Chuyên đề Cực trị của hàm số (ôn thi vào Đại học)

PHẠM HỒNG PHONG 
 Phân loại chi tiết 
 Hệ thống ví dụ phong phú 
 Bài tập có đáp số đầy đủ 
 Trích dẫn tất cả các bài thi trong các năm 2002 - 2012 
HÀ NỘI - 2012
Bản quền thuộc về ThS. Phạm Hồng Phong – Trường Đại học Xây dựng 
Tài liệu có thể được download miễn phí tại violet.vn/phphong84 
Từ khóa : pham hong phong, cuc tri cua ham so
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
Mục lục 
Loại 1. Kiến thức chung ............................................................................................................1 
A. Tóm tắt lý thuyết ................................................................................................................1 
B. Một số ví dụ ........................................................................................................................2 
C. Bài tập ................................................................................................................................5 
D. Đáp số ................................................................................................................................6 
Loại 2. Cực trị của hàm bậc ba .................................................................................................7 
A. Tóm tắt lý thuyết ................................................................................................................7 
B. Một số ví dụ ........................................................................................................................8 
C. Bài tập .............................................................................................................................. 14 
D. Đáp số .............................................................................................................................. 16 
Loại 3. Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương ..................................................................... 17 
A. Tóm tắt lý thuyết .............................................................................................................. 17 
B. Một số ví dụ ...................................................................................................................... 18 
C. Bài tập .............................................................................................................................. 22 
D. Đáp số .............................................................................................................................. 23 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
1 
Loại 1. Kiến thức chung 
A. Tóm tắt lý thuyết 
1. Khái niệm cực trị của hàm số 
Cho f : D   và 0x D . 
+) 0x được gọi là một điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng  a;b sao cho 
 
       
0
0 0
x a;b D
f x f x x a;b \ x
  

  
. 
+) 0x được gọi là một điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng  a;b sao cho 
 
       
0
0 0
x a;b D
f x f x x a;b \ x
  

  
. 
+) Điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. 
Bảng sau đây tóm tắt các thuật ngữ được sử dụng trong phần này: 
0x  0f x   0 0x ;f x 
Điểm cực đại của f Giá trị cực đại của f Điểm cực đại của ĐTHS f 
Điểm cực tiểu của f Giá trị cực tiểu của f Điểm cực tiểu của ĐTHS f 
Điểm cực trị của f Cực trị của f Điểm cực trị của ĐTHS f 
2. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị: 
f có đạo hàm tại 0x , f đạt cực trị tại 0x   0f ' x 0 . 
3. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị 
* Quy tắc 1: +)  f ' x đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua 0x  f đạt cực tiểu tại 0x . 
+)  f ' x đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua 0x  f đạt cực đại tại 0x . 
* Quy tắc 2: 0
0
f '(x ) 0
f "(x ) 0



f đạt cực đại tại 0x , 
0
0
f '(x ) 0
f "(x ) 0



f đạt cực tiểu tại 0x .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
2 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số 3 21 4y x x 3x
3 3
    . 
Giải 
+)  TXÑ . 
+) 2y ' x 2x 3   , y ' 0  x 1  hoặc x 3 . 
+) Bảng biến thiên: 
+∞
-∞
f x( )
f ' x( ) ++ _ 00
-
23
3
3
+∞3-1-∞x
x
lim y

  , 
x
lim y

  . 
+) Kết luận: hàm số đạt cực đại tại x 1  , giá trị cực đại tương ứng là  y 1 3  ; 
 hàm số đạt cực tiểu tại x 3 , giá trị cực tiểu tương ứng là   237y 3   . 
Ví dụ 2. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 1 tìm cực trị của hàm số  y x x 2  . 
Giải 
+)  TXÑ . 
+)  2y x x 2    
 2x
x
2 x x
y ' x 2 x
x

