Chương 3: Phương trình bậc hai với các hàm số lượng giác

 LƯỢNG GIÁC 
CHƯƠNG III: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI CÁC HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 
( )
( )
( )
( )
+ + = ≠
+ + = ≠
+ = = ≠
+ + =
2
2
2
2
a sin u bsin u c 0 a 0
a cos u b cos u c 0 a 0
atg u btgu c 0 a 0
a cot g u b cot gu c 0 a 0≠
Cách giải: 
Đặt : hay với t sinu= t cosu= t 1≤ 
 (điều kiện t tgu= u k
2
π≠ + π ) 
 (điều kiện t cot gu= u k≠ π ) 
Các phương trình trên thành: 2at bt c 0+ + = 
Giải phương trình tìm được t, so với điều kiện để nhận nghiệm t. 
Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản tìm được u. 
Bài 56: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2002) 
Tìm các nghiệm trên ( của phương trình )0,2π
( )cos3x sin3x5 sin x 3 cos2x *
1 2sin2x
+⎛ ⎞+ = +⎜ ⎟+⎝ ⎠ 
Điều kiện: 
1sin2x
2
≠ − 
Ta có: ( ) ( )3 3sin 3x cos3x 3sin x 4sin x 4 cos x 3cos x+ = − + − 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
3 3
2 2
3 cos x sin x 4 cos x sin x
cos x sin x 3 4 cos x cos xsin x sin x
cos x sin x 1 2sin 2x
= − − + −
⎡ ⎤= − − + + +⎣ ⎦
= − +
Lúc đó: (*) ( ) ( )25 sin x cos x sin x 3 2cos x 1⎡ ⎤⇔ + − = +⎣ ⎦ − 
1do sin2x
2
⎛ ⎞≠ −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
22cos x 5cos x 2 0⇔ − + = 
( )
1cos x
2
cos x 2 loại
⎡ =⎢⇔ ⎢ =⎢⎣
x
3
π⇔ = ± + πk2 (nhận do 3 1sin2x
2 2
= ± ≠ − ) 
Do ( )x 0,2∈ π nên 5x x
3 3
π π= ∨ = 
Bài 57: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2005) 
Giải phương trình: ( )2 2cos 3x.cos2x cos x 0 *− = 
Ta có: (*) 
1 cos6x 1 cos2x.cos2x 0
2 2
+ +⇔ − = 
cos6x.cos2x 1 0⇔ − = (**) 
Cách 1: (**) ( )34 cos 2x 3cos2x cos2x 1 0⇔ − − =
=4 24 cos 2x 3cos 2x 1 0⇔ − − 
( )
2
2
cos 2x 1
1cos 2x vô nghiệm
4
⎡ =⎢⇔ ⎢ = −⎢⎣
( )
sin2x 0
k2x k x k Z
2
⇔ =
π⇔ = π ⇔ = ∈ 
Cách 2: (**) ( )1 cos8x cos4x 1 0
2
⇔ + − = 
( )
2
cos8x cos4x 2 0
2cos 4x cos4x 3 0
cos4x 1
3cos4x loại
2
⇔ + − =
⇔ + −
=⎡⎢⇔ ⎢ = −⎣
= 
( )k4x k2 x k Z
2
π⇔ = π ⇔ = ∈ 
 Cách 3: phương trình lượng giác không mẫu mực: 
(**) ⇔ cos6x cos2x 1
cos6x cos2x 1
= =⎡⎢ = = −⎣
 Cách 4: + − = ⇔ +cos8x cos4x 2 0 cos8x cos4x 2=
 ⇔ = =cos8x cos4x 1 ⇔ =cos4x 1 
