Luyện tập Toán - Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

NGuyªn hµm - tÝch ph©n 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 1 
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 
A. NGUYÊN HÀM 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. ðịnh nghĩa: Cho hàm số f(x) xác ñịnh trên K. Hàm số F(x) ñược gọi là một nguyên hàm của f(x) 
trên K nếu: '( ) ( ) F x f x x K= ∀ ∈ . 
GHI NHỚ: 1) Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì F(x) + C (C: hằng số) cũng là một nguyên 
hàm của f(x). 
 2) Họ các nguyên hàm của f(x) trên K kí hiệu là: ( ) ( )f x dx F x C= +∫ . 
2. Các tính chất của nguyên hàm: 
 • Tính chất 1: '( ) ( )f x dx f x C= +∫ 
 • Tính chất 2: . ( ) . ( )k f x dx k f x dx=∫ ∫ ( k: là hằng số) 
 • Tính chất 3: [ ]( ) ( ) ( ) ( )f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ 
3. Bảng tính nguyên hàm cơ bản: 
TT Nguyên hàm Nguyên hàm số hợp ( )u u x= 
1 0.dx C=∫ 0.du C=∫ 
2 dx x C= +∫ du u C= +∫ 
3 
1
1
x
x dx C
α
α
α
+
= +
+∫
 ( )1−≠α 
1
1
u
u du C
α
α
α
+
= +
+∫
 ( )1−≠α 
4 1 lndx x C
x
= +∫ 
1 lndu u C
u
= +∫ 
5 cos . sinx dx x C= +∫ cos . sinu du u C= +∫ 
6 sin . cosx dx x C= − +∫ sin . cosu du u C= − +∫ 
7 tan - ln cos xdx x C= +∫ tan - ln cos udu u C= +∫ 
8 cot ln sin xdx x C= +∫ cot ln sin udu u C= +∫ 
9 2 tancos
dx
x C
x
= +∫ 2 tancos
du
u C
u
= +∫ 
10 2 cotsin
dx
x C
x
= − +∫ 2 cotsin
du
u C
u
= − +∫ 
NGuyªn hµm - tÝch ph©n 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 2 
TT Nguyên hàm Nguyên hàm số hợp ( )u u x= 
11 ln tan
cos 2 4
dx x C
x
pi 
= + + 
 
∫ ln tancos 2 4
du u C
u
pi 
= + + 
 
∫ 
12 ln tan
sin 2
dx x C
x
= +∫ ln tansin 2
du u C
u
= +∫ 
13 x xe dx e C= +∫ 
x xe dx e C= +∫ 
14 
ln
x
x aa dx C
a
= +∫ ( 0 1a< ≠ ) ln
x
x a
a dx C
a
= +∫ ( 0 1a< ≠ ) 
15 2 2
1 ln
2
dx x a C
x a a x a
−
= +
− +∫
 2 2
1 ln
2
du u a C
u a a u a
−
= +
− +∫
16 2 22 2 ln
dx
x x a C
x a
= + ± +
±∫
2 2
2 2
lndu u u a C
u a
= + ± +
±∫
17 
2
2 2 2 2 2 2ln
2 2
x a
x a dx x a x x a C± = ± ± + ± +∫ 
2
2 2 2 2 2 2ln
2 2
u a
u a du u a u u a C± = ± ± + ± +∫ 
4. Bài tập tìm nguyên hàm bằng cách sử dụng ñịnh nghĩa và tính chất của nguyên hàm 
Bài 1: Tìm nguyên hàm của các hàm số. 
