Chuyên đề Phương trình lượng giác

PHẠM HỒNG PHONG 
 Phân loại chi tiết 
 Hệ thống ví dụ phong phú 
 Bài tập có đáp số đầy đủ 
 Trích dẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002 - 2012 
HÀ NỘI - 2012
Bản quền thuộc về ThS. Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng 
Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn 
Keywords: pham hong phong, Phuong trinh luong giac
Mục lục 
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung về phương trình lượng giác ......... 1 
Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản .................................................................1 
Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos ........................................................ 13 
Chủ đề 2. Đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác .................... 23 
Loại 1. Một số phép đặt ẩn phụ đơn giản .................................................................... 23 
Loại 2. Phép đặt ẩn phụ cho phương trình đối xứng và gần đối xứng đối với sin, cos
 33 
Loại 3. Phép đặt ẩn phụ x2t tan ............................................................................... 41 
Loại 4. Phép đại số hóa t = tanx ................................................................................... 47 
Chủ đề 3. Phương trình tích ............................................................... 51 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
1 
Chủ đề 1. Một số kiến thức chung về phương trình lượng 
giác 
Loại 1. Các phương trình lượng giác cơ bản 
A. Tóm tắt lý thuyết 
1. Phương trình sin x m  1 
* Điều kiện có nghiệm:  1 có nghiệm   m 1;1  . 
* Công thức nghiệm: Với  m 1;1  , ta có  1  
x arcsinm 2k
x arcsin m 2k
  
     
 (k ). 
Trong đó, arcsinm là nghiệm thuộc đoạn 
2 2;
    của phương trình sin x m ( 
Hình 1). 
Ta thấy với mỗi  m 1;1  , giá trị arcsinm 
luôn tồn tại duy nhất. 
y=sinx
-1
1
-
π
2
π
2
arcsinm
O
m
y
x
 Hình 1 
2. Phương trình cos x m  2 
* Điều kiện có nghiệm:  2 có nghiệm   m 1;1  . 
* Công thức nghiệm: Với  m 1;1  , ta có  2  x arccosm 2k    (k ). 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
2 
Trong đó, arccosm là nghiệm thuộc đoạn 
 0; của phương trình sin x m (Hình 2). 
Ta thấy với mỗi  m 1;1  , giá trị arccosm 
luôn tồn tại duy nhất. 
π
y=cosx
-1
1
π
2
arccosm
O
m
y
x
 Hình 2 
3. Phương trình tan x m  3 
Với mọi m , ta có  3  x arctan m k   ( k ). 
Trong đó, arctan m là nghiệm thuộc khoảng  2 2;  của 
phương trình tan x m (Hình 3). 
Ta thấy với mỗi m , giá trị arctan m luôn tồn tại duy nhất. 
y=tanx
arctanm
-
π
2
π
2O
m
y
x
 Hình 3 
4. Phương trình cot x m  4 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
3 
Với mọi m , ta có  4  x arccot m k   ( k ). 
Trong đó, arccot m là nghiệm thuộc khoảng  0; của phương 
trình cot x m (Hình 4). 
Ta thấy với mỗi m , giá trị arccot m luôn tồn tại duy nhất. 
π
2 πO
y=cotx
arccotm
m
y
x
 Hình 4 
5. Ngoài các phương trình kể trên, các phương trình sau đây cũng có cách giải gần giống 
phương trình cơ bản: 
+)    sin f x sin g x        
   
   
f x g x 2k
f x g x 2k
   

    
 (k ); 
+)    os of x c g xsc            f x g x 2k    (k ). 
+)    tan f x tan g x        
   
  2
f x g x k
f x k
   

  
 (k ). 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
4 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. GPT: 22cos x sin x 2   1 
Giải 
 1   22 1 sin x sin x 2   
  22sin x sin x 0  
   sin x 2sin x 1 0  
  1
2
sin x 0
sin x



  6
5
6
x k
x 2k
x 2k


  
   

   
, (k ). 
Ví dụ 2. GPT: sin 2x cos x 0   1 
Giải 
 1  2sin xcos x cos x 0  
   cos x 2sin x 1 0  
  1
2
cos x 0
sin x


 
  
2
6
7
6
x k
x 2k
x 2k



   

    

   
, (k ). 
Ví dụ 3. GPT: 2 2sin x cos 2x 1  .  1 
Giải 
  1  2 2cos 2x 1 sin x  
  2 2cos 2x cos x 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
5 
  
cos 2x cos x
cos 2x cos x

  
. 
 
