Dạy phương trình lượng giác có tham số

A/ Đặt vấn đề.
Thực tế cho thấy khi gặp bài toán chứa tham số học sinh thường lúng túng trong quá trình biện luận. Đặc biệt đối với phương trình lượng giác việc biện luận để phương trình có nghiệp, biện luận số nghiệm của phương trình không phải lúc nào cũng dễ dàng. Có những bài toán phải vận dụng những phương pháp đặc biệt mà việc nghĩ ra hay tìm thấy đều rất khó khăn.
Trong năm học qua và năm học 2004 - 2005 khi dạy ôn về phương trình lượng giác tôi đã tổng kết được một vài dạng bài cơ bản về phương trình lượng giác có tham số với mong muốn giúp các em học sinh có thêm một vài phương pháp giải đối với dạng toán này.
Trước hết để làm được yêu cầu học sinh phải thành thạo trong việc giải các phương trình lượng giác không có tham số. Nắm thật chắc các phép biến đổi phương trình đưa về dạng đã biết. Ngoài ra học sinh cần nhớ nội dung hai định lý:
* Định lý: Nếu f(x) liên tục trên { a;b} có maxf = M, min f = m . . .
Từ đó thì ị phương trình f(x) = a sẽ có nghiệm
Û m Ê a Ê M
Định lý Lagrăng: Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn {a ; b} và có đạo hàm trên khoảng (a ; b) thì tồn tại một điểm c ẻ (a ; b) sao cho
f’(c) = 
B/ Nội dung:
Dạy phương trình lượng giác có tham số
I- Dạng 1: Biện luận để phương trình có nghiệm
Bài toán 1: Tìm điều kiện của m để phương trình sau có nghiệm
	Sin6x + cos6x = m
Ta có 	Sin6x + cos6x = 1 - sin22x = 1 - ( 1 - cos22x)
Ta có:	Sin6x + cos6x = 1 - sin22x = 1 - ( 1 - cos22x )
Sin6x + cos6x + cos22x
Hãy đánh giá vế trái: 0 ≤ cos22x ≤ 1 ị ≤ sin6x + cosx ≤ 1
Hàm số f(x) = sin6x + cos6x có max f = 1, min f = 
 f(x) liên tục nên phương trình f(x) = m có nghiệm ị ≤ m ≤ 1
Vậy với m Є { ; 1 thì phương trình f(x) = m có nghiệm
Bài toán 2: Tìm m để phương trình sau đây có nghiệm.
	Cos2x + cosx = m
 2cos2x - 1 + cosx = m
Đặt cosx = t, điều kiện | t | ≤ 1
Xét hàm số f(x) = 2 t2 + t - 1 với 1≤ 1 ≤ 1. Toạ độ đỉnh ( - ; - )
Bảng biến thiên
 t	- Ơ	-1	 -	1	+ Ơ
 f(t)	+ Ơ	 0 
	 -
 Dựa vào bảng biến thiên: 	max f(t) = 2 khi t = 1
	min f(x) = - khi t = 
 Phương trình có nghiệm khi - ≤ m ≤ 2
Làm tương tự: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 
 	Sin2x + sinx cosx = m
	2 sin2x + cosx - sinx = m
Đặt t = sinx + cosx, 	đk | t | ≤* Tổng quát. Nếu f(x) là hàm liêu tục có max f = M, min f = m thì phương 
trình f(x) = a có nghiệm m Û a Ê M
Bài toán 3: Cho phương trình.
Tìm a để phương trình có nghiệm.
Bài làm:
Ta không nên biến đổi trực tiếp phương trình.
Hãy xét f(x) = 	 với x ẻ 
Trong khoảng này cosx > 0, sin x < 0
Và lim cosx = 1	 lim sinx = 0 -
 	 xđ 0 - 	 xđ 0 -
 Lim cos x = 0 +	 lim sin x = -1
 x đ + xđ +
Do đó +
Nhận xét: Hàm số f(x) xác định liên tục trên
 +
ị Với a phương trình f(x) = a luôn có nghiệm
Bài toán 4: Chứng minh rằng a,b,c phương trình.
a cos3x + b cos2x + sin x = 0 luôn có nghiệm ẻ ( 0; 2P)
Xét f(x) =
f’(x) = acos3x + bcos 2 x + cosx + sin x
f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( 0; 2P)
f(0) = - cos 0 = -1	
Theo định lý Lagrăng $
ị Phương trình f’(x) = 0 có nghiệm ẻ ( 0; 2p )
ị Phương trình đã cho luôn có nghiệm ẻ ( 0; 2p) với a,b,c
Bài toán 5: Tìm a,b để PT: cos 4 x + a cos 2x + b sin 2x = 0 có nghiệm.