1. f(x) = x2 – 3x + 
x
1
 ðS. F(x) = Cxxx ++− ln
2
3
3
23
2. f(x) = 2
4 32
x
x +
 ðS. F(x) = C
x
x
+−
3
3
2 3
. f(x) = 2
1
x
x −
 ðS. F(x) = lnx + 
x
1
 + C 
4. f(x) = 2
22 )1(
x
x −
 ðS. F(x) = 
3 12
3
x
x C
x
− − + 
5. f(x) = 43 xxx ++ ðS. F(x) = Cxxx +++
5
4
4
3
3
2 4
5
3
4
2
3
6. f(x) = 
3
21
xx
− ðS. F(x) = Cxx +− 3 232 
7. f(x) = 
x
x 2)1( −
 ðS. F(x) = Cxxx ++− ln4 
8. f(x) = 
3
1
x
x −
 ðS. F(x) = Cxx +− 3
2
3
5
2
3
5
3
9. f(x) = 
2
sin2 2 x ðS. F(x) = x – sinx + C 
10. f(x) = tan2x ðS. F(x) = tanx – x + C 
11. f(x) = cos2x ðS. F(x) = Cxx ++ 2sin
4
1
2
1
12. f(x) = (tanx – cotx)2 ðS. F(x) = tanx - cotx – 4x + C 
13. f(x) = 
xx 22 cos.sin
1
 ðS. F(x) = tanx - cotx + C 
NGuyªn hµm - tÝch ph©n 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 3 
14. f(x) = 
xx
x
22 cos.sin
2cos
 ðS. F(x) = - cotx – tanx + C 
15. f(x) = sin3x ðS. F(x) = Cx +− 3cos
3
1
16. f(x) = 2sin3xcos2x ðS. F(x) = Cxx +−− cos5cos
5
1
17. f(x) = ex(ex – 1) ðS. F(x) = Cee xx +−2
2
1
18. f(x) = ex(2 + )
cos2 x
e x−
 ðS. F(x) = 2ex + tanx + C 
19. f(x) = 2ax + 3x ðS. F(x) = C
a
a xx
++
3ln
3
ln
2
20. f(x) = e3x+1 ðS. F(x) = Ce x ++13
3
1
Bài 2: Tìm hàm số f(x) biết rằng 
1. f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ðS. f(x) = x2 + x + 3 
2. f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ðS. f(x) = 1
3
2
3
+−
x
x 
3. f’(x) = 4 xx − và f(4) = 0 ðS. f(x) = 
3
40
23
8 2
−−
xxx
4. f’(x) = x - 212 +x và f(1) = 2 ðS. f(x) = 2
321
2
2
−++ x
x
x
5. f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ðS. f(x) = x4 – x3 + 2x + 3 
6. f’(x) = ax + 2)1(,4)1(,0)1(',2 =−== fffx
b
 ðS. f(x) = 
2
51
2
2
++
x
x
Bài 3: Chứng minh rằng hàm số: F(x) = ln 2x x k+ + (k là hằng số khác 0) là một nguyên hàm 
của hàm số f(x) = 
2
1
x k+
 trên các khoảng mà chúng cùng xác ñịnh. Áp dụng: tính 
3
2
0 16
dx
x +
∫ 
Bài 4: Tính ñạo hàm hàm số u(x) = x + 2 1x + . Suy ra nguyên hàm các hàm số sau : 
a) f(x) = ( )
2
2
2
1
1
x x
x
+ +
+
 b) h(x) = 
2
1
1x +
 c) g(x) = 
( )2 2
1
1 1x x x+ + +
II. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 
1.Phương pháp ñổi biến số. 
Tính I = ∫ dxxuxuf )(')].([ bằng cách ñặt t = u(x) 
 ðặt t = u(x) dxxudt )('=⇒ 
 I = ∫ ∫= dttfdxxuxuf )()(')].([ 
NGuyªn hµm - tÝch ph©n 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 4 
Chú ý: Một số dấu hiệu và cách ñặt thường gặp 
TT Dạng Cách biến ñổi 
1 ( )f ax b dx+∫ ðặt t ax b dt adx= + ⇒ = 
2 1( ).n nf x x dx+∫ ðặt 1 ( 1).n nt x dt n x dx+= ⇒ = + 
3 ( ) dxf x
x
∫ ðặt 2
dx
t x dt
x
= ⇒ = 
4 (sin ).cosf x xdx∫ ðặt sin cost x dt xdx= ⇒ = 
5 (cos ).sinf x xdx∫ ðặt cos sint x dt xdx= ⇒ = − 
6 2(tan ). cos
dxf x
x∫
 ðặt 2tan cos
dx
t x dt
x
= ⇒ = 
7 2(cot ). sin
dxf x
x∫
 ðặt 2cot sin
dx
t x dt
x
= ⇒ = − 
8 ( ).x xf e e dx∫ ðặt x xt e dt e dx= ⇒ = 
9 (ln ). dxf x
x∫
 ðặt ln dxt x dt
x
= ⇒ = 
10 
 ( )1.n nx ax b dxα+ +∫ 
( ),n α∈ ∈ℕ ℝ ðặt 
1nt ax b+= + 
Bài tập: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
 1. ∫ − dxx )15( 2. ∫
−
5)23( x
dx
 3. dxx∫ − 25 4. ∫
−12x
dx
 5. ∫ + xdxx
72 )12( 6. ∫ + dxxx 243 )5( 7. xdxx .12∫ + 8. ∫ + dxx
x
52
 9. ∫
+
dx
x
x
3
2
25
3
 10. ∫
+ dxex x 1
2
. 11. dx
x
x
∫
3ln
 12. ∫ + 2)1( xx
dx
 13. ∫ dx
x
e x
 14. ∫
− 3x
x
e
dxe
 15. cot xdx∫ 16. tan xdx∫ 
 17. ∫ x
dx
sin
 18. ∫ x
dx
cos
 19. ∫ x
tgxdx
2cos
 20. ∫ dxx
e tgx
2cos
 21. ∫ dxx
x
5cos
sin
 22. ∫ xdxx cossin
4
 23. ∫ xdxx
23 sincos 24. ∫
−
24 x
dx
 25. ∫ − dxxx .1
22
 26. ∫ + 21 x
dx
 27. ∫
−
2
2
1 x
dxx
 28. dxxx .123∫ + 
 29. ∫ − dxx .1
2
 30. dxxx .1∫ − 31. ∫ +1xe
dx
 32. ∫ ++ 12 xx
dx
NGuyªn hµm - tÝch ph©n 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 5 
2. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần. 
