Đề cương ôn tập môn Toán Lớp 12 - Cực trị số phức

CỰC TRỊ SỐ PHỨC
Kỹ năng: 
Phương pháp đại số.
Phương pháp hình học.
Phương pháp bđt modun.
Phương pháp casio.

Một số tính chất cần nhớ.
Môđun của số phức:
Số phức được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trên mặt phẳng Oxy. Độ dài của véctơ được gọi là môđun của số phức z. Kí hiệu 
Tính chất 
 · · 
	· 	 · 	· 
Chú ý: .
Lưu ý:
 dấu bằng xảy ra 
 dấu bằng xảy ra .
 dấu bằng xảy ra 
 dấu bằng xảy ra 
2.Một số quỹ tích nên nhớ
Biểu thức liên hệ 
Quỹ tích điểm M
 (1)
 (2)
(1)Đường thẳng 
(2) Đường trung trực đoạn AB với 
 hoặc
 
Đường tròn tâm , bán kính 
 hoặc 

Hình tròn tâm , bán kính 
hoặc
 
Hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn đồn tâm , bán kính lần lượt là 
 
Parabol
 hoặc 
 Elip
 Elip nếu 
 Đoạn AB nếu

Hypebol


Một số dạng đặc biệt cần lưu ý:
Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường thẳng.
TQ1: Cho số phức thỏa mãn , tìm . Khi đó ta có
Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường trung trực đoạn với 
TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm . Ta có
Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường trung trực đoạn với 
Lưu ý: Đề bài có thể suy biến bài toán thành 1 số dạng, khi đó ta cần thực hiện biến đổi để đưa về dạng cơ bản.
Ví dụ 1: 
Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khi đó ta biến đổi 
Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khi đó ta biến đổi 
Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn.
TQ: Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm . Ta có
Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm bán kính 
Lưu ý: Đề bài có thể cho ở dạng khác, ta cần thực hiện các phép biến đổi để đưa về dạng cơ bản.
Ví dụ 1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện (Chia hai vế cho )
Ví dụ 2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện (Lấy liên hợp 2 vế)
Ví dụ 3: Cho số phức thỏa mãn điều kiện 
Hay viết gọn (Chia cả hai vế cho )
Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip.
TQ1: (Elip chính tắc). Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khi đó ta có
Quỹ tích điểm biểu diễn số phức là Elip: 
TQ2: (Elip không chính tắc). Cho số phức thỏa mãn điều kiện 
Thỏa mãn . 
Khi đó ta thực hiện phép biến đổi để đưa Elip về dạng chính tắc (Kỹ thuật đổi hệ trục tọa độ).
Ta có 
Khi đề cho Elip dạng không chính tắc và ). Tìm Max, Min của .
Đặt 
Nếu 
 (dạng chính tắc)
Nếu 
 