ở đây ta không trực tiếp xét phương trình.
	Xét 
Vì f(x) là hàm tuần hoàn với chu kỳ p. Kết f(x) trên ( 0; p)
f(x) liên tục và có đạo hàm trên khoảng ( 0; p)
Theo định lý Lagrăng $ x0 ẻ ( 0; p) 	  f’(x) = 0 ị PT f’(x) = 0 có nghiệm ẻ (0; p)
Vậy với	a,b phương trình đã cho có nghiệm.
Bài toán 6: Tìm a để hệ phương trình	
	có nghiệm
Nếu 	 là nghiệm của (I) thì 	
ị	 ị	 đúng
ị Phương trình 	 có nghiệm (1)
Đảo lại: Nếu (1) có nghiệm 	 thì	 là đúng
ị 	ị	 ẻ đường tròn
Đơn vị ị $ x0	ị (x0, y0) là 1 nghiệm của hệ
Vậy hệ có nghiệm Û PT (1) có nghiệm.
Đến đây bài toán trở thành tìm a để phương trình.
	có nghiệm.
Nếu a = 0 phương trình có dạng 0 =1, phương trình vô nghiệm.
Nếu a ạ 0 (1) ị
ị
ị
(1) có nghiệm 	ị
Vậy	hệ đã cho có nghiệm.
Bài tập tự luyện:
1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm.
2. Cho phương trình
Tìm m để phương trình có nghiệm.
3. Tìm a để phương trình 	có nghiệm
B/ Dạng 2. Biện luận số nghiệm.
Bài toán 1: Cho phương trình.
Tìm m để phương trình có đúng bảy nghiệm trong khoảng
Có thể thấy ngay rằng việc tìm m để phương trình có đúng 7 nghiệm ẻ
	quả là khó khăn.
Trước hết hãy đại số hoá phương trình đã cho.
Đặt t = cosx 	đk {t} Ê 1
Ta đi xét số nghiệm x ẻ	của phương trình cos x = t
Số nghiệm ẻ
cos x = t
Nhận thấy cos x = 0 có 2 nghiệm ẻ
Phương trình có đúng 7 nghiệm ẻ 	Û (2) có 5 nghiệm ẻ
Û Tam thức f(t) = 4 t2 - 2t + m - 3 có hai nghiệm t1, t2 sao cho -1 < t1 < t2 < 1.
Û	 Û	 Û	 Û 1< m <3
Vậy với 1< m <3 phương trình đã cho có đúng bảy nghiệm ẻ
Bài toán khai triển.
- Tìm m để phương trình có đúng 6 nghiệm ẻ 
Tam thức f(t) = 4 t2 - 2t + m - 3 có 2 nghiệm t1, t2 sao cho
- Tìm m để phương trình có đúng 3 nghiệm ẻ 
Û f(x) = 4 t2 - 2t + m - 3 có 1 n0 t = -1 hoặc t = 1
- Tìm m để phương trình có đúng hai nghiệm ẻ
Û f(x) = 4t2 - 2t + m - 3 vô nghiệm hoặc có nghiệm t = 0
t1 Ê t2 < -1 hoặc 1 < t1 Ê t2 ;	t1 < -1 < 1 < t2
Bài toán 2: Cho phương trình: 
sin 3x - mcos2x - (m+ 1+ sinx + m = 0 	(1)
Xác định giá trị của m để phương trình có đúng 8 nghiệm ẻ ( o; 3P)
(1)	Û 3sinx - 4 sin3 x - m (1 - 2sin2x) - (m+1) sinx + m = 0
Û - 4sin3x + 2 m sin2x + (2 - m) sinx = 0
Û -sin {4sin3x + 2m sinx + (-2 + m)} = 0
sinx = 0 Û x = P hoặc x = 2P ẻ (0; 3P)
Do phương trình có đúng 8 nghiệm ẻ (0; 3P) Û 	(2) có đúng 6 nghiệm ẻ (0; 3P) ạ P; 2P
Đặt sinx = t 	(2)	 Û 	4t2 + 2mt + (-2 + m) = 0
Số nghiệm
ẻ(0; 3P) 
sinx = t
Phương trình có đúng 8 nghiệm Û (2) có nghiệm t1, t2 sao cho 0 < t1 < 1 = t2 hoặc - 1 < t1 < 0 < t2 < 1
* TH 1: 0 < T1 < 1 = t2 	Û	 f(1) = 0 	Û 	m = 2
	Û t1 = 0 (loại)
* TH 2: -1 < t1 < 0 < t2 < 1
	Û	Û	Û	Û
Vậy để phương trình có đúng 8 nghiệm ẻ (0; 3P) thì
* Làm tương tự: Tìm m sao cho phương trình sin 3x + sin 2x = m sin x có 
đúng 8 nghiệm ẻ
c) Dạng 3: Phương trình tương đương.