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có ñạo hàm liên tục trên I 
∫ ∫−= dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( 
Hay: ∫ ∫−= vduuvudv ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx) 
CHÚ Ý: Cách ñặt của một số dạng thường gặp 
TT Dạng Cách biến ñổi 
1 ( )( ).sinP x ax b dx+∫ ðặt u = P(x) , ( )sindv ax b dx= + 
2 ( )( ).cosP x ax b dx+∫ ðặt u = P(x) , ( )cosdv ax b dx= + 
3 ( ). ax bP x e dx+∫ ðặt u = P(x) , ax bdv e dx+= 
4 ( ).log ( )nmP x ax b dx+∫ ðặt log ( )mu ax b= + , ( )dv P x dx= 
5 .sin( )ax be mx n dx+ +∫ ðặt sin( )u mx n= + , ax bdv e dx+= 
6 .cos( )ax be mx n dx+ +∫ ðặt cos( )u mx n= + , ax bdv e dx+= 
Bài tập: Tìm nguyên hàm của các hàm số sau: 
 1. ∫ xdxx sin. 2. ∫ xdxx 2sin 3. ∫ + xdxx sin)5( 2 4. ∫ xdxx cos 
 5. ∫ ++ xdxxx cos)32( 2 6. ∫ xdxx 2cos 7. ∫ xdxx 2cos2 8. ∫ xdxln 
 9. ∫ xdxx ln 10. ∫ xdxx lg 11. ∫
x
xdxln
 12. ∫ + dxxx )1ln(2 
 13. ∫
+ dx
x
x
2
)1ln(
 14. ∫ + dxxx )1ln( 2 15. ∫ + dxx )1ln( 2 16. dxx∫ 2ln 
 17. ∫ dxex
x
. 18. ∫ xdx
x2 19. ∫ dxex
x23
 20. ∫ xdxe
x cos. 
 21. ∫ dxx
x
2cos
 22. 2. tanx xdx∫ 23. ∫ dxxsin 24. ∫ dxe
x
NGuyªn hµm - tÝch ph©n 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 6 
B. TÍCH PHÂN 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. ðịnh nghĩa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ ];a b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) 
 Thì: [ ]( ) ( ) ( ) ( )
b
b
a
a
f x dx F x F b F a= = −∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz) 
2. Các tính chất của tích phân: 
• Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác ñịnh tại a thì : 0)( =∫
a
a
dxxf 
• Tính chất 2: ( ) ( )
b a
a b
f x dx f x dx= −∫ ∫ 
• Tính chất 3: Nếu f(x) = c không ñổi trên [ ];a b thì: ( )
b
a
cdx c b a= −∫ 
• Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên [ ];a b và ( ) 0f x ≥ thì ( ) 0
b
a
f x dx ≥∫ 
• Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ];a b và [ ]( ) ( ) x a;bf x g x≥ ∀ ∈ thì 
 ( ) ( )
b b
a a
f x dx g x dx≥∫ ∫ 
• Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên [ ];a b và ( ) ( m,M laø hai haèng soá)m f x M≤ ≤ thì 
 ( ) ( ) ( )
b
a
m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫ 
• Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ];a b thì 
 [ ]( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx± = ±∫ ∫ ∫ 
• Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ];a b và k là một hằng số thì 
 . ( ) . ( )
b b
a a
k f x dx k f x dx=∫ ∫ 
• Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ];a b và c là một hằng số thì 
 ( ) ( ) ( )
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫ 
• Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên [ ];a b cho trước không phụ thuộc vào biến số , 
nghĩa là : ( ) ( ) ( ) ...
