Chuyên đề Ứng dụng của tỷ số thể tích

 Ứng dụng của tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh 
 1 
B S
C
A
H
A'
B'
C'
H'
Chuyên ñề 
ỨNG DỤNG CỦA TỶ SỐ THỂ TÍCH 
Trong các ñề thi tuyển sinh ðại học – Cao ñẳng những năm gần ñây, câu hình 
học không gian luôn là câu khó ñối với ña số thí sinh, phần lớn các em ñã quên các 
kiến thức hình học không gian ở chương trình hình học lớp 11. Trong câu này 
thường có yêu cầu tính thể tích của một khối chóp, khối lăng trụ và kèm theo một ý 
phụ ñó là tính khoảng cách, tính góc hoặc liên quan ñến quan hệ vuông góc. Bên 
cạnh cách tính thể tích trực tiếp theo công thức, phương pháp tỉ số thể tích cũng 
không kém phần hiệu quả và ñầy sức mạnh. Với mong muốn cung cấp cho các em 
học sinh thêm tài liệu và bài tập về phương pháp này, tôi xin ñược chia xẻ qua tài 
liệu này. Hy vọng sẽ giúp cho các em học sinh có thêm niềm tin ñể xử lý dạng bài 
toán này. 
 Tặng học sinh lớp 12 trường THPT Lý Tự Trọng ! 
I/ Bài toán cơ sở 
Trong nhiều trường hợp, việc tính thể tích của các khối lăng trụ và khối chóp 
theo công thức ta gặp khó khăn do không xác ñịnh ñược ñường cao hay diện tích 
ñáy. Tuy nhiên có thể chuyển việc tính thể tích các khối này về việc tính thể tích 
của các khối ñã biết thông qua tỉ số thể tích của hai khối. 
Bài toán: (Bài4 sgk HH 12CB trang25) 
Cho khối chóp S.ABC, trên các ñoạn thẳng SA, SB, SC lần lượt lấy các ñiểm 
A’, B’, C’ khác ñiểm S. CMR: . ' ' '
.
' ' '
. .
S A B C
S ABC
V SA SB SC
V SA SB SC
= (1) 
Giải: 
Gọi H và H’ lần lượt là hình chiếu vuông góc 
của A và A’ lên (SBC) 
Ta có AH//A’H’. Ba ñiểm S, H, H’ cùng thuộc 
hai mp (AA’H’H) và (SBC) nên chúng thẳng hàng. 
Xét ∆ SAH ta có ' ' 'SA A H
SA AH
= (*) 
Do ñó : 




' '
. ' ' '
.
1
' '.
' ' '. '.sin ' '3
.1
. .sin
.
3
SB C
S A B C
S ABC
SBC
A H SV A H SB SC B SC
V AH SBSC BSCAH S
∆
∆
= = (**) 
Từ (*) và (**) ta ñược ñpcm. 
Chú ý: A’, B’, C’ có thể trùng với các ñầu mút A, B, C khi ñó ta ñược các công 
thức ñơn giản hơn. 
 Ứng dụng của tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh 
 2 
I
M
O
C
A
D
B
S
O '
C '
I
D'
B'
O
C
S
B
D
A
II/ Các dạng toán 
Dựa vào hai bài toán cơ bản ở trên, ta sẽ xét một số bài toán tính tỉ số thể tích 
của các khối ña diện và một số ứng dụng của nó 
DẠNG 1: TÍNH TỈ SỐ THỂ TÍCH CỦA CÁC KHỐI ðA DIỆN 
Ví dụ 1: 
Cho khối chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành, gọi M là trung ñiểm 
của CD và I là giao ñiểm của AC và BM. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp 
S.ICM và S.ABCD 
Giải: 
Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. Ta có I là 
trọng tâm của tam giác BCD, do ñó 
. . .
1 1 1 1 1 1
. . . .
3 3 2 3 2 2ISCM B SCM D SBC S ABCD
V V V V= = = 
Vậy 
.