 
2
3
  2  
2x x 2k
2x x 2k
  
    
  2k
3
x 2k
x 
 


  2k3x
 (   2k32k k k   ). 
  3   cos 2x cos x   
  
2x x 2k
2x x 2k
    
     
  
2k
3 3x
x 2k
   

    
. 
Vậy nghiệm của  1 là: 2k3x
 , 2k3 3x
   , x 2k    (k ). 
Ví dụ 4. GPT: 5x xsin 3x sin cos
2 2
 .  1 
Giải 
 1   12sin 3x sin 3x sin 2x  
 sin 3x sin 2x 
 
3x 2x 2k
3x 2x 2k
  
     
 2k
5 5
x 2k
x  
 

 
 ( k ). 
Ví dụ 5. GPT:  sin 3x 1 cos 4x cos 3xsin 4x  .  1 
Giải 
 1  cos 3xsin 4x sin 3xcos4x sin 3x  
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
6 
 sin 7x sin 3x 
 
7x 3x 2k
7x 3x 2k
  
     
 
k
2
k
10 5
x
x

 
 

  
 ( k ). 
Ví dụ 6. GPT: sin 4xsin 7x cos 3xcos6x .  1 
Giải 
 1     1 12 2cos11x cos 3x cos 9x cos 3x    
 cos11x cos 9x  
   cos11x cos 9x   
 
11x 9x 2k
11x 9x 2k
    
     
 
k
20 10
2
x
x k
 

  

    
 ( k ). 
Ví dụ 7. GPT: tan x12 3cos x
1  .  1 
Giải 
  1  tan x12 3cos x
1 0    
 
  2 tan x
3
tan x 0  
  1
3
tan x tan x 0   
 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
7 
  1
3
tan x 0
tan x



  
6
x k
x k
 

  
 ( k ). 
Ví dụ 8. GPT: 
22sin x sin x 1
2cos x 3
0 

 .  1 
Giải 
Điều kiện để  1 có nghĩa: 2cos x 3 0   32cos x   6x 2k
    (k ). 
Ta có  1  22sin x sin x 1 0    1
2
sin x 1
sin x


 
  
2
6
7
6
x 2k
x 2k
x 2k



   

    

   
 (k ). 
Kết hợp điều kiện: Những giá trị vi phạm điều kiện được 
biểu diễn bằng những điểm trắng, những giá trị thỏa mãn 
1
2
sin x 1
sin x


 
 được biểu diễn bằng những điểm đen. 
 các họ nghiệm của  1 là 2 2k
   , 76 2k
   ( k ). 
y
x
π
2+2kπ
7π
6 +2kπ
-π
6 +2kπ
π
6+2kπ
-1
-1
1
1O
Chú ý: Khi biểu diễn họ 2knx
   ( k , *n , n là hằng số) trên đường tròn lượng giác 
ta được: 
+) Một điểm trong trường hợp n 1 . 
+) Hai điểm đối xứng nhau qua gốc tọa độ trong trường hợp n 2 . Hai điểm này là các 
điểm biểu diễn giá trị 2kn
 với k 0 , 1 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
8 
+) n điểm cách đều nhau trong trường hợp n 3 . n điểm này là các điểm biểu diễn giá 
trị 2kn
 với k 0 , 1 , , n 1 . 
y
x-1
-1
1
1O
 n 2 
y
x-1
-1
1
1O
 n 3 
y
x-1
-1
1
1O
 n 4 
Ví dụ 9. Giải phương trình  21 5sin x 2cos x cos x 0   .  1 
Giải 
Điều kiện để  1 có nghĩa: cos x 0 . 
 1  
21 5sin x 2cos x 0
cos x 0
   

 
. 
 
 
2
3
Ta thấy  2   21 5sin x 2 1 sin x 0    
 22sin x 5sin x 3 0   
 
 
1
2
sin x 3 1
sin x
    

  
voâ nghieäm
 6
7
6
x 2k
x 2k


    

   
. 
 3  cos x 0  2x k
   . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
9 
Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của  2 và  3 trên 
đường tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm 
điều kiện (điểm được khoanh trắng), ta được các họ nghiệm 
của  1 là: 2 k
   , 6 2k
   (k ). 
-
π
2+2kπ
y
x
π
2+2kπ
7π
6 +2kπ
-π
6 +2kπ
-1
-1
1
1O
Ví dụ 10. Giải phương trình 128cos x
sin x .  1 
Giải 
Điều kiện để  1 có nghĩa: cos x 0  2x k
   .  2 
Ta có  1  21
28cos x
sin x 0
sin x


 
. 
 