    ( x 0 ). 
+) Bảng biến thiên: 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
3 
+∞
-∞
y
y' ++ _0
0
1
+∞0-1-∞x
 
x
lim f x

  ,  
x
lim f x

  . 
+) Kết luận: hàm số đạt cực đại tại x 1  , giá trị cực đại tương ứng là  y 1 1  ; 
 hàm số đạt cực tiểu tại x 0 , giá trị cực tiểu tương ứng là  y 0 0 . 
Ví dụ 3. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số 3 21 4y x x 3x
3 3
    . 
Giải 
+)  TXÑ . 
+) 2y ' x 2x 3   , y ' 0  x 1  hoặc x 3 . 
+) y" 2x 2  , 
 y" 1 4 0     hàm số đạt cực đại tại x 1  , giá trị cực đại tương ứng là  y 1 3  , 
 y" 3 4 0   hàm số đạt cực tiểu tại x 3 , giá trị cực tiểu tương ứng là   237y 3   . 
Ví dụ 4. [SGKNC] Sử dụng quy tắc 2 tìm cực trị của hàm số y x sin 2x 2   . 
Giải 
+)  TXÑ . 
+) y ' 1 2cos 2x  , y ' 0  12cos 2x   32x 2k
     6x k
    (k ). 
+) y" 4sin 2x , 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
4 
-)    6 3y" k 4sin 2k 2 3 0         hàm số đạt cực tiểu tại các điểm 6x k   , giá 
trị cực tiểu tương ứng là   36 6 2y k k 2        . 
-)    6 3y" k 4sin 2k 2 3 0            hàm số đạt cực đại tại các điểm 6x k   , 
giá trị cực tiểu tương ứng là   36 6 2y k k 2          . 
Ví dụ 5. [SGK] Tìm a , b , c sao cho hàm số 3 2y ax bx cx d    đạt cực tiểu tại điểm 
x 0 ,  y 0 0 và đạt cực đại tại x 1 ,  f 1 1 . 
Giải 
+) Ta có 2 2y ' 3ax 2bx c   . 
Từ giả thiết suy ra 
 
 
 
 
y ' 0 0
y 0 0
y ' 1 0
y 1 1
 




 
  
c 0
d 0
3a 2b c 0
a b c d 1

 

  
    
 
a 2
b 3
c 0
d 0
 
 


 
. 
+) Khi đó 3 2y 2x 3x   , 2y ' 6x 6x   , y" 12x 6   . Ta có  y" 0 6 0   hàm số đạt 
cực tiểu tại x 0 ,  y" 1 6 0    hàm số đạt cực đại tại x 1 (thỏa mãn). 
Vậy a 2  , b 3 , c 0 , d 0 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
5 
C. Bài tập 
Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số 
1)   3 2f x 2x 9x 12x 3    . 
2)   3 2f x 5x 3x 4x 5     . 
3)   4 3 2f x 3x 4x 24x 48x 3     . 
4)   9x 2f x x 3    . 
5)  
2x 8x 24
2x 4
f x  

 . 
6)   x2x 4
f x

 . 
7)  f x x 3 x  . 
8)   2f x x 2 x 2   . 
9)   2f x sin x 3 cos x  . 
10)  f x 2sin x cos 2x  . 
Bài 2. Tìm a , b , c để hàm số   3 2f x x ax bx c    đạt cực tiểu tại x 1 ,  f 1 3  và đồ 
thị của hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 . 
Bài 3. Tìm p , q sao cho hàm số   qf x x p
x 1
  

