Đề tài Giải và biện luận các phương trình và bất phương trình bậc hai chứa tham số

I- LÍ DO CHỌN GIẢI PHÁP
Trong chương trình toán lớp 10 THPT, có một dạng toán mà học sinh thường sai lầm, hoặc không giải quyết trọn vẹn là việc giải và biện luận các phương trình và bất phương trình bậc hai chứa tham số, đặc biệt loại chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Vì vậy người giáo viên phải có phương pháp giúp học sinh cách tiếp cận tốt và hiệu quả về loại toán này. Trong đề tài này, ngoài phương pháp trực tiếp, tôi dùng phương pháp đồ thị bậc nhất và bậc hai, gợi mở cho học sinh hướng giải quyết khá tốt cho các dạng mà tham số ở hệ số tự do (vì chỉ gới hạn ở đồ thị bậc nhất và bậc hai cho lớp 10, sau này đã khảo sát được các hàm khác, học sinh sẽ được ôn lại tổng thể).
Chắc chắn sẽ còn nhiều thiếu sót, mong thầy và các bạn bổ sung thêm đề đề tài được hoàn chỉnh và tốt hơn.
II- NỘI DUNG CỦA PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC TÍCH CỰC
1) Tính tích cực học tập của học sinh thể hiện ở chỗ:
- Sự tự nguyện tham gia trả lời các câu hỏi và yêu cầu hoạt động của thầy.
- Thích tham gia tranh luận.
- Mong muốn được đóng góp với thầy, với bạn những thông tin mới.
- Tập trung chú ý vào các vấn đề đang học.
- Kiên trì làm xong các bài đã học, không nản chí trước các tình huống khó khăn.
2) Người chủ động không chỉ làm theo những gì đã được định sẵn, được yêu cầu mà còn làm theo kế hoạch riêng của mình.
3) Biểu hiện của sáng tạo là:
- Nhìn nhận một sự vật theo một khía cạnh mới, nhìn nhận một sự kiện dưới nhiều góc độ khác nhau.
- Biết đặt ra nhiều giả thiết khi phải lý giải một hiện tượng, biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi phải xử lý một tình huống.
- không vội vã bằng lòng với giải pháp đã có, không suy nghĩa cứng nhắc theo những quy tắc đã học trước đó, không máy móc áp dụng những mô hình đã gặp để ứng xử trước những tình huống mới.
III- NỘI DUNG 
 Kiến thức liên quan:
- Công thức phá dấu giá trị tuyệt đối: 
- Đồ thị hàm số bậc nhất y=ax+b
- Đồ thị hàm số bậc hai y=ax2+bx+c
- Xét dấu nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai.
‚ Đặt vấn đề cho học sinh: 
Chúng ta đã biết cách giải biện luận các phương trình, bất phương trình bậc nhất và bậc hai. Sau đây ta xét một số dạng phương trình và bất phương trình bậc hai chứa dấu giá trị tuyệt đối, dạng đơn giản, chúng ta cùng nghiên cứu và đề xuất phương pháp giải quyết.
A- PHƯƠNG TRÌNH DẠNG BẬC HAI CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
* Bài toán 1: Giải biện luận các phương trình sau:
1) |x|(x-2)-m=0.
2) |x2+x+m|=-x2+x+2.
3) |x2+m|=|2x-2m|.
Các hoạt động: 
HĐ 1: Cho học sinh chủ động làm bằng các kiến thức đã biết về loại này
 Phân thành 3 nhóm, nghiên cứu rồi đại diện báo cáo trước lớp.
 ( Đối với học sinh, đa số sẽ làm trực tiếp )
HĐ 1.1: Phá dấu giá trị tuyệt đối các dạng: |f| = g và |f| = |g|
HĐ 1.2 : Biện luận phương trình bậc nhất, bậc 2 có điều kiện ẩn
HĐ 2: Đại diện nhóm lên báo cáo
	 Các nhóm khác cho ý kiến
	 Giáo viên nhận xét, chỉnh sửa và tổng kết phương pháp chung.
