Chuyên đề Bất đẳng thức tích phân

Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 
1 
Chứng minh rằng : 
3
4
4
3
4
1
2
2
60
1
1. dx
3 2 sin x 2
3 cotg 1
2. dx
12 x 3
1 1
3. dx
2 61 x
π
π
π
π
π π
−
π
−
∫
∫
∫
4

 


 


 

1
0
2
5 4 3
1
4. ln 2 dx
41 x x
1
5. dx
x x 1 8
x
6. dx
18 x x x 3 9 3
π
< <
+
π
+ +
π π
+ + +
∫
∫
∫
1
0
1
0



 

Bài giải : 
3 3 3 3
4 4 4 4
4 4 4 4
2 2 2
2
2 2
3 1 1 1 1
1. x sin x 1 sin x 1 1 2 sin x 2 1 3 2 sin x 2 1
4 4 2 2 3 2 sin x2
1 1 1
dx dx dx dx
2 3 2 sin x 4 3 2 sin x 2
π π π π
π π π π
π π
−
−
π π
− −∫ ∫ ∫ ∫
⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 
 
 

3 3 3
4 4 4
3
4
cotgx 1
3 cotgx 4 3 cotgx 4
2. x dx dx dx
4 x x3 1 4
x
3 cotgx 1
dx
12 x 3
π π π
π π π
π
π

π π 

π π π π
π π
∫ ∫ ∫
∫
1
3⇒ ⇒ ⇒
3
⇒ 

 


 
 
 
 
 


 


 

Bài toán này có thể giải theo phương pháp đạo hàm. 
1 1
2 2
6 2 2 6 2 6 2 6
6 2 60
1
3. 0 x 1 0 x .... x 1 1 x x 0 0 1 x 1 x 1 1 x 1 x 1
2
1 1 1
1 dx dx
1 x 1 x 1 x
I
< < − − − − − − −
− − −
∫ ∫0
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 
 
 

Với 
1
2
20
1I = dx
1- x∫
Đặt x sin t ; t ; dx cos tdt
2 2
π π 
= − =  
⇒ ∈  
1 1
2 2
20 0
1x 0 cos tdt2 I dt
6t 0 1 sin t6
π
= = =
π −
∫ ∫⇒ 
 Vậy
1
2
60
1 1
dx
2 61 x
π
−
∫ 
 
 
2 24. 0 x 1 x x 1 x x x x 1 x 1 x x 1 x+ + +⇒ ⇒ ⇒ 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) [ ]2
1 1 1
1 ; x 0,1
x 1 1 x1 x x+ ++
⇒ ∀
 
 ∈ 
Dấu đẳng thức trong (1) xảy ra khi : 
x = 0
x = 1



 (1) (1)
(1) (1)
VT VG
x
VG VP
∅⇒


∈


Do đó :
1 1 1 1
20 0 0 0
1 1 dx 1
dx dx ln2 dx
1 x x 1 41 x x 1 x x
π
< < < <
+ ++ +∫ ∫ ∫ ∫
⇒ 
Chú ý :
1
20
1
dx
1 x 4
π
=
+∫ Xem bài tập 5 . 
Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 
2 
2 2 2 2 2 2
2 2
1 1 1
2 2 20 0 0
1 1
5. 0 1 2 2 2
2 2( 1)
1 1 1 1
 ; 
2 2 1 1
+ + + + +
+ + +
=
+ + + +∫ ∫ ∫
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
⇒
 
 
 
 
 
 



x x x x x x x x x x
x x x
dx dx I dx
x x x x
Đặt x tgt dx dt ( tg t)dt
cos t
= = = + 22
1
1⇒ 
π π+ π π
= = = =
π +∫ ∫
4 4
2
20 0
0 1 1
1 4 40 4
⇒ ⇒
x tg t
I dt dt I
tg tt
 Vậy 
π
+ +∫
1
20
1
2 8

dx
x x
( )
5 3
5 4 3 3 5 4 3 3
4 3
3 5 4 3 3 3 5 4 3 3
3 5 4 3 3
1 1
1 3 30 0
6. 0 1 0 2 3 3 3 3
0
1 1 1
3 3 3 3 3 3 3 3
1
3 3 3 3
1
 ; Đặt 
3 3 3 1

+ + + + + +

+ + + + + + + + + +
+ + + + +
= = =
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫°
1 1 1
0 0 0
0
⇒ ⇒ ⇒
⇒ ⇒
⇒

 


 
 
 
 
 


 


 
 
 