 
3
4
 4   
2 28sin xcos x 1 cos x 0
cos x 0
   


. 
 22sin 2x 1 
 cos 4x 0 
 24x k
   
 k8 4x
   . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
10 
Kết hợp điều kiện: biểu diễn nghiệm của  4 trên đường 
tròn lượng giác (điểm đen) và bỏ đi điểm vi phạm một 
trong hai điều kiện  2 ,  3 (điểm được khoanh trắng), ta 
được các họ nghiệm của  1 là: 
8 2k
   , 38 2k
   , 58 2k
   , 78 2k
   ( k ) 
-7π
8 +2kπ
-5π
8 +2kπ
-3π
8 +2kπ
-π
8 +2kπ
7π
8 +2kπ
5π
8 +2kπ
3π
8 +2kπ
π
8+2kπ
y
x-1
-1
1
1O
Chú ý: Họ nghiệm 2knx
   ( k ) thực ra là tập hợp  2kn k   . Ta có 
         2k 2 2n n nk 2k k 2k k n 1 ... 2 k. k                           
nói cách khác 2knx
    
 
 
2
n
2
n
x 2k
x 2k
...
x n 1 2k


   

    


         
 (k ). 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
11 
C. Bài tập 
Bài 1. Giải các phương trình sau 
1) sin x 3 cos x 0  . 
2) 14sin xcos x  . 
3) sin 3xcos 2x sin 2xcos x . 
4)  2 xcos x 4cos x 3 cos 02   . 
5)  32sin x 4sin x 3sin x sin 2x 0   . 
6) sin x sin 2x cos x cos 2x 0    . 
7) sin x sin 2x cos x cos 2x 0    . 
Bài 2. Giải các phương trình sau 
1)  cos xcos7xcos6x 4sin 2 x      . 
2) 21 1sin x cos x sin 2x  . 
3) 21 1sin x cos x sin 2x  . 
4)  sin 2x 1 tan 2xtan x 1  . 
5)  sin 2x tan x 1 sin 2xtan 2x  . 
6) 
   2 x2 3 cos x 2sin 2 4
2cos x 1 1
  

 . 
7)   2 cos 2x 12 2cos xtan x 3tan x
    .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
12 
D. Đáp số 
Bài 1 1) 3 k
   (k ). 2) 12 k
   , 56 k
   (k ). 
3) k , k8 4
  (k ). 4) 4k5
 , 4k7
 (k ). 
5) k , k8 2
  , 4 k
   (k ). 6) 2k , 2k6 3
  (k ). 
7) 2k , 2k3 3
  (k ). 
Bài 2 1) k , k5
 (k ). 2) 12 2k
   , 712 2k
   (k ). 
3) 12 2k
   , 712 2k
   (k ). 4) k
8 2
 
 (k ). 
5) x k  (k ). 6) 43 2k
   (k ). 
7) 4 k
   (k ). 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
13 
Loại 2. Phương trình bậc nhất đối với sin và cos 
A. Tóm tắt lý thuyết 
* Phương trình bậc nhất đối với sin x , cos x là phương trình có dạng: 
A sin x B cos x C  ,  1 
trong đó, A và B là các hằng số không đồng thời bằng 0 ( 2 2A B 0  ). 
* Cách giải: chia hai vế của  1 cho 2 2A B , ta được phương trình tương đương: 
2 2 2 2 2 2
A B Cs oin x c
B B A B
s x
A A
 
  
. 
Vì 
2 2
2 2 2 2
A B 1
A B A B
   
    
       
 nên tồn tại  0;2  để: 
2 2
2 2
Acos
A B
Bsin
A B

 
 

  
 
. 
Do đó:  
2 2
C1 sin xcos cos xsin
A B
   

   
2 2
Csin x
A B
  

.  2 
Ta thấy  2 là phương trình có dạng cơ bản  sin f x m    . 
* Chú ý: 
+) Từ cách giải này suy ra điều kiện có nghiệm của phương trình  1 : 
 1 có nghiệm  2 2 2A B C 0   . 
+) Nếu chọn  0;2  để: 
2 2
2 2
cos
A B
sin
A B
B
A

 
 

