Chuyên đề Các phương pháp trong tính tích phân

CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 1 
LỜI NÓI ðẦU 
Ngày nay phép tính vi tích phân chiếm một vị trí hết sức quan trọng trong Toán học, 
tích phân ñược ứng dụng rộng rãi như ñể tính diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay, 
nó còn là ñối tượng nghiên cứu của giải tích, là nền tảng cho lý thuyết hàm, lý thuyết 
phương trình vi phân, phương trình ñạo hàm riêng...Ngoài ra phép tính tích phân còn ñược 
ứng dụng rộng rãi trong Xác suất, Thống kê, Vật lý, Cơ học, Thiên văn học, y học... 
Phép tính tích phân ñược bắt ñầu giới thiệu cho các em học sinh ở lớp 12, tiếp theo 
ñược phổ biến trong tất cả các trường ðại học cho khối sinh viên năm thứ nhất và năm thứ 
hai trong chương trình học ðại cương. Hơn nữa trong các kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ 
thi Tuyển sinh ðại học phép tính tích phân hầu như luôn có trong các ñề thi môn Toán của 
khối A, khối B và cả khối D. Bên cạnh ñó, phép tính tích phân cũng là một trong những 
nội dung ñể thi tuyển sinh ñầu vào hệ Thạc sĩ và nghiên cứu sinh. 
Với tầm quan trọng của phép tính tích phân, chính vì thế mà tôi viết một số kinh 
nghiệm giảng dạy tính tích phân của khối 12 với chuyên ñề “TÍNH TÍCH PHÂN 
BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH - ðỔI BIẾN SỐ VÀ TỪNG PHẦN” ñể 
phần nào củng cố, nâng cao cho các em học sinh khối 12 ñể các em ñạt kết quả cao trong 
kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh ðại học và giúp cho các em có nền tảng 
trong những năm học ðại cương của ðại học. 
Trong phần nội dung chuyên ñề dưới ñây, tôi xin ñược nêu ra một số bài tập minh 
họa cơ bản tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp ñổi biến số, 
phương pháp tích phân từng phần. Các bài tập ñề nghị là các ñề thi Tốt nghiệp THPT và ñề 
thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng của các năm ñể các em học sinh rèn luyện kỹ năng tính tích 
phân và phần cuối của chuyên ñề là một số câu hỏi trắc nghiệm tích phân. 
 Tuy nhiên với kinh nghiệm còn hạn chế nên dù có nhiều cố gắng nhưng khi trình bày 
chuyên ñề này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong ñược sự góp ý chân tình của 
quý Thầy Cô trong Hội ñồng bộ môn Toán Sở Giáo dục và ðào tạo tỉnh ðồng Nai. Nhân dịp 
này tôi xin cảm ơn Ban lãnh ñạo nhà trường tạo ñiều kiện tốt cho tôi và cảm ơn quý thầy cô 
trong tổ Toán trường Nam Hà, các ñồng nghiệp, bạn bè ñã ñóng góp ý kiến cho tôi hoàn 
thành chuyên ñề này. Tôi xin chân thành cám ơn./. 
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 2 
MỤC LỤC 
 Lời nói ñầu 1 
 Mục lục 2 
I. Nguyên hàm: 
 I.1. ðịnh nghĩa nguyên hàm 3 
 I.2. ðịnh lý 3 
 I.3. Các tính chất của nguyên hàm 3 
 I.4. Bảng công thức nguyên hàm và một số công thức bổ sung 4 
 II. Tích phân: 
 II.1. ðịnh nghĩa tích phân xác ñịnh 5 
 II.2. Các tính chất của tích phân 5 
 II.3 Tính tích phân bằng phương pháp phân tích 5 
 Bài tập ñề nghị 1 9 
II.4 Tính tích phân bằng phương pháp ñổi biến số 10 
II.4.1 Phương pháp ñổi biến số loại 1 10 
 ðịnh lý về phương pháp ñổi biến số loại 1 13 
 Một số dạng khác dùng phương pháp ñổi biến số loại 1 14 