 

x x
x x x x x x x x x
x x
x x x
x x x x x x x x x x
x x x
dx dx dx
x x x x x
x x
I dx dx x
x x
2 0 1;( 0) 2 
0
=⇒
1

x
t t dx tdt
t
21 1
1 6 3 20 0
1 2 2 3 .
3 1 9 ( ) 1
= =
+ +∫ ∫
t t dt
I dt
t t
Đặt = =3 2
0 1
3
0 1
⇒ 
t
u t du t dt
u
π
= =
+∫
1
1 20
2
9 1 18
⇒
du
I
u
Kết quả :
π
=
4
I (bài tập 5) 
π
= =
+∫
1
2 30
°
3 9 3
x
I
x
(tương tự) Vậy ( )
+ + +∫
1
1 25 4 30
1
3
⇔ 
 

x
I dx I
x x x
π π
+ + +∫ 5 4 318 3 9 3
1
0

 

x
dx
x x x
1,Chứng minh rằng :
( ) ( )
2
4 40 121 1+ +∫
sin .cos
sin cos

x x
dx
x x
π π
2.Nếu : ( )
 
= >  
 ∫
4
0
0 , 0 , ;
cos 2 4
∀ ∈
t
tg x
I dx t
x
t π thì : ( )
2 3
3
3
4
+ 
+ > 
 
tg t tgt
tg t e
π
Bài giải : 
1. Ta có
cos x sin x sin x cos x
:
( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x) ( sin x)( cos x)
+ + + +
=
+ + + + + +
2 2 4 4
4 4 4 4 4 4
3 2 2
1 1 1 1 1 1
  
sin cos
( sin )( cos ) ( sin )( cos ) sin cos
+ + +
= +
+ + + + + +
4 4
4 4 4 4 4 4
3 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
⇒ 
x x
x x x x x x
Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 
3 
sin . cos sin .cos sin . cos sin .cos sin sin
( sin )( cos ) sin cos ( sin )( cos ) sin cos
sin . cos sin sin
( sin )( cos ) sin cos
π π
 
+ + + + + + + + + + 
 
++ + + + ∫ ∫
2 2
4 4 4 4 4 4 4 4
4 4 4 40 0
3 1 2 2
1 1 1 1 1 1 6 1 1
3 1 2 2
1 1 6 1 1
⇒ ⇒
⇒
 

x x x x x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x
dx dx dx
x x x x
sin
 Đặt sin sin
sin
π
π


= = =
+
∫
∫
2
2
0
2
1 40
2
° 2
1
⇒ 
x
J dx t x dt xdx
x
π π
⇒ = =
+∫
1
1 20
0 2
0 1 41
x dt
J
t t
 (kết quả I=
4
π bài tập 5) 
sin
 Đặt cos sin
cos
π
= = = −
+∫
2 2
2 40
2
° 2
1
⇒ 
x
J dx u x du xdx
x
π π
= =
+∫
1
2 20
0 2
0 1 4
⇒
1
x du
J
u u
(kết quả I=
4
π bài tập 5) 
sin .cos
( )
( sin )( cos )
π
+
+ +∫
2
4 40
1
1 1 6
⇒ 
x x
dx I J
x x
 Vậy 
sin .cos
( sin )( cos )
π π
+ +∫
2
4 40 1 1 12

x x
dx
x x
2. Đặt ( )= = + =
+
2
21 1
⇒ ⇒ 
dt
t tgx dt tg x dx dx
t
4
2 3 3
2 2 2 20 0 0
0
2
4 tgttgt tgt tgtt dt t dt 1 1 1 t -1 1 1 tgt -1I = . = = -t -1+ dt = - t - t - ln = - tg t - tgt - ln
1- t 1+ t 1- t 1- t 3 2 t +1 3 2 tgt +1
1+ t
t
  
   
   
∫ ∫ ∫
Vì 
( )
> 0 I t nên
31 1 tgt -1 : - tg t - tgt - ln > 0
3 2 tgt +1
ln ln
 
 
 
+− π π   
= + > + + >   +    
3
3 31 1 1 1
2 1 2 4 3 4
2
3⇔ ⇒
tg t tgttgt
tg t tg t tgt tg t e
tgt
2
n
x
1. I =
x +1
 Chứng minh : 
( )
≤ ≤
+ +∫
1
0
1 1
2 1 1n
I dx
n n
 và lim
→+∞
= 0 
n n
I dx 
( )-n xn2. J = x 1+ e Chứng minh : nJ dx n< +∫0
1 2
0
1

 và 
n n
lim J dx 0
→+∞
= 
Bài giải : 
. +
+
1 1
1 0 1 1 1 2 1
2 1
⇒ ⇒ 
 
 
 
 
 
x x
x
 ; 
n n n
n n nx x xx x dx dx x dx
x x+ +∫ ∫ ∫
1 1 1
0 0 0
1
2 1 2 1
⇒
 
 
 