	HĐ 2.1: Cách kết luận bài toán khi chia làm nhiều trường hợp như các bài trên
Sau đây là một đáp án đúng, đã được giáo viên chỉnh sửa hoàn chỉnh :
Bài 1: PT |x|(x-2)-m=0.PT có dạng m=
+ Xét phương trình (1) : x2-2x-m=0, có =1+m
- Nếu < 0 Û m <-1: (1) vô nghiệm
- Nếu > 0 Û m > -1: (1) có 2 nghiệm: x1=, x2=
Kiểm tra điều kiện nghiệm x > 0: 
x2 luôn đúng với m > -1.
x1=> 0 Û -1< m < 0.
+ Xét phương trình (2): x2-2x+m=0, có =1-m
- Nếu 1: (2) vô nghiệm
- Nếu > 0 Û m < 1: (2) có 2 nghiệm: x3=, x4=
Kiểm tra điều kiện nghiệm x < 0: 
Nghiệm x4 không thoả mãnNghiệm x3 =< 0 Û m < 0. 
+ Kết luận: 
Dùng trục tham số m, có kết luận như sau:
- Nếu m < -1: PT có nghiệm x3=
- Nếu m=-1: PT có nghiệm x1=x2=1, x3=1-, x4=1+
- Nếu -1 < m < 0: PT có nghiệm x2=, x3=
- Nếu m=0: PT có nghiệm x1=x3=0, x2=x4=2
- Nếu m > 0: PT có nghiệm x2=
Bài 2: PT |x2+x+m|=-x2+x+2. 
 Có dạng: Û 
+ Xét PT (1) Û x2=.
- Nếu 2-m 2, PT (1) vô nghiệm
- Nếu 2-m > 0 Û m < 2, PT (1) có 2 nghiệm x1=, x2=
Kiểm tra điều kiện -1 < x < 2:
- Nghiệm x1 -1 Û 0 < m < 2
- Nghiệm x2 > -1 luôn đúng m < 2, x2 < 2 Û -6 < m < 2
+ Xét PT (2) Û x3=. 
 Nghiệm này thoả mãn khi: -1 < < 2 Û -6 < m < 0
+ Kết luận: Dùng 2 trục tham số m, có kết luận: 
- Nếu m 0 : PT vô nghiệm
- Nếu m=-6: PT có nghiệm x2=x3=2
- Nếu -6 < m < 0: PT có nghiệm x2=, x3=
- Nếu m=0: PT có nghiệm x1=x3=-1, x2=1
- Nếu 0 < m < 2: có nghiệm x1, x2=
- Nếu m=2: Có nghiệm x1=x2=0
Bài 3:
 PT |x2+m|=|2x-2m| Û x2+m=(2x-2m) Û 
+ Xét (1): Có =1-3m
- Nếu 1/3: (1) vô nghiệm
- Nếu > 0 Û m < 1/3: (1) có 2 nghiệm x1=, x2=
+ Xét (2): Có =1+m
- Nếu < 0 Û m < -1: (2) vô nghiệm
- Nếu > 0 Û m > -1: (2) có 2 nghiệm x3=-1-, x4=-1+
+ Kết luận: Dùng 2 trục tham số, có:
- Nếu m < -1: PT có 2 nghiệm x1=, x2=
- Nếu m=-1: PT có nghiệm x3=x4=x1=-1, x2=3
- Nếu -1 < m < 1/3: PT có 4 nghiệm x1=, x2=, 
 x3=-1-,, x4=-1+
- Nếu m=1/3: PT có nghiệm x3=-2, x1=x4= 0, x2=2
- Nếu m > 1/3: PT có 2 nghiệm x3=-1-, x4=-1+
* Nhận xét và gợi ý hướng mới:
- Qua cách làm trên ta thấy, phải rất vững kiến thức về biện luận phương trình bậc nhất và bậc hai mới có thể giải quyết trọn vẹn như trên. Mặc dù cách làm tương đối cồng kềnh, phức tạp nhưng lại có tác dụng khi không rút được tham số m, đặc biệt nếu là bất phương trình thì lại càng phức tạp vì ta còn phải so sánh sự lớn nhỏ giữa các nghiệm.
- Vậy, đối với các dạng trên, cụ thể là 3 bài trên chúng ta có cách giải quyết nào tốt hơn không ?
- Để học sinh suy nghĩ và đề xuất phương pháp.