b b b
a a a
f x dx f t dt f u du= = =∫ ∫ ∫ 
3. Bài tập tính tích phân bằng bằng cách sử dụng ñịnh nghĩa và tính chất của tích phân 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
1. ∫
−
++
1
1
2 )12( dxxx 2. ∫ −−
2
0
3 )
3
22( dxxx 3. ∫
−
−
2
2
)3( dxxx 4. ∫
−
−
4
3
2 )4( dxx 
NGuyªn hµm - tÝch ph©n 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 7 
5. dx
xx∫ 




+
2
1
32
11
 6. ∫
−
2
1
3
2 2 dx
x
xx
 7. ∫
e
e
x
dx
1
1
 8. ∫
16
1
.dxx 
9. dx
x
xx
e
∫
−+
2
1
752
 10. dx
x
x∫ 






−
8
1
3 23
14 11. ∫
−
+3
2 1
2 dx
x
x
 12. dx
x
x
∫ 





−
+
−
1
0
3
1
22
13. ∫
−






+−
−
−
0
1
12
12
2 dxx
x
x
 14. dxx
x
x
∫ 





−−
+
−
2
0
1
2
13
 15. dx
x
xx
∫ +
++1
0
2
3
32
16. dxx
x
xx
∫
−






+−
−
++0
1
2
12
1
1
 17. dxx
x
xx
∫ 





+−
+
−+1
0
2
1
1
22
 18. ∫ ++
1
0
2 34xx
dx
 19. ∫
−
2
2
3cos.5cos
pi
pi
xdxx 
20. ∫
−
2
2
2sin.7sin
pi
pi
xdxx 21. ∫
4
0
cos
2
sin
pi
xdxx 22. ∫
4
0
2sin
pi
xdx 23. dxe x∫
−
+
0
1
32
 24. ∫
−
1
0
dxe x 
Bài 2: Tính các tích phân sau: 
 1. 
3
2
3
x 1dx
−
−∫ 2. 
4
2
1
x 3x 2dx
−
− +∫ 3. 
5
3
( x 2 x 2 )dx
−
+ − −∫ 4. 
2
2
2
1
2
1
x 2dx
x
+ −∫ 
 5. 
3
x
0
2 4dx−∫ 6. 
0
1 cos2xdx
pi
+∫ 7. 
2
0
1 sin xdx
pi
+∫ 8. dxxx∫ −
2
0
2
II. PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 
1. Phương pháp ñổi biến số 
a) ðổi biến số dạng 1: Tính I = 
b
'
a
f[u(x)].u (x)dx∫ bằng cách ñặt t = u(x) 
 Công thức ñổi biến số dạng 1: [ ] ∫=∫ )(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxuf 
 Cách thực hiện: 
Bước 1: ðặt dxxudtxut )()( '=⇒= 
Bước 2: ðổi cận : )(
)(
aut
but
ax
bx
=
=
⇒
=
=
Bước 3: Chuyển tích phân ñã cho sang tích phân theo biến t ta ñược 
 [ ] ∫=∫= )(
)(
)()('.)(
bu
au
b
a
dttfdxxuxufI (tiếp tục tính tích phân mới) 
CHÚ Ý: Cách ñổi biến giống nguyên hàm 
Bài 1: Tính các tích phân sau: 
1) 
1
3
0
x
dx
(2x 1)+∫
 2) 
1
0
x
dx
2x 1+∫
 3) 
1
0
x 1 xdx−∫ 4)
1
2
0
4x 11
dx
x 5x 6
+
+ +∫
5) 
1
2
0
2x 5
dx
x 4x 4
−
− +∫
 6) 
3 3
2
0
x
dx
x 2x 1+ +∫
 7)
6
6 6
0
(sin x cos x)dx
pi
+∫ 8) 
32
0
4sin x
dx
1 cosx
pi
+∫
NGuyªn hµm - tÝch ph©n 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 8 
9)
4
2
0
1 sin 2x
dx
cos x
pi
+
∫ 10) 
2
4
0
cos 2xdx
pi
∫ 11)
2
6
1 sin 2x cos2x
dx
sin x cosx
pi
pi
+ +
+∫
 12)
1
x
0
1
dx
e ... tạo nên do D quay quanh trục Ox 
Bài 8: Cho miền D giới hạn bởi các ñường y = 22
1
.
