Chuyên đề: Một số kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức

Chuyên đề: MỘT SỐ KỸ THUẬT CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 
Biên soạn: HUỲNH CHÍ HÀO 
Kỹ thuật 1: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI. 
Kết hợp thủ thuật : Tách, ghép và phân nhóm 
Bài 1: 
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a b c 3+ + = 
Chứng minh rằng: 
 ( )( ) ( )( ) ( )( )
3 3 3a b c 3 (1)
a b a c b c b a c a c b 4
+ + ≥+ + + + + + 
Hướng dẫn: 
+ Dự đoán dấu "=" xảy ra. 
+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. 
+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. 
 Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức. 
Bài giải: 
Sử dụng giả thiết a b c 3+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế 
 ( )( ) ( )( ) ( )( )
( )3 3 3 a b ca b c(1)
a b a c b c b a c a c b 4
+ +⇔ + + ≥+ + + + + + 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 
 ( )( ) ( )( )
3 3
3
a a a b a c 3a3
a b a c a b a c 8 88
a
4
b a c
8
⎛ ⎞⎛ ⎞+ +⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟+ + ≥ =⎜ ⎟ ⎟⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎟⎜+ + + +
+ +
⎝ ⎠ 
Chứng minh tương tự ta cũng được: 
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )( )
3 3
3
3 3
3
b b c b a b b c b a 3b3
b c b a 8 8 b c b a 8 8 4
c c a c b c c a c b 3c3
c a c b 8 8 c a c b 8 8 4
⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞+ + + +⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟+ + ≥ =⎜ ⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎟⎜+ + + +⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎟+ + ≥ =⎜ ⎟⎟⎟ ⎜⎜ ⎟ ⎟⎜⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎟⎜+ + + +⎝ ⎠
Cộng vế với vế các bđt trên và biến đổi ta được bđt: 
 ( )( ) ( )( ) ( )( )
3 3 3a b c a b c 3
a b a c b c b a c a c b 4 4
+ ++ + ≥ =+ + + + + + (đpcm) 
Đẳng thức xảy ra a b c 1⇔ = = = 
Bài tập tương tự: 
Bài 1: 
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc 1= 
Chứng minh rằng: 
 ( )( ) ( )( ) ( )( )
3 3 3a b c 3 
1 b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 4
+ + ≥+ + + + + + 
Bài 2: 
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca abc+ + = 
Chứng minh rằng: 
2 2 2a b c a b c
a bc b ca c ab 4
+ ++ + ≥+ + + 
Bài 3: 
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc 1= 
Chứng minh rằng: 
2 2 2a b c 3
b c c a a b 2
+ + ≥+ + + 
Bài toán có liên quan: 
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện abc 1= 
Chứng minh rằng: 
 ( ) ( ) ( )3 3 3
1 1 1 3
a b c b c a c a b 2
+ + ≥+ + + 
Bài 4: 
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a b c 1+ + = 
Chứng minh rằng: 
 ( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2
a b c 1
c a a b 4b c
+ + ≥+ ++ 
Bài 2: 
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện a b c 3+ + = 
Chứng minh rằng: 
 ( ) ( ) ( )
3 3 3a b c 1 (1)
b 2c a c 2a b a 2b c
+ + ≥+ + + 
Hướng dẫn: 
+ Dự đoán dấu "=" xảy ra. 
+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. 
+ Sử dụng kỹ thuật tách ghép và phân nhóm. 
 Bổ sung thêm một số số hạng để sau khi sử dụng bđt Cô-si ta khử được mẫu số của biểu thức phân thức. 