- Gợi ý của giáo viên: Trong 3 bài trên đều có thể rút được tham số m về 1 vế, vế còn lại là 1 hàm số bậc nhất hoặc bậc hai với điều kiện nào đó.
- Sự tương giao giữa đồ thị 2 vế là số nghiệm phương trình đã cho.
- Vậy ta có thể dùng phương pháp đồ thị để giải quyết loại toán này dễ dàng hơn.
HĐ 3: Để học sinh làm theo 3 nhóm các bài trên bằng đồ thị.
	 Đại diện lên trình bày
	HĐ 3.1: Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất, bậc hai với tập xác định tương ứng.
	HĐ 3.2: Tìm hiểu ý nghĩa hình học của nghiệm trên hệ trục toạ độ
Sau đây là đáp án:
Bài 1:
(1)
y
x
y
x
2
-1
-6
2
(1)
(2)
y =m
x1
y =m
(2)
PT |x|(x-2)-m=0 Û m =
+ Xét (1) Û x2-2x-m=0, 
1
nếu có nghiệm, gọi x1=1-, 
 x2=1+
+ Xét (2) Û x2-2x+m=0, 
2
1
0
nếu có nghiệm, gọi x3=1-, 
x4
x2
x1
 x4=1+
 VT y=m là đường thẳng song 
x3
 song hoặc trùng ox
-1
 VP là 2 (P) y=x2-2x và –x2+2x, 
 với tập xác định tương ứng
Số giao điểm đồ thị 2 vế là số 
 nghiệm của PT đã cho
Đồ thị có dạng hình vẽ
+ Từ đồ thị ta có kết luận:
- Nếu m < -1: PT có nghiệm x3=1-, 
- Nếu m=-1: PT có nghiệm x1=x2=1, x3=1-, x4=1+
- Nếu -1 < m < 0: PT có nghiệm x2=,1+ x3=1-, 
- Nếu m=0: PT có nghiệm x1=x3=0, x2=x4=2
- Nếu m > 0: PT có nghiệm x2=1+
Bài 2:
 	PT |x2+x+m|=-x2+x+2 
0
Û 
x2
x3
-2
Û
+ Xét PT (1): 2x2+m-2=0, 
 nếu có nghiệm, gọi x1=-, 
 x2=
+ Xét PT (2): 2x+m+2=0, 
 nếu có nghiệm, gọi x3=-
 VT y=m là đường thẳng song song hoặc trùng ox
 VP là (P) y=-x2+2 và đường thẳng (D) y= –2x-2, 
 với tập xác định : -1 < x < 2
Đồ thị có dạng hình vẽ
+ Từ đồ thị ta có kết luận:
- Nếu m 0 : PT vô nghiệm
- Nếu m=-6: PT có nghiệm x2=x3=2
- Nếu -6 < m < 0: PT có nghiệm x2=, x3=-
- Nếu m=0: PT có nghiệm x1=x3=-1, x2=1
(1)
y
x
2
1
1
-1
-3
y =m
(2)
x3
- Nếu 0 < m < 2: PT có nghiệm x1=-, x2=
- Nếu m=2: PT có nghiệm x1=x2=0.
Bài 3:
-2
 	PT |x2+m|=|2x-2m| 
0
Û x2+m= ±(2x-2m) Û 3m= 
x1
x2
* Xét PT (1): x2-2x+3m=0, 
 nếu có nghiệm, gọi x1=1-, 
x4
 x2=1+
* Xét PT (2): x2-2x-m=0, 
nếu có nghiệm, gọi x3=1-, 	
 x4=1+
+ VT y=3m là đường thẳng song song 
hoặc trùng Ox
+ VP là 2 (P) y=-x2+2x và y=3x2+6x , 
với tập xác định tương ứng
Đồ thị có dạng hình vẽ
+ Từ đồ thị ta có kết luận:
- Nếu m < -1: PT có 2 nghiệm x1=1-, x2=1+
- Nếu m=-1: PT có nghiệm x3=x4=x1=-1, x2=3
- Nếu -1 < m < 1/3: PT có 4 nghiệm x1=1-, x2=1+, 
 x3=1-,, x4=1+
- Nếu m=-1/3: PT có nghiệm x3=-2, x1=x4=0, x2=2
- Nếu m > 1/3: PT có 2 nghiệm x3=1-, x4=1+
* Nhận xét: 
Qua cách làm bằng đồ thị như trên, ta thấy: Bài toán đơn giản và gọn hơn rất nhiều, không phải kiểm tra điều kiện nghiệm, là công đoạn rất cồng kềnh.