 
( ) ( )
n n nnx x x x
dx dx
n x n n x n
++
+ + + + +∫ ∫
1 1
1 1
0 0
00
11 1
2 1 1 1 1 1
1
⇒ ⇒
2 +1

 
 
 
 
Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 
4 
Ta có : ( )
1
0
2 1
0
11
0
1
→∞
→∞
→∞

= +
=
+ = +
nn
n
n
lim
n
lim
x
lim
n
x
⇒ 
( ) ( )
( ) ( )
0
1
0 0 0
11
2 0 1 1 1 1 2 1 2 0 1 2
2
0 1 2 0 1
1
− − −
− −
−= + + +
+ +
+∫ ∫ ∫
. .⇒0 ⇒ ⇒
⇒ ⇒
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


 
 
 

n n n n n
n x n n
x x
x
x xx e e e x x e x hay x e x
x e dx x dx x e dx
n
Ta có : ( )2 0 1 0
1
−
→∞ →∞
= + =
+
n x
x e dx
n
lim lim⇒
n n
Chứng minh rằng : 
2
2
3 4
4
2
1
0
4 6
0
-
1. cosx(4 3 cos x)(2 cosx 2)dx 8 2. lnx(9 3 lnx 2 lnx)dx 8(e 1)
2 493. sinx(1 2 sinx)(5 3 sin x)dx 4. tgx(7 4 tgx)dx 
3 64
2435. sin x. cos xdx
6250
π
π
π π
π
π
− + ≤ π − − ≤ −
π π
+ − < − ≤
π
≤
∫ ∫
∫ ∫
∫
Bài giải : 
Đặt f(x) = cosx(4 - 3 cosx)(2 cosx + 2) 
cos x cos x cosxf(x)
f(x)dx dx cosx( cosx)( cos x )dx2 2 2
2 2 2
3
4 3 2 2 8
3
8 4 3 2 2 8
− − −
⇒ ⇒
cauchy 
 


 

π π π
π π π
 + − + +   =   
− + π∫ ∫ ∫
2. Đặt ( ) ln ( ln ln ) ln ( ln )( ln )9 3 2 3 3 2 f x x x x x x x= − − = + − 
ln ln ln( )
( ) ln ( ln ln ) ( )
1 1 1
3
3 3 2
8
3
8 9 3 2 8 1⇒ ⇒



 

e e e
x x x
f x
f x dx dx x x x dx e
 + + + −   =   
− − −∫ ∫ ∫
3. Đặt ( ) sin ( sin )( sin )1 2 5 3 f x x x x= + − ; 
sin x sinx sinxf(x)
3
1 2 5 3
8
3

 

 + + + −     
Đẳng thức
sinx sin x sin x
x
sinx sinx sinx
 = + = − 
⇔ ⇔ ⇔ ∈∅ 
= − =  
1 2 1
5 3 4 5
f(x) f(x)dx dx sinx( sinx)( sin x)dx3 3 3
4 4 4
2
8 8 1 2 5 3
3
π π π
π π π
π
⇒ < ⇒ < ⇒ + − <∫ ∫ ∫ 
4. Đặt f(x) tgx( tgx) . tgx( tgx)17 4 4 7 4
4
 = − = − 
Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 
5 
( ) ( )
2
0 0 0
4 4 4
4 7 41 49
( )
4 2 16
49 49
7 4
16 16
x
tgx tgx
f x
f dx dx tgx tgx dx
∏ ∏ ∏
 + −
≤ =  
 
∏
⇒ ⇒ −∫ ∫ ∫
 

4 6 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
4 6 4 6
0
5
5. sin .cos (1 cos ).(1 cos ).cos . cos . cos
1
(2 2cos )(1 cos ).cos .cos .cos
2
1 2 2cos 1 cos cos cos cos
2 5
243 243
sin .cos sin .cos
6250 6250
x x x x x x x
x x x x x
x x x x x
x x x xdx
= − −
= − −
 − + − + + +
≤  
 
∏
⇒ ≤ ⇒ ≤
∏
∫
Chứng minh rằng : 
( )2 2 2 22
3
5 2
1. cos 3sin sin 3cos
3
x x x x dx
−
∏
∏
∏
+ + +∫ 
 
( ) ( )2 2
1
2. 3 2 ln 5 2ln 4 1
e
x x dx e+ + − −∫ 
 
2
3 cos sin
3.
4 44
x x
dx
x
∏ + ∏
−
+∫
 
 
Bài giải : 
1. Đặt 2 2 2 2( ) 1 cos 3sin 1. sin 3cosxf x x x x= + + + 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 3
2
2 cos 3sin 3cos sin 2 2
5 2
2 2 cos 3sin sin 3cos
3
x x
x
f x x x x f
f dx dx x x x x dx
∏ ∏
− − −∏ ∏ ∏
∏
+ + + ⇒
∏
⇒ ⇒ + + +∫ ∫ ∫