x
ex ; y = 0 ; x= 1 ; x = 2 
 Tính thể tích khối tròn xoay ñược tạo nên do D quay quanh trục Ox 
Bài 9: Cho miền D giới hạn bởi các ñường y = xlnx ; y = 0 ; x = 1 ; x = e 
 Tính thể tích khối tròn xoay ñược tạo nên do D quay quanh trục Ox 
Bài10: Cho miền D giới hạn bởi các ñường y = x )1ln( 3x+ ; y = 0 ; x = 1 
 Tính thể tích khối tròn xoay ñược tạo nên do D quay quanh trục Ox 
BÀI TRONG CÁC ðỀ THI 
TÍCH PHÂN TRONG CÁC ðỀ THI 
1/. ∫ +
1
0
2
3
1
dx
x
x
 - Dự bị 1 – 02. ðs: )2ln1(
2
1
− 2/. ∫
+
3ln
0
3)1(
dx
e
e
x
x
 - Dự bị 2 – 02. ðs: 12 − 
3/. ∫
−
++
0
1
32 )1( dxxex x
 - Dự bị 3 – 02. ðs: 
7
4
4
3
2 −e
4/. ∫
Π
−
2
0
56 3
..1 xdxCosSinxxCos
 - Dự bị 4 – 02. ðs: 
91
12
5/. ∫
+
32
5
2 4xx
dx
 - K A – 03.ðs: 
3
5ln
4
1
 6/. ∫
Π
+
−
4
0
2
2sin1
sin21 dx
x
x
 - K B – 03. ðs: 2ln
2
1
7/. ∫ −
2
0
2 dxxx
 - K D – 03. ðs: 1 8/. ∫
Π
+
4
0 2cos1
dx
x
x
 - Dự bị 1 – 03. ðs: 2ln
4
1
8
−
Π
9/. ∫ −
1
0
23 1. dxxx
 - Dự bị 2 – 03. ðs: 
15
2
 10/. ∫
−
5ln
2ln
2
1
dx
e
e
x
x
 - Dự bị 3 – 03. ðs: 
3
20
11/. Cho hàm số : xebx
x
a
xf .)1()( 3 ++= ; Tìm a. b biết ,22)0(' −=f và ∫ =
1
0
5)( dxxf , 
ðs: a=8, b=2 
12/. ∫
1
0
3 2 dxex x
- Dự bị 5 – 03.ðs: 
2
1
 13/. ∫
+e
xdx
x
x
1
2
ln1
 - Dự bị 6 – 03.ðs: )3(4
1 2 +e
14/. ∫
−+
2
1 11
dx
x
x
 - K A – 04. ðs: 2ln4
3
11
− 15/. ∫
+e dx
x
xx
1
ln.ln31
 - K B – 04.ðs: 
135
116
NGuyªn hµm - tÝch ph©n 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 14 
16/. ∫ −
3
2
2 )ln( dxxx
 - K D – 04. ðs: 23ln3 − 
17/. ∫ +
+−2
0
2
4
ln
4
1
xdx
x
xx
- Dự bị 1 – 04. ðs: 
8
172ln
2
1
3
16 Π
+−
−
18/. ∫
Π
2
0
cos 2sin. xdxe x
- Dự bị 2 – 04. ðs: 2 19/. ∫ +
3
1
3
1 dx
xx
 - Dự bị 4 – 04. ðs: 
2
3ln
2
1
20/. 