Bài 58: (Đề thi tuyển sinh Đại học khối D, năm 2005) 
Giải phương trình: 4 4 3cos x sin x cos x sin 3x 0
4 4
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 2 = 
Ta có: 
(*) 
( )22 2 2 2 1 3sin x cos x 2sin x cos x sin 4x sin2x 02 2⎡ ⎤π⎛ ⎞⇔ + − + − + −⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ 2 =
[ ]21 1 31 sin 2x cos4x sin2x 0
2 2 2
⇔ − + − + − = 
( )2 21 1 1 1sin 2x 1 2sin 2x sin2x 02 2 2 2⇔ − − − + − = 
2sin 2x sin2x 2 0⇔ + − =
( )
sin2x 1
sin2x 2 loại
=⎡⇔ ⎢ = −⎣
π⇔ = + π ∈
π⇔ = + π ∈


2x k2 , k
2
x k , k
4
Bài 59: (Đề th ïc khối B, năm 2004) i tuyển sinh Đại ho
 ( ) (− = − 25sin x 2 3 1 sinx tg x * )Giải phương trình:
Khi đó: (*) 
cos x 0 sin x 1≠ ⇔ ≠ ± Điều kiện: 
( ) 22sin x5sin x 2 3 1 sin x cos x⇔ − = − 
( ) 2 2sin x5sin x 2 3 1 sin x 1 sin x⇔ − = − − 
23sin x5sin x 2
1 sin x
⇔ − = + 
22sin x 3sin x 2 0⇔ + − =
( )
( )
1sin x nhậndosin x 1
2
sin x 2 vô nghiệm
⎡ = ≠⎢⇔ ⎢ = −⎢⎣
±
( )5x k2 x k2 k
6 6
π π⇔ = + π ∨ = + π ∈ Z
 ( )1 12sin3x 2cos3x *
sin x cos x
− = + Bài 60: Giải phương trình:
Lúc đó: (*) 
Điều kiện: sin2x 0≠ 
( ) 1 12 sin3x cos3x
sin x cos x
⇔ − = + 
( ) ( )3 3 1 12 3 sin x cos x 4 sin x cos x sin x cos x⎡ ⎤⇔ + − + = +⎣ ⎦ 
( ) ( )2 2 sin x cos x2 sin x cos x 3 4 sin x sin x cos x cos x sin x cos x+⎡ ⎤⇔ + − − + =⎣ ⎦ 
( ) 1sin x cos x 2 8sin x cos x 0
sin x cos x
⎡ ⎤⇔ + − + − =⎢ ⎥⎣ ⎦ 
( ) 2sin x cos x 4sin2x 2 0
sin2x
⎡ ⎤⇔ + − −⎢ ⎥⎣ ⎦ =
( )2
tgx 1sin x cos x 0
nhận so vớiđiều kiện1sin2x 1 sin2x4sin 2x 2sin2x 2 0
2
= −⎡+ =⎡ ⎢⇔ ⇔ −⎢ ⎢ = ∨ =− − =⎣ ⎣
π π π π⇔ = − + π ∨ = + π ∨ = − + π ∨ = + π ∈ 7x k 2x k2 2x k2 2x k2 , k
4 2 6 6
π π π⇔ = ± + π ∨ = − + π ∨ = + π ∈ 7x k x k x k , k
4 12 12
( ) ( )+ − − =+
2cos x 2sin x 3 2 2 cos x 1
1 *
1 sin 2x
 Bài 61: Giải phương trình:
 sin2x 1 x m
4
π≠ − ⇔ ≠ − + π Điều kiện:
Lúc đó: 
(*) 22sin x cos x 3 2 cos x 2cos x 1 1 sin2x⇔ + − − = + 
22cos x 3 2 cos x 2 0⇔ − + =
( )⇔ = =2cos x hay cos x 2 vô nghiệm
2
( )
x k2
4
x k '2 loại do điều kiện
4
π⎡ = + π⎢⇔ ⎢ π⎢ = − + π⎢⎣
x k2
4
⇔ = + π π
Bài 62: Giải phương trình: 
( )x 3x x 3x 1cos x.cos .cos sin xsin sin *
2 2 2 2 2
− = 
Ta có: (*) ( ) ( )1 1cos x cos2x cos x sin x cos2x cos x