 


 

2. Đặt ( )
2 21 3 2ln 1 5 2ln
x
f x x= + + − 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2
1 1 1
2 3 2ln 5 2 ln 4
4 3 2 ln 5 2 ln 4 1
x x
x
e ee
f x x f
f dx dx x x dx e
≤ + + − ⇒ ≤
⇒ ⇒ + + − ≤ −∫ ∫ ∫

( )2 2 2
2 2 2 20 0
2 2
3. 3 cos sin ( 3) 1 cos sin
3 cos sin 3 cos sin2
2
4 4 4 4
x x x x
x x x x dx
x x x x
 + ≤ + + 
+ +
⇒ ≤ ⇒ ≤
+ + + +∫ ∫
Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 
6 
Đặt ( )22 2 1x tgt dx tg t dt= ⇒ = + 
( )
( )
2
2 20 0 0
2 20 0
4 4
2
2 2
2 10 1 1
4 2 84 10
4
3 cos sin 3 cos sin
4 4 4 4 4
tg tx dx
dt dt
x tg tt
x x x x
dx dx
x x
∏ ∏+ ∏
⇒ = = =
∏ + +
+ ∏ ∏ + ∏
⇒ ⇒ −
+ +
∫ ∫ ∫
∫ ∫

 
 

ĐÁNH GIÁ TÍCH PHÂN DỰA VÀO TẬP GIÁ TRỊ 
CỦA HÀM DƯỚI DẤU TÍCH PHÂN 
Chứng minh rằng : 
2 2
0 0
0 0
2 2
1 1
441. sin 2 2 cos
2. sin 2 2 sin
1 2 1
3.
1
xdx xdx
xdx xdx
x x
dx dx
x x
∏ ∏
∏∏
≤
− −
<
+
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫

 
2
2
0
2 2
2
1 1
0 0
4 4
sin sin
4..
5. (ln ) ln
6. sin cos
x x
dx dx
x x
x dx xdx
xdx xdx
∏
∏
∏
∏ ∏
>
<
<
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
Bài giải : 
∏ ∏
0 0
4 4
0 sin 1
1. 0; 2sin .cos 2cos
0 cos 14
sin2 2cos sin2 2 cos
x
x x x x
x
x x xdx xdx
 ≤ ≤  ∏  ∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤  ≤ ≤  
⇔ ≤ ⇒ ≤∫ ∫
Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 
7 
∏ ∏
0 0
2 2
cos 1
2. 0; 2sin2 .cos 2sin
0 sin2
sin2 2sin sin2 2 sin
x
x x x x
x
x x xdx xdx
 ≤  ∏  ∀ ∈ ⇒ ⇒ ≤  ≤  
⇔ ≤ ⇒ ≤∫ ∫
[ ] 3. 1;2x∀ ∈ Xét hiệu : 
2-1 2 1 1
0
1 ( 1)
x x x x
x x x x
− − + −
− = <
+ +
1 1
2 21 2 1 1 2 1
1 1
x x x x
dx dx
x x x x
− − − −
⇒ < ⇒ <
+ +∫ ∫ 
4. Đặt - -x u dx du=∏ ⇒ = 
∏∏
∏ 0∏
∏ ∏
∏
0 2
22
sin sin( ) sin2 ( )
02
1 1
0 0
2
x x u x
dx du dx
x u xu
x x x
x x
∏−
⇒ = − =
∏− ∏−
∏
< < ⇒ < <∏− ⇒ <
∏−
∫ ∫ ∫
Vì :
∏ ∏
∏0
2 2sin sin sin sinsin 0
x x x x
x dx dx
x x x x
> ⇒ < ⇒ <
∏− ∏−∫ ∫ 
∏
∏
∏2
20
sin sinx x
dx dx
x x
⇒ >∫ ∫ 
5. Hàm số y = f(x) = lnx liên tục trên [1,2] nên y = g(x) = (lnx)2 cũng liên tục trên [1,2] 
[ ]
⇒ ⇒
∀ ⇒
2
2
1 1
2 2
1 2 0 ln ln2 1(*) 0 (ln ) ln
1,2 (ln ) ln
x x x x
x x dx xdx
< <
<∫ ∫
 
 
 
 
 