 đạt cực đại tại điểm x 2  và 
 f 2 2   . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
6 
D. Đáp số 
Bài 1 
1) Hàm số đạt cực đại tại điểm x 1 ,  f 1 8 và đạt cực tiểu tại điểm x 2 ,  f 2 7 . 
2) Hàm số nghịch biến trên  nên không có cực trị. 
3) Hàm số đạt cực tiểu tại x 2  ,  f 2 115   và x 2 ,  f 2 13 , đạt cực đại tại điểm 
x 1 ,  f 1 20 . 
4) Hàm số đạt cực đại tại điểm x 1  ,  f 1 7   và đạt cực tiểu tại điểm x 5 ,  f 5 5 . 
5) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 1 ,  y 1 5 và đạt cực đại tại điểm x 4 ,  y 4 2 . 
6) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x 2  ,   14y 2   và đạt cực đại tại điểm x 2 ,  
1
4y 4  . 
7) Hàm số đạt cực tiểu tại x 1 ;  f 1 5 , đạt cực đại tại điểm x 4 ;  f 4 2 . 
8) Hàm số đạt cực tiểu tại x 2  ;   14f 2   , đạt cực đại tại điểm x 2 ;  
1
4f 2  . 
9) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm x 2k  ,  y 2k 2 3   và x 2k    , 
 y 2k 2 3     . Hàm số đạt cực đại tại các điểm 56x 2k
    ,  5 16 2y 2k     . 
10) Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm 2x 2k
   ,  2y 2k 1    và 2x 2k    , 
 2y 2k 3     . Hàm số đạt cực đại tại các điểm 6x 2k   ,   36 2y 2k    và 
5
6x 2k
   ,  5 36 2y 2k    . 
Bài 2 a 3 , b 9  , c 2 . 
Bài 3 p 1 , q 1 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
7 
Loại 2. Cực trị của hàm bậc ba 
A. Tóm tắt lý thuyết 
Xét hàm    3 2f x ax bx cx d C    ( a 0 ),   2f ' x 3ax 2bx c   là tam thức bậc hai có 
2' b 3ac   . 
* Điều kiện có cực trị 
+) f có cực trị  f có hai cực trị 
  C có các điểm cực đại cực tiểu 
  f ' x có hai nghiệm phân biệt 
 ' 0  . 
+) f không có cực trị  ' 0  . 
* Quy tắc tính cực trị và phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của ĐTHS 
Giả sử f có cực trị, thực hiện phép chia đa thức  f x cho  f ' x để có: 
     f x p x f ' x ax b   . 
Từ đây suy ra: 
+) 0x là điểm cực trị của f   0f ' x 0   0 0f x ax b  . 
+) : y ax b   là đường thẳng đi qua tất cả các điểm cực trị của  C . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
8 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. Tìm m để hàm số   3 2y m 2 x 3x mx 5     có cực đại, cực tiểu. 
Giải 
Ta có   2y ' 3 m 2 x 6x m    . y có cực đại, cực tiểu thì trước hết 
m 2 0   m 2  .  1 
Khi đó y ' là tam thức bậc hai có  2' 3 m 2m 3     . 
y có cực đại, cực tiểu  ' 0   2m 2m 3 0    3 m 1   .  2 
Kết hợp với  1 và  2 ta có những giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là 
   m 3; 2 2;1     . 
Ví dụ 2. [ĐHD12] Tìm m để hàm số  3 2 22 23 3y x mx 2 3m 1 x     có hai điểm cực trị 1x , 
2x sao cho  1 2 1 2x x 2 x x 1   . 
Giải 
Ta có    
 
2 2 2 2
t x
y ' 2x 2mx 2 3m 1 2 x mx 3m 1       

. 
 t x là tam thức bậc hai có 213m 4   . 
y có hai điểm cực trị  y ' có hai nghiệm phân biệt 
  t x có hai nghiệm phân biệt 
 0  
 
2 13
13
2 13
13
m
m
 

 
.  1 
1x , 2x là các nghiệm của  t x nên theo định lý Vi-ét, ta có 
1 2
2
1 2
x x m
x x 3m 1
 

  
. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
9 
Do đó   21 2 1 2x x 2 x x 3m 2m 1      . 
 1 2 1 2x x 2 x x 1    23m 2m 1 1    
 23m 2m 0   
 
  
  
khoâng thoûa maõn
thoûa maõn23
m 0 1
m 1
 

 
. 
Vậy 23m  . 
Ví dụ 3. [ĐHB07] Tìm m để hàm số  3 2 2 2y x 3x 3 m 1 x 3m 1       có cực đại, cực 
tiểu và các điểm cực trị của ĐTHS cách đều gốc tọa độ O . 
Giải 
   
 
2 2 2 2
t x
y ' 3x 6x 3 m 21 3 x x m 1        

. 
 t x là tam thức bậc hai có 2' m  . 
y có cực đại cực tiểu  y ' có hai nghiệm phân biệt 
  t x có hai nghiệm phân biệt ... M HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
11 
Bảng biến thiên 
f x2 
x2
+∞
-∞
y
y' ++ _ 00
f x1 
+∞x1-∞x
Từ bảng biến thiên ta thấy f đạt cực đại tại 1x , đạt cực tiểu tại 2x . 
Thực hiện phép chia  f x cho  t x ta có:      f x x 1 t x 6x 6    . 
Ta có 
+)      1 1 1 1 1f x x 1 t x 6x 6 6x 6       (vì  1f ' x 0   1t x 0 ). 
      1f x f 1 3 6 1 3 6 6 3        tọa độ điểm cực đại:  1 3;6 3 . 
Tương tự :  2f x 6 3   tọa độ điểm cực tiểu:  1 3; 6 3  . 
+) Ta thấy tọa độ các điểm cực trị của  C cùng thỏa mãn phương trình y 6x 6   nên 
phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của ĐTHS là y 6x 6   . 
Nhận xét: Trong ví dụ trên thay vì chia  f x cho  f ' x , ta thực hiện phép chia  f x cho  t x 
đơn giản hơn mà vẫn đạt được mục đích của phương pháp. Sở dĩ có thể làm được như thế là vì 
 f ' x và  t x có cùng tập nghiệm. 
Ví dụ 6. [ĐHA02] Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của ĐTHS 
 3 2 2 3 2y x 3mx 3 1 m x m m       . 
Giải 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
12 
Ta có      
 