2 2
1
2
⇔ + + − = 
2cos x.cos2x cos x sin x cos2x sin x cos x 1⇔ + + − = 
cos x⇔ + = − + ( ) 2cos2x cos x sin x 1 cos x sin x
( ) ( )cos2x cos x sin x sin x sin x cos x⇔ + = + 
( ) ( ) ( )cos x sin x cos2x sin x 0 * *⇔ + − = 
( ) ( )2cos x sin x 1 2sin x sin x 0⇔ + − − =
2
cos x sin x
2sin x sin x 1 0
= −⎡⇔ ⎢ + − =⎣
tgx 1
sin x 1
1sin x
2
⎡⎢ = −⎢⇔ =⎢⎢ =⎢⎣
− ( )
x k
4
x k2 k
2
5x k2 x k2
6 6
π⎡ = − + π⎢⎢ π⎢⇔ = − + π ∈⎢⎢ π π⎢ = + π ∨ = + π⎢⎣
 Z
Cách khác: (**) tgx 1 cos2x sin x cos x
2
π⎛ ⎞⇔ = − ∨ = = −⎜ ⎟⎝ ⎠ 
 ( )34 cos x 3 2 sin2x 8cos x *+ = Bài 63: Giải phương trình:
Ta có: (*) 34 cos x 6 2 sin x cos x 8cos x 0⇔ + − =( )2cos x 2cos x 3 2 sin x 4 0⇔ + − =
( )2cos x 2 1 sin x 3 2 sin x 4 0⎡ ⎤⇔ − + −⎣ ⎦ =
2cos x 0 2sin x 3 2 sin x 2 0⇔ = ∨ − + = 
( )
cos x 0
2sin x
2
sin x 2 vô nghiệm
=⎡⎢⎢⇔ =⎢⎢ =⎢⎣
2x k sin x sin
2 2
π π⇔ = + π ∨ = = 
4
( )3x k x k2 x k2 k
2 4 4
π π π⇔ = + π ∨ = + π ∨ = + π ∈ Z
Bài 64
: Giải phương trình: 
( )cos 2x cos 2x 4sin x 2 2 1 sin x *
4 4
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + − + = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ( )
(*) ( )2cos2x.cos 4sin x 2 2 1 sin x
4
π⇔ + = + − 
( ) ( )
( )
2
2
2 1 2sin x 4 2 sin x 2 2 0
2 2 sin x 4 2 sin x 2 0
⇔ − + + − − =
⇔ − + + =
( )⇔ − + + =22 sin x 2 2 1 sin x 2 0 ( )⎡⎢si =⇔ ⎢ =⎢⎣
n x 2 loại
1sin x
2
π π⇔ = + π = + π ∈ 5x k2 hay x k2 , k
6 6
Bài 65 ( ) ( )+2g x 2 2 = +23 cot sin x 2 3 2 cos x * : Giải phương trình :
Điều kiện:
(*) 
 sin x 0 cos x 1≠ ⇔ ≠ ± 
Chia hai vế (*) cho 2sin x ta được: 
( )24 2cos x cos x3 2 2 2 3 2sin x sin x⇔ + = + và sin x 0≠ 
 2
cos xt
sin x
=Đặt ta được phương trình: 
( )23t 2 t 2− + +2 3 2 0
2t 2 t
3
=
⇔ = ∨ =
* Với 2t
3
= ta có: 2
cos x 2
3sin x
= 
( )
( )
(co nhận 1⎢⎣ )
2
2
3cos x 2 1 cos x
2cos x 3cos x 2 0
cos x 2 loại
1s x do cos x
2
⇔ = −
⇔ + − =
⎡ = −⎢⇔ ⎢ = ≠ ±
( )x k2 k
3
π⇔ = ± + π ∈ Z
* Với t 2= ta có: =2
cos x 2
sin x
( )
( )
( )
⇔ = −
⇔ + − =
⎡ = −⎢⇔ ⎢ = ≠ ±⎢⎣
π⇔ = ± + π ∈x k2 , k 
2
2
cos x 2 1 cos x
2 cos x cos x 2 0
cos x 2 loại
2cos x nhận do cos x 1
2
4
Bài 66
: Giải phương trình: ( )+ − − =2 24 sin 2x 6sin x 9 3cos 2x 0 *