  
 
 thì  1   
2 2
Ccos x
A B
 

. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD  ... n xcos x tan x và 
21
2cos x
tan x 1  . 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Giải phương trình  2 2sin x 2sin xcos x 3cos x 0 1   . 
Giải 
Thay cos x 0 vào  1 ta có 2sin x 0  sin x 0  x (vì sin x , cos x không thể 
đồng thời bằng 0 ). Do đó những giá trị của x mà cos x 0 không phải nghiệm của  1 . Chia 
hai vế của  1 cho 2cos x ta được phương trình tương đương 
2tan x 2tan x 3 0    
tan x 1
tan x 3
 
 
 4
x k
x arctan 3 k
    

   
 (k ). 
Ví dụ 2.      2sin x tan x 1 3sin x cos x sin x 3 1    . 
Giải 
Chia hai vế của  1 cho 2cos x ta được phương trình tương đương 
    2 2 2tan x tan x 1 3tan x 3tan x 3 tan x 1     
 3 2tan t tan x 3tan x 3 0    
      tan x 1 tan x 3 tan x 3 0    
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
48 
 
tan x 1
tan x 3
tan x 3
 


  
  
x k
4
x k
3

   

    
 ( k ). 
Ví dụ 3. Tìm m để phương trình      2 2sin x 2 m 1 sin xcos x m 1 cos x m 1     có 
nghiệm. 
Giải 
* Thay cos x 0 vào  1 ta có 2sin x m . Do đó 
+) m 1  những giá trị của x làm cho cos x 0 không là nghiệm của  1 . 
+) m 1  những giá trị của x làm cho cos x 0 là nghiệm của  1   1 có nghiệm. 
* Khi cos x 0 , chia hai về của  1 cho 2cos x ta được phương trình tương đương 
   

2 1
2cos x
2tan x 1
tan x 2 m 1 tan x m 1 m.

     
      2m 1 tan x 2 m 1 tan x 2m 1 0 2      . 
Đặt t tan x ,  2 trở thành      2m 1 t 2 m 1 t 2m 1 0 3      . 
Ta đã biết khi m 1 thì  1 có nghiệm nên ta chỉ cần xét m 1 . Khi đó  3 là phương trình 
bậc hai với 2' m m 2     .  1 có nghiệm   3 có nghiệm  2m m 2 0     
2 m 1   (chú ý là ta đang xét m 1 ). 
Tóm lại  1 có nghiệm  2 m 1   . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
49 
C. Bài tập 
Bài 1. Giải các phương trình sau 
1) 2 26sin x sin xcos x cos x 2   . 
2) 2sin 2x 2sin x 2cos 2x  . 
3) 2 22sin 2x 3sin 2xcos 2x cos 2x 2   . 
4) 2 2 sin x cos x 1
12
 
  
 
. 
5)    34sin xcos x 4sin x cos x 2sin x cos x 1
2 2
    
           
   
. 
6)  22 3 cos x 2sin xcos x 3 2 0    . 
7)    2sin x tan x 1 3sin x cos x sin x 3    . 
8) 3sin x cos x 4sin x 0   . 
9) 32 2 cos x 3cos x sin x 0
4
 
    
 
. 
10) 33 sin x 2sin x
4
 
  
 
. 
11)    cos 2x 5 2 2 cos x sin x cos x    . 
Bài 2. Tìm m để phương trình 2m cos x 4sin xcos x m 2 0    có nghiệm thuộc khoảng 
 40;  . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
50 
D. Đáp số 
Bài 1 1) 2) k
4

  , k
2

  (k ). 
3) k
4 2
 
 ,  13
1 karctan
2 2

  (k ,  ). 4) k
4

  , k
3

  (k ). 
5) k
4

  , 13arctan k  (k ). 6) k24

   , 5 k
24

  (k ). 
7) k
3

   , k
3 2
 
 (k ). 8) k
4

  (k ). 
9) k
2

  , k
4

  (k ). 11) k , k
6

  , k
3

  (k ). 
11) 2k
2

  , 2k   (k ). 
Bài 2 81 m
3
  . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
51 
Chủ đề 3. Phương trình tích 
A. Nội dung phương pháp 
Phần này đề cập đến việc giải phương trình lượng giác bằng cách đưa phương trình cần xét về dạng 
phương trình tích. Cũng như đại số hóa, đây là một tư tưởng quan trọng khi giải phương trình nói chung, 
phương trình lượng giác nói riêng. 
Sau đây là một số đẳng thức hay sử dụng trong phần này 
o  21 sin 2x sin x cos x   . 
o  21 sin 2x sin x cos x   . 
o    cos 2x cos x sin x cos x sin x   . 
o    3 3sin x cos x sin x cos x 1 sin xcos x    . 
o    3 3sin x cos x sin x cos x 1 sin xcos x    . 
o cos x sin x1 tan x
cos x