 Bài tập ñề nghị số 2 14 
 Bài tập ñề nghị số 3 15 
 Bài tập ñề nghị số 4: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 16 
II.4.2 Phương pháp ñổi biến số loại 2 16 
 Bài tập ñề nghị số 5 21 
 Các ñề thi Tốt nghiệp trung học phổ thông 22 
 Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 22 
II.5. Phương pháp tích phân từng phần 23 
 Bài tập ñề nghị số 6: Các ñề thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng 28 
III. Kiểm tra kết quả của một bài giải tính tích phân bằng máy tính 
 CASIO fx570-MS 29 
 Bài tập ñề nghị số 7: Các câu hỏi trắc nghiệm tích phân 30 
 Phụ lục 36 
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 3 
I. NGUYÊN HÀM: 
I.1. ðỊNH NGHĨA NGUYÊN HÀM: 
 Hàm số F(x) ñược gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) nếu với mọi 
x∈(a;b): 
F’(x) = f(x) 
 VD1: a) Hàm số F(x) = x3 là nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x2 trên R 
 b) Hàm số F(x) = lnx là nguyên hàm của hàm số f(x) = 1
x
 trên (0;+∞) 
I.2. ðỊNH LÝ: 
 Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a;b) thì: 
 a) Với mọi hằng số C, F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng ñó. 
 b) Ngược lại, mọi nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a;b) ñều có thể viết 
dưới dạng F(x) + C với C là một hằng số. 
 Theo ñịnh lý trên, ñể tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) thì chỉ cần tìm một 
nguyên hàm nào ñó của nó rồi cộng vào nó một hằng số C. 
 Tập hợp các nguyên hàm của hàm số f(x) gọi là họ nguyên hàm của hàm số f(x) và 
ñược ký hiệu: ∫ f(x)dx (hay còn gọi là tích phân bất ñịnh) 
 Vậy: ∫ f(x)dx = F(x)+C 
VD2: a) 22xdx = x + C∫ b) sinxdx = - cosx +C∫ c) 2
1 dx = tgx +C
cos x∫ 
I.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGUYÊN HÀM: 
 1) ( )∫ f(x)dx f(x)' = 
2) ( )≠∫ ∫= a 0a.f(x)dx a f(x)dx 
3)   ∫ ∫ ∫= ±f(x)± g(x) dx f(x)dx g(x)dx 
 4) ( ) ( )⇒∫ ∫ =f(x)dx =F(x)+C f u(x) u'(x)dx F u(x) +C 
VD3: a) ( )∫ 4 2 5 3 2-6x + -2x + 4x5x 8x dx = x +C 
b) ( )∫ ∫ 2x6cosx.sinxdx = -6 cosx.d cosx = -3cos +C 
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 4 
I.4. BẢNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM: 
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN 
NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SƠ CẤP THƯỜNG GẶP NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ HỢP 
( )
( )
( )
pi
pi
α
α
 α ≠
α
 ≠
 ≠
 ≠ +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
+1
x x
x
x
2
2
2
2
dx = x + C
x
x dx = + C ( -1)
+1
dx
= ln x + C (x 0)
x
e dx = e + C
a
a dx = + C 0 < a 1
lna
cosx dx = sinx + C
sinx dx = -cosx + C
dx
= 1+ tg x dx = tgx + C (x k )
cos x 2
dx
= 1+ cotg x dx
si
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7/
8/
x
/
n
9 pi ≠∫ ∫ = -cotgx + C (x k )
 ( )
( ) pi pi
α
α
 α ≠
α
 ≠
 ≠
 ≠ +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫ ∫
+1
u u
u
u
2
2
2
 du = u+C
u
 u du = +C ( -1)
+1
du
 = ln u +C (u = u(x) 0)
u
 e du = e +C
a
 a du = +C 0 < a 1
lna
 cosu du = sinu+C
 sinu du = - cosu+C
du
 = 1+ tg u du = tgu+C (u k
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7/
8/
9/
)
cos u 2
du
 = 1+c
sin u ( ) pi ≠∫ ∫ 2otg u du = -cotgu+C (u k )
CÁC CÔNG THỨC BỔ SUNG 

 CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM THƯỜNG GẶP: 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
α
α
 ≠
 ≠
α
 ≠
 ≠
 ≠ ∈ ≠
 ≠
∫
∫
∫
∫
∫
∫
+1
ax+b ax+b
kx
kx
1 dx = 2 x + C (x 0)
x
ax + b1
ax + b dx = + C (a 0)
a +1
1 1dx = ln ax + b + C (a 0)
ax + b a
1
e dx = e + C (a 0)
a
a
a dx = + C 0 k R, 0 < a 1
k.lna
1
cos ax + b dx = sin ax + b
1/
2/
3/
4/
5/
6/
7
+ C (a 0)
a
1
sin ax + b dx = -/ cos
a
( )
pi
pi
pi
 ≠
 ≠ +
 ≠
∫
∫
∫
ax + b + C (a 0)
tgx dx = - ln cosx + C (x k )
2
cotgx dx = ln sinx + C (9/ x
/
k
8
)

 CÁC CÔNG THỨC LŨY THỪA: 
m n m+n
m
m-n -n
n n
1 n
nmm m m
a . a = a
a 1
 = a ; 
1/
2/
3/
= a
a a
a = a ; a = a

 CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC: 
a. CÔNG THỨC HẠ BẬC: 
( ) ( ) 2 21/ 21 1sin x = 1-cos2x cos x = 1+cos2x
2 2
/
b. CÔNG THỨC BIẾN ðỔI TÍCH THÀNH TỔNG 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
  
  
  
1
 cosa.cosb = cos a -b +cos a+b
2
1
 sina.sinb = cos a -b - cos a+b
2
1
 sina.cosb = sin a -b +sin a+b
2
1/
2/
3/
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 5 
II. TÍCH PHÂN: 
II.1. ðỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN XÁC ðỊNH: 
 Giả sử hàm số f(x) liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phẩn tử bất kỳ của K, 
F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K. Hiệu F(b) – F(a) ñược gọi là tích phân từ 
a ñến b của f(x). Ký hiệu: 
∫
b
a
b
a
=f(x)dx =F(x) F(b)-F(a)
II.2. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN: 
=∫ ( ) 0/ 1
a
a
f x dx
= −∫ ∫2/ ( ) ( )
a b
b a
f x dx f x dx
= ≠∫ ∫
b b
a a
k f x dx k f x dx k . ( ) . ( ) (3/ 0)
± = ±∫ ∫ ∫ [ ( ) ( )4 ]/ ( ) ( )
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
= +∫ ∫ ∫
b
a
 f(x) ( ) )5/ (
c b
a c
dx f x dx f x dx
 với c∈(a;b) 
6/Nếu ≥ ∀ ∈f x x a b( ) 0, [ ; ] thì ≥∫
a
( ) 0
b
f x dx . 
7/Nếu ≥ ∀ ∈f x g x x a b( ) ( ), [ ; ] thì ≥∫ ∫
a
( ) ( )
b b
a
f x dx g x dx . 
8/Nếu ≤ ≤ ∀ ∈m f x M x a b( ) , [ ; ] thì − ≤ ≤ −∫
a
( ) ( ) ( )
b
m b a f x dx M b a . 
9/ t biến thiên trên [ ; ]a b ⇒ = ∫( ) ( )
t
a
G t f x dx
 là một nguyên hàm của ( )f t và =( ) 0G a 
II.3. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH: 
 Chú ý 1: ðể tính tích phân = ∫ ( )
b
a
I f x dx
 ta phân tích = + +1 1( ) ( ) ... ( )m mf x k f x k f x 
Trong ñó: ≠ =ik i m0 ( 1,2, 3,..., )các hàm =if x i m( ) ( 1,2,3,..., ) có trong bảng nguyên 
hàm cơ bản. 
VD4: Tính các tích phân sau: 
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 6 
∫
2
2 3 2
-1
3 2 3 2
2
-1
= (3x - 4x+3)dx =(x -2x +3x)
=(2 -2.2 +3.2)-((-1) -2.(-1) +3.(-1))= 12
1) I
Nhận xét: Câu 1 trên ta chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 1/ và 2/ 
trong bảng nguyên hàm. 
2 I ∫
2 4 3 2
2
1
3x -6x +4x -2x+4
) = dx
x
Nhận xét: Câu 2 trên ta chưa áp dụng ngay ñược các công thức trong bảng nguyên 
hàm, trước hết tách phân số trong dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) rồi áp dụng tính chất 4 
và sử dụng công thức 1/, 2/, 3/ trong bảng nguyên hàm. 
I⇒ +
 = =
∫ ∫
2 24 3 2
2
2 2
1 1
3 2
2
1
3x -6x +4x -2x+4 2 4
 = dx = (3x -6x+4- )dx
x x x
4
(x -3x +4x -2ln |x |- ) 4-2ln2
x
3) I ∫
2 2
0
x -5x+3
= dx
x+1
Nhận xét: Câu 3 trên ta cũng chưa áp dụng ngay ñược các công thức trong bảng 
nguyên hàm, trước hết phân tích phân số trong dấu tích phân (lấy tử chia mẫu) rồi áp dụng 
tính chất 4 và sử dụng công thức 1/, 2/ trong bảng nguyên hàm và công thức 3/ bổ sung. 
 I 6x ⇒ − + 
 