cos x
Điều kiện:
Lúc đó: 
(*) =
 ≠cos x 0 
2 24sin 2x 6sin x 9 3cos2x 0⇔ + − − ( ) ( )2
2
4 1 cos 2x 3 1 cos2x 9 3cos2x 0
4 cos 2x 6cos2x 2 0
1cos2x 1 cos2x
2
⇔ − + − − − =
⇔ + + =
⇔ = − ∨ = −
2 2 12cos x 1 1 2cos x 1
2
⇔ − = − ∨ − = − 
( )
( )
( )
cos x 0 loại dođiều kiện
1cos x nhận do cos x 0
2
2x k2 x
3
⇔ = ± + π ∨ k2 k Z
3
⎡ =⎢⇔ ⎢ = ± ≠
π π= ± + π ∈
 ⎢⎣
( ) 1 2f x sin x sin3x sin5x
3 5
= + + Bài 67: Cho 
( )f ' x 0= Giải phương trình: 
Ta có: 
=
( )f ' x 0= 
( ) ( )
( ) ( )3 2
cos x cos3x 2cos5x 0
cos x cos5x cos3x cos5x 0
2cos3x cos2x 2cos4x cos x 0
4 cos x 3cos x cos2x 2cos 2x 1 cos x 0
⇔ + + =
⇔ + + + =
⇔ + =
⇔ − + −
( )
( )
⎡ ⎤⇔ − + −⎣ ⎦
⎡⎡ ⎤+ − + − =⎣ ⎦⇔ ⎢ =⎢⎣
⎡ − − =⇔ ⎢ =⎣
±⇔ = ∨ =
2 2
2
2
4 cos x 3 cos 2x 2 cos 2x 1 cos x 0
2 1 cos 2x 3 cos 2x 2cos 2x 1 0
cos x 0
4 cos 2x cos 2x 1 0
cos x 0
1 17cos 2x cos x 0
8
=
( )
1 17 1 17cos2x cos cos2x cos cos x 0
8 8
x k x k x k k Z
2 2 2
+ −⇔ = = α ∨ = = β ∨ =
α β π⇔ = ± + π ∨ = ± + π ∨ = + π ∈
 ( )8 8 217sin x cos x cos 2x *
16
+ = Bài 68: Giải phương trình:
Ta có: 
( )
( )
28 8 4 4 4 4
222 2 2 2 4
2
2 4
2 4
sin x cos x sin x cos x 2sin x cos x
1sin x cos x 2sin x cos x sin 2x
8
1 11 sin 2x sin 2x
2 8
11 sin 2x sin 2x
8
+ = + −
⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦
⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎝ ⎠
= − +
Do đó: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
⎛ ⎞⇔ − + = −⎜ ⎟⎝ ⎠
⇔ + − =
⎡ = −⎢⇔ ⇔ −⎢ =⎢
=
π⇔ = ⇔ = + ∈
2 4 2
4 2
2
2
1* 16 1 sin 2x sin 2x 17 1 sin 2x
8
2sin 2x sin 2x 1 0
sin 2x 1 loại 1 11 cos 4x1 2 2sin 2x
cos 4x 0 x 2k 1 , k Z
8
Bài 69
⎣ 2
( )35x xsin 5cos x.sin *
2 2
= : Giải phương trình: 
Nhận xét thấy: xcos 0 x k2 cos x 1
2
= ⇔ = π + π ⇔ = − 
Thay vào (*) ta được: 
π⎛ ⎞ ⎛+ π = − + π⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
5sin 5k 5.sin k
2 2
π ⎞⎟⎠ , không thỏa k∀ 
xcos
2
Do không là nghiệm của (*) nên: 
( ) ⇔ = 25x x x x* sin .cos 5 cos x.sin cos
2 2 2 2
 và xcos 0
2
≠ 
( ) 31 5sin3x sin2x cos x.sin x
2 2
⇔ + = và ≠xcos 0 
 và 
2
3 33sin x 4sin x 2sin x cos x 5cos x.sin x⇔ − + = ≠xcos 0
2
2 3
xcos 0
2
3 4sin x 2cos x 5cos x sin x 0