∈ 
Chú ý : dấu đẳng thức (*) xảy ra tại x0 = 1⊂ [1,2] 
0
∏ ∏
∏ ∏
⇒ ⇔
⇔ ⇔
0
4 4
sin
6. 0 0 1 1
4 4 cos
sin cos sin cos
x
x tgx tg
x
x x xdx xdx
< < < < = <
< <∫ ∫
Chứng minh rằng : 
2x
1
0
1
0
1
0 1
8
25
3 03
1. 2 4 5
1 1
2. 1
2 1
1 1
3.
2626 2 1
dx
dx
x
x
dx
x
+
+
+
∫
∫
∫

  


 


 

 <
2
8
∏
∏ ∏
1
0
21
2 30
1
3
 ... e x e x x
e x
x
e dx dx dx
x x
+
+
⇒ = ⇒ − − ⇒ + ∀
⇒ + ∀
+
 ⇒ + = + + + ∫ ∫ ∫
   
 

Đặt ( )21x tgt dx tg t dt= ⇒ = + 
( )21 1
2 20 0
0 10 1
1 1 1 4
4
t tg t dtx
dx
x x tg tt
= += ∏
⇒ ⇒ = =  ∏= + += 
∫ ∫ 
Từ (*) suy ra : 2
1
1 1
4
xe dx+
∏
+∫  
6. Trước hết ta chứng minh : 2 ; 0,
2
xtg
x
x
2 ∏ <  ∏  
∈ 
Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 
25 
Xét hàm số ( )
1
. ; 0,
2 2
x
x
f tg x
x
∏ =  
 
∈ 
( )
'
2 2
sin
2 .cos
2
x
x x
f
xx
−
= 
Đặt sin ' 1 cos 0 , 0,
2
Z x x Z x x
∏ = − ⇒ = − > ∀  
 
 ∈ 
( ) ( )
'
0
0 0 , 0,
2
x
Z Z f x
∏ ⇒ > = ⇒ > ∀  
 
 ∈ 
x -∞ 0 
2
∏ +∞ 
f’(x) + 
f(x) 2∏
−∞
ր 
( )
2 2 2
0 0 0
2 22
22 2 1
x
xtg
f
x
x xtg tg
dx dx dx
x x
∏ ∏ ∏
⇒ < ⇒ <
∏ ∏
⇒ < ⇒ <
∏∫ ∫ ∫
Chứng minh rằng : 
( ) ( )
4
2001 2001
1999 2
0
1
2
0
2
0
1
1. . .
2 2001 2002
1 2
2. ln 1 ln 1 2 1
2 2
1
3.
2 4
x
n
n
x e dx
x x x dx
xtg xdx
n
∏
∏
+
∏ ∏
> +
+ + + + −
∏ 
 +  
∫
∫
∫


Bài giải : 
1. Trước hết ta chứng minh : ( )2 22 ; 0xe x x x> + ∀ > 
Xét hàm số: 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
' 2 2
2 ; 0
2. 4 2 ; 4. 4 0 ; 0' '
x
x
x x
x x
f e x x x
f e x f e x
= − + ∀ >
= − − = − > ∀ > 
( )
'
x
f⇒ là hàm tăng ( ) ( )
'
0
; 0 0
x
x f f∀ > ⇒ > = 
( )xf⇒ là hàm tăng ( ) ( )0; 0 xx f f∀ > ⇒ > 
Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 
26 
( ) ( )
( )
2 2 1999 2 1999 2
1999 2 1999 2
0 0
2001 2001
1999 2
0
2 . 2.
1
.
2
1
. .
2 2001 2002
x x
x
x
e x x x e x x x
x e dx x x x dx
x e dx
∏ ∏
∏
⇒ > + ⇒ > +
⇒ > +
∏ ∏
⇒ > +
∫ ∫
∫
2. Trước hết ta chứng minh : ( )2 21 ln 1 1 ;x x x x x R+ + + + ∀  ∈ 
Xét hàm số : 
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
' 2 ' 2
22
1 ln 1 1
ln 1 0 1 1
1 0
0
1 1
x
x x
f x x x x
f x x f x x
x
x
x x
= + + + − +
= + + ⇒ = ⇔ + + =
− ≥
⇔ ⇔ =
+ = −
và ( ) ( )' 20 ln 1 0 0xf x x x< ⇔ + + < ⇔ < 
x -∞ 0 +∞ 
f’(x) - 0 + 
f(x) 
0
ց ր
( ) ( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
2 2
2 2
1
1 1
2 2 2 2
0 0
0
1
2
0
0 ;
1 ln 1 1
ln 1 1 1
1 1
ln 1 1 1 1 ln 1
2 2
1 2
ln 1 ln 1 2 1
2 2
x
f f x R
x x x x
x x x x
x x x dx x dx x x x x x
x x x dx
⇒ = ∀
⇒ + + + +
⇒ + + + −
 ⇒ + + + − = + + + + −  
⇒ + + + + −
∫ ∫
∫
 ∈