Nếu 
 
Nếu 
 

PHẦN I : BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT.
Dạng 1: Sử dụng tính chất của modun – bđt đại số.
Phương pháp : Xem hướng dẫn trên lớp
Dạng 2: Sử dụng tính chất hình học.
Xem hướng dẫn trên lớp.
Dạng 3: Tả phí lù.
Phương pháp: Tin tưởng bạn ngồi bên cạnh
(TRẦN HƯNG ĐẠO – NB) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện Tìm số phức có môđun nhỏ nhất?
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Cách 1: Phương pháp tự luận
Giả sử 
Suy ra khi 
Vậy 
Cách 2: Phương pháp trắc nghiệm
Giả sử 
Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa điều kiện là đường thẳng .
Phương án A: có điểm biểu diễn nên loại A.
Phương án B: có điểm biểu diễn nên loại B.
Phương án D: có điểm biểu diễn nên loại B.
Phương án C: có điểm biểu diễn 
(Trong trường hợp có nhiều số phức thuộc đường thẳng thì ta tiếp tục so sánh modun, và nên thay luôn vào dữ kiện ban đầu chứ không nên biến đổi)
Cách 3: Tính nhanh.
Quỹ tích các điểm M biểu diễn số phức là đường thẳng có phương trình .
Vậy 
Cách 4: Công thức tính nhanh.
	BT1: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm ?
	BT2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện Tìm ?
(LẠNG GIANG SỐ 1) Cho số phức thỏa mãn . Gọi , lần lượt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất Khi đó bằng
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Cách 1 : Đại số
Gọi với .
Ta có .
Do đó .
Mà .
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có
.
Do đó .
Vậy .
Cách 2: Hình học (Đọc lại lý thuyết phần Elip)
Tập hợp các điểm biểu diễn số phức là elip 
Do vậy 
Cách 3: Tổng quát
Cho số phức thỏa mãn ta luôn có .
Tập hợp điểm biểu diễn là Elip 
(CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của là 
A..	B..	C..	D..
Hướng dẫn giải
Chọn D
Cách 1: Gọi ta có .
Theo giả thiết nên điểm biểu diễn cho số phức nằm trên đường tròn tâm bán kính .
Ta có .
Gọi và thì .
Do chạy trên đường tròn, cố định nên lớn nhất khi là giao của với đường tròn.
Phương trình , giao của và đường tròn ứng với thỏa mãn: nên .
Tính độ dài ta lấy kết quả .
Cách 2: Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của 
Ta có (Đường tròn tâm )
Vậy 
Lưu ý: Cho số phức thỏa mãn , khi đó ta có quỹ tích các điểm biểu diễn số phức là đường tròn ) và
Ngoài ra ta luôn có công thức biến đổi 
(BIÊN HÒA – HÀ NAM) Cho số phức thỏa mãn . Đặt . Mệnh đề nào sau đây đúng? 
A..	B..	C..	D..

