Đề số 01 Thi tuyển sinh đại học, cao đẳng 2010 môn toán

Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 Page 1 
ĐỀ THAM KHẢO THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG 2010 
 SỐ 01 Môn TOÁN 
 Thời gian làm bài: 180 phút 
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 
Câu I ( 2.0 điểm ) 
 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 
2 1
1
x
y
x



2. Gọi I là giao điểm hai đường tiệm cận của (C). Tìm tọa độ điểm A thuộc (C) sao cho IA vuông góc 
với tiếp tuyến của (C) tại A. 
+  0 0 0
0
1
; ( ) 2
1
A x y C y
x
   

+ Từ câu 1) ta có:    0 0 0
0
1
1;2 1; 2 1;
1
I IA x y x
x
 
      
 

hệ số góc của đường thẳng IA là 
 
1 2
0
1
1
k
x


+ hệ số góc của tiếp tuyến tại A:  
 
2 0 2
0
1
1
k y x
x

 

+ IA vuông góc với tiếp tuyến của (C) tại A 
0
1 2
0
0
. 1
2
x
k k
x

    

Câu II ( 2.0 điểm ) 
1. Giải phương trình  3sin2 cos2 2 3 sin 3 cosx x x x    
+ Dùng cách biến đổi  sin cos sina x b x A x    , ta có: 
3 1 1 3
2 2 sin 2 . cos 2 . 3.2 sin . cos .
2 2 2 2
x x x x
   
         
   
1 sin 2 3sin
6 3
x x
    
       
   
 (2) 
+ Đặt 
3
u x

  , ta được: 
   
sin 0
sin 2sin 3 0 sin 03
3sin 1
2
u
u u u u k x k k
u

 

           
  

 
 Cách 2. 
+ Dùng cách biến đổi  sin cos cosa x b x A x    , ta có: 
3 1 1 3
2 2 sin 2 . cos 2 . 3.2 sin . cos .
2 2 2 2
x x x x
   
         
   
1 cos 2 3cos
3 6
x x
    
       
   
 2
cos 0
6 2
2cos 3cos 0 cos 0
6 6 6 33
cos 1
6 2
x
x x x x k k
x

   


  
  
                       
      
    
 

Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 Page 2 
2. Giải bất phương trình  3 9
3
4
2 log log 3 1
1 log
xx
x
  

 (1) 
+ Điều kiện: 
1
0; 3;
9
x x x   
+ Biến đổi (1) thành 3
3 3
2 log 4
1
2 log 1 log
x
x x

 
 
 (2) 
+ Đặt  3log 0; 2t x t t    , ta được: 
(2)   
  
1
90; 2 2
1
1 1 31 4
0 3
2 1 4
81
x
t t t
t xt t
t t t
x


      
                 

Câu III ( 1.0 điểm ). Tính tích phân 
 2
0
1 cos 2 sin
1 cos
x x
I dx
x




 + Đặt cost x hoặc 1 cost x  
 + KQ 2ln 2 1I   
Câu IV ( 1.0 điểm ). 
 Cho hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’ bán kính R, chiều cao OO’ = 2R . 
Trên đường tròn (O) lấy điểm A, trên đường tròn (O’) lấy điểm B sao cho OA vuông góc với O’B. Chứng 
minh rằng tứ diện OABO’ có các mặt là những tam giác vuông. Tính thể tích của khối tứ diện OABO’ theo 
R. 
 + chứng minh     0' ' ' 90AOO OO B AOB AO B    
 + Tính được 3' '
1 2
.
3 6
AOO B OO BV S OA R  
Câu V ( 1.0 điểm ). 
 Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện 3ab a b   . Chứng minh rằng 
2 23 3 3
1 1 2
a b ab
a b
b a a b
    
  
 + Ta có: 
 
 
2
3
4
a b
ab a b a b

      (BĐT CoSi) 
  
2
2 , 0
6
a b
a b do a b
a b
 
       
 (1) 
 + 
3
3 1
ab
ab a b
a b a b
     
 
 (2) 
 +   3 1 1 4ab a b a b       (3) 
 Kết hợp (1), (2) và (3), ta được: 
2 2 3 3 3 1 1 33 3 1
2 1 1 4 4
a b ab a b
a b a b
b a a b a b
    
           
      
   2 2
3 3 3
1
4 4
a b a b
a b
     

 2 2
12
3 10a b a b
a b
     

 + Lưu ý rằng: 
 
2
2 2
2
a b
a b

  . Ta sẽ chứng minh: 
 
 
2
12
3 10
2
a b
a b
a b

    