Qua đó, chúng ta có thể xử lý tất cả các bài dạng trên được theo cách này.
* Tổng quát kiến thức: 
Trong giới hạn của chương trình lớp 10 và để sử dụng được đồ thị bậc nhất, bậc hai ta chỉ đề cập dạng như trên
Để học sinh tự tổng quát lên 3 dạng toán phương trình chứa dấu tuyệt đối tương ứng ( rút được tham số m )
Ký hiệu: f(x,m) là biểu thức bậc nhất hoặc bậc hai chứa tham số m, thì ta có 3 bài toán tổng quát và cách giải bằng đồ thị tương ứng sau:
Dạng 1: |f(x)|=g(x,m) Û g(x,m)= Û h(m)=
Dạng 2: |f(x,m)|=g(x) Û Û 
Dạng 3: |f(x,m)|=|g(x,m)| Û f(x,m)= ±g(x,m) Û h(m)=, xÎR
HĐ 4: 
Nếu các phương trình trên đổi thành các bất phương trình, điều kiện bài thay đổi như thế nào ?
	Các nhóm thảo luận để đưa ra được các công thức chung như sau:
1) |f| > g Û 	2) |f| < g Û 
3) |f| < |g| Û f2-g2 < 0 Û (f-g)(f+g) < 0 Û 
4) |f| > |g| Û f2-g2 > 0 Û (f-g)(f+g) > 0 Û 
Sử dụng các kết quả trên vào phần bất phương trình sau:
B- BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG BẬC HAI CHỨA DẤU TUYỆT ĐỐI
Khi học sinh làm xong dạng trên, có thể áp dụng cho bất phương trình dạng đó. Nhưng việc đọc nghiệm sẽ phức tạp hơn, đó cũng là một cách để học sinh củng cố, đào sâu hơn về đồ thị bậc nhất, bậc hai, ý nghĩa hình học của nó trên hệ toạ độ.
 PP: Vẫn dùng phương pháp trên, chia nhóm học sinh làm 3 bài tập sau, đại diện nhóm chữa, các hoạt động tương tự trên.
* Bài toán 2: Giải biện luận các bất phương trình sau:
	1) x|x-2| > m ; 2) |x-m| < 2x-x2 ; 
3) |x2-m| > 2x ; 4) |x2-2x| < |x+m| ;
y
x
y =m
(2)
(1)
Bài 1: 
Giải biện luận bất phương trình: x|x-2| > m
1
Bất PT Û m < 
VT y=m là đường thẳng song song hoặc trùng ox
x2
x4
x3
x1
VP là 2 (P) y=x2-2x 
 và y=-x2+2x, với tập xác định tương ứng
0
2
1
+ Xét bất PT (1): 
 Gọi nghiệm của f(x,m)= x2-2x-m 
 nếu có là x1=1-, x2=1+
-1
+ Xét bất PT (2):
 Gọi nghiệm nếu có của g(x,m)=x2-2x+m
 nếu có là x3=1-, x4=1+
+ Ta cần tìm m để đường thẳng y=m
không nằm trên đồ thị VP.