 
 
 
∫ ∫
2 22
0 0
2
2
0
x -5x+3 9
= dx = dx
x+1 x+1
x
 = -6x+9ln |x+1 | = 2 -12+9ln3 =9ln3 -10
2
( )4) I ∫
1
x -x x -x -x
0
= e 2xe +5 e -e dx
Nhận xét: Câu 4: biểu thức trong dấu tích phân có dạng tích ta cũng chưa áp dụng 
ngay ñược các công thức trong bảng nguyên hàm, trước hết nhân phân phối rút gọn rồi áp 
dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 1/, 2/, 5/ trong bảng nguyên hàm. 
( ) ( ) 1
0
 I
 
⇒ = 
 
∫ ∫
1 1 x
x -x x -x -x x 2
0 0
5 4
= e 2xe +5 e -e dx = 2x+5 -1 dx = x + -x
ln5 ln5
5) I
pi
pi
=∫
4
4
0
2
2
= (4cosx+2sinx - )dx (4sinx -2cosx -2tgx) = 2 2 - 2 -2+2= 2
cos x
0
 Nhận xét: Câu 5 trên ta chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 6/, 7/ và 8/ 
trong bảng nguyên hàm. 
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 7 
6) I
pi
pi
=∫
8
0
8
0
= (4sin2x - 12cos4x)dx (-2cos2x - 3sin4x) = - 2 -3+2 = -1- 2
 Nhận xét: Câu 6 trên ta cũng chỉ cần áp dụng tính chất 4 và sử dụng công thức 6/ , 
7/ trong bảng nguyên hàm phần các công thức bổ sung. 
7) I
pi
pi
∫
12
0
2= sin (2x - )dx
4
Nhận xét: Câu 7 học sinh có thể sai vì sử dụng nhầm công thức 2/ trong bảng bảng 
nguyên hàm cột bên phải, bởi ñã xem pi2u = sin (2x - )
4
2
 (hơi giống ñạo hàm hàm số hợp). 
Với câu 7 trước hết phải hạ bậc rồi sử dụng công thức 6/ trong bảng nguyên hàm phần các 
công thức bổ sung. 
( ) I
pi pi pi ... x = 2sinx -1 dx
 A. pi-2 3 -2 -
6
 B. pi2 3 -2 -
6
 C. pi2 3 +2 -
6
 D. pi2 3 +2+
6
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 34 
Câu 30: 
pi
 ∫
2
0
2cosx -1 dx có giá trị bằng: 
 A. pi2 3 -2+
3
 B. pi2 3 -2 -
3
 C. pi2 3 -2+
6
 D. pi2 3 -2 -
6
Câu 31: ( )∫2 x
-1
2 - 4 dx có giá trị bằng: 
 A. 12+
ln2
 B. 13+
ln2
 C. 14+
ln2
 D. 15+
ln2
Câu 32: ∫
2
-1
dx
1+ 1- x
 có giá trị bằng: 
 A. ln2 B. 2ln2 C. 3ln2 D. 4ln2 
Câu 33: ( )∫
2
-1
x - x -1 dx có giá trị bằng: 
 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 
Câu 34: ( )∫
2
0
1- x - 1+x dx có giá trị bằng: 
 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 
Câu 35: ∫
1
0
xlnxdx có giá trị bằng: 
 A. 
2e +1
2
 B. 
2e +1
4
 C. 
2e +1
1
 D. 
2e +1
3
Câu 36: 
pi
∫
2
0
xcosxdx 
 có giá trị bằng: 
 A. pi +2
2
 B. pi -2
2
 C. pi +1
2
 D. pi -1
2
Câu 37: ∫
1
x
0
xe dx có giá trị bằng: 
 A. 7 B. 5 C. 3 D. 1 
Câu 38: 
pi
 ∫
2
x
0
e sin2x dx 
 có giá trị bằng: 
 A. e
pi 
 