  . 
o cos x sin x1 tan x
cos x

  . 
o sin x cos x1 cot x
sin x

  . 
o sin x cos x1 cot x
sin x

  . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
52 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. [ĐHD04] Giải phương trình      2cos x 1 2sin x cos x sin 2x sin x 1    . 
Giải 
Ta có  sin 2x sin x sin x 2cos x 1   . Do đó 
 1       2cos x 1 2sin x cos x sin x 2cos x 1    
     2cos x 1 sin x cos x 0    
2cos x 1 0
sin x cos x 0
 
  
  
1
2cos x
tan x 1
 

  
  
x 2k
3
tan x k
4

   

    
 ( k ). 
Ví dụ 2. [ĐHB05] Giải phương trình  1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0 1     . 
Giải 
Ta có:  21 sin 2x sin x cos x   ,    cos 2x cos x sin x cos x sin x   . 
Do đó  1         2sin x cos x sin x cos x cos x sin x cos x sin x 0       
      sin x cos x 1 sin x cos x cos x sin x 0        
     sin x cos x 2cos x 1 0    
sin x cos x 0
2cos x 1 0
 
  
 
tan x 1
1cos x
2
 

  

  4
2
3
x k
x 2k


    

    
, (k ). 
Ví dụ 3. [ĐHB11]  sin 2xcos x sin xcos x cos 2x sin x cos x 1    . 
Giải 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
53 
Ta có  1   sin 2xcos x sin xcos x sin x cos 2x cos x 0     
     2 2sin x 2cos x cos x 1 2cos x cos x 1 0      
     2sin x 1 2cos x cos x 1 0    
       sin x 1 cos x 1 2cos x 1 0    
  
sin x 1
cos x 1
1cos x
2

 

 



  
x 2k
2
x 2k
x 2k
3

  

   
 
   

 ( k ). 
Ví dụ 4. Giải phương trình  5x x 3xsin cos 2 cos 1
2 4 2 4 2
    
      
   
. 
Giải 
Ta có 
5x x 5x x 3xsin cos sin sin 2cos sin x
2 4 2 4 2 4 2 4 2 4
             
                 
         
. 
Do đó  1  3x 22cos sin x 0
2 4 2
  
    
  
  
3xcos 0
2
2sin x
4 2



  
    
  
3x k
2 2
x 2k
4 4
3x 2k
4 4

  

     
      

  
2kx
3 3
x 2k
2
x 2k
 
 

   
    

, (k ). 
Ví dụ 5. Giải phương trình  3 sin xtan x 2 1
2 1 cos x
 
     
. 
Giải 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
54 
Ta có 
3tan x tan x cot x
2 2
    
      
   
. 
Do đó điều kiện để phương trình có nghĩa là: 
 sin x 0 cos x 1
cos x 1
    

 
   sin x 0 2 . 
Ta có 
  1  sin xcot x 2
1 cos x
 

   
  
  2
1 cos x 1 cos x
cos x 1 cos x sin x 2sin x 1 cos x
 
    
     1 cos x cos x 1 cos x 2sin x 0           1 cos x 1 2sin x 0   
  
 
 
khoâng thoûa maõn 2
thoûa maõn 2
cos x 1 ( )
1sin x ( )
2
  

 

  
x 2k
6
5x 2k
6

  

   
 ( k ). 
Ví dụ 6. Giải phương trình 
 
 
2
4
4
2 sin 2x sin 3x
tan x 1 1
cos x

  . 
Giải 
Đk: cos x 0 . Ta có  1   4 4 2sin x cos x 2 sin 2x sin 3x   . 
Lại có 4 4 21sin x cos x 1 sin 2x
2
   . Do đó phương trình nói trên tương đương với 
 2 211 sin 2x 2 sin 2x sin 3x2     
2 12 sin 2x sin 3x 0
2
 
   
 
 1sin 3x
2
 (do 22 sin 2x 1 x   )  1sin 3x
2
 
( cos x 0 vì 3cos x 0 sin x 1 sin 3x 3sin x 4sin x 1         ) 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
55 
 6
5
6
3x 2k
3x 2k


   

   
 
2k
18 3
5 2k
18 3
x
x
 
 
  

  
( k ). 
Ví dụ 7. Giải phương trình  2sin x sin xcos x sin x cos x 2 0 1     . 
Giải 
Cách 1:  1     2sin x sin xcos x 2sin x sin x cos x 2 0      
    sin x sin x cos x sin x sin x cos x 2 0      
    sin x 1 sin x cos x sin x 0    
 