Bài giải: 
Sử dụng giả thiết a b c 3+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 1 ở hai vế 
 ( ) ( ) ( )
3 3 3a b c a b c(1)
b 2c a c 2a b a 2b c 3
+ +⇔ + + ≥+ + + 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
 ( ) ( ) ( ) ( )( )
3 3
3
a a3 3b 2c a 9a
b 2c a b
9
2c a
3 a 9b 2c
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ ≥ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜+ +⎝ ⎠+ + 
Chứng minh tương tự ta cũng được: 
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )
3 3
3
3 3
3
9 9
9
b b3c 2a b 3 3c 2a b 9b
c 2a b c 2a b
c c3a 2b c 3 3a 2b c 9c
a 2b c a 2b c
9
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ + + ≥ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜+ +⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟+ + + ≥ + =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜+ +⎝ ⎠
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 3
3 3 3
a b c9 6 a b c 9 a b c
b 2c a c 2a b a 2b c
a b c a b c 1
b 2c a c 2a b a 2b c 3
⎡ ⎤⎢ ⎥+ + + + + ≥ + +⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦
+ +⇒ + + ≥ =+ + +
Đẳng thức xảy ra a b c 1⇔ = = = 
Bài 3: 
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2a b c 1+ + = 
Chứng minh rằng: 
3 3 3a b c 1 
b 2c c 2a a 2b 3
+ + ≥+ + + 
Bài giải: 
Sử dụng giả thiết 2 2 2a b c 1+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 2 ở hai vế 
 ( )
3 3 3 2 2 2a b c a b c1
b 2c c 2a a 2b 3
+ +⇔ + + ≥+ + + 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 
 ( ) ( ) ( )
3 3
2a 9a2 .a b 2c 6a
b 2c b
a b 29
2
c
c
+ ≥ + =+ ++ 
Chứng minh tương tự ta cũng được: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 3
2
3 3
2
9
9
b 9bb c 2a 2 .b c 2a 6b
c 2a c 2a
c 9cc a 2b 2 .c a 2ab 6c
a 2b a 2b
+ + ≥ + =+ +
+ + ≥ + =+ +
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 3
2 2 2
3 3 3
2 2 2 2 2 2
3 3 3 2 2 2
a b c9 3 ab bc ca 6 a b c
b 2c c 2a a 2b
a b c9 6 a b c 3 ab bc ca 3 a b c
b 2c c 2a a 2b
a b c a b c 1
b 2c c 2a a 2b 3 3
⎛ ⎞⎟⎜ + + + + + ≥ + +⎟⎜ ⎟⎟⎜ + + +⎝ ⎠
⎛ ⎞⎟⎜⇒ + + ≥ + + − + + ≥ + +⎟⎜ ⎟⎟⎜ + + +⎝ ⎠
+ +⇒ + + ≥ =+ + +
Đẳng thức xảy ra 3a b c
3
⇔ = = = 
Bài tập tương tự 
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện 2 2 2a b c 1+ + = 
Chứng minh rằng: 
3 3 3a b c 1 
a b b c c a 2
+ + ≥+ + + 
Bài 4: 
Cho a, b,c là ba số dương thỏa mãn điều kiện ab bc ca 1+ + = 
Chứng minh rằng: 
2 2 2
a b c 3 (1)
21 a 1 b 1 c
+ + ≤+ + + 
Hướng dẫn: 
+ Sử dụng giả thiết biến đổi bđt về bđt đồng bậc. 
+ Sử dụng kỹ thuật đánh giá biểu thức đại diện 
Bài giải: 
Sử dụng giả thiết ab bc ca 1+ + = để đưa bđt về bđt đồng bậc 0 ở hai vế 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 
2 2
a a a a 1 a a.
