Chuyên đề Tâm và trục đối xứng

I . PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TRỤC TỌA ĐỘ : 
1. Phép dời trục tọa độ từ O(0;0) sang 0 0I(x ;y ) : 
Công dời trục tọa độ :  00x X xy Y y   khi đó hệ trục tọa độ mới là IXY 
2. Pt đối với hệ tọa độ mới : 
 Nếu y =f(x) thì pt đối với hệ tọa độ IXY là Y = F(X+x0) + y0 
II . TÂM ĐỐI XỨNG CỦA ĐƯỜNG CONG : 
1. Định nghĩa : Đồ thị (C) của đồ thị hàm số y = f(x) xác định trên miền D nhận điểm 0 0( ; )I x y 
làm tâm đối xứng khi và chỉ khi f(x) thỏa mãn tính chất sau : 
0 0 0 0( ) ( ) 2f x x f x x y vôùi x x D      
2. chú ý : hàm số lẻ nhận O(0;0) làm tâm đối xứng vì 
0 0
0
( ) ( )
( 0) (0 )
( ) ( )
( ) ( )
0
2
f x x f x x
f x f x
f x f x
f x f x
y
  
   
  
 


3. Phương pháp giải tóan : 
a) C/m 0 0( ; )I x y là tâm đối xứng của (C) : 
 Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY 
 Tìm phương trình của (C ) theo IXY 
 C/m Y= F( X ) là hàm số lẻ 
 Sử dụng chú ý thì ( C ) nhận I làm tâm đối xứng 
b) Tìm tâm đối xứng I 
 Gọi 0 0( ; )I x y là tâm đối xứng 
 Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY 
 Tìm phương trình của (C ) theo IXY 
 Xác định 0 0,x y sao cho Y= F( X ) là hàm số lẻ ( cho các hệ số bậc chẳn bằng 0 ) 
III. TRỤC ĐỐI XỨNG : 
 1. Định nghĩa : Đồ thị (C) của đồ thị hàm số y = f(x) xác định trên miền D nhận đường thẳng 
0x x làm trục đối xứng khi và chỉ khi f(x) thỏa mãn tính chất sau : 
0 0 0( ) ( )f x x f x x vôùi x x D     
2. Chú ý : hàm số chẳn đối xứng qua oy vì 
0
0
( )
(0 )
( )
( )
(0 )
( )
f x x
f x
f x
f x
f x
f x x

 
 

 
 
3. Phương pháp giải tóan : 
a. C/m 0x x là trục đối xứng của (C) : 
 Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY với 0( ;0)I x 
 Tìm phương trình của (C ) theo IXY 
 C/m Y= F( X ) là hàm số chẳn 
 Sử dụng chú ý thì ( C ) nhận IY làm trục đối xứng 
b. Tìm trục đối xứng biết có phương song song oy : 
 Gọi 0x x là trục đối xứng cần tìm 
 Chuyển hệ trục tọa độ từ oxy sang IXY với 0( ;0)I x 
 Tìm phương trình của (C ) theo IXY 
 Cho Y= F( X ) là hàm số chẳn ( cho các hệ số bậc lẻ bằng 0 ) 
 giải hệ tìm 0x 
c. C/m (d) y ax b  là trục đối xứng của (C) : 
 Dùng đường thẳng (d’) :
1y x m
a
  vuông góc với ( d) và m thay đổi 
 Tìm ĐK của m để ( d’) cắt ( C) tại 2 điểm phân biệt E, F 
 C/m rằng m là trung điểm EF thì M thuộc ( d) 
 vậy ( d) là trục đối xứng của ( C ) 
IV . VÍ DỤ : 
1 . CMR các hàm số sau nhận điểm đã cho làm tâm đối xứng : 
 a. 3 23 2 4 (1;4)y x x x I    
  0
0
1
4
(1;4)
x X x X
y Y y Y
Giaûi
Pheùp tònh tieán theo OI bieánoxy thaønh IXY theo coâng thöùc ñoåi heä truïc
   
   


Gọi (x,y) và ( X,Y) là tọa độ của M thuộc ( C ) đối với oxy và IXY 
      
 
3 2
3
( ) 4 3 3 1 2 1 4          
   
M C Y X X X
Y F X X X
 
 
 
 
 
 
3
3
1;4
F
F F
MXÑ cuûa Y F X laø D R
X D X D
F X X X
X X
F X
Y F X laø haøm soá leû
Vaäy I laø taâm ñoái xöùng
 
    
   
  
 
 
b.  
23 1; 2
1
y x I
x
   
 
 0
0
1
2
( 1;2)
x X x X
y Y y Y
Giaûi
Pheùp tònh tieán theo OI bieán oxy thaønh IXY theo coâng thöùc ñoåi heä truïc
   