3. Đặt ( ) ; 0, 4x
f tgx x x
∏ = − ∀ ∈  
( )
' 2
2
1
1 0 ; 0,
cos 4
x
f tg x x
x
∏ = − = > ∀ ∈ 
 
( )xf⇒ đồng biến trên ( ) ( )00, 04 x
f f
∏  ⇒ =  
 
Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 
27 
4 4
4
1 1
0
2
0
; 0,
4
1
2 4
n n
n n n n
n
n
tgx x x tg x x
xtg x x xtg xdx x dx
xtg xdx
n
∏ ∏
∏
+ +
0
+
∏ ⇒ ∀ ∈ ⇒  
⇒ ⇒
∏ ⇒  +  
∫ ∫
∫
 
 

Giả sử f(x) có đạo hàm liên tục trên [0,1] và f(1) – f(0) = 1 
Chứng minh rằng : ( )( )
21
'
0
1
x
f dx∫  
Ta có : ( )( ) [ ]
21
'
0
1 1 ; 0,1
x
f dx x− ∀ ∈∫  
( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
2 21 1
' ' '
1 00 0
2 2
' '
2 1 0 2 1 0
2 1 0 1
x x x
x x
f dx f dx dx f dx f f
f dx f dx
1 1
0 0
1 1
0 0
 ⇒ − + ⇔ − − + 
⇔ − + ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
  
 
Cho f là 1 hàm liên tục trên [0;1] đồng thời thoả mãn 
( ) [ ] ( )
( ) ( )
1
0
1 2 ; ; 0,1
3
2
x
x
f x a
f dx b
 ∀ ∈


=
∫

 
 
Chứng minh 
( )
1
0
2 1 3
3 4
x
dx
f
<∫
 
Theo BĐT Bunhiacosky 
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
2
2
1 1 1 1
0 0 0 0
1
0
1
1 1. . .
3 2
1
2 3
x x
xx
x x
dx
dx f dx f dx
ff
dx dx
f f
1
0
 
 =
 
 
= ⇒
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫

 


Dấu “=” không xảy ra : 
( )
( )
( )
( )
1
0
3
1 2
3
.
2
x
x
x
x
f
k f k
f
do f dx
= ⇔ = =
=∫ 
Từ (a) : ( ) [ ]1 2 ; 0,1xf x∀ ∈ 
 
 thì 
( )
( )
2 0
1 0
x
x
f
f
−

−


( )( ) ( )( ) ( ) ( )22 1 0 3 2 0x x x xf f f f⇔ − − ⇔ − +  
 
Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 
28 
( )
( )
( )23 0 2x
x
f
f
− + 
 Đặt ( )xt f= 
1 2t⇒ ≤ ≤ thì (2) ( )
2
3 0
t
t f
t
⇔ − − = 
 
t 1 2 2 
f’(t) − 0 + 
f(t) 
2 2 3−
ց ր 
( )
( )
( )
( )
( )
1 1 1
0 0 0
1 1 1
0 0 0
3 2 0
3 3
2 3
2 4
x
x
x
x x
dx
f dx dx
f
dx dx
dx f dx
f f
1
0
⇒ − + <
⇒ < − = ⇒ <
∫ ∫ ∫
∫ ∫ ∫ ∫
Từ (1) và (2) suy ra : 
( )
2 1 3
3 4
x
dx
f
<∫
 
Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 
29 
BÀI TẬP TỰ LUYỆN 
Chứng minh rằng : 
Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 
30 
( )
4
2
4
0
0
1
1
0
18
0
0
3
1
1
0
1
1.
228 245 2 cos
1
2.
2 183 4sin
2 1 2
3.
39 78
5
4.
3 616
cos 5
5.
4 61
1
6.
216 105 3cos
.sin
7.
2 121
8. 3 2
4003
2001
9. . ln .
1
dx
x
dx
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
dx
x
x
e x
dx
ex
x
e dx
x x dx
∏
∏
∏
∏
−
∏ ∏
∫
+
∏ ∏
∫
+
∫
+
<∫
+
<∫
+
∏ ∏
∫
+
− ∏
<∫
+
−+∫
< ∏∫1
10
24

 


 


 


 



( )
1
2
1
0
0
2
0
1
0
1
0
1
0
2
0
1
0
1 2
0.
2 36 84
1 1
11. 2, 3...
22 61
22 2
12. 2
4
7
1
13. 0
3 8 81
2
14.1
19
1 1
15.
3 6 2020 2 1
1
16 .
210 45 3cos
1
17. 0
1 1
dx
x x
dx n
x
x x
e dx e
e
x
dx
x
x
e dx e
x
dx
x
dx
x
n
x
dx
x n
∏
∏ ∏
∫
− −
∏
< =∫
∏−
−
∫
< <∫
+
< <∫
< <∫
+
∏ ∏
∫
−
∫
+ +