+ Từ đồ thị, ta có kết luận sau:
- Nếu m x3=1-,
- Nếu m=0: x > 0
- Nếu 0 1+= x2
- Nếu m=1: x=1 hoặc x > 1+
- Nếu m > 1: x > 1+= x2
Bài 2: 
Giải biện luận bất PT: |x-m| < 2x-x2 
Bất PT Û Û 
y
x
3
3/2
2
(1)
(2)
2
y
x
(2)
(1)
+ Như vậy ta cần đường thẳng y=m 
nằm giữa 2 (P) y=x2-x (1) và y=-x2+3x (2)
9/4
với 0 < x < 2
+ Nếu f(x,m)=x2-x-m có nghiệm, 
x4
 gọi x1=1-, x2=1+
+ Nếu g(x,m)=x2-3x+m có nghiệm, 
y =m
x2
x1
x3
 gọi x3=3-, x4=3+
1/2
+ Từ đồ thị ta có kết luận sau:
1
- Nếu m 9/4: 
0
 Bất PT vô nghiệm
- Nếu -1/4< m < 2 nghiệm là : 
-1/4
 x3=3- < x < 1+=x2
- Nếu m=2 nghiệm là 1< x < 2
- Nếu 2 < m < 9/4 nghiệm là: 
 x3 =3- < x < 3+= x4
Bài 3: 
Giải biện luận bất PT: |x2-m| > 2x
+ Dễ thấy "m thì x < 0 là nghiệm
+ Nếu x > 0: Bất PT Û 
+ Vậy ta tìm m sao cho đường 
thẳng y=m không nằm trên 
x2
x4
x1
x3
(P) y=x2-2x hoặc không nằm 
y =m
dưới (P) y=x2+2x, với x > 0.
+ Gọi nghiệm của f(x,m)=x2-2x-m 
-2
-1
0
1
2
nếu có là: x1=1-, x2=1+
+ Gọi nghiệm của g(x,m)=x2+2x-m 
nếu có là: x3=-1-, x4=-1+
-1
+ Từ đồ thị ta có kết quả sau: 
- Với "m: BPT có nghiệm là x < 0
Ngoài ra: 
- Nếu m 0
- Nếu -11+= x2
- Nếu m=0: Nghiệm là x = 0 hoặc x > 2
- Nếu m > 0: Nghiệm là x > 1+=x2 hoặc 0 < x <-1+= x4
Bài 4: 
Giải biện luận bất PT: |x2-2x| < |x+m| 
Bất PT Û (x2-2x)2 < (x+m)2 
Û (x2-3x-m)(x2-x+m) < 0 Û Û 
(1)
y
+ Nếu f(x,m)=x2-3x-m (1) có nghiệm, 
3
2
3/2
1/4
đặt x1=3-, x2=3+
1
0
x
1/2
+ Nếu g(x,m)=x2-x+m (2) có nghiệm, 
y =m
đặt x3=1-, x4=1+
x3
x1
x4
x2
+ Ta cần tìm m để đường thẳng y=m 
hoặc đồng thời không nằm dưới 2 
 (P) y=x2-3x, y=-x2+x 
-2
hoặc đồng thời không nằm trên 2 (P) đó.	
-9/4
(2)
+ Từ đồ thị ta có kết luận sau:
- Nếu m 1+=x4
- Nếu -9/4<m < -2: x3=1- < x < 3-=x1 
 hoặc x2=3+ < x < 1+=x4
- Nếu -2< m < 0: x4=1+ < x < 3+= x2 
 hoặc x3=1- < x < 3-= x1
- Nếu 0<m < ¼: x1=3- < x < x3 
 hoặc x4=1+ < x < 3+=x2
- Nếu m> ¼: x1=3- < x < 3+=x2
* Giáo viên có thể tự ra các đề toán dạng trên 1 cách dẽ dàng. Có thể lấy các bài mà đồ thị có thể phức tạp hơn song tôi nghĩa không cần thiết, quan trọng hơn là phương pháp xử lý dạng toán này.
IV- KẾT LUẬN
Qua giải pháp trên, tôi muốn đề cập đến việc ứng dụng đồ thị bậc nhất và đồ thị bậc hai trong lớp 10 vào một loại phương trình, bất phương trình tương đối khó.
Qua thực tế giảng dạy, học sinh đã làm rất tốt dạng này. Hơn nữa khi đến lớp 12, các em có thể vẽ đồ thị của hàm số phức tạp hơn, thì phương pháp trên vẫn áp dụng được, và học sinh đã tự làm được điều đó.
Mặc dù vậy, không phải bài nào cũng làm được như trên, do đó ngoài việc ứng dụng phương pháp đồ thị, học sinh vẫn phải nắm vững phương pháp làm trực tiếp.
Đây chỉ là một phần rất nhỏ trong việc xây dựng dạng toán cho học sinh thực hành. Rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của bạn bè, đồng nghiệp để giải pháp trên đạt hiệu quả cao hơn nữa hơn .
Tôi xin chân thành cảm ơn.