a b a c 2 a b a c1 a ab ca b ca
⎛ ⎞⎟⎜= = ≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + ++ + + + 
Chứng minh tương tự ta cũng được: 
2
2
b 1 b b
2 b c b a1 b
c 1 c c
2 c a a b1 c
⎛ ⎞⎟⎜≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ ++
⎛ ⎞⎟⎜≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ ++
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt: 
2 2 2
a b c 1 a b b c c a 3
2 a b b c c a 21 a 1 b 1 c
⎛ ⎞+ + + ⎟⎜+ + ≤ + + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + ++ + + 
Đẳng thức xảy ra 3a b c
3
⇔ = = = 
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Bài 5: 
Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a b c 2+ + = 
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 
 ab bc acS
2c ab 2a bc 2b ac
= + ++ + + 
Bài giải: 
Ta lần lượt có: 
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( ) ( )
ab ab ab ab 1 1
2c ab 2 c a c bc ab c a c b
bc bc bc bc 1 1
2a bc 2 a b a ca a b c bc a b a c
ca ca ca ca 1 1
2b ac 2 b c b ab a b c ca b c b a
bc ca bc ab cS
2 a b
b
2 c a
a c
⎧⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜⎪ = = ≤ + ⎟⎜⎪ ⎟⎜⎝ ⎠+ + +⎪ + + +⎪⎪⎪ ⎛ ⎞⎪⎪ ⎟⎜= = ≤ +⎨ ⎟⎜ ⎟⎜⎪ ⎝ ⎠+ + ++ + + + +⎪⎪⎪⎪ ⎛ ⎞⎪ ⎟⎜= = ≤ +⎪ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎜⎝ ⎠+ + ++ + + + +⎪⎪⎩
+ +⇒ ≤ + ++
+
+
+
( )
a ab a b c 1
2 c b 2
+ + += =+
Đẳng thức xảy ra ⇔ 2a b c
3
= = = 
Vậy Max S 1= . 
Bài tập tương tự 
Cho ba số dương a, b,c thỏa mãn a b c 2+ + = 
Chứng minh rằng: 
 ab bc ac 1
c ab a bc b ac 2
+ + ≤+ + + 
Kỹ thuật 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐỒNG BẬC DẠNG CỘNG MẪU SỐ. 
Dạng 1: 
 1) x, y 0∀ > ta luôn có: 
 ( ) 1 1x y 4
x y
⎛ ⎞⎟⎜+ + ≥⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 Đẳng thức xảy ra ⇔ x y= 
 2) x, y, y 0∀ > ta luôn có: 
 ( ) 1 1 1x y x 9
x y y
⎛ ⎞⎟⎜+ + + + ≥⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 Đẳng thức xảy ra ⇔ x y z= = 
Dạng 2: 
 1) x, y 0∀ > ta luôn có: 
 1 1 4
x y x y
+ ≥ + 
 Đẳng thức xảy ra ⇔ x y= 
 2) x, y, z 0∀ > ta luôn có: 
 1 1 1 9
x y z x y z
+ + ≥ + + 
 Đẳng thức xảy ra ⇔ x y z= = 
Bài 1: Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng: 
 ab bc ca a b c
a b 2c b c 2a c a 2b 4
+ ++ + ≤+ + + + + + 
Bài giải 
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: 
 ( ) ( )
ab 1 1 1 1ab. ab.
a b 2c 4a c a c b cb c
⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + ++ + + 
Tương tự ta cũng được: 
( ) ( )
( ) ( )
bc 1 1 1 1bc. bc.
b c 2a b a c a 4 b a c a
ca 1 1 1 1ca. ca.
c a 2b c b a b 4 c b a b
⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + +
⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + +
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt 
 ab bc ca 1 bc ca ca ab ab bc a b c
a b 2c b c 2a c a 2b 4 a b b c a c 4
⎛ ⎞+ + + + +⎟⎜+ + ≤ + + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + + + + 
Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > 
Bài 2: 
Cho a,b,c là các số dương.Chứng minh rằng: 
 ab bc ca a b c
a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 6
+ ++ + ≤+ + + + + + 
Bài giải 
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: 
 ( ) ( )
ab 1 1 1 1 1ab. ab.
a 3b 2c 9 a c b c 2ba c b c 2b
⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + ++ + + + 
Tương tự ta cũng được: 
( ) ( )
( ) ( )
bc 1 1 1 1 1bc. bc.
b 3c 2a b a c a 2c 9 b a c a 2c
ca 1 1 1 1 1ca. ca.