⎧ ≠⎪⇔ ⎨⎪ − + = ∨⎩
=
3 2
xcos 0
2
x5cos x 4 cos x 2cos x 1 0 sin 0
2
⎧ ≠⎪⎪⇔ ⎨⎪ − − + = ∨⎪⎩
=
( ) ( )2
cos x 1
xcos x 1 5cos x cos x 1 0 sin 0
2
≠ −⎧⎪⇔ ⎨ − + − = ∨ =⎪⎩
≠ −⎧⎪⎡⎪⎢ =⎪⎢⎪⇔ − +⎨⎢ = = α⎪⎢⎪⎢ − −⎪⎢ = = β⎣⎩
cos x 1
cos x 1
1 21cos x cos
10
1 cos
10
⎪⎢
1 2cos x
( )⇔ = π = ±α + π = ±β + π ∈x k2 hay x k2 hay x k2 , k Z 
 ( ) ( )2sin2x cot gx tg2x 4 cos x *+ = Bài 70: Giải phương trình:
iều kiện: và cos2x 1Đ 0 cos2x 0≠ sin x 0 cos2x≠ ⇔ ≠ ∧ ≠ 
Ta có: cos x sin2xcot gx tg2x
sin x cos2x
+ = + 
cos2x cos x sin2xsin x
sin x cos2x
cos x
sin x cos2x
+=
=
2cos x2sin x.cos x 4 cos x
sin x cos2x
⎛ ⎞⇔ =⎜ ⎟⎝ ⎠ Lúc đó: (*) 
( ) ( )
( )
( )
⇔ =
⇔ + = +
⇔ + = =
⇔ = − ∨ = ≠ ≠
2
2cos x 2 cos x
cos 2x
cos 2x 1 2cos 2x cos 2x 1
cos 2x 1 0 hay 1 2cos 2x
1cos 2x 1 cos 2x nhận do cos 2x 0 và cos 2x 1
2
π⇔ = π + π ∨ = ± + π ∈
π π⇔ = + π ∨ = ± + π ∈


2x k2 2x k2 , k
3
x k x k , k
Bài 71
2 6
 ( )2 6x 8x2 cos 1 3cos *
5 5
+ = : Giải phương trình:
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⇔ + + =⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
212x 4x1 cos 1 3 2 cos 1
5 5
 Ta có : (*) − ⎟⎠
 ⎛ ⎞⇔ + − = ⎜ ⎟⎝ ⎠
3 24x 4x 4x2 4 cos 3cos 3 2 cos 1
5 5 5
 −
Đặt ( )4t cos x điều kiện t 1
5
= ≤ 
Ta có phương trình : 
( )( )
( )
3 2
3 2
2
4t 3t 2 6t 3
4t⇔ 6t 3t 5 0
t 1 4t 2t 5 0
1 21 1 21t 1 t t lọai
4 4
− + = −
− − + =
⇔ − − − =
− +⇔ = ∨ = ∨ =
Vậy 
( )
• = ⇔ = π
π⇔ = ∈
4x 4xcos 1 2k
5 5
5kx k
2
Z
( )
( )
4x 1 21cos cos với 0 2
5 4
4x 2
5
5 5x , Z
4 2
−• = = α < α < π
⇔ = ±α + π
α π⇔ = ± + ∈
l
l l
Bài 72 ( )3tg x tgx 1 *
4
π⎛ ⎞− = −⎜ ⎟⎝ ⎠ : Giải phương trình 
 t x x t
4 4
π π= − ⇔ = + Đặt
3 1 tgttg t tg t 1 1 với cos t 0 tgt 1
4 1 tgt
π +⎛ ⎞= + − = − ≠ ∧⎜ ⎟ −⎝ ⎠ (*) thành : ≠
⇔ = −
3 2tgttg t
1 tgt
( )
)( )
( )
(
3 4
3 2
2
tg t tg t 2tgt
tgt tg t tg t 2 0
t 1 tg t 2tgt 2 0
tgt 0 tgt 1 nhận so đi àu kiện
t k t k , k
4
⇔ − =
⇔ − + =
+ − + =
⇔ = ∨ = −
π⇔ = π∨ = − + π ∈¢
Vậy (*) 
tgt tg⇔
e
x k hay x
4
⇔ = + π = k ,kπ π ∈¢ 
Bài 73
4 4
4sin 2x cos 2x cos 4x (*)
tg x tg x
4 4
+ =π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
 : Giải phương trình 
Điều kiện 
sin x cos x 0 sin 2x 0
4 4 2