ln8
2
ln 3
. 1x xe e dx+∫ - Dự bị 5 – 04. ðs: 
15
1076
 21/. ∫ −
1
0
1. dxxx
 - Dự bị 6 – 04. ðs: 
15
4
22/. ∫
Π
+
+2
0 cos31
sin2sin dx
x
xx
 - K A – 05. ðs: 
27
34
 23/. ∫
Π
+
2
0 cos1
cos.2sin dx
x
xx
 - K B – 05. ðs: 
12ln2 − 
24/. ∫
Π
+
2
0
sin cos)cos( xdxxe x
 - K D – 05. ðs: 
4
1 Π+−e 
25/. ∫ +
3
1
2
1ln
lne dx
xx
x
 - Dự bị 1– 05.ðs: 
15
76
 27/. ∫
Π 2
0
sin. dxxx
 - Dự bị 3– 05.ðs: 
82 2 −Π 
26/. ∫
Π
−
2
0
2cos)12( xdxx
 - Dự bị 2– 05. ðs: 
2
1
48
2
−
Π
−
Π
28/. ∫
Π
+
4
0
sin )cos.( dxxeTanx x
 - Dự bị 4– 05.ðs: 12ln
2
1 2
2
−+ e 
29/. ∫ +
+7
0
3 1
2 dx
x
x
 - Dự bị 5– 05. ðs: 
10
231
30/. ∫
Π
3
0
2 tan.sin xdxx
 - Dự bị 6– 05.ðs: 2ln
8
3
+
−
 31/. ∫
Π
+
2
0
22 sin4cos
2sin dx
xx
x
- KA 06. ðs: 
3
2
32/. ∫
Π
−
−+
2
0 32
1 dx
ee xx
 - K B – 06. ðs: 
2
3ln 33/. ∫ −
1
0
2)2( dxex x - K D– 06. ðs: 
4
35 2e−
34/. ∫ +++
6
2 1412
1 dx
xx
 - D.bị 1– 06. ðs: 
12
1
2
3ln − 35. ∫
−−
10
5 12
1 dx
xx
-D.bị 2-06.ðs: 12ln2 + 
36/. ∫ +
−
e
dx
xx
x
1 ln21
ln23
 - D.bị 4– 06. ðs: 
3
11210 −
 37/. ∫
Π
+
2
0
2sin)1( xdxx - D.bị 5– 06. ðs: 
4
1 Π+ 
38/. ∫ −
2
1
ln)2( xdxx - Dự bị 6– 06. ðs: 
4
52ln2 +− 39/. ∫
e
xdxx
1
23 ln - K D– 07. ðs: 
16
13 4 +e
NGuyªn hµm - tÝch ph©n 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 15 
40/. 
4
0
2x 1I dx
1 2x 1
+
=
+ +∫
-D.bị A1-07-ðs: 2+ln2 41/. ( )∫
−
−
=
1
0
2
dx
4x
1xx
I - D.bị D1-07-ðs: 1+ln2- 3ln
2
3
42/. ∫
pi
=
2
0
2 xdxcosxI - D.bị D2-07-ðs : 2
4
2
−
pi
 43/. ∫
Π
6
0
4
2cos
tan dx
x
x
 - K A– 08. ðs: 
27
310)32ln(
2
1
−+ 
44/. ∫
2
1
3
ln dx
x
x
 - K D– 08. ðs: 
16
32ln
8
1
+
−
45/. ∫
Π
+++
Π
−4
0 )cossin1(22sin
)
4
sin(
dx
xxx
x
 - K B – 08. ðs: 
4
234 −
46/. ∫
Π
−
2
0
23 cos)1(cos xdxx - KA-09-ðs : 
45
8 pi
− 47/. ( )∫ +
+3
1
21
ln3 dx
x
x
- KB 2009- ðs: )
16
27ln3(
4
1
+ 
48/. ∫
−
3
1 1
1 dx
ex
 - KD – 09 – ðs: ln(e2+e+1) – 2 
TÍNH DIỆN TÍCH và THỂ TÍCH 
1. (§H C.§oµn 99- 00) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: 
2
2;
8
xy x y= = vµ 8y
x
= . 
2. (HV Ng©n Hµng TP. HCM 1999 - 2000) 
a. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn kÝn giíi h¹n bëi ®−êng cong (C): 21y x x= + , trôc Ox; ®−êng th¼ng x =1 
b. Cho (H) lµ miÒn kÝn giíi h¹n bëi ®−êng cong (L): 
3ln(1 )y x x= + , trôc Ox vµ ®−êng th¼ng x = 1. 
 TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay t¹o ra khi cho (H) quay quanh trôc Ox. 
3. (§H HuÕ A, B, V CPB 99- 00) 
TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c cong giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: ( )51 ; ; 1xy x y e x= + = = 
4. (§H HuÕ A, B, V CB 99- 00) 
TÝnh diÖn tÝch tam gi¸c cong giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: 
ln1; ; 0; 
2
x
x x e y y
x
= = = = 
5. (§H N«ng NghiÖp I A99- 00) 
a. (CPB) Cho D lµ miÒn ph¼ng bÞ giíi h¹n bëi c¸c ®−êng cong: 2
1
1
y
x
=
+
 vµ 
2
2
xy = 
 - TÝnh diÖn tÝch miÒn D. 
 - TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®−îc t¹o thµnh khi cho D quay quanh trôc Ox. 
b. (CB) Cho miÒn ph¼ng D bÞ giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: 
3tan ; 0; ; .