c 3a 2b c b a b 2a 9 c b a b 2a
⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + + +
⎛ ⎞⎟⎜= ≤ + + ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + + +
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt 
ab bc ca 1 a b c bc ca ca ab ab bc a b c
a 3b 2c b 3c 2a c 3a 2b 9 2 a b b c a c 6
⎛ ⎞+ + + + + + +⎟⎜+ + ≤ + + + =⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠+ + + + + + + + +
Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > 
Bài 3: 
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn 1 1 1 4
a b c
+ + = .Chứng minh rằng: 
 1 1 1 1
2a b 2c a 2b c a b 2c
+ + ≤+ + + + + + 
Bài giải: 
Biến đổi và áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số ta được: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1 1 1 2 1 1
2a b c 4 a b a c 16 a b c
1 1 1 1 1 1 1 2 1
a 2b c a b b c 4 a b b c 16 a b c
1 1 1 1 1 1 1 1 2
a b 2c a c b c 4 a c b c 16 a
a b a c
b c
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ≤ + ≤ + +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ + + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ≤ + ≤ + +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ + + + + + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜= ≤ + ≤ + +⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠+ + + + + +
+
+
+ +
Cộng vế với vế các bđt trên ta được bđt 
1 1 1 1 1 1 1 1 .4 1
2a b 2c a 2b c a b 2c 4 a b c 4
⎛ ⎞⎟⎜+ + ≤ + + = =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠+ + + + + + 
Dấu đẳng thức xảy ra 3a b
4
⇔ = = 
Bài 4: 
Cho a,b là các số dương thỏa mãn a b 1+ < .Chứng minh rằng: 
 1 1 1 9
1 a 1 b a b 2
+ + ≥− − + 
Nhận xét : ( ) ( ) ( )1 a 1 b a b 2− + − + + = 
Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được: 
 ( ) ( ) ( )
1 1 1 9 2
1 a 1 b a b 1 a 1 b a b 9
+ + ≥ =− − + − + − + + (đpcm) 
Dấu đẳng thức xảy ra 1a b
3
⇔ = = 
Bài toán có liên quan: 
Cho a,b là các số dương thỏa mãn a b 1+ < . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
2 2a b 1S a b
1 a 1 b a b
= + + + +− − + 
Kết quả: 5minS
2
= 
Bài 5: 
Cho a, b, C là các số dương thỏa mãn a b c 1+ + = .Chứng minh rằng: 
 1 1 1 9
1 a 1 b 1 c 4
+ + ≥+ + + 
Nhận xét : ( ) ( ) ( )1 a 1 b 1 c 4+ + + + + = 
Áp dụng bất đẳng thức dạng 2 ta được: 
 ( ) ( ) ( )
1 1 1 9 9
1 a 1 b 1 c 1 a 1 b 1 c 4
+ + ≥ =+ + + + + + + + (đpcm) 
Dấu đẳng thức xảy ra 1a b
3
⇔ = = . 
Bài toán có liên quan: 
Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a b c 1+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 a b cS
a 1 b 1 c 1
= + ++ + + 
Kết quả: 3Max S
4
= 
Kỹ thuật 3: SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG DÃY BẤT ĐẲNG 
 THỨC BẬC BA 
Dãy bất đẳng thức đồng bậc bậc ba: 
 ( ) ( )( ) ( )( )
32 2 2 23 3 3
3
a b a ab b a bab a b a b a b
2 2 6 2 a b
+ + + ++ ⎛ ⎞+ +⎟⎜≤ ≤ ≤ ≥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠ + (1) 
Dấu bằng xảy ra a b⇔ = 
Bài 1: 
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
 ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 33 3 3
b c c a a b 2
a 4 b c b 4 c a c 4 a b
+ + ++ + ≤
+ + + + + +
Bài giải: 
Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có ( )3 33 4 b c b c+ ≥ + 
Do đó: 
( ) ( )
( ) ( )
3 3 3 33 3
3 3 3 33 3
4 b c b c a 4 b c a b c
1 1 b c b c
a b c a b ca 4 b c a 4 b c
+ ≥ + ⇒ + + ≥ + +
+ +⇒ ≤ ⇒ ≤+ + + ++ + + +
Chứng minh tương tự ta cũng được: 
( )
( )
3 33
3 33
c a c a
a b cb 4 c a
a b a b
a b cc 4 a b
+ +≤ + ++ +
+ +≤ + ++ +
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 
 ( ) ( ) ( )
( )
3 3 3 3 3 33 3 3
2 a b cb c c a a b 2
a b ca 4 b c b 4 c a c 4 a b
+ ++ + ++ + ≤ =+ ++ + + + + +
Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > 
Bài 2: 
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: 
 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc abc
+ + ≤+ + + + + + 
Bài giải 
Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có ( )3 3a b ab a b+ ≥ + 
Do đó: 
 ( ) ( )
3 3
3 3
1 1a b abc ab a b c
a b abc ab a b c
+ + ≥ + + ⇒ ≤+ + + + 
Chứng minh tương tự ta cũng được: 
( )
( )
3 3
3 3
1 1
b c abc bc a b c
1 1
c a abc ca a b c
≤+ + + +
≤+ + + +
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 
 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1 1 1
a b abc b c abc c a abc a b c ab bc ca abc
⎛ ⎞⎟⎜+ + ≤ + + =⎟⎜ ⎟⎝ ⎠+ + + + + + + + 
Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > 
Bài toán có liên quan: 
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện abc 1= 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
 3 3 3 2 3 3
1 1 1S
a b 1 b c 1 c a 1
= + ++ + + + + + 
Kết quả: Max S 1= 
Bài 4: 
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc 1= . Chứng minh rằng: 
3 3 3 3 3 3
2 2 2 2 2 2
a b b c c a 2
a ab b b bc c c ca a
+ + ++ + ≥+ + + + + + 
Bài giải: 
Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có 
2 2
2 2
a b a b
a ab b 3
+ +≥+ + 
Suy ra: 
( )
3 3 3 3 3 3
3
2 2 2 2 2 2
a b b c c a a b b c c a 2 2a b c 3. abc 2
a ab b b bc c c ca a 3 3 3 3 3
+ + + + + ++ + ≥ + + = + + ≥ =+ + + + + +
Dấu đẳng thức xảy ra a b c 1⇔ = = = 
Bài toán có liên quan: 
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz 1= . Chứng minh rằng: 
9 9 9 9 9 9
6 3 3 9 6 3 3 6 6 3 3 6
x y y z z x 2
x x y y y y z z z z x x
+ + ++ + ≥+ + + + + + 
Kỹ thuật 4: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ TRỢ 
Bài 1: 
Cho các số dương a, b,c thỏa mãn điều kiện abc 1= 
Chứng minh rằng: 
2 2 2 2 2 21 a b 1 b c 1 c a 3 3
ab bc ca
+ + + + + ++ + ≥ 
Bài giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 3 3 3 331 a b 3 1.a .b 3ab+ + ≥ = (Tạm gọi là bđt phụ trợ) 
Suy ra: 
3 3
3 3 3 33 1 a b 31 a b 3 1.a .b 3ab
ab ab
+ ++ + ≥ = ⇒ ≥ 
Chứng minh tương tự ta cũng được: 
3 3
3 3
1 b c 3
bc bc
1 c a 3
ca ca
+ + ≥
+ + ≥
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 
2 2 2 2 2 2
3
1 a b 1 b c 1 c a 3 3 3 3 3 33 . . 3 3
ab bc ca ab bc ca ab bc ca
+ + + + + ++ + ≥ + + ≥ = 
Dấu đẳng thức xảy ra a b c 1⇔ = = = 
Bài 2: 
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: 
 3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 a 2 b 2 c 1 1 1
a b b c c a a b c
+ + ≤ + ++ + + 
Bài giải 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có: 3 2 3 2a b 2 a b 2ab b+ ≥ = 
Suy ra: 3 2 3 2 3 2
2 a 1a b 2 a b 2ab b
