoại: 0949698796 – 0703831179 (gặp Hưng).
Hoặc qua Email:
duongthehung2403@yahoo.com, duongthehung2403@gmail.com.
Xin trân trọng cảm ơn.
	Tổ trưởng	
	Dương Thế Hưng
CHƯƠNG I
ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ
Trong chương này chúng ta ứng dụng đạo hàm và giới hạn để xem một số tính chất quan trọng của hàm số và đồ thị như: tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị; từ đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số.
Các bạn cần có kĩ năng thành thạo khi xét các tính chất đã nêu của một hàm số cho trước cũng như khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của một số hàm số đơn giản.
CHỦ ĐỀ. KHẢO SÁT HÀM SỐ
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ (CƠ BẢN)
Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a;b). Thế thì: 
a) f’(x) > 0; "x Ỵ (a;b) Þ f(x) đồng biến trên khoảng (a;b).
f’(x) < 0, "x Ỵ (a;b) Þ f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b).
b. f(x) đồng biến trên khoảng (x;b) Þ f’(x) ³ 0, "x Ỵ (a;b).
f(x) nghịch biến trên khoảng (a;b) Þ f’(x) £ 0, "x Ỵ (a;b).
khoảng (a;b) được gọi chung là khoảng đơn điệu của hàm số.
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ (NÂNG CAO)
Hàm số đơn điệu. Cho hàm số f xác định trên K, trong đó K là một khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.
Ÿ f đồng biến trên K nếu với mọi x1, x2 Ỵ K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2).
Ÿ f nghịch biến trên K nếu với mọi x1, x2 Ỵ K, x1 f(x2).
Điều kiện cần để hàm số đơn điệu
Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoản I. Khi đó:
Ÿ Nếu hàm số f đồng biến trên I thì f’x) ³ 0 với mọi x Ỵ I.
Ÿ Nếu hàm số f nghịch biến trên I thì f’x) £ 0 với mọi x Ỵ I.
Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu
1) Giả sử hàm số f có đạm hàm trên khoảng I.
Ÿ Nếu f’(x) ³ 0 với mọi x Ỵ I và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số đồng biến trên I.
Ÿ Nếu f’(x) £ 0 với mọi x Ỵ I và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của I thì hàm số nghịch biến trên I.
Ÿ Nếu f’(x) = 0 với mọi x Ỵ I thì hàm số f không đổi trên I.
2) Giả sử hàm số f liên tục trên nửa khoản [a;b) và có đạo hàm trên khoảng (a;b).
Ÿ Nếu f’(x) > 0 (hoặc f’(x) < 0) với mọi x Ỵ (a;b) thì hàm số f đồng biến (hoặc nghịch biến) trên nửa khoảng [a;b).
Ÿ Nếu f’(x) = 0 với mọi x Ỵ (a;b) thì hàm số f không đổi trên nửa khoảng [a;b).
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (CƠ BẢN)
Giả sử hàm số f(x) xác định trên khoảng (a;b) và x0 Ỵ (a;b).
1. Định lý 1
a. Þ x0 là điểm cực đại của f(x).
b. Þ x0 là điểm cực đại của f(x).
2. Định lý 2
a. Þ x0 là điểm cực tiểu của f(x).
b. Þ x0 là điểm cực đại của f(x).
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ (NÂNG CAO)
Điểm cực trị. Giả sử hàm số f xác định trên tập hợp D (D Ì R) và x0 được gọi là điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoản (a;b) sao cho x0 Ỵ (a;b) Ì D và
f(x) < f(x0) với mọi x Ỵ (a;b) \ {x0}.
Điểm cực tiểu của hàm số được định nghĩa tương tự.
Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị.
Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 và hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’(x0) = 0.
(Hàm số f có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo hàm).
Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị.
1) Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0)và (x0;b). Khi đó:
Ÿ Nếu f’(x) 0 với mọi x Ỵ (x0;b) thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
Ÿ Nếu f’(x) > 0 với mọi x Ỵ (a;x0) và f’(x) < 0 với mọi x Ỵ (x0;b) thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
Chú ý. Không cần xét hàm số f có hay không có đạo hàm tại điểm x = x0.
2) Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f’(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0. Khi đó:
Ÿ Nếu f”(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0.
Ÿ Nếu f”(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0.
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ (CƠ BẢN)
1. Cách tìm giá trị lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) trên một đoạn.
Định lý:
Y = f(x) liên tục trên đoạn [a;b] Þ tồn tại f(x), f(x).
Cách tìm 
Ÿ Tìm xi Ỵ [a;b] (i = 1 ; 2 ; ... ; n) tại đó có đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
Ÿ Tính f(a), f(b), f(xi), (i = 1; 2 ; ... ; n).
Ÿ Tìm GTLN = max {f(a), f(x1), f(x2), ..., f(xn), f(b)};
GTNN = min{f(a), f(x1), f(x2),..., f(xn), f(b)}.
2. Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên một khoảng
y = f(x) liên tục trên khoảng (a;b), ta xét hai trường hợp:
x
a
x0
b
x
a
x0
b
y'
- +
y'
 + -
y
GTNN
y
GTLN
(trong đó f’(x0) bằng o hoặc f’(x) không xác định tại x0).
GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
(NÂNG CAO)
PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TOẠ ĐỘ (NÂNG CAO)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm I(x0;y0)
Ÿ Công thức chuyển hệ tọa độ trong phép tịnh tiến theo vectơ là
Ÿ Nếu (õ) là đồ thị của hàm số y = f(x) đối với hệ tọa độ (O; , ) thì phương trình của (õ) đối với hệ tọa độ (O; , ) là
Y = f(X + x0) - y0
ĐƯỜNG TIỆM CẬN (CƠ BẢN)
Kí hiệu (C) là đồ thị của hàm số y = f(x)
1. Đường tiệm cận đứng
Nếu một trong các điều kiện
 lim f(x) = + ¥	 lim f(x) = - ¥
x ®x0+	x ®x0+
 lim f(x) = + ¥	 lim f(x) = - ¥
x ®x0-	x ®x0-
thì đường thẳng x = x0 là tiệm cận đứng của (C).
2. Đường tiệm cận ngang
Nếu lim f(x) = y0 hoặc lim f(x) = y0 thì đường thẳng y = y0 là 
 x ® +¥ x ®- ¥
tiệm cận ngang của (C).
ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ (NÂNG CAO)
Ÿ Đường thẳng x = x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong bốn điều kiện sau được thỏa mãn:
 ; ; ; 
Ÿ Đường thẳng x = x0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu hoặc 
Ÿ Đường thẳng y = ax + b (a ¹ 0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu
 hoặc 
Cách tìm tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (a ¹ 0) là tiệm cận xiêng của đồ thị hàm số y = f(x) khi và chỉ khi
a = và b = 
Hoặc a = và b = 
KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
(CƠ BẢN)
SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ y = f(x)
1. Tìm tập xác định của hàm số
2. Sự biến thiên
a. Chiều biến thiên
Ÿ Tính y’.
Ÿ Tìm các nghiệm của phương trình y’ = 0 và các điểm tại đó y’ không xác định.
Ÿ Xét dấu y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số.
b. Tìm cực trị.
c. Tìm các giới hạn vô cực; các giới hạn tại + ¥, -¥ và tại các điểm mà hàm số không xác định. Tìm các tiệm cận đứng và ngang (nếu có).
d. Lập bảng biến thiên.
3. Đồ thị
Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.
Ø Chú ý
1) Nếu hàm số là tuần hoàn với chu kỳ T thì chỉ cần vẽ đồ thị trên một chu kỳ rồi tịnh tiến đồ thị song song với Ox.
2) Để vẽ đồ thị thêm chính xác, ta cần:
Ÿ Tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt nên tính các giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ.