1
12
ISCM
S ABCD
V
V
= 
Ví dụ 2: 
Cho khối chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình 
bình hành. Gọi B’, D’ lần lượt là trung ñiểm của SB 
và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính tỉ số 
thể tích của hai khối chóp ñược chia bởi 
mp(AB’D’) 
Giải: 
Gọi O là giao ñiểm của AC và BD và I là giao 
ñiểm của SO và B’D’. Khi ñó AI cắt SC tại C’ 
Ta có 
. ' '
.
' ' 1 '
.
2
S AB C
S ABC
V SB SC SC
V SB SC SC
= = 
. ' '
.
' ' 1 '
.
2
S AC D
S ACD
V SC SD SC
V SC SD SC
= = 
Suy ra 
. ' ' . ' ' . . .
1 ' 1 '
. ( ) . .
2 2S AB C S AC D S ABC S ACD S ABCD
SC SCV V V V V
SC SC
+ = + = 
Kẻ OO’//AC’ ( ' )O SC∈ . Do tính chất các ñương thẳng song song cách ñều 
nên ta có SC’ = C’O’ = O’C 
Do ñó 
. ' ' ' ' .
1 1
. .
2 3S A B C D S ABCD
V V= Hay . ' ' ' '
.
1
6
S A B C D
S ABCD
V
V
= 
 Ứng dụng của tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh 
 3 
Bài tập tương tự 
Bài 1: Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC, ñáy ABC là tam giác ñều có trực tâm H 
và cạnh bằng a. Gọi I, J, K lần lượt là trung ñiểm các cạnh AB, BC, CA và M, N, P 
lần lượt là trung ñiểm các ñoạn SI, SJ, SK. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp 
H.MNP và S.ABC. Từ ñó tính thể tích khối chóp H.MNP. 
ðS: .
.
1
32
H MNP
S ABC
V
V
= 
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng 
(α ) qua AB cắt SC, SD lần lượt tại M và N. Tính SM
SC
 ñể mặt phẳng (α ) chia hình 
chóp thành hai phần có thể tích bằng nhau. 
ðS: 3 1
2
SM
SC
−
= 
DẠNG 2: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH ðỂ TÍNH THỂ TÍCH 
Ví dụ 1: (ðH khối B – 2008) 
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình thang,
 
 090BAD ABC= = , 
, 2 , ( )AB BC a AD a SA ABCD= = = ⊥ và SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm 
của SA và SD. Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a 
Giải: 
Áp dụng công thức (1) ta có 
.
.
.
.
1
2
1
.
4
S BCM
S BCA
S CMN
S CAD
V SM
V SA
V SM SN
V SA SD
= =
= =
Suy ra 
. . . . .
3 3 3
1 1
2 4
2
2.3 4.3 3
S BCNM S BCM S CNM S BCA S CADV V V V V
a a a
= + = +
= + =
Ghi chú: 
1/ Việc tính thể tích khối S.BCNM trực tiếp theo công thức 1 .
3
V B h= gặp nhiều 
khó khăn, nhưng nếu dùng tỉ số thể tích, ta chuyển việc tính thể tích khối S.BCNM 
về tính VSBCA và VSCAD dễ dàng hơn rất nhiều 
2/ Khi dạy học có thể yêu cầu học sinh tính thể tích khối ña diện ABCDMN 
2a
a
2a
M
N
A
D
B C
S
 Ứng dụng của tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh 
 4 
Ví dụ 2: (ðH khối A – 2007 ) 
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là 
tam giác ñều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với ñáy. Gọi M, N, P lần lượt là 
trung ñiểm của các cạnh SB, BC, CD. Tính thể tích khối tứ diện CMNP theo a 
Giải: 
Ta có 
.
.
1
. ( )
4
1 ( )
2
CMNP
CMBD
CMBD M BCD
CSBD S BCD
V CN CP
a
V CB CD
V V MB b
V V SB
= =
= = =
 Lấy (a) x (b) vế theo vế ta ñược 
.
.
1 1
.
8 8
CMNP
CMNP S BCD
S BCD
V V V
V
= ⇒ = 
Gọi H là trung ñiểm của AD ta có SH AD⊥ mà 
( ) ( )SAD ABCD⊥ nên ( )SH ABCD⊥ . 