a b ab
+ ≥ = ⇒ ≤+ 
Chứng minh tương tự ta cũng được: 
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
3 2
3 2
2 b 1
b c bc
2 c 1
c a ca
≤+
≤+
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 
 3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 a 2 b 2 c 1 1 1 1 1 1
a b b c c a ab bc ca a b c
+ + ≤ + + ≤ + ++ + + 
Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > 
Bài 3: 
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: 
2 2 2
2 2 2
a b c 1
a 2bc b 2ca c 2ab
+ + ≥+ + + 
Bài giải: 
Áp dụng bất đẳng thức : 2 2b c 2bc+ ≥ 
Ta có : 
2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 a ab c 2bc a 2bc a b c
a 2bc a b c a 2bc a b c
+ ≥ ⇒ + ≤ + + ⇒ ≥ ⇒ ≥+ + + + + + 
Chứng minh tương tự ta cũng được: 
2 2
2 2 2 2
2 2
2 2 2 2
b b
b 2ca a b c
c b
c 2ab a b c
≥+ + +
≥+ + +
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b c a b c 1
a 2bc b 2ca c 2ab a b c a b c a b c
+ + ≥ + + =+ + + + + + + + + 
Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > 
Bài 4: 
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện 3a b c
4
+ + = . Chứng minh bất đẳng thức: 
 3 3 3a 3b b 3c c 3a 3+ + + + + ≤ 
Bài giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : ( )3 3 a 3b 1 1 a 3b 2a 3b a 3b .1.1
3 3
+ + + + ++ = + ≤ = 
Chứng minh tương tự ta cũng được: 
3
3
b 3c 2b 3c
3
c 3a 2c 3a
3
+ ++ ≤
+ ++ ≤
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 
 ( )3 3 3 4 a b c 6a 3b b 3c c 3a 3
3
+ + ++ + + + + ≤ = 
Dấu đẳng thức xảy ra 1a b c
4
⇔ = = = 
Bài 5: 
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: 
 ab bc ca a b c
a b b c c a 2
+ ++ + ≤+ + + 
Bài giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : ( )2 ab a ba b 2 ab a b 4ab
a b 4
++ ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≥+ 
Chứng minh tương tự ta cũng được: 
bc b c
b c 4
ca c a
c a 4
+≥+
+≥+
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt 
 ab bc ca a b b c c a a b c
a b b c c a 4 4 4 2
+ + + + ++ + ≤ + + =+ + + 
Dấu đẳng thức xảy ra a b c 0⇔ = = > 
Bài toán có liên quan: 
Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a b c 3+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 ab bc caS
a b b c c a
= + ++ + + 
Kết quả: 3Max S
2
= 
Bài 6: 
Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh bất đẳng thức: 
 ( ) ( ) ( )
3 3 3
3 33 33 3
a b c 1
b c aa b c c a b
+ + ≥+ ++ + + + 
Bài giải: 
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : ( )( ) 2 23 2 1 x 1 x x x1 x 1 x 1 x x 1
2 2
+ + − −+ ≥ + − + ≤ = + 
Vận dụng bđt trên ta sẽ được: 
 ( )
3 2
3 2 2 2 2 2 23 3
2
a 1 1 1 a
b c a b c1 b ca b c b c 111 a2 aa
= ≥ ≥ =+⎛ ⎞ + +++ + ⎛ ⎞+ ⎟⎜ ++⎟⎜ ⎟+ ⎜ ⎟⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠
Chứng minh tương tự ta cũng được: 
( )
( )
3 2
3 2 2 23
3 2
3 2 2 23
b b
b c a a b c
c c
a b cc a b
≥+ + + +
≥ + ++ +
w
w
w
.
v
i
e
t
m
a
t
h
s
.
c
o
m
Cộng vế với vế các bất đẳng thức trên ta được bđt: 
( ) ( ) ( )
3 3 3 2 2 2
3 33 2 2 2 2 2 2 2 2 233 3
a b c a b c 1
b c a a b c a b c a b ca b c c a b
+ + ≥ + + =+ + + + + + + ++ + + +
Ngày soạn 30/04/2009. 
-------------------Hết------------------