Ÿ Lưu ý tính chất đối xứng (qua trục, qua tâm,...) của đồ thị.
KHẢO SÁT MỘT SỐ HÀM SỐ ĐA THỨC VÀ PHÂN THỨC
Dạng của đồ thị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0)
Dạng của đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0)
Dạng của đồ thị hàm số y = (c ¹ 0, ad - bc ¹ 0)
SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ
1. Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị
Giả sử (C1) là đồ thị của hàm số y = f(x) và (C2) là đồ thị của hàm số y = g(x). Số nghiệm của phương trình f(x) = g(x) bằng số giao điểm của (C1) và (C2).
2. Viết phương trình tiếp tuyến
Giả sử hàm số y = f(x) có đồ thị là (C) và M0 (x0 ; f(x0)) Ỵ (C) ; f(x) có đạo hàm tại x = x0.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0 là
y - y0 = f’(x0)(x - x0).
SỰ GIAO NHAU VÀ SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG CONG
(NÂNG CAO)
1) Hoành độ giao điểm của hai đường cong y = f(x) và y = g(x) là nghiệm của phương trình.
F(x) = g(x).
Do đó, số nghiệm phân biệt của phương trình trên bằng số giao điểm của hai đường cong.
2. Ÿ Hai đường con y = f(x) và y = g(x) gọi là tiếp xúc với nhau tại điểm M(x0; y0) nếu chúng có tiếp tuyến chung tại điểm M. Khi đó, M được gọi là tiếp điểm.
Ÿ Hai đường cong y = f(x) và y = g(x) tiếp xúc với nhau khi và chỉ khi hệ phương trình
Có nghiệm. Nghiệm của hệ phương trình trên là hoành độ của tiếp điểm.
Ÿ Đường thẳng y = px + q là tiếp tuyến của parabol y = ax2 + bx + c khi và chỉ khi phương trình
ax2 + bx + c = px + q
hay 
ax2 + (b - p)x + x - q = 0
có nghiệm kép
CÁC DẠNG ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ (NÂNG CAO)
Đồ thị hàm số y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0) có một trong các dạng sau đây.
Đồ thị hàm số y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0) có một trong các dạng sau đây.
Đồ thị hàm số y = (c ¹ 0, ad - bc ¹ 0) có một trong các dạng sau đây.
Đồ thị hàm số y = = px + q + (a ¹ 0, a’ ¹ 0, r ¹ 0) có một trong các dạng sau đây.
ýýý
B. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
1. Các hàm số thường gặp
(1) y = ax3 + bx2 + cx + d (a ¹ 0)
(2) y = ax4 + bx2 + c (a ¹ 0) 
(3) y = (c ¹ 0, ad - bc ¹ 0)
(4) y = = px + q + (ad ¹ 0, t ¹ 0).
2. Các bước để khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
o Tìm tập xác định;
o Lấy đạo hàm cấp một, tìm nghiệm (nếu có);
o Tìm giới hạn đối với các hàm số (1), (2); tìm tiệm cận đối với các hàm số (3), (4); 
o Lập bảng biến thiên, dựa vào bảng biên thiên kết luận các khoảng tăng, giảm, các điểm cực trị và các giá trị cực trị;
o Tìm điểm đặc biệt;
o Vẽ đồ thị.
3. Tính đơn điệu của hàm số
3.1. Định nghĩa. Hàm số f xác định trên K. Với mọi x1, x2 thuộc K: x1 > x2 Nếu f(x1) > f(x2) thì f tăng trên K; nếu f(x1) < f(x2) thì f giảm trên K.
Chú ý
Ø Hàm số tăng hoặc giảm trên K được gọi chung là hàm số đơn điệu trên K.
Ø K có thể là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng.
3.2. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu. Hàm số f có đạo hàm trên khoản K:
Ø Nếu f tăng trên K thì f’(x) ³ 0, "x Ỵ K.