Hướng dẫn giải
Chọn A.
Cách 1: Đặt Có (do )
Ta chứng minh . 
Thật vậy ta có 
Dấu “=” xảy ra khi .
Vậy .
Cách 2 : Trắc nghiệm
Chọn 
Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Cách 1: Ta có: Khi 
Chọn đáp án C.
Cách 2: 
Theo bài 
Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
A. 	B. 
C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Ta có: , khi 
Mặt khác: khi 
Chọn đáp án A.
Cho số phức thỏa . Tìm tích của giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức .
A.	B.	C..	D.
Hướng dẫn giải
Ta có Mặt khác: 
Vậy, giá trị nhỏ nhất của là, xảy ra khi giá trị lớn nhất của bằng xảy ra khi 
Chọn đáp án A.
Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức 
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi . Ta có: .
Đặt 
Chọn đáp án A.
	Cách 2: Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức 
Ta có (đáp án A)
Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi . Ta có: 
Ta có: .
Xét hàm số Hàm số liên tục trên và với ta có: 
Ta có: 
Chọn đáp án D.
Cách 2: (Casio)
Từ , đặt Thay vào P rồi dùng mode 7 ra đáp án D
Cách 3: Hình học (Xem video live của thầy)
Cho số phức thỏa mãn Gọi và lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Tính giá trị của .
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Gọi . Ta có: 
Đặt , ta có 
Ta có 
Suy ra .
Xét hàm số Bằng cách dùng đạo hàm, suy ra
Chọn đáp án A.
Cho số phức thỏa mãn điều kiện Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.	B.
C.	D.
Hướng dẫn giải
Áp dụng bất đẳng thức ta được 
Vậy, nhỏ nhất là khi và lớn nhất là khi 
Chọn đáp án B.
Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức 
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi . Ta có: 
Đặt .
Lúc đó: 
 đạt được khi 
Chọn đáp án A.
	Cách 2: Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức 
Ta có 
Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức 
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi . 
Ta có: Đặt .
Lúc đó: 
 đạt được khi 
Chọn đáp án B.
	Cách 2: Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun lớn nhất của số phức 
Ta có 
Gọi là số phức thỏa mãn hai điều kiện và đạt giá trị lớn nhất. Tính tích 
A.	B.	C.	D.
Hướng dẫn giải
Cách 1: Đặt Thay vào điều kiện thứ nhất, ta được 
Đặt Thay vào điều kiện thứ hai, ta có
Dấu bằng xảy ra khi 
Chọn đáp án D.
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức 
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi . 
Ta có: 
Ta có: 
 khi 
Chọn đáp án C.
Cách 2: 
Trong đó (quay về dạng bài toán 1)
Cho số phức thỏa mãn . Tìm môđun nhỏ nhất của số phức 
A. 	B. 	C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Cách 1: Gọi . Ta có: .
Đặt 
, khi 
Chọn đáp án C.
Cách 2: (Hình học + CT tính nhanh)
Ta có 
Biết số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện và biểu thức đạt giá trị lớn nhất. Tính môđun của số phức 
A. 	B. 
C. 	D. 
Hướng dẫn giải
Gọi . Ta có: : tâm và 
Mặt khác: 
Do số phức thỏa mãn đồng thời hai điều kiện nên và có điểm chung
Chọn đáp án D.
Cho số phức . Tìm môđun lớn nhất của 
A. 1.	B. 0.	C..	D.2.
Hướng dẫn giải
Ta có: 
Chọn đáp án A.
(NGUYỄN TRÃI – HD) Cho số phức thỏa mãn: . Số phức có môđun nhỏ nhất là:
A. 	B. 	C. 	D. .
Hướng dẫn giải
Chọn A. 
Cách 1: Gọi , . 
Ta có: 
Tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn của số phức là đường tròn tâm và bán kính .
, với là tâm đường tròn, là điểm chạy trên đường tròn. Khoảng cách này ngắn nhất khi là giao điểm của đường thẳng nối hai điểm với đường tròn (C).
Cách 2: Cho số phức thỏa mãn: . Số phức có môđun nhỏ nhất
Ta có 
Trong mặt phẳng phức , các số phức thỏa . Tìm số phức được biểu diễn bởi điểm sao cho ngắn nhất với .
A..	B.. 	C.. 	D.. 
Hướng dẫn giải
Gọi là điểm biểu diễn số phức 
Gọi là điểm biểu diễn số phức 
Gọi là điểm biểu diễn số phức 
Ta có : Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường trung trục .
Để ngắn nhất khi tại => Đáp án A.
( CHUYÊN SƠN LA – L2) Cho số phức thỏa mãn điều kiện : và có môđun lớn nhất. Số phức có môđun bằng:
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải:
	Chọn B.
	 Gọi 
	Ta có: 
Suy ra tập hợp điểm biểu diễn số phức thuộc đường tròn tâm bán kính 
Dễ thấy , 
	Theo đề ta có:
là điểm biểu diễn cho số
phức thỏa mãn:
	Suy ra đạt giá trị lớn nhất lớn nhất
	Mà nên lớn nhất khi là đường kính đường tròn 
	 là trung điểm 
	(CHU VĂN AN – HN) Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của .
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
.
Đặt . Ta có và .
Đặt . Khi đó .
Vậy .
Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của là 
A. .	B. .	C. .	D. .