 (4) 
 + Đặt 2x a b   . Ta cần chứng minh: 2
24
6 20 0x x
x
    , với 2x  (5) 
Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 Page 3 
 + Biến đổi (5) thành   3 26 20 24 0f x x x x     , với 2x  
 + Ta có:   23 12 20 0f x x x     , với 2x  . Từ đó suy ra    2 0f x f  
 + Đẳng thức xảy ra 2 1x a b     
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm). Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần (phần 1 hoặc phần 2). 
1. Theo chương trình Chuẩn: 
Câu VI.a ( 2.0 điểm ) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2 2 4 4 0x y x y     . Viết phương 
trình đường thẳng d đi qua gốc tọa độ O và cắt (C) tại hai phân biệt A, B sao cho 4AB  . 
+ (C) có tâm  1;2I và bán kính 3R  
+ phương trình đường thẳng d qua  0;0O có dạng:  2 20 0Ax By A B    
+ Ta có 4AB  và  
2 2
2
,( ) 5
A B
d I d
A B

 

. Suy ra 2B A . 
+ Chọn 
1
: 2 0
2
A
d x y
B

  

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm  1; 3;0A  ,  5; 1; 2B   và mặt phẳng (P) có 
phương trình 3 0x y z    . Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho 2 2MA MB nhỏ nhất. 
+ Gọi I là trung điểm của AB, ta có:  3; 2; 1I   
+ Biến đổi 
2 2
2 2 2 2 22MA MB MA MB MI IA IB     
 
+ 2 2MA MB nhỏ nhất  MI nhỏ nhất  M là hình chiếu vuông góc của I trên (P). 
+ Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc với (P) 
+ M là giao điểm của d và (P). Từ đó suy ra  4; 1;0M  
Câu VII.a ( 1.0 điểm ) 
 Một hộp đựng 5 tấm bìa được đánh số từ 1 đến 5. Chọn ngẫu nhiên 3 tấm bìa và ghép lại được một số 
có ba chữ số. Tìm xác suất để số được chọn lớn hơn 300. 
 +  : không gian mẫu 
3
5 60A    
 +  300 3;4;5x abc a    . Có 3 cách chọn a và 24A cách chọn b, c 
 Khi đó: số các số lớn hơn 300 là 2
43. 36A  . 
 + Xác suất để số được chọn lớn hơn 300 là 
36 3
60 5
p   
2. Theo chương trình Nâng cao: 
Câu VI.b ( 2.0 điểm ) 
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): 2 2 6 4 3 0x y x y     . Viết phương 
trình các tiếp tuyến kẻ từ điểm  1;5A đến (C). 
+ (C) có tâm  3;2I  , bán kính 4R  . Gọi d là tiếp tuyến kẻ từ điểm  1;5A đến (C). 
+ TH1. d: 1x  là một tiếp tuyến kẻ từ A của (C), vì  , ( ) 4d I d R  
+ TH2. d:  1 5y k x   , với k là hệ số góc của d. 
 d tiếp xúc với (C)  
7
,( )
24
d I d R k

    
 Khi đó d: 7 24 127 0x y   
Trần Chí Thanh ® LTĐH 2010 Page 4 
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm  0;0; 3A  ,  2;0; 1B  và mặt phẳng (P) có 
phương trình 3 8 7 1 0x y z    . Tìm tọa độ điểm C thuộc mặt phẳng (P) sao cho tam giác ABC là tam giác 
đều. 
+  0 0 0 0 0 0; ; ( ) 3 8 7 1 0C x y z P x y z      (1) 
+ ABC đều 
 
0 0
2 2
0 0 0
1 0
3 8
x z
AB BC AC
x y z
  
    
   
 (2) 
+ Giải hệ (1) và (2), ta được  1 2; 2; 3C   và 2
2 2 1
; ;
3 3 3
C
 
   
 
Câu VII.b ( 1.0 điểm ) 
 Một hộp đựng 5 tấm bìa được đánh số từ 1 đến 5. Chọn ngẫu nhiên 4 tấm bìa và ghép lại được một số 
có bốn chữ số. Tìm xác suất để số được chọn nhất thiết phải có hai chữ số 1 và 2. 
 +  : không gian mẫu 
4
5 120A    
 + B: biến cố chọn được số thỏa mãn đề bài và số cần tìm có dạng x abcd 
 + Có 2
4A cách chọn vị trí 1, 2 và có 
2
3A cách chọn hai vị trí còn lại. Ta có 
2 2
4 3. 72B A A  
 + Xác suất cần tìm 
72 3
( )
120 5
B
p B   

Hướng dẫn. 
Câu I ( 2.0 điểm ) 
2. +  0 0 0
0
1
; ( ) 2
1
A x y C y
x
   

Câu II ( 2.0 điểm ) 
Câu III ( 1.0 điểm ). 
Câu IV ( 1.0 điểm ). 
Câu V ( 1.0 điểm ). 
Câu VI.a ( 2.0 điểm ) 
Câu VII.a ( 1.0 điểm ) 
Câu VI.b ( 2.0 điểm ) 
Câu VII.b ( 1.0 điểm )