Ø Nếu f giảm trên K thì f’(x) £ 0, "x Ỵ K.
3.3. Điều kiện cần để hàm số đơn điệu. Hàm số f có đạo hàm trên khoảng K:
Ø Nếu f’(x) > 0, "x Ỵ K thì f tăng trên K.
Ø Nếu f’(x) < 0, "x Ỵ K thì f giảm trên K.
Chú ý. Nếu f’(x) ³ 0, "x Ỵ K (hoặc f’(x) £ 0, "x Ỵ K) và f’(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thuộc K thì hàm số f tăng (hoặc giảm) trên K.
4. Cực trị của hàm số
4.1. Định nghĩa. Hàm số f xác định trong một lân cận V của x0. Khi đó:
Ø f đạt cực tại tại x0 Û "x Ỵ V, x ¹ x0 ta có f(x) < f(x0).
Ø f đạt cực tiểu tại x0 Û "x Ỵ V, x ¹ x0 ta có f(x) > f(x0).
Chú ý
Ø f được gọi là đạt cực trị tại x0 nếu có đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x0.
o x0 được gọi là điểm cực trị của hàm số.
o f(x0) được gọi là giá trị cực trị của hàm số.
o (x0, f(x0)) được gọi là điểm cực trị của đồ thị hàm số.
Ø Khái niệm cực trị có tính chất địa phương.
4.2. Điều kiện cần để hàm số có cực trị.
Hàm số f có đạo hàm tại x0. Nếu f đạt cực trị tại x0 thì f’(x0) = 0
Chú ý. Hàm số f không đạt cực trị tại x0 khi f’(x0) ¹ 0, nhưng vẫn có thể đạt cực trị tại x0 mà đạo hàm tại đó không xác định.
4.3. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị.
Ø Điều kiện đủ thứ nhất. Hàm số f có đạo hàm trên (a ; b) và x0 Ỵ (a ; b). Nếu f’(x0) = 0 và f’(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì f đạt cực trị tại x0.
x
x0
x
x0
f'(x)
+
-
f'(x)
-
0
+
f(x)
CĐ
(cực đại)
f(x)
(cực tiểu)
CT
Ø Điều kiện đủ thứ hai. Hàm số f có đạo hàm cấp hai liên tục trên khoảng (a ; b), x0 Ỵ (a ; b) và f’(x0) = 0; nếu f”(x0) 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
5. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số.
5.1. Tiệm cận đứng. Đường thẳng x = x0 được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số ; ; ; 
5.2. Tiệm cận ngang. Đường thẳng y = y0 được gọi là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
 ; 
5.3. Tiệm cận xiêng. Đường thẳng y = ax + b (a ¹ 0) được gọi là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:
 ; 
Cách tìm tiệm cận xiên: y = ax + b (a ¹ 0)
a = , b = hoặc a = , b = 
Đặc biệt. Đối với hàm số y = với P(x), Q(x) là các đa thức và bậc của P(x) lớn hơn bậc của Q(x) một đơn vị, ta lấy P(x) chia cho Q(x) và viết dạng y = = ax + b + e(x) 0 thì y = ax + b là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
6. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Ø Phương pháp chung
o Lập bảng biến thiên của hàm số;
o Dựa vào bảng biến thiên ta tìm được giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Ø Trường hợp đặc biệt. Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số f liên tục trên đoạn [a;b] ta làm như sau:
o Tìm f’ và tìm nghiệm của f’ trên khoảng (a;b). Giả sử các nghiệm là x1, x2,...,xn;
o Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2),..., f(xn);
o Số lớn nhất trong các giá trị trên là giá trị lớn nhất của hàm số, số nhỏ nhất trong các giá trị trên là giá trị nhỏ nhất của hàm số.
7. Sự tương giao và sự tiếp xúc của hai đường
Cho hai đường (C1) : y = f(x) : y = g(x).