 (THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU - NGHỆ AN)
Lời giải
Cách 1: Đặt , ta có 
Đặt (vì ). Khi đó 
 xét biểu thức 
Ta có 
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được 
Vậy Chọn A.
Cách 2: Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của 
Ta có 
(THPT CHUYÊN ĐH VINH - LẦN 2)Cho các số phức thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là
A. .	 	B. .	C. .	 D. . 
Lời giải
Cách 1: Đặt , khi đó và .
Nên ta có 
Khi đó .
Dễ thấy Chọn A. 
Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (dạng 1)
(ĐỀ THTT LẦN 5 – 2017) Cho số phức thỏa mãn Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của lần lượt là
A. và 	B. và 	C. và .	D. và .
Hướng dẫn giải.
Gọi , . Theo giả thiết, ta có 
Gọi , và .
Khi đó nên tập hợp các
điểm là đường elip .
Ta có ; và .
Do đó, phương trình chính tắc của là .
Vậy và . Chọn D.
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Biết rằng số phức , có môđun nhỏ nhất. Tính .
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải.
Cách 1: Gọi , . Ta có 
.
Do đó .
Dấu xảy ra . Vậy . Chọn B.
Cách 2: Chuyển về phương trình đường thẳng (bài tập 1)
Tìm giá trị lớn nhất của biết rằng thỏa mãn điều kiện .
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải.
Ta có .
Vì nên . Chọn B.
(THPT CHUYÊN KHTN – LẦN 1) Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm .
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải.
Ta có .
Vì nên . Chọn D.
Cho số phức thỏa mãn . Đặt Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. 	B. 	C. 	D. 
(THPT CHUYÊN HÀ NAM)
Lời giải
Từ giả thiết, ta có 
. Mà 
Đặt , khi đó 
Vậy môđun của Chọn A. 
Với hai số phức và thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của . 
A. 	B. 	C. 	D. 
(THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4)
Lời giải
µ Bổ đề. Cho hai số phức và , ta luôn có .
Chứng minh. Sử dụng công thức và . Khi đó 
µ Áp dụng , ta được 
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được Chọn B. 
Với hai số phức và thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của . 
A. 	B. 	C. 	D. 
(THPT CHUYÊN KHOA HỌC TỰ NHIÊN - LẦN 4)
Lời giải
µ Bổ đề. Cho hai số phức và , ta luôn có .
Chứng minh. Sử dụng công thức và . Khi đó 
µ Áp dụng , ta được 
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta được Chọn B. 
(THPT CHUYÊN LƯƠNG THẾ VINH - ĐỒNG NAI)Cho số phức thỏa mãn . 
Tính , với số phứ ... igiải
Chọn B.
Cách 1: Giả sử ta có 
Ta có 
Ta có 
Suy ra suy ra do đó ta được vậy . 
Cách 2: Gọi với .
Ta có: . Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức trên hệ tọa độ là đường tròn tâm và bán kính .
Lại có: , đây là phương trình của đường thẳng .
Ta thấy . 
Điều kiện để cắt là: .
Suy ra: và .
Cách 3: 
Gọi với . 
Ta có suy ra .
Từ .
Ta có .
. Suy ra .
Thay vừa tìm được vào ta được .
Ta giải được hoặc . Đây tương ứng là GTLN và GTNN của .
Vậy . Khi đó, .
Biết số phức , thỏa mãn đồng thời hai điều kiện và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính .
A. . 	B. . 	C. . 	 D. .
Lời giải
Chọn A .
Theo giả thiết 	
.
Ta có 
Xét điểm ; và . Khi đó, .
Bài toán trở thành tìm điểm sao cho đạt giá trị nhỏ nhất.
Vì nên hai điểm nằm cùng phía đối với đường thẳng .
Gọi là điểm đối xứng với qua 
Đường thẳng đi qua điểm và có VTPT nên có phương trình 
Gọi là giao điểm của và . Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình suy ra 
 đối xứng với qua nên .
Ta có .
Dấu bằng xảy ra là giao điểm của và đường thẳng 
Đường thẳng đi qua điểm và có VTPT có phương trình 
Tọa độ điểm là nghiệm của hệ phương trình 
Vậy .
Gọi là 2 nghiệm của phương trình thỏa mãn . Biết rằng là số phức thỏa mãn . Tìm GTNN của biểu thức .
A. B. C. D..
Lời giải.
Chọn D .
Giả sử ta có suy ra tập hợp điểm biểu diễn là trục tung.
Giả sử lần lượt là 2 điểm biểu diễn cho , ta có .
Giả sử và là điểm biểu diễn cho số phức, ta cósuy ra tập hợp điểm biểu diễn cho số phức là đường tròn tâm bán kính .
Ta có , gọi là hình chiếu vuông góc của lên trục tung, ta thấy nhỏ nhất khi là trung điểm suy ra , vậy 
Cho là số phức thỏa . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A. .	B. .	C. .	D. .
Hướng dẫn giải
Chọn B
Gọi 
Ta có: 
 (*)
Theo bài ra: 
Thay (*) vào ta được: 
Áp dụng bđt Bunhiacopxki ta được
Vậy .
Giả sử là hai trong số các số phức thỏa mãn và Giá trị lớn nhất của bằng
A. .	B. .	C. .	D. 
Lời giải
Chọn A.
Ta có .
Điểm biểu diễn thuộc đường tròn tâm , .
Gọi , là điểm biểu diễn , nên là đường kính. Dựng hình bình hành ta có .
Ta có . Dấu bằng xảy ra khi .
Xét các số phức thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị lớn nhất.
A. .	B. .	C. .	D. .