 
 
sin x cos x 2 2
sin x 1 3
   


. 
 2  sin x cos x 2   ,  22 21 1 2 2 0        2 vô nghiệm. 
 3  x k2
2

   (k ). 
Vậy nghiệm của  1 là 2k
2

  (k ). 
Cách 2: Ta có  1   2sin x cos x 1 sin x cos x 2 0     . 
Coi  1 là phương trình bậc hai đối với sin x , ta có 
     2 2cos x 1 4 cos x 2 cos x 3       . 
Do đó  1  
   
   
cos x 1 cos x 3
sin x
2
cos x 1 cos x 3
sin x
2
    


    


  
sin x cos x 2
sin x 1
  
 
. 
Đến đây, việc tìm ra nghiệm của phương trình được thực hiện như ở cách 1. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
56 
Nhận xét: Đối với phương trình có dạng 
 2 2asin x bcos x csin xcos x dsin x ecos x f 0 1      , 
với a , b là các số không đồng thời bằng 0 , việc đưa về phương trình tích nói chung là phức tạp. 
Để giải phương trình dạng này (phương trình bậc hai đối với sin , cos ) ta có một cách làm khác 
như sau: Coi  1 là phương trình bậc hai đối với cos x , giải cos x theo sin x ; hoặc coi  1 là 
phương trình bậc hai đối với sin x , giải sin x theo cos x . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
57 
C. Bài tập 
Giải các phương trình sau 
1) [ĐHB02] 2 2 2 2sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x   . 
2) [ĐHA03] 2cos 2x 1cot x 1 sin x sin 2x
1 tan x 2
   

. 
3) [ĐHD03] 2 2 2x xsin tan x cos 0
2 4 2
 
   
 
. 
4) [ĐHB07] x22sin 2x sin 7x 1 sin   . 
5) [ĐHB08] 3 3 2 2sin x 3 cos x sin xcos x 3 sin xcos x   . 
6) [ĐHD08]  2sin x 1 cos 2x sin 2x 1 2cos x    . 
7) [ĐHB10]  sin 2x cos 2x cos x 2cos 2x sin x 0    . 
8) [ĐHA11] 2
1 sin 2x cos 2x 2 sin xsin 2x
1 cot x
 


. 
9) [ĐHD11] sin 2x 2cos x sin x 1 0
tan x 3
  


. 
10)    2 2 22sin x 1 tan 2x 3 2cos x 1 0    . 
11) 3 24sin x 4sin x 3sin 2x 6cos x 0    . 
12) 2sin xcos 2x sin 2xcos x sin 4xcos x  . 
13)    x x1 tan 1 sin 2x 1 tan    . 
14) 1 1sin 2x sin x 2cot 2x
2sin x sin 2x
    . 
15)  sin 3x 3 2 cos 3x 1   . 
16)  23 cos x sin xcos x 2sin x 2 1 3 cos x 4 0      . 
17) sin 2x cos 2x 3sin x cos x 2 0     . 
18) [ĐHD10] sin 2x cos 2x 3sin x cos x 1 0     . 
19) [ĐHA12] 3 sin 2x cos 2x 2cos x 1   . 
20) [ĐHD12] sin 3x cos 3x sin x cos x 2 cos 2x    . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
58 
D. Hướng dẫn và đáp số 
1) k9
 , k2
 (k ). 2) 4 k
   (k ). 
3) 2k   , 4 k
   (k ). 4) k8 4
  , 2k18 3
  , 5 2k18 3
  (k ). 
5) k4 2
  , 3 k
   (k ). 6) 23 2k
   , 4 k
   (k ). 
7) k4 2
  (k ). 8) k
2

  , 2k
4

  , (k ). 
9) 2k
3

  (k ) 10) k
6 2
 
  (k ). 
11) 2k
2

   , 
2 2k
3

   (k ). 12) k , k
3

 (k ). 
13) k
4

   , k (k ). 14) k
4 2
 
 (k ). 
15) 
2k
6 3
 
 , 
2 2k
9 3
 
 (k ). 16) 5 2k
6

  (k ). 
17) 2k
6

  , 
5 2k
6

  , 2k
2

  , 2k   (k ). 
18) 2k
6

  , 
5 2k
6

  (k ). 
19) k
2

  , 2k , 2 2k
3

  (k ). 20) k
4 2
 
 , 
7 2k
12

  , 2k
12

   (k ).