4 4
y x y x xpi pi= = = − = 
 - TÝnh diÖn tÝch miÒn D. 
NGuyªn hµm - tÝch ph©n 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 16 
 - TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®−îc t¹o thµnh khi cho D quay quanh trôc Ox. 
6. (§H N«ng NghiÖp I B99- 00) 
 (PhÇn chung) TÝnh diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: ( ); 0; 0; 2.y f x y x x= = = = 
 (PhÇn dµnh cho ch−¬ng tr×nh CPB) Cho h×nh D giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: 
 sin cos ; 0; 0; 
2 2
x
y x y x x
pi
= = = = 
H·y tÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ trßn xoay ®−îc t¹o nªn khi cho D quay quanh trôc Ox. 
7. (§H QG Hµ Néi B99- 00) 
 TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay ®−îc t¹o thµnh do quay quanh trôc Ox h×nh ph¼ng h÷u h¹n bëi c¸c 
parabol: 2 24 6; 2 6y x x y x x= − + = − − + 
8. (§HSP Hµ Néi II 99- 00) 
a. (CPB khèi A, B) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é trùc chuÈn Oxy, cho h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi c¸c 
®−êng: ; ; 5y x y x x= = = . 
b. (Cð khèi A) T×m hä nguyªn hµm cña hµm sè sau: 
3
sin( )
3sin 4 sin 6 3sin 2
xf x
x x x
=
− −
9. (§H Th−¬ng M¹i 99- 00) 
 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: x = -1; x = 2; y = 0 vµ y = x2 - 2x. 
10. (§H Thuû Lîi 99- 00) 
 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: 
2 3 3
2 2
y x x= + − vµ 
24. (§H C«ng §oµn 00- 01) 
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng cã ph−¬ng tr×nh: ; 2 0; 0x y x y y= + − = = 
25. (§H KiÕn Tróc Hµ Néi 00- 01) 
 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng cong (C), trôc hoµnh Ox vµ c¸c ®−êng th¼ng 
1, 1x x= − = . 
26. (§H Thuû S¶n 00- 01) 
a. (CPB) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: 2 22 2; 4 5; 1y x x y x x y= − + = + + = 
b. (CB) Cho h×nh ph¼ng (G) giíi h¹n bëi c¸c ®−êng 2 24 ; 2y x y x= − = + . Quay h×nh ph¼ng (G) 
quanh trôc Ox ta ®−îc mét vËt thÓ. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ nµy. 
27. (C§ A, B00- 01) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng 21 ; 0y x y= − = . 
28. (C§SP Nhµ TrÎ- MÉu gi¸o Trung ¦¬ng I - CPB 00- 01) 
 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng sau: 
22y x= vµ 2x y= 
NGuyªn hµm - tÝch ph©n 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 17 
29. (§HDL Hïng V−¬ng D00- 01) Trong mÆt ph¼ng xOy, h·y tÝnh diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng giíi h¹n 
bëi c¸c ®−êng: trôc Ox, x= -2, x= 2, y = x(x + 1)(x - 2). 
30. (C§ KiÓm S¸t 00- 01) (CB) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng ®−îc giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: 
( )21 ; siny x x ypi= + = vµ y = 0, víi ( )0 1y≤ ≤ . 
31. (§H BKHN-A2000) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng ®−îc giíi h¹n bëi c¸c ®−êng cong cã ph−¬ng tr×nh 
2 3sin .cosy x x= , trôc Ox vµ hai ®−êng th¼ng x=0 vµ 
2
x
pi
= 
32. Cho hµm sè 2
4
1
xy
x
=
+
 (C). TÝnh diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng cong (C), trôc Ox vµ 
c¸c ®−êng th¼ng x=1, x=-1 
33. (§H QG TP. HCM A00- 01) Cho D lµ miÒn kÝn giíi h¹n bëi c¸c ®−êng , 2 , 0.y x y x y= = − = 
a. TÝnh diÖn tÝch cña miÒn D. 
b. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®−îc t¹o thµnh khi ta quay (D) quanh trôc Oy. 
34. (§H Hµng H¶i 00- 01) Cho h×nh ph¼ng (D) giíi h¹n bëi c¸c ®−êng ( )22y x= − vµ y = 4. TÝnh thÓ 
tÝch cña vËt thÓ trßn xoay sinh ra bëi h×nh ph¼ng (D) khi nã quay quanh: 
 a. Trôc Ox. b. Trôc Oy. 