 




 


 


 

1
2
3
0
1
0
1
0
3
4
4
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1 3
18.1
2 52 8
2
19.1 1 2
2
20. 3 3 2
1
21.
2
8 73 sin
22. 2 5 4 6
2
23. 2 4 5
3 1
24.
2
18 82
1 1
25.
2004 42 1
26.
7 5 3
18 273
27. 0
dx
x x
x dx
x dx
dx
x
xdx
x dx
dx
x x
dx
x
x
dx
x x x
∏
∏
−
∫
− + +
+∫
+∫
∏ ∏
∫
+
−∫
+∫
∏ ∏
< <∫
+ +
∏
∫
−
∏ ∏ 3
<∫
+ + +

 


 


 


 


 


 


 



( )
4
1
0
1
0
0
3
0
2
0
2
0
1
1
3
4
1
0
2
ln
2
28. 9 81 10
2 2
29.
3 10 3 cos 7
1 62
30 . 1 sin
2 2 4
2
31. 0 2 3
1
32.
24 23 2 sin
21
33. 1 1
sin( )
34. ln 2
1
cos( )
35. ln 2
1
36
e
x xdx e
x dx
dx
x
x dx
tgx dx
dx
x
x
e e dx
e
nx
dx
x
nx
dx
x
∏
∏
−
∏
∫
< + <∫
∏ ∏∏< <∫
+
∏ ∏
< + <∫
< <∫
∏∏ ∫
−
−
− < <∫
∫
+
∫
+

 


 





( )20
1
2
1. ; 3, 4
2 121
2
37. sin 0
x
dx n
n
x
x dx
∏
∏
< =∫
−
>∫
Chứng minh rằng : 
Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 
31 
( )
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
2 2
2
3
6
4
0
4 2 2
0
2 4 2
0
2 2
1. 2 cos 2 cos 2 2
3cos 4sin 5
2. 0
1 12
9
3. 3 2 sin sin 6 sin 5
2
27
4. 2 3 7 4
4
25
5. sin 2 3cos
48
125
6. cos 2sin 3
54
3 3
7. 5 2cos 3 2sin
x x dx
x x
dx
x
x x x dx
tgx tgx tgx dx
x x dx
x x dx
x x dx
∏
∏
∏
∏
∏
∏
+ + − ∏
+ ∏
+
∏
− + +
∏
+ −
∏
+ <
∏
+ <
∏
− + −
∫
∫
∫
∫
∫
∫
o
3
1
 <










( )( )
( )( )( )
( )
( )
2
4
4
2
0
3
6
0
1
1
0
1
20
2
27
8. sin 2 3 sin 7 4 sin
2
9
9. 3 2 sin 5 sin 1 sin
2
10. 2sin 0
11. 0 1
1 5 1
12.
2 1 24 2
x
x
x x x dx
x x x dx
x tgx dx
e x dx e
e
dx
x
∏
∏−
∏
∏
∏
∏
− −
−
∏
+ −
∏
− + +
+ >
+ −
+
+
∫
∫
∫
∫
∫
∫





 


 

Chứng minh rằng : 
2
2
2
2
18
40
2
0
1
2 2 2
0
2 1 2
1.
13 10 3cos 7
1
2.
14 4 3cos 8
cos
3. 0,1
1
4. 1
5. sin sin
6. x x
dx
x
x
x
dx
x
x dx xdx
x xdx x xdx
e dx e dx
∏
0
∏
0
1 1
0
∏ ∏
+
∏ ∏
+
<
+
+ >
<
>
∫
∫
∫
∫ ∫
∫ ∫
∫ ∫
1
0
2 2
1 1

 


 

( )
3
2
1
0
2
1
20
1
1
1
0
4 40
1
20
11
12
13
14
15
16
sin 1cos
. 1 1
1
1
.
1 64 2
.1 2 4
.1
1
. 2
sin cos
1
.
2 8
x
x
x a a a
dx
x
a R
x
dx
x
dx
e dx e
dx
x x
dx
x x
−
∏
+ +
−
+
∏ − ∏
< <
+
∏ ∏
+
∏
<
+ +
∫
∫
∫
∫
∫
∫

 

∈

 


 


 

Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 
32 
( )
2
1
21
10 22 2
0 0
cos 2 cos
7. 2
2 cos 1
0,
8.. sin sin
x x
dx
x x
xdx xdx
α α
α
α
−
∏ ∏
− +
− +
∏
∫
∫ ∫