 
2
2
- +1
5
 B. e
pi 
 
 
2
1
- +1
5
 C. e
pi 
 
 
2
2
+1
5
 D. e
pi 
 
 
2
1
+1
5
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 35 
Câu 39: 
pi
 ∫
2
2x
0
e cosx dx có giá trị bằng: 
 A. ( )epi1 +2
5
 B. ( )epi1 -2
5
 C. ( )epi1 2 +1
5
 D. ( )epi1 2 -1
5
Câu 40: ( )∫
1
2x
0
e x -2 dx có giá trị bằng: 
 A. 
25 -3e
4
 B. 
23e -5
4
 C. 
23e -5
2
 D. 
25 -3e
2
Câu 41: ( )
xe
∫
0
cos lnx dx 
 có giá trị bằng: 
 A. ( )epi1 +1
2
 B. ( )epi− 1 +1
2
 C. ( )epi1 -1
2
 D. ( )epi1 - +1
2
Câu 42: ( )
e
∫
0
sin lnx dx có giá trị bằng: 
 A. ( )sin1-cos1 e+1
2
 B. ( )sin1-cos1 e -1
2
 C. ( )cos1-sin1 e+1
2
 D. ( )cos1-sin1 e+1
2
Câu 43: 
e
∫
x
0
1+sinx
e dx 
1+cosx
 có giá trị bằng: 
 A. e
pi
2
 B. epi C. e
pi3
2
 D. e pi2 
Câu 44: ( )
e
∫
2
x
2
0
1+x
e dx 
1+x
 có giá trị bằng: 
 A. 0 B. 1 C. e D. 2 
Câu 45: ( )
e
∫
x
2
0
x
e dx 
1+x
 có giá trị bằng: 
 A. e -2
2
 B. e+2
2
 C. e -1
2
 D. e+1
2
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 36 
Nhận xét: Trong phần nội dung chuyên ñề trên, tôi chỉ nêu ra một số bài tập minh 
họa cơ bản tính tích phân chủ yếu áp dụng phương pháp phân tích, phương pháp ñổi biến số, 
phương pháp tích phân từng phần. Các bài tập ñề nghị là các ñề thi Tốt nghiệp THPT và ñề 
thi tuyển sinh ðại học Cao ñẳng của các năm trước ñể các em học sinh rèn luyện kỹ năng 
tính tích phân, bên cạnh ñó cũng hướng dẫn học sinh kiểm tra kết quả bài giải của mình có 
kết quả ñúng hay sai bằng máy tính cầm tay CASIO fx-570MS và phần cuối của chuyên ñề 
là một số câu hỏi trắc nghiệm tích phân. ðể phần nào củng cố, nâng cao cho các em học sinh 
khối 12 ñể các em ñạt kết quả cao trong kỳ thi Tốt nghiệp THPT và kỳ thi Tuyển sinh ðại 
học và giúp cho các em có nền tảng trong những năm học ðại cương của ðại học. 
 Tuy nhiên với kinh nghiệm còn hạn chế nên dù có nhiều cố gắng nhưng khi trình bày 
chuyên ñề này sẽ không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong ñược sự góp ý chân tình của 
quý Thầy Cô trong Hội ñồng bộ môn Toán Sở Giáo dục và ðào tạo tỉnh ðồng Nai. Một lần 
nữa tôi xin cảm ơn Ban lãnh ñạo nhà trường tạo ñiều kiện tốt cho tôi và cảm ơn quý thầy cô 
trong tổ Toán trường Nam Hà, các ñồng nghiệp, bạn bè ñã ñóng góp ý kiến cho tôi hoàn 
thành chuyên ñề này. Tôi xin chân thành cám ơn./. 
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 37 
TÀI LIỆU THAM KHẢO 
1. Sách giáo khoa giải tích 12 
2. Sách giáo viên giải tích 12 
3. Tuyển tập các chuyên ñề và kỹ thuật tính tích phân - Trần Phương 
4. ðạo hàm và tích phân - Võ ðại Mau & Võ ðại Hoài ðức 
5. Chuyên ñề tích phân và ñại số tổ hợp xác suất - Phạm An Hòa & Nguyễn Vũ Thanh 
6. Các dạng toán cơ bản giải tích 12 - Nguyễn Ngọc Khoa 
7. Trắc nghiệm khách quan giải tích và tích phân - ðoàn Vương Nguyên. 
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 38 
NHẬN XÉT 
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. 
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. 
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. 
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 39 
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. 
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. 
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. 
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. 
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. 
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. 
CHUYÊN ðỀ:”CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN” GV: NGUYỄN DUY KHÔI 
Trường THPT Nam Hà – Biên Hòa – ðồng Nai Trang 40 
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. 
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. 
.................................................................................................................................................
................................................................................................................................................. 
.................................................................................................................................................