Ø Lập phương trình hoành độ giao điểm f(x) = g(x). Số nghiệm của phương trình cho biết số giao điểm của (C1) và (C2).
Ø (C1) tiếp xúc (C2) khi và chỉ khi hệ phương trình có nghiệm. Nghiệm của hệ là hoành độ của tiếp điển.
8. Các bài toàn về tiếp tuyến.
8.1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) : y = f(x).
Ø Loại 1. Tại điểm M(x0 ; y0) thuộc (C). Phương trình tiếp tuyến: y = y’(x0)(x - x0) + y0.
Ø Loại 2. Biết tiếp tuyến đi qua điểm M(x0 ; y0) 
Cách 1. Gọi d là đường thẳng đi qua M và có hệ số góc k.
Phương trình của d là y = k(x - x0) + y0 
Vì d tiếp xúc với (C) nên hệ sau có nghiệm 
Lấy (2) thế vào (1) ta được f(x) = f’(x)(x - x0 + y0.
Giải tìm x, suy ra k, suy ra phương trình tiếp tuyến.
Cách 2. Gọi N1(x1; f(x1)) là tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến có dạng y = f’(x1) (x - x1) + f(x1)
Vì tiếp tuyến đi qua M nên y0 = f’(x1)(x0 - x1) + f(x1).
Giải x1, suy ra phương trình tiếp tuyến.
Ø Loại 3. Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k cho trước
Gọi (x0 ; y0) là tọa độ tiếp điểm.
Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta có f’(x0) = k
Giải tìm x0, suy ra phương trình tiếp tuyến.
8.2. Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ M có thể kẻ được tới (C) : y = f(x) không, một, hai,... tiếp tuyến; ít nhất một tiếp tuyến; đúng một tiếp tuyến; hai tiếp tuyến vuông góc nhau;...
Các giải. Xác định tọa độ của điểm M(xM; yM).
Gọi d là đường thẳng đi qua M và có hệ số góc k, suy ra d : y = (x - xM) + yM 
d tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm 
Thế (2) vào (1) ta được f(x) = f’(x)(x-xM) + yM. (3) 
Vậy (C1) được suy ra từ (C) bằng cách:
o Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải của Oy và bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái Oy;
o Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) vừa giữ.
Ø Từ (C) suy ra (C2) : y = |f(x)|. Ta có y = |f(x)| = 
Vậy (C2) được suy ra từ (C) bằng cách:
o Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox.
o Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox và bỏ phần đồ thị (C) phía dưới Ox.
Ø Từ (C) suy ra (C3) : y = f(x). Ta có |y| = f(x) Û 
Vậy (C3) được suy ra từ (C) bằng cách:
o Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trên Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm phía dưới Ox;
o Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) vừa giữ.
Ø Từ (C) : y = f(x) suy ra (C4) : y = |f(|x|)|. Từ (C) ® (C1) ® (C4)
Dạng 2. Cho (H): y = với = hoặc = 
Ø Từ (H) suy ra (H1) : y = . Ta có y = = 
Vậy (H1) được suy ra từ (H) bằng cách:
o Giữ nguyên phần đồ thị (H) ở miền Q(x) > 0;
o Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (H) ở miền Q(x) < 0 và bỏ phần đồ thị (H) ở miền Q(x) < 0.
Ø Từ (H) suy ra (H2) : y = 
Ta có y = = 
Vậy (H2) được suy ra từ (H) bằng cách:
o Giữ nguyên phần đồ thị (H) ở miền P(x) ³ 0;
o Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (H) ở miền P(x) < 0 và bỏ phần đồ thị (H) ở miền P(x) < 0.
11. Tính chất đối xứng
Dạng 1. Chứng minh điểm I(x0 ; y0) là tâm đối xứng của (C): y = f(x)
Thay và chứng minh Y = f(X) là hàm số lẻ.
Dạng 2. Chứng minh đường thẳng x = x0 là trục đối xứng của (C) : y = f(x)
Thay và chứng minh y = f(X) là hàm số chẵn.