35. (§H Thuû S¶n 00- 01) 
a. (CPB) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: 
2 22 2; 4 5; 1y x x y x x y= − + = + + = 
b. (CB) Cho h×nh ph¼ng (G) giíi h¹n bëi c¸c ®−êng 2 24 ; 2y x y x= − = + 
 Quay h×nh ph¼ng (G) quanh trôc Ox ta ®−îc mét vËt thÓ. TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ nµy. 
36. (§HDL H¶i Phßng A00- 01) 
a. (CPB) TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay do quay quanh trôc Oy phÇn m¹t ph¼ng h÷u h¹n ®−îc giíi h¹n 
bëi hai trôc to¹ ®é, ®−êng th¼ng x=1 vµ ®−êng cong 2
1
1
y
x
=
+
. 
b. (CB) TÝnh thÓ tÝch khèi trßn xoay do quay quanh trôc Ox phÇn m¹t ph¼ng h÷u h¹n ®−îc giíi h¹n bëi 
hai trôc to¹ ®é, ®−êng th¼ng x=1 vµ ®−êng cong y= 1 + x3 . 
37. (§H BK Hµ Néi A2001- 2002) 
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng cã ph−¬ng tr×nh: 
24y x= − − vµ 2 3 0x y+ = 
38. (HV CN BC VT 2001- 2002) 
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng h÷u h¹n giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: , 0, 1, 2xy xe y x x= = = − = 
39. (§H KTQD 2001- 2002) 
 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®−êng Parabol 24y x x= − vµ c¸c ®−êng tiÕp tuyÕn víi 
Parabol nµy, biÕt r»ng c¸c tiÕp tuyÕn ®ã ®i qua ®iÓm ( )5 ;62M . 
NGuyªn hµm - tÝch ph©n 

 Gi¸o viªn: Phan TiÕn DiÖn – : 0985.555.613 Page: 18 
40. (§H TCKT Hµ Néi 01- 02) 
TÝnh diÖn tÝch cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng 2 siny x= + vµ 21 cosy x= + víi 
[ ]0 ; x pi∈ . 
41. (§H C«ng §oµn 2001- 2002) 
 Cho a > 0, tÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng cã ph−¬ng tr×nh: 
2 2
4
2 3
1
x ax ay
a
+ +
=
+
 vµ 
2
41
a axy
a
−
=
+
 T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó diÖn tÝch trªn ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt. 
42. (§H Y Hµ Néi 2001- 2002) 
 TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: 
2
2
,
8
xy x y= = vµ 27y
x
= . 
43. (§H Y Th¸i B×nh 2002- 2002) 
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: 25 , 0, 0xy y x−= = = vµ 3y x= − . 
44. (§H Y D−îc TP. HCM 01- 02) 
Gäi (D) lµ miÒn ®−îc giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: 23 10; 1; ( 0)y x y y x x= − + = = > 
Vµ (D) n»m ngoµi parabol 2y x= . TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ trßn xoay ®−îc t¹o nªn khi (D) quay xung 
quanh trôc Ox. 
45. (§H An Giang A, B 01- 02) 
TÝnh thÓ tÝch cña vËt thÓ sinh ra bëi phÐp quay quanh trôc Ox cña h×nh giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: 
2; ; 0; 2.x xy e y e x x− += = = = 
46. (§H §µ L¹t A, B01- 02) TÝnh diÖn tÝch S(t) cña h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi ®å thÞ cña hµm sè 
2
1
( 1)( 2)y x x= + + trªn ®o¹n [0;t] (t > 0) vµ trôc hoµnh. TÝnh lim ( )t S t→∞ . 
47. (§HDL B×nh D−¬ng A01- 02) 
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi c¸c ®−êng: 2 2 ; 2y x x y x= + = + 
48. (§H C§-A2002) 
TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng ®−îc giíi h¹n bëi c¸c ®−êng 2| 4 3 |y x x= − + vµ 3y x= + 
49. (§H C§-A2007) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng ®−îc giíi h¹n bëi c¸c ®−êng ( 1)y e x= + , (1 )xy e x= + 
50. (§H C§-B2007) Cho h×nh H giíi h¹n bëi c¸c ®−êng ln , 0,y x x y x e= = = . TÝnh thÓ tÝch cña 
khèi trßn xoay khi quay h×nh H quanh trôc Ox 
51. (§H C§-B2008) TÝnh diÖn tÝch h×nh ph¼ng ®−îc giíi h¹n bëi c¸c ®−êng xxxy =+−= y ;42