Do ñó 
3
2
.
1 1 3 1 3
. . . .
3 3 2 2 12S BCD BCD
a aV SH S a∆= = = 
Vậy: 
3 3
96CMNP
aV = (ñvtt) 
Ví dụ 3: (ðH khối D – 2006 ) 
Cho khối chóp S.ABC có ñáy ABC là tam giác ñều 
cạnh a, SA = 2a và SA vuông góc với ñáy. Gọi M, N lần 
lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các ñường thẳng 
SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM theo a 
Giải: 
Ta có .SAMN
SABC
V SM SN
V SB SC
= 
AM và AN lần lượt là các ñường cao trong các tam 
giác vuông SAB và SAC bằng nhau nên ta có 
SM
MB
2 2
2 2
4 44
5
SM SA a SM
MB AB a SB
= = = ⇒ = 
Tương tự 4
5
SN
SC
= 
Do ñó VS.AMN = 
4 4
.
5 5
.VS.ABC =
16
25
.VS.ABC. Suy ra VA.BCMN = 
9
25
.VS.ABC 
Mà VS.ABC = 
2 31 3 3
.2 .
3 4 6
a a
a = . Vậy VA.BCMN = 
33 3
50
a
 (ñvtt) 
P
M
H
N
C
S
D
B
A
2a
a
a a
D
A C
B
M
N
 Ứng dụng của tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh 
 5 
A B
CD
S
H
M
Ghi chú: 
Ta có hệ thức lượng trong tam giác vuông ABC 
sau ñây 
2
2
'
'
b b
c c
= 
( Chứng minh dựa vào tam giác ñồng dạng) 
Ví dụ 4: (ðH khối B – 2006 ) 
Cho hình chóp S.ABCD, ñáy ABCD là hình chữ nhật, AB =SA = a, AD =a 2 
SA vuông góc với ñáy. Gọi M, N lần lượt là trung ñiểm của AD và SC, gọi I là giao 
ñiểm của BM và AC. Tính thể tích khối tứ diện ANIM theo a 
Giải: 
Gọi O là giao ñiểm của AC và BD. Ta có I là 
trọng tâm của tam giác ABC, do ñó 
2 1
3 3
AI AI
AO AC
= ⇒ = 
nên 1 1 1. .
3 2 6
AIMN
ACDN
V AI AM
V AC AD
= = = (1) 
Mặt khác 1
2
ACDN
ACDS
V NC
V SC
= = (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 1
12
AIMN
ACDS
V
V
= 
Mà 
31 1 2 2
. . .
3 3 2 6SACD ACD
a a aV SA S a∆= = = . Vậy 
31 2
.
12 72AIMN SACD
aV V= = (ñvtt) 
Ví dụ 5: (ðH khối D – 2010) 
Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a, 
hình chiếu vuông góc của ñỉnh S trên mặt phẳng (ABCD) là ñiểm H thuộc ñoạn 
thẳng AC sao cho AH = 
4
AC
. Gọi CM là ñường cao của tam giác SAC. Chứng 
minh rằng M là trung ñiểm của SA và tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a. 
Giải: 
Từ giả thiết ta tính ñược 
2 14 3 2
, , , 2
4 4 4
a a aAH SH CH SC a SC AC= = = = ⇒ = . 
Do ñó tam giác SAC cân tại C nên M là trung ñiểm 
của SA. 
Ta có .
. .
.
1 1
2 2
S MBC
S MBC S ABC
S ABC
V SM V V
V SA
= = ⇒ = 
2 3
.
1 1 14 14
. . . .
3 6 2 4 48S ABC ABC
a a aV SH S∆= = = (ñvtt) 
c
b'
b
c'
A
B C
H
a
a
a 2
I
M
O
C
A
D
B
S
 Ứng dụng của tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh 
 6 
Bài tập tương tự 
Bài 1: Cho khối tứ diện ABCD có 
 
 
0 090 , 120 ,ABC BAD CAD= = = , 2 ,AB a AC a= = 
3AD a= . Tính thể tích tứ diện ABCD. ðS: 
3 2
2ABCD
aV = 
Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD dấy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với 
ñáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên SB và SD. 