Lời giải
Chọn B
Gọi với .
Ta có: . Suy ra, tập hợp điểm biểu diễn cho số phức trên hệ tọa độ là đường tròn tâm và bán kính .
Gọi , và là trung điểm của .
Đặt suy ra . (BĐT Bunhiacopxki).
Phương trình đường trung trực của là: .
Ta có: với là trung điểm của .
	Vì chạy trên đường tròn , cố định nên 
	Do vậy nên 
	Dấu « = » xảy ra khi và ba điểm thẳng hàng. Điều này thỏa mãn nhờ . 
Do đó: , tọa độ của là nghiệm hệ: 
Mặt khác : 
 và .
Vậy để thì Suy ra .
(SGD – HÀ TĨNH )Trong các số phức z thoả mãn , gọi và là số phức có mô-đun lớn nhất và nhỏ nhất. Tổng phần ảo của hai số phức và bằng.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D. 
Gọi và là điểm biểu diễn số phức . 
Theo giả thiết .
Suy ra 
Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức thỏa mãn là đường tròn có tâm bán kính .
Đường có phương trình cắt đường tròn tại hai điểm , . Do nên điểm biểu diễn số phức có môđun lớn nhất, và điểm biểu diễn số phức có môđun nhỏ nhất.
[HKII-SỞ BẠC LIÊU-2017-2018] Xét số phức ( và ) thỏa mãn . Tính khi đạt giá trị lớn nhất.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C.
Cách 1:
Từ giả thiết có với và .
Ta có 
Xét , với .
; 
Bảng biến thiên:
Suy ra , đạt được khi , .
Vậy .
Cách 2:
Ta có . Vì nên , .
Khi đó
 với .
Đặt , .
Bảng biến thiên:
.
Khi đó: .
Vậy .
Nhận xét: có thể đổi câu hỏi thành tìm Min
Cho , là hai số phức thỏa mãn , biết . Tính giá trị của biểu thức 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D.
Cách 1.
+ Đặt , , ta có 
+ Sử dụng công thức: ta có 
Suy ra .
Cách 2.
+ Biến đổi: 
Ta có .
+ Sử dụng công thức bình phương mô đun
Trong đó là góc với M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức
.
Vậy .
Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:.
A. .	B. .	C. .	D. 
Lời giải
Chọn B.
Đặt , ta có 
 (*)
Lại có 
Kết hợp với (*), ta được 
Áp dụng BĐT Cauchy schwarz ta có
.
Cho số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất M của biểu thức:?
A. .	B. .	C. .	D. 
Lời giải
Chọn C.
Cho hai số phức thỏa mãn ; với là tham số. Giá trị của để ta luôn có là:
A. .	B. . 	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B.
Đặt có biểu diễn hình học là điểm 
Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng . 
Ta có: 
 với . 
Mà ta có 
Nên 
.
Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A.
Gọi , .
Ta có 
.
Lại có 
.
Mặt khác 
Suy ra .
Cho số phức (, là các số thực) thỏa mãn và có môđun nhỏ nhất. giá trị của là?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
Mô đun của số phức là:
Số phức 
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Tìm số phức có môđun nhỏ nhất.
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C.
Gọi số phức có dạng . thỏa mãn 
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki.
Dấu xảy ra 
Trong các số phức thỏa mãn điều kiện . Số phức có mô đun bé nhất bằng
A. 	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C
Đặt . Khi đó 
.
Số phức có mô đun nhỏ nhất bằng khoảng cách từ đến đường thẳng .
.
(Đề Star Education) Cho hai số phức thỏa mãn và . Giá trị lớn nhất của biểu thức là: 
A.	B.	C.	D.
Lời giải
Chọn A.
Ta gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức .
Từ giả thiết : 
vớilà trung điểm của đoạn thẳng.
.
Ta có 
. Vậy 
Cho hai số phức thỏa mãn và . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Khi đó mô đun của số phức 