   
 

Gọi (x,y) và ( X,Y) là tọa độ của M thuộc ( C ) đối với oxy và IXY 
 
2
2( ) 2 1 3
1 1
22
       
 

    
M C Y X
X
XY F X X
X X
    
 
 
 
 
2
2
\ 0
( ) 2
2
1;2
F
F F
MXÑ cuûa Y F X laø D R
X D X D
X
F X
X
X
X
F X
Y F X laø haøm soá leû
Vaäy I laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò
 
    
 
 




 
 

2. Tìm tâm đối xứng của hàm số : 
2 1
1
xy
x


 
   
   
   
     
 
   
0 0
0 0 0
0 0
0
0 0
0 0 0 0 0 0
2
0 0
; :
2
2 1 2 1
2
1 1
2 3 1 2 3 1
2 ( 1) 1
4 2 6 1 0
Giaûi
Goïi I x y laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò C ta coù
f x x f x x y x
x x x x
y x
x x x x
x x x x x x x x x x x x
y x x x x x
y x x x
    
   
  
   
           
     
     
 
0 01 , 2
1;2
Do ñoù x y
Vaäy I laø taâm ñoái xöùng cuûa ñoà thò
 
3.CMR các đường cong ( C ) sau đây nhận đường thẳng đã cho làm tâm 
đối xứng : 
a.    
 2
4: : 2
2
C y vôùi d x
x
  

 2;0
2
Giaûi
Pheùp tònh tieán theo OI bieán heä truïc oxy thaønh IXY theo coâng thöùc ñoåi truïc
x X
y Y

  



 Gọi (x,y) và (X, Y) là tọa độ của M đối với oxy và IXY 
 
 
   
2
2
4
2 2
4
\ 0F
M C Y
X
X
Mieàn xaùc dònh cuûa F X laø D R
x D X D
   
 


    
 
 
 
 
 
2
2
4
4
2
F X
X
X
F X
F X laø haøm soá chaún
Vaäy x laø truïc ñoái xöùng cuûa C
  




 
b.    2 : 1
2
xC y vôùi d y x
x

   

   
 
   
 
   2
'
' :
' :
2 2
2
1 2 2 0 *
Giaûi
Goïi d laø ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi d
ptñt d y x m
Phöôngtrình hoøanh ñoä giao ñieåm cuûa C vaø d laø
x x m x
x
x m x m
  

   

    
 
   2
* 2 :
0
1 4.1. 2 2 0
1 7
Ñeåpt coù nghieäm phaân bieät thì
m m
m hoaëc m
 
    
   
   
 
 
   
' 2 , ,
1 1
2 2
2 1
1
1 7
F E
M
M M
M
M M
Do d caét C taïi ñieåm phaân bieät E F neân toïa ñoä trung ñieåm M cuûa E F laø
x x
x m
y x m
m x
y x
M d vôùi m hoaëc m
Vaäy d laø truïc ñoái xöùng cuûa C
  
  

  
   
 
  
    
V. Bài Tập : 
 3 3
3 2
2
1. :
. 3 . 6
2. . 6 13
4. 2 1 0 .
1
12. .
1
Tìm taâm ñoái xöùng cuûa caùc haøm soá sau
a y x x e y x x
b y f y x x
x
xc xy x y g y
x
x x
d y x h y
x x
   
   

    

 
  

 
 
 
3 2
2
2. :
. 6 9 4 2 ; 2
2 1
. 1 ;2
1
2
. 1 ; 2
1
CMR caùc ñöôøng cong sau nhaän ñieåm ñaõ chæ laøm taâm ñoái xöùng
a y x x x vôùi I
x
b y vôùi I
x
x
c y vôùi I
x
    




  

4 2
2
2
4 3 2
3. :
. 5 4
4
.
. 4 3 2
Tìm truïc ñoái xöùng cuûa caùc haøm soá sau bieát truïc ñoái xöùng song song oy
a y x x
x
b y
x
c y x x x x
  


   
4 3 2
2
2
4 3 2
4. :
. 4 4 16 1
4 5
. 2
4 4
. 4 6 4 1 1
2 2. 4
2
4. 2
1
CMR caùc ñöôøng cong sau nhaän ñöôøng thaúng ñaû chæ ra laøm truïc ñoái xöùng
a y x x x x vôùi x
x x
b y vôùi x
x x
c y x x x x vôùi x
xd y vôùi y x vaø y x
x
x
e y vôùi y x vaø y x
x
     
 
  
 
     

    


    