Dạng 3. Định m để trên (Cm): y = f(x,m) có cặp điểm đối xứng qua O(0 ; 0).
o Giả sử trên (Cm) có cặp điểm (x0 ; y0), (-x0 ; y0) với x0 ¹ 0 đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
o Ta có Þ f(x0, m) + f(-x0, m) = 0
Þ x = x0 là nghiệm của phương trình f(x, m) + f(-x, m) = 0. Yêu cầu bài toán trở thành định m để phương trình f(x, m) + f(-x, m) = 0 có nghiệm x ¹ 0.
Dạng 4. Tìm trên (C): y = f(x) cặp điểm đối xứng nhau qua điểm I(x0 ; y0).
o Gọi ((x1 ; f(x1)), (x2 ; f(x2)) là hai điểm cần tìm.
o Ta có . Giải x1, x2, suy ra các điểm cần tìm.
Dạng 5. Tìm trên (C): y = f(x) cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d : y = kx + c (k ¹ 0).
o Giả sử A, B là hai điểm cần tìm, suy ra AB : y = -x + b.
o Phương trình hoành độ giao điểm giữa (C) và AB là 
f(x) = -x + b. (8*)
o Gọi I là trung điểm của AB, ta có với xA, xB là nghiệm của (*).
o Do I thuộc d nên y1 = kx1 + c. Giải tìm b, suy ra tọa độ của A, B.
12. Điểm uốn của đồ thị hàm số.
Hàm số f có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a ; b), x0 Ỵ (a ; b). nếu f”(x0) = 0 và f”(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì U(x0; f(x0)) là một điểm uốn của đồ thị hàm số.
13. Điểm đặc biệt của họ đường cong (Cm) : y = f(x,m)
Dạng 1. Tìm các điểm cố định mà họ (Cm) luôn đi qua với mọi m.
Dạng 2. Tìm các điểm thuộc mặt phẳng mà họ (Cm) không đi qua với mọi m.
Dạng 3. Tìm điểm thuộc mặt phẳng mà chỉ có một hoặc hai đường cong của họ (Cm) đi qua.
Cách giải. Biến đổi y = f(x, m) thành phương trình ẩn m:
Am + B = 0 hoặc Am2 + Bm + C = 0
Ø Đối với dạng 1. Tọa độ các điểm cố định là nghiệm của hệ:
 hoặc 
Ø Đối với dạng 2. Tìm điều kiện để phương trình theo ẩn m vô nghiệm.
Ø Đối với dạng 3. Tìm điều kiện để phương trình ẩn m có một nghiệm m hoặc có hai nghiệm m.
–––&———
NHÓM TÁC GIẢ
Chịu trách nhiệm xuất bản:
Tổ trưởng Tố 1 kiêm Cán sự bộ môn Sinh Học: DƯƠNG THẾ HƯNG
Bí thư kiêm Lớp phó lao động, Cán sự bộ môn Vật Lí: NGUYỄN HẢI ĐĂNG
Lớp phó học tập kiêm Cán sự bộ môn Hoá Học: DƯƠNG THÁI SƠN
Cán sự bộ môn Toán 2: NGUYỄN HUY VIỆT
Hướng dẫn thực hiện chuyên đề: Thầy Trần Chí Thanh
Tổ chức bản thảo và chịu trách nhiệm nội dung:
DƯƠNG THẾ HƯNG - NGUYỄN HẢI ĐĂNG
Biên tập nội dung:
DƯƠNG THẾ HƯNG
Biên tập kĩ – mĩ thuật:
DƯƠNG THẾ HƯNG
Trình bày bìa:
DƯƠNG THẾ HƯNG
Sửa bản in:
DƯƠNG THẾ HƯNG
NGUYỄN HẢI ĐĂNG
–––&———
THE END
Thực hiện: DƯƠNG THẾ HƯNG