sin π π⎛⎪ ⎜ x cos x 0 sin 2x 04 4 2
⎧ ⎧π π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − ≠ − ≠⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎝ ⎠⎨ ⎨ π⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪+ + ≠ + ≠⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎩ ⎩
±
Do : 
⇔
cos2x 0 sin 2x 1⇔ ≠ ⇔ ≠ 
1 tgx 1 tgxtg x tg x . 1
4 4 1 tgx 1 tgx
π π − +⎛ ⎞ ⎛ ⎞− + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ =
Khi cos2x 0 thì :≠ 
( )
( )
( )
( )
4 4 4
2 2 4
2 4
2 4
4 2
2
2
2
* s ... gx, sin2x, cos2x, tg2x) 
với R hàm hữu tỷ thì đặt t = tgx 
Lúc đó 
2
2 2
2t 2t 1 ttg2x ,sin2x ,cos2x
1 t 1 t 1 t2
−= = =− + + 
Bài 76 : (Để thi tuyển sinh Đại học khối A, năm 2003) 
Giải phương trình 
( )− = + −+ 2
cos 2x 1cot gx 1 sin x sin 2x *
1 tgx 2
Điều kiện : −
Đặt t = tgx thì (*) thành : 
sin2x 0và tgx 1≠ ≠ 
2
22
2 2
1 t
1 1 1 t 1 2t1 t1 1 .
t 1 t 2 1 t 2 1 t
−
⎡ ⎤−+− = + − −⎢ ⎥+ + +⎣ ⎦
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
2 2
22
2 2
2t t do t 1
t 2 t 1 t
t
t 1 t 1 t
1 t 1 t 1 t t
t 1 nhận do t 11 t 0
1 t 1 t t 2t t 1 0 vô nghiệm
− ≠ −+
+
⇔ − + = −
= ≠ −⎡− =⎡⇔ ⇔ ⎢⎢ + = − − + =⎢⎣ ⎣
Vậy (*)
1 t 1 t 1 .− −⇔ = +
t 1 1+ +
2 11 t t 2t 1 −− − +⇔ = =+
 ⇔ ( )tgx 1 x k nhận do sin2x 1 0
4
π= ⇔ = + π = ≠ 
Bài 77 ( )+ =sin 2x 2tgx 3 * : Giải phương trình:
Điều kiện : 
ặt t = tgx thì (*) thành : 
cos x 0≠ 
Đ
2
2t 2t 3+ = 
1 t+
) ( )
( )
( ) ( )
(
( )
⇔ + − + =
+ − =
− − + =
− + =⎣
π⇔ = ⇔ = + π ∈
2
2
2t 2t 3 1 t 0
4t 3
1 2t t 3 0
2t t 3 0 vô nghiệm
⇔ −3 22t 3t 0
⇔ t
=⎡⇔ ⎢ 2
t 1
Vậy (*) tgx 1 x k k Z
4
Bài 78 : Giải phương trình 
( )2cot gx tgx 4sin2x *
sin2x
− + = 
sin2x 0≠ Điều kiện : 
Đặt 2
2tt tgx thì : sin2x do sin2x 0 nên t 0
1 t
= = ≠+ ≠
(*) thành : 
2
2
1 8t 1 t 1t t
t t1 t t
+− + = = ++ 
( )
( )
⇔ =+
⇔ = ≠+
⇔ = ⇔ = ± ≠
π⎛ ⎞⇔ = ±⎜ ⎟⎝ ⎠
π⇔ = ± + π ∈ 
2
2
4 1 do t 0
1 t
t 3 t 3 nhận do t 0
Vậy (*) tgx tg
3
x k , k
3
Bài 79
2
8t 2t
1 t
 : Giải phương trình 
( ) ( ) ( )1 tgx 1 sin 2x 1 tgx *− + = + 
Điều kiện : 
Đặt = tgx thì (*) thành : 
cos x 0≠ 
( ) 21 t⎜ ⎟+⎝ ⎠
2t⎛1 t 1 1 t⎞− + = + 
( ) ( )
2
21 t 1 t1 t
− = ++
( ) ( ) 2 2
2
t 1
t 1 t 1
1 t 1 t 1 t1
1 t