Bài 1: Tìm a và b để hai phương trình sau tương đương.
1) 
2) 
Ta biết rằng hai phương trình tương đương nếu chúng có tập nghiệm bằng nhau (có thể là tập f)
+ Nếu (1) vô nghiệm đ tìm điều kiện để (2) vô nghiệm
+ Nếu (1) có nghiệm đ tìm điều kiện để nghiệm của (1) cũng là nghiệm của (2) và ngược lại.
1) 	Û
Û
Û
Û
Cần: Giả sử (1) và (2) tương đương.
Vì 	là nghiệm của (1) Û 	 cũng là nghiệm của (2)
	Û	
Vì 	là nghiệm của (2)	 Û	cũng là nghiệm của (1)
Û	Û a=2
a = 2	b = 	thì
(1) 	Û 
Nhận thấy (1) và (2) tương đương
Vậy với a = 2	b = 	thì 2 phương trình đã cho tương đương.
Bài toán 2: Tìm m để 2 phương trình sau tương đương.
sin x + m cosx = 1	(1)
m sinx + cosx = m2 	(2)
Bài làm
Cần: Giả sử (1) và (2) tương đương
Ta thấy x = 	là nghiệm của (1)
ị x = 	 cũng phải là nghiệm của (2)
ị sin	+ cos	 = m2 	Û m = m2
	Û m2 - m = 0
	Û
Với m = 0	(1) Û sin x = 0
	(2) Û cos x = 0	Û sin x = ± 1
Hai phương trình không tương đương.
Với m = 1 	(1) sin x + cos x = 1
	(2) sin x + cos x = 1 
Vậy m = 1 thì 2 phương trình đã cho tương đương
Bài toán 3: Tìm a để phương trình sau tương đương.
(1)	 2 cos x cos 2x = 1 + cos 2x + cos 3x
(2)	4cos2 x - cos 3x = a cos x + (4 - a) (a + cos 2x)
Bài làm
(1)	Û 	cos 3x + cos x = 1 + cos 2x + cos 3x
	Û 	2cos2x - cos x = 0
Û	cos x ( 2cos x - 1) = 0 	 Û
(2) 	Û 4 cos2x - 4cos3 x + 3 cos x = a cos x + (4 - a) (2cos2x - 1)
Û	Û 
Hai phương trình tương đương
Û	Û
Tương tự: Tìm a để 2 phương trình tương đương
sin 3x = a sinx + (4 - 2{a}) sin2x
sin 3x + cos 2x = 1 + 2 sinx cos 2 x
C/ kết luận
Qua một số năm giảng dạy phương trình lượng giác giải bằng cách phân dạng trên tôi thấy đã có những kết quả nhât định. Học sinh biết phân dạng bài tập và sử dụng phương pháp thích hợp cho mỗi bài toán.
Vì thời gian giảng dạy còn ít, kinh nghiệm chưa nhiều tôi mong được sự đóng góp giúp đỡ của các thầy cô giáo, các bạn đồng nghiệp và các em học sinh.
Tôi xin chân thành cảm ơn !
Giáo viên