Mp(AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.A’B’C’D’ theo a 
ðS: 
3
. ' ' ' '
16
45S A B C D
aV = 
Bài 3: Cho hình chóp tứ giác ñều S.ABCD có tất cả các cạnh ñều bằng. Gọi M, P 
lần lượt là trung ñiểm của SA và SC, mp(DMP) cắt SB tại N. Tính theo a thể tích 
khối chóp S.DMNP. ðS: 
3
.
2
36S DMNP
aV = 
Bài 4: (ðH khối B – 2010) 
Cho hình lăng trụ tam giác ñều ABC.A’B’C’ có AB = a, góc giữa hai mặt 
phẳng (A’BC) và (ABC) bằng 600. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BC. Tính thể 
tích khối lăng trụ ñã cho và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a. 
 ðS: 
3
. ' ' '
3 3
8ABC A B C
aV = và 7
12
aR = 
DẠNG 3: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH KHOẢNG CÁCH 
Việc tính khoảng cách từ một ñiểm ñến một mặt phẳng khó khăn nhất là xác 
ñịnh chân ñường cao. Khó khăn này có thể ñược khắc phục nếu ta tính khoảng cách 
thông qua thể tích của khối ña diện, mà khoảng cách ñó chính là ñộ dài ñường cao 
của khối ña diện. Sau ñây ta sẽ xét một số ví dụ minh hoạ 
Ví dụ 1: (ðH khối D – 2002 ) 
Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc mặt phẳng (ABC), AD = AC = 4cm, 
AB = 3cm, BC = 5cm. Tính khoảng cách từ A ñến mp(BCD). 
Giải: 
Ta có AB2 + AC2 = BC2 AB AC⇒ ⊥ 
Do ñó 21 . . 8
6ABCD
V AB Ac AD cm= = 
Mặt khác CD = 4 2 , BD = BC = 5 
Nên BCD∆ cân tại B, gọi I là trung ñiểm của CD 
2 21 2
. 5 (2 2) 2 34
2 2BCD
S DC BI∆⇒ = = − = 
Vậy 3 3.8 6 34( , ( ))
172 34
ABCD
BCD
Vd A BCD
S∆
= = = 
4
4
3 5
5
I
D
A C
B
 Ứng dụng của tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh 
 7 
Ví dụ 2: (ðH khối D – 2007) Cho hình chóp S.ABCD ñáy ABCD là hình thang, 

 
 090ABC BAD= = , AD = 2a, BA = BC = a, cạnh bên SA vuông góc với ñáy và SA 
= 2a . Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên SB. CMR tam giác SCD vuông 
và tính theo a khoảng cách từ H ñến mp(SCD) 
Giải: 
Ta có .
.
S HCD
S BCD
V SH
V SB
= 
SAB∆ vuông tại A và AH là ñường cao nên 
Ta có 
2 2
2 2
2 22
3
SH SA a SH
HB AB a SB
= = = ⇒ = 
Vậy 
2 3
S.HCD S.BCD
2 2 1 a a 2V = V = . a 2. =
3 3 3 2 9
Mà 
.
1 ( , ( )).
3S HCD SCD
V d H SCD S∆= . 
SCD∆ vuông tại C ( do AC2 + CD2 = AD2), 
do ñó 21 1. . 2.2 2
2 2SCD
S CD SC a a a∆ = = = . Vậy 
3
2
3 2( ,( ))
39 2
a ad H SCD
a
= = 
Ví dụ 3: (ðH khối D – 2008) Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’ có ñáy ABC là tam 
giác vuông, AB = BC = a, AA’ = 2a . Gọi M là trung ñiểm của BC. Tính theo a 
khoảng cách giữa hai ñường thẳng AM và B’C 
Giải: 
Gọi E là trung ñiểm của BB’,ta có EM//CB’ 
Suy ra B’C //(AME) nên 
d(B’C;AM) = d(B’C;(AME))= d(C;(AME)) 
Ta có .