 là : 
A..	B..	C..	D..
Lời giải
Chọn A.
Ta gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức .
Từ giả thiết : với là trung điểm của đoạn thẳng. 
.
Ta có 
Vậy 
.
 Vậy .
Suy ra 
Cho số phức thỏa mãn . Giá trị lớn nhất của biểu thức là:
A..	B.3.	C..	D..
Lời giải
Chọn C.
Ta gọi là điểm biểu diễn số phức.
 . Suy ra 
Khi đó: 
, 
với 
Ta có: suy ra . 
Theo định lý Stewart ta có: 
(Hoặc có thể chứng minh theo phương pháp véc tơ
Suy ra: 
)
Vậy 
 Cho hai số phức . Gọi là số phức thỏa mãn . Đặt lần lượt là giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của biểu thức . Tính modun của số phức 
	A. 	B. 	C. 	D. 
	Lời giải
	Giả sử . Ta có 
	Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn số phức 
	Ta tìm Max – Min của 
	Ta có thuộc đường tròn và đều .
	Gọi thuộc cung . Ta có 
Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của ?
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn D
Gọi là trung điểm 
Suy ra .
Mặt khác 
.
Mà .
Dấu “ = “ xẩy ra khi và chỉ khi .
[ Phạm Minh Tuấn, lần 3, năm 2018- Câu 46]
	Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A
Áp dụng tính chất: 
Ta có: 
[2D4-4] [THPT Chuyên LQĐ, LAI CHÂU, lần 1, 2018] Cho hai số phức thỏa mãn điều kiện và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức ?
A. .	B. .	C. .	D. 
.
Lời giải
Chọn B.
+) Gọi .
Nên .
Do đó tập hợp điểm biểu diễn số phức là Parabol .
+) Gọi .
Khi đó 
Nên tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường tròn tâm bamns kính .
 nhỏ nhất khi và chỉ khi nhỏ nhất.
Ta có: .
Nên nhỏ nhất khi nhỏ nhất.
Ta có: .
.
Do đó .
Vậy .
[2D4-4] Cho hai số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A.
Ta có 
Đặt với () theo đề bài ta có (*). Ta cần tìm GTLN của 
Đặt . Ta có: .
Mà (**) nên
Kết hợp với suy ra 
Suy ra 
Dấu "=" xảy ra khi (**) xảy ra khi . Kết hợp (*) ta được 
Vậy giá trị lớn nhất của bằng .
[Chuyên Ngoại Ngữ - Hà Nội - 2018] Cho hai số phức ; thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. 
Lời giải.
Chọn A
Ta có .
Suy ra điểm biểu diễn số phức nằm trên đường tròn có tâm và có bán kính là .
Mặt khác, nên điểm biểu diễn số phức là điểm nằm trên đường tròn có tâm và có bán kính là .
Ta thấy .
 lớn nhất khi và chỉ khi lớn nhất, khi đó bốn điểm , , , theo thứ tự thẳng hàng.
Vậy giá trị lớn nhất của .
 Cho hai số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C.
Cách 1 :
Giả sử , .
 (1)
.
Suy ra .
.
Từ (1) ta có , bán kính . Gọi là hình chiếu của trên .
Đường thẳng có PTTS .
, 
, 
Vậy .
Cách 2 :
 điều này cho thấy đang nằm trên hình tròn tâm bán kính bằng 1.
 điều này cho thấy đang thuộc nửa mặt phẳng tạo bởi đường thẳng là trung trực của đoạn với 
(Minh hoạ như hình vẽ)
[Nguyễn Khuyến, Bình Dương, 18/3,2018] Cho và là số phức thỏa mãn: và . Gọi là giá trị lớn nhất của biểu thức . Hãy chọn khẳng định đúng về .
A..	B. .	
C. .	D. Không tồn tại .
Lời giải
Chọn A.
Ta có .
Khi đó:
 .
Đặt .
Ta có 
Bảng biến thiên: 
Dựa vào bảng biến thiên ta có .
Dấu bằng xảy ra khi .
Cho số phức thỏa mãn và . Khẳng định nào sau đây đúng?
A..	B. .	
C. .	D..
Lời giải
Chọn C.
Ta có 
 .
Mặt khác: .
Suy ra: . Đặt ta được:
 .
Vậy .
Cho số phức với là các số thực không âm thỏa mãn và biểu thức . Gọi lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của . Môđun của là
A..	B. .	C. 4.	D. .	
	