∈


 ( )
4 4
2 2
1
2
5
3
19
17
18
. sin cos
. 3 6 2 4 6 3
3
. 25 27
2 4 5
xdx xdx
x x dx
x
dx
x x
∏ ∏
−
∏ ∏
>
+ + −∫
∫
− +
∫ ∫ 

 


 

( )
( )
6
6
2
0
2
2 2 2 2
9. cos 2 sin sin 2 cos 6
2 2 2
10. 3cos sin 3sin cos 2
x x x x dx
x x x x dx
∏
∏
∏
−
+ + + ∏∫
+ + + ∏∫ 




Chứng minh rằng : 
( )
( )
3
3
4
6
3
0
0 2
2
21
1
2
0
4
27
2
3. 0 1
3 sin 1
1.
4 2
3 sin 2
2.
8 6
3 1 2 3
4.
3 3cos cos 1
2 1
5.
5 1 2
2 3
6. 0 1
9
x x dx
x
dx
x
x
x
dx
x x
x
dx
x
x x dx
∏
∏
∏
∏
∏
< − <∫
< <
< <
∏ ∏
< <
+ +
< <
+
< − <
∫
∫
∫
∫
∫
( )
( )
( )
2
2
3
2
0
0
2 2
2
2
1
1
33
1
1
2 1
0
2
0
30
28
29
31
32
33
5 3
. 24 5 20 2 32
cos 1
.
2
. 0 8
. 2 4 3 2 0
. 0
1
. 2cos 2cos 1 5
2
x
e ex
x x x dx
x
dx
x
x e dx e
x x dx
x dx e
x x dx
∏
∏
−
−
−
−
+
− − − + +∫
<
∏
− − + −
< <
< + + <
∫
∫
∫
∫
∫

 


 


 

( )
( )2 2
11
7
22
0
5
2
6
1
20
1
0 2
49
3
8
1 1
9 sin sin
sin sin
7
.
10
8
. 54 2 11 7 108
8
. 3cos 5
3cos cos3
. 0,65 0,9
1
2 1 1
11.
3 22
dxx x
x x
x x dx
x dx
x x
dx
x
dx
x x
−
∏
∏
∏− −− − −
− + +
 + + 
+
+ −
∫
∫
∫
∫
∫

 


 



 


 

( )
( )
( )
( )
2
0
2
0
30
2
4
22
2
1
21
34
35
7 3 5 3 6
36 . 3 2 sin
3 3
37
38
39
40
3
. sin 1 cos
2
. sin cos 2 2
. cos 2
cos 2 3
. 2cot
sin 9
7 5
. 2 6
5 7
3 1
. 0 10
1
x x dx
x x dx
x x dx
x x dx
x
gx dx
x
x x
dx
x x
x x
dx
x x
∏
∏
−∏
∏
−∏
∏
∏
−
∏ ∏ +
< + <
∏
+ <
+ < ∏
− < ∏
∏ − < 
 
− +
−
− +
+ +
− +
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

 


 

Ts. Nguyễn Phú Khánh - ðà Lạt Chuyên Đề Bất Đẳng Thức Tích Phân 
33 
( )
( )
2
2
3
2 2
200
100
2
4
2
2
2
21
1
0
17.
15
16
5 9 2
12.
2 41
cos 1
13.
200
1 sin 2
14.
2 2
1
. 2 3ln
ln
2 1
.
5 1 2
1
1
2
e
x
dx
x
x
dx
x
x
dx
x
e e x dx
x
x
dx
x
x x dx
∏
∏
∏
∏
< <
−
<
∏
< <
 − < − 
 
< <
+
− <
∫
∫
∫
∫
∫
∫ 
( ) ( )
2
2
21
2
22
2
0
2 3
2
21
3
1
2
2
4 0
2
2
1
24
22
23
25
26
27
5 2 4 5
21. 15
2 1
. 0 ln
. 1 1
ln
5 2
. 1
4 1
1
. ln 2 ln ln 3
2
. 2
1
.
2
e
e
e
x x
x
x x
dx
x
x x e
x
e e dx e e
x
x
dx
x
x
dx
x
e dx e
e
e
e dx e
x
−
−
+ +
+
− < < −
< <
+
+
< <
< <
< <
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫

 


 

( )
( )
2
2
4 2
0
2
4 3 2
1
18
19
20
. cos 2 cos 1 2
. 5 2 4 5 9 2
. 141 3 8 30 72 20 369
x x dx
x x dx
x x x x dx
∏
∏
−
∏ − + ∏
− + +
− − − + + −
∫
∫
∫