2 2 2 2
t x
f ' x 3x 6mx 3 1 m 3 x 2mx m 1         

. 
 t x có ' 1 0     t x có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu tiên tiếp khi x đi qua hai 
nghiệm này   t x có hai nghiệm phân biệt và đổi dấu tiên tiếp khi x đi qua hai nghiệm này 
 f có cực đại, cực tiểu. 
Thực hiện phép chia  f x cho  t x ta có:       2f x m x t x 2x m m     . 
0x là điểm cực trị nào đó của f 
       2 20 0 0 0 0f x m x t x 2x m m 2x m m        (vì  0f ' x 0   0t x 0 ) 
   20 0f x 2x m m   
 phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của ĐTHS là 2y 2x m m   . 
Ví dụ 7. Tìm m để ĐTHS        3 2 2f x x 3 m 1 x 2m 3m 2 x m m 1       có các điểm 
cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng 14y x  
một góc o45 . 
Giải 
* Ta có    2 2f ' x 3x 6 m 1 3 2x 2m m    . Ta thấy  f ' x là tam thức bậc hai có 
 2' 3 m 3m 1    . f có cực đại, cực tiểu  ' 0    
3 5
2
3 5
2
m
1
m


 


. 
* Thực hiện phép chia  f x cho  f ' x ta có: 
         2 3 21 2 23 3 3f x x m 1 f ' x m 3m 1 x m 4m 2m 1          . 
Nếu 0x là điểm cực trị nào đó của hàm số thì 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
13 
         2 3 21 2 20 0 0 03 3 3f x x m 1 f ' x m 3m 1 x m 4m 2m 1          . 
   2 3 22 203 3m 3m 1 x m 4m 2m 1        (do  0f ' x 0 ). 
    2 3 22 23 3: y m 3m 1 x m 4m 2m 1         là đường thẳng đi qua các điểm trị của 
ĐTHS. 
* Đặt  223k m 3m 1    .  tạo với 14y x  góc 45 khi và chỉ khi 
1k 4
k1 4
tan 45


   
1k 4
k1 4
1


  
1k 4
k1 4
1k 4
k1 4
1
1





 



  