.
1
2
C AEM
C AEB
V MC
V CB
= = 
2 3
.
1 1 1 2 2
. . .
2 2 3 2 2 24C AEM EACB
a a aV V⇒ = = = 
Ta có .3( ,( )) C AEM
AEM
Vd C AME
S∆
= 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên 
AE, ta có BH AE⊥ 
Hơn nữa ( )BM ABE BM AE⊥ ⇒ ⊥ , nên ta ñược AE HM⊥ 
Mà AE = 6
2
a
, ABE∆ vuông tại B nên 2 2 2 2
1 1 1 3
BH AB EB a
= + = 
3
3
aBH⇒ = 
BHM∆ vuông tại B nên 
2 2 21
4 3 6
a a aMH = + = 
2a
a
S
CB
D
A
H
a
a
a 2
M
E
B'
C'
A
C
B
A'
H
 Ứng dụng của tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh 
 8 
Do ñó 
21 1 6 21 14
. . .
2 2 2 6 8AEM
a a aS AE HM∆ = = = 
Vậy: 
3
2
3 2 7( ,( ))
71424.
8
a ad C AME
a
= = 
Ghi chú: Có thể áp dụng công thức Hê – rông ñể tính AEMS∆ 
Ví dụ 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có ñộ dài cạnh bên 2a, ñáy ABC là tam giác 
vuông tại A, AB = a, 3AC a= và hình chiếu vuông góc của A’ lên mặt phẳng 
(ABC) trùng với trung ñiểm của BC. Tính khoảng cách Từ A ñến mp(BCC’B’) 
Giải: 
Theo giả thiết ta có A’H ⊥ (ABC). 
Tam giác ABC vuông tại A và AH là trung tuyến 
nên AH = 1
2
BC = a. 'A AH∆ vuông tại H nên ta có 
2 2
' ' 3A H A A AH a= − = 
Do ñó 
3
'.
1 . 33
3 2 2A ABC
a a aV a= = . 
Mặt khác '.
. ' ' '
1
3
A ABC
ABC A B C
V
V
= 
Suy ra 
3
3
'. ' ' . ' ' '
2 2
.3.
3 3 2A BCC B ABC A B C
aV V a= = = 
Ta có '. ' '
' '
3( ', ( ' ')) A BCC B
BCC B
Vd A BCC B
S
= 
Vì ' ' ' ' ' 'AB A H A B A H A B H⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ∆ vuông tại A’ 
Suy ra B’H = 2 23 2 'a a a BB+ = = . 'BB H⇒ ∆ cân tại B’. Gọi K là trung ñiểm 
của BH, ta có 'B K BH⊥ . Do ñó 2 2 14' '
2
aB K BB BK= − = 
Suy ra 2
' '
14
' '. 2 . 14
2BCC B
aS B C BK a a= = = 
Vậy 
3
2
3 3 14( ', ( ' '))
1414
a ad A BCC B
a
= = . 
Bài tập tương tự 
Bài 1: (ðH khối D – 2009) 
Cho lăng trụ ñứng ABCA’B’C’có ñáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, 
AA’ = 2a, A’C = 3a. Gọi M là trung ñiểm của A’C’, I là giao ñiểm của AM và 
A’C. Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ A ñến mp(IBC) 
ðS: 2 5( ,( ))
5
ad A IBC = 
a
a
2a
3
K
C'B'
H
B C
A
A'
 Ứng dụng của tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh 
 9 
Bài 2: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AA’ = AB = a, BC = 2a, ñiểm 
M thuộc AD sao cho AM = 3MD. Tính khoảng cách từ M ñến mp(AB’C) 
ðS: ( , ( ' ))
2
ad A AB C = 
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mp(ABC), 
 090ABC = . Tính 
khoảng cách từ A ñến mặt phẳng (BCD) nếu AD = a, AB = BC = b 
ðS: 
2 2
( , ( )) abd A BCD
a b
=
+
Bài 4: Cho tứ diện ñều ABCD, biết AB = a, M là 1 ñiểm ở miền trong của tứ diện. 