Lời giải
Chọn B.
Ta có .
 .
Đặt ta có .
Tính giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của , với ta được ; Vậy .
(THPT Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh lần 3-2018) Cho hai số phức . Gọi là số phức thỏa mãn . Đặt lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức . Tính mô đun của số phức .
A. .	B. .	C. .	D. 
Lời giải
Chọn A.
Giả sử lần lượt biểu diễn số phức . 
Từ giả thiết ta có: . 
Nênthuộc đường tròn tâm.
Ta có .
Để thì trùng nên .
Để thì và nên và nằm chính giữa cung nhỏ và . Do vậy 
.
Vậy .
Cho hai số phức và thỏa mãn các điều kiện sau:
 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B.
Gọi lần lượt là điểm biểu diễn của với .
Ta có 
. 
Do đó, thuộc nửa mặt phẳng bờ không chứa , kể cả bờ.
Ta có suy ra 
.
Do đó, thuộc phần chung của hai hình tròn và .
Dễ thấy hai hình tròn này tiếp xúc ngoài tại điểm . Do đó, .
Ta thấy nên nhỏ nhất khi ngắn nhất, khi đó là hình chiếu của trên .
Ta có .
Vậy .
[CHUYÊN NGỮ LẦN 1-2018] Cho hai số phức thỏa mãn và . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A.
Đặt , gọi .
Có nên có tâm bán kính .
Có nên có tâm , bán kính .
Có .
Do , , nên .
Xét các số phức thỏa mãn Tính biết biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.
A. .	B. .	C. .	D. 3.
Lời giải:
Chọn A 
Giả thiết 
Gọi lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức 
Bài toán trở thành: Tìm sao cho biểu thức nhỏ nhất
Ta có 
 với 
Ta có dấu “=”xảy ra khi và chỉ khi theo thứ tự đó thẳng hàng.
Phương trình đường thẳng 
 là giao của của BC và .
Cho các số phức thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
A. 	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn C.
Chọn lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ,
Dựa vào điều kiện , .
Suy ra ta có tam giác vuông cân tại .
Phép quay tâm góc quay ta có:
Do tam giác đều , 
Suy ra .
Dấu xảy ra khi thẳng hàng.
Khi đó tam giác có , và .
Từ đó suy ra .
Vậy .
Cho hai số phức thỏa mãn ; với là tham số. Giá trị của để ta luôn có là:
A. .	B. . 	C. .	D. .
Lời giải
Chọn B.
Đặt có biểu diễn hình học là điểm 
Suy ra biểu diễn của số phức là đường thẳng . 
Ta có: 
 với . 
Mà ta có 
Nên 
.
Cho số phức thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
A. .	B. .	C. .	D. .
Lời giải
Chọn A.
Gọi , .
Ta có 
.
Lại có 
.
Mặt khác 
Suy ra .