  
3
5
5
3
k
k
 

  
. 
+) 35k    2 323 5m 3m 1     210m 30m 19 0    15 3510m  ( không thỏa 
mãn  1 ). 
+) 53k     2 523 3m 3m 1      22m 6m 3 0    3 152m  (thỏa mãn  1 ). 
Vậy 3 152m
 . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
14 
C. Bài tập 
Bài 1. Cho  3 2y mx 3mx m 1 x 1     . Tìm m để hàm số có cực trị tại các điểm âm. 
Bài 2. Cho 3 2y 2x mx 12x 13     mC . 
1) Chứng tỏ rằng với mọi m ,  mC luôn có các điểm cực đại, cực tiểu. Gọi 1x , 2x là hoành độ 
các điểm cực trị của  mC , tìm GTNN của biểu thức    2 21 2 1 2S x x x 1 x 1     . 
2) Tìm m để các điểm cực đại, cực tiểu của  mC cách đều trục tung. 
Bài 3. Cho  3 2 2 2y x 3x 3 m 1 x 3m 1        mC . 
1) Tìm m để hàm số có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu trái dấu. 
2) Tìm m để  mC có các điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng bằng 2 5 . 
Bài 4. Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của ĐTHS 
1)   3 23f x x x 2x 1    . 
2)   3 2f x 2x x x 5    . 
3)   3 2f x x x2 10x 3 1    . 
Bài 5. Tìm m để các hàm số sau đây có cực đại, cực tiểu và viết phương trình đường thẳng đi 
qua các điểm cực đại, cực tiểu của ĐTHS 
1)    3 2 2 3f x x 3mx 3 m 1 x m     . 
2)        3 2 2f x x 3 m 1 x 2m 3m 2 x m m 1        . 
Bài 6. Tìm m để ĐTHS 
1)      3 2f x 2x 3 m 1 x 6 m 2 x 1      có các điểm cực đại, cực tiểu nằm và đường thẳng 
đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song với đường thẳng y 4x 1   . 
2)      3 2f x 2x 3 m 1 x 6m 1 2m x     có các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên đường 
thẳng y 4x  . 
3)   3 2f x x mx 7x 3    có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực 
đại, cực tiểu vuông góc với đường thẳng y 3x 7  . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
15 
4)  3 2 2 3 2y x 3mx 3 1 m x m m       có các điểm cực đại cực tiểu sao cho các điểm cực 
đại cực tiểu và điểm  M 1;0 thẳng hàng. 
5)   3 2 2f x x x3 m x m   có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng 
51
2 2y x  . 
6)    12
3 21
3 m 1f x x x mx   có các điểm cực đại cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng 
72x 12y 35 0   . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
16 
D. Đáp số 
Bài 1 14 m 1  . 
Bài 2 1) 194min A  , đạt được  
3
2m   . 2) m 0 . 
Bài 3 1) m 1  hoặc m 1 . 2) m 1  . 
Bài 4 1) 2 13 3y x  . 2) 
897
9 18y x   . 3) 
68 29
9 9y x 3    . 
Bài 5 1) Hàm số có cực đại, cực tiểu m , PTĐT đi qua các điểm cực đại, cực tiểu của ĐTHS 
là y 2x m   . 
2) Hàm số có cực đại, cực tiểu  3 5 3 52 2m ; ;
          
   
, PTĐT đi qua các 
điểm cực đại, cực tiểu của ĐTHS là  2 3 28 82 2 2 23 3 3 3 3 3y m 2m x m m m        . 
Bài 6 1) m 5 . 2) m 1 . 3) 3 102m   . 
 4) m 1  hoặc m 2 . 5) m 0 . 6) vô nghiệm. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
17 
Loại 3. Cực trị của hàm bậc bốn trùng phương 
A. Tóm tắt lý thuyết 
Xét hàm   4 2f x ax bx c   (a 0 ). Ta có    
 
3 2 b
2a
t x
f ' x 4ax 2bx 4ax x   

. 
Trường hợp 1: ab 0 . Khi đó  t x vô nghiệm hoặc có nghiệm duy nhất x 0   f ' x có 
nghiệm duy nhất x 0 và  f ' x đổi dấu khi x đi qua 0  f chỉ có một cực trị. 
Trường hợp 2: ab 0 . Khi đó  t x có hai nghiệm phân biệt khác 0   f ' x có ba nghiệm 
và  f ' x đổi dấu liên tiếp khi x đi qua ba nghiệm này  f ba cực trị. 
* Một số kết quả cụ thể: 
+) f có một cực trị  ab 0 . 
+) f có ba cực trị  ab 0 . 
+) f có đúng một cực trị và cực trị là cực tiểu  
a 0
b 0



. 
+) f có đúng một cực trị và cực trị là cực đại  
a 0
b 0



. 
+) f có hai cực tiểu và một cực đại  
a 0
b 0



. 
+) f có một cực tiểu và hai cực đại  
a 0
b 0



. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
18 
B. Một số ví dụ 
Ví dụ 1. [ĐHB02] Tìm m để hàm số  4 2 2y mx m 9 x 10    có 3 điểm cực trị. 
Giải 
Để hàm số có ba điểm cực trị thì trước hết hàm số phải là hàm bậc 4 , tức là m 0 . Ta có 
 
 
23 2 2 m 9
2m
t x
y ' 4mx 2 m 9 x 4mx x       
 
. 
Hàm số có 3 điểm cực trị  y ' có 3 nghiệm phân biệt 
  t x có 2 nghiệm phân biệt khác 0 
 
2m 9 0
2m

 
  2m m 9 0  
 
0 m 3
m 3
 
  
. 
Ví dụ 2. Tìm m để hàm số   4 2 3y m 1 x mx
2
    chỉ có cực tiểu mà không có cực đại. 
Giải 
Ta xét hai trường hợp sau đây: 
+) m 1 0   m 1  . Khi đó 2 32y x   hàm số chỉ có cực tiểu ( x 0 ) mà không có 
cực đại  m 1  thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
+) m 1 0   m 1  . Khi đó hàm số đã cho là hàm bậc 4 có 
   