Tính tổng khoảng cách từ M ñến các mặt của tứ diện 
ðS: 1 2 3 4
3 2
3
ABCD
ACB
Vh h h h a
S∆
+ + + = = 
Bài 5: Cho tứ diện ABCD và ñiểm M ở miền trong của tứ diện. Gọi r1, r2, r3, r4 lần 
lượt là khoảng cách từ M ñến các mặt (BCD), (CDA), (DAB), (ABC) của tứ diện. 
Gọi h1, h2, h3, h4 lần lượt là khoảng cách từ các ñỉnh A, B, C, D ñến các mặt ñối 
diện của tứ diện. CMR: 31 2 4
1 2 3 4
1rr r r
h h h h
+ + + = . 
DẠNG 4: ỨNG DỤNG TỈ SỐ THỂ TÍCH TÍNH DIỆN TÍCH ðA GIÁC 
Việc tính diện tích ña giác phẳng ñược quy về việc tính diện tích tam giác theo 
công thức 1
2
S ah∆ = , trong ñó h – chiều cao và a là ñộ dài cạnh ñáy. 
Tuy nhiên trong nhiều trường hợp, ñặc biệt là việc tính diện tích của các ña 
giác phẳng trong không gian, tính trực tiếp theo công thức gặp nhiều khó khăn. Khi 
ñó có thể tính diện tính ña giác thông qua thể tích của các khối ña diện. Sau ñây là 
một số ví dụ minh hoạ 
Ví dụ 1: (ðH khối A – 2002) 
Cho hình chóp tam giác ñều S.ABC ñỉnh S, có ñộ dài cạnh ñáy bằng a. Gọi M, 
N lần lượt là trung ñiểm của SB và SC. Tính diện tích tam giác AMN theo a, biết 
rằng ( ) ( )AMN SBC⊥ 
Giải: 
Gọi K là trung ñiểm của BC và I là trung 
ñiểm của MN. Ta có .
.
1
.
4
S AMN
S ABC
V SM SN
V SB SC
= = (1) 
Từ ( ) ( )AMN SBC⊥ 
và AI MN⊥ (do AMN∆ cân tại A ) 
 nên ( )AI SBC⊥ AI SI⇒ ⊥ 
Mặt khác, MN SI⊥ do ñó ( )SI AMN⊥ 
I
N
M
O K
A
C
B
S
 Ứng dụng của tỉ số thể tích Trần Minh Cảnh 
 10 
Từ (1) . 1 1 .
. 4 4
AMN
AMN ABC
ABC
SI S SOS S
SO S SI
∆
∆ ∆
∆
⇒ = ⇒ = (O là trọng tâm của tam giác ABC) 
Ta có ASK∆ cân tại A (vì AI vừa là ñường cao vừa là trung tuyến) nên 
AK = AS = 2 23 15
2 6
a aSO SA OA⇒ = − = 
Và SI = 1 2
2 4
aSK = Vậy 
2 21 15 3 10
. .
4 4 166 2
4
AMN
a a aS
a
∆ = = (ñvdt). 
Bài tập tham khảo 
Bài 1: Cho lăng trụ ñứng ABC.A’B’C’. Biết ABC là tam giác vuông tại B có AB = 
a, BC = b, AA’ = c (c2 2 2a b≥ + ). Một mặt phẳng ( )α qua A và vuông góc với 
CA’cắt lăng trụ theo một thiết diện. 
a) Xác ñịnh thiết diện ñó 
b) Tính diện tích thiết diện xác ñịnh ở câu a) 
ðS: Thiết diện AMN có diện tích 
2 2 2
2AMN
ab a b cS
c
+ +
= 
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có các cạnh AB = x, AC = y, AD = z, các góc 

 
 
 090BAC CAD DAB= = = . Gọi H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (BCD) 
a) Chứng minh rằng: 2 2 2 2
1 1 1 1
AH x y z
= + + 
b) Tính diện tích tam giác BCD 
ðS: 2 2 2 2 2 21
2BCD
S x y y z z x∆ = + + 
--------o0o--------