t 1 t 0
+⇔
= −⎡ = −⎡+ ⎢⎢ 1 t⎢⇔ ⇔− − = += ⎣⎢ +⎣
⇔ = − ∨ =
= −⎡ π⇔Do đó (*) ⇔ = − + π = π ∈⎢ =⎣ 
tgx 1
x k hay x k , k
tgx 0 4
Bài 80 ( ) : Cho phương trình ( )1 0 *+ = cos2x 2m 1 cos x m− + +
 3m
2
= a/ Giải phương trình khi
3,
2 2
π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ b/ Tìm m để (*) có nghiệm trên 
( )22 cos x 2m 1 cos x m 0− + + = Ta có (*) 
[ ]( )
( )
⎧ = ≤⎪⇔ ⎨ − + + =⎪⎩ 2
t cos x t 1
2t 2m 1 t m 0
[ ]( )⎧ = ≤⎪⇔ ⎨ = ∨ =⎪⎩
t cos x t 1
1t t m
2
a/ =Khi m , phư
2
3 ơng trình thành 
b/ 
( )
( )
)
[ ]
( ) )
π π⎛ ⎞∈ = ∈ −⎜ ⎟⎝ ⎠
= ∉ −
⎞⇔ ∈ −⎡⎣⎝ ⎠
1 3 loại
3Khi x , thì cos x t [ 1, 0
2 2
1Do t 1, 0 nên
2
m 1, 0
2 2
Bài 81
= ∨ =cos x cos x
2 2
π⇔ = ± + π ∈x k2 k Z
3
π π⎛⎜ ⎟3* có nghiệm trên ,
 : Cho phương trình 
( ) ( ) ( )x * 2cos x 1 cos2x mcos x msin+ − =
 a/ Giải (*) khi m= -2 
20, π⎡ b/ Tìm m sao cho (*) có đúng hai nghiệm trên 
3
⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ 
( ) (( ) )
( ) ( )
) (
2 2
2
2
Ta có (*) cos x 1 2cos x 1 mcos x m 1 cos x
cos x 1 2cos x 1 mcos x m 1 cos x 0
1 2cos x 1
⇔ + − − = −
⎡ ⎤⇔
( )cos x m 0
+ − − − − =⎣ ⎦
+ −
i m = -2 thì (*) thành : 
⇔ − =
a/ Kh
( ) ( )
( )
+ + =
⇔
⇔ = π + π ∈
π⎡ ⎤ ⎡∈ = ∈⎢ ⎥ ⎢⎣ ⎦ ⎣
2cos x 1 2 cos x 1 0
cosx = -1
x k2 k Z
2 1b / Khi x 0, thì cos x t ,1
3 2
⎤− ⎥⎦
Nhận xét rằng với mỗi t trên 1 ,1
2
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ ta chỉ tìm được duy nhất một x trên 
20, π⎡ ⎤⎢ ⎥ 3⎣ ⎦
ùng hai ghiệm trên 1 ,1
2
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ Yêu cầu bài toán 
22t 1 m 0⇔ − − = có đu n
Xét ( ) ( )2y 2t 1 P và y m d= − = 
Ta có y’ = 4t 
20,
3
π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ Vậy (*) có đúng hai nghiệm trên 
1 ,1
2
⎡ ⎤−⎢ ⎥⎣ ⎦ ⇔ (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt trên 
 11 m
2
− < ≤ ⇔
Bài 82 : Cho phương trình ( ) ( )2 21 a tg− x 1 3a 0 1
cos x
− + + = 
1a
2
= a/ Giải (1) khi 
0,
2
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ b/ Tìm a để (1) có nhiều hơn một nghiệm trên 
Điều kiện : cos x 0 x k
2
π≠ ⇔ ≠ + π 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2 2
24a cos x 2cos x 1 a 0⇔ − + − =
2
1 1 a sin x