 
3 2 my' 4 m 1 x 2mx 4 m 1 x x
2 m 1
 
      
 
. 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
19 
Hàm số chỉ có cực tiểu mà không có cực đại  y ' có đúng một nghiệm và đổi dấu từ âm sang 
dương khi x đi qua nghiệm này  
 
 
m
2 m 1
4 m 1 0
0

  

 
  1 m 0   . 
Kết hợp những giá trị m tìm được, ta có 1 m 0   . 
Ví dụ 3. [ĐHB11] Cho hàm số  4 2y x 2 m 1 x m    . Tìm m để ĐTHS có ba điểm cực trị 
A , B , C sao cho OA BC ; trong đó O là gốc tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B 
và C là hai điểm cực trị còn lại. 
Giải 
+) Ta có 
   
 
3 2
t x
y ' 4x 4 m 1 x 4x x m 1       
. 
Hàm số có 3 điểm cực trị  y ' có 3 nghiệm phân biệt 
  t x có 2 nghiệm phân biệt khác 0 
 m 1 0  
 m 1  .  * 
+) Khi đó, ta có 
y ' 0  
x 0
x m 1
x m 1


  

 
  
 
 
 
2
2
A 0;m
B m 1; m m 1
C m 1; m m 1



    

    

, 
(vai trò của B , C trong bài toán là như nhau nên cung có thể giả sử 
 2B m 1; m m 1    ,  2C m 1; m m 1     ). 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
20 
Ta có  OA 0;m

  OA m ,  BC 2 m 1;0

  BC 2 m 1  . 
Do đó OA BC  m 2 m 1  
  2m 4m 4 0   ( ' 8  ) 
  m 2 8  (thỏa mãn  * ). 
Vậy m 2 8  . 
Ví dụ 4. [ĐHA12] Tìm m để ĐTHS  4 2 2y x 2 m 1 x m    có ba điểm cực trị tạo thành ba 
đỉnh của một tam giác vuông. 
Giải 
+) Ta có 
   
 
3 2
t x
y ' 4x 4 m 1 x 4x x m 1       
. 
ĐTHS có 3 điểm cực trị  y ' có 3 nghiệm phân biệt 
  t x có 2 nghiệm phân biệt khác 0 
 m 1 0  
 m 1  .  * 
+) Khi đó, ta có y ' 0  
x 0
x m 1
x m 1


  

 
. Suy ra các điểm cực trị của ĐTHS là 
 2A 0;m ,  B m 1; 2m 1    ,  C m 1; 2m 1   . 
Ta thấy A Oy , B và C đối xứng nhau qua Oy  ABC cân tại A . Do đó ABC chỉ có 
thể vuông tại A . 
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
21 
Ta có   2AB m 1; m 1    ,   2AC m 1; m 1       4AB.AC m 1 m 1     . 
ABC vuông  ABAC 0

    4m 1 m 1 0    
    3m 1 m 1 1 0       
 
m 1 0
m 1 1
 
  
 
m 1
m 0
 
 
, kết hợp với điều kiện  * ta có m 0 .
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐHXD – DĐ: 0983 0707 44 
22 
C. Bài tập 
Bài 1. Tìm m để hàm số  4 2y x m 1 x 1 2m     chỉ có đúng một cực trị. 
Bài 2. Cho hàm số 4 2 4y x – 2mx 2m m   (m là tham số). Tìm m để 
1) ĐTHS có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác vuông. 
2) ĐTHS có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác đều. 
3) ĐTHS có cực đại và cực tiểu lập thành một tam giác có diện tích bằng 2012 đơn vị diện tích. 
Bài 3. [DHA04] Cho hàm số 4 2 2y x 2m x 1   . Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu, 
đồng thời các điểm cực đại và cực tiểu của  C lập thành một tam giác vuông cân. 
Bài 4. Cho hàm số  4 2y x 3m 1 x 2m 1     . Tìm m để ĐTHS có các điểm cực đại, cực 
tiểu A , B , C sao cho ba điểm này cùng với  D 7;3 cùng thuộc một đường tròn. 
D. Đáp số 
Bài 1 m 1 . 
Bài 2 
1) 
3 4
4m  . 2)
32 1823
3 3m 2  . 3)  
25035
4 . 
Bài 3 m 1  . 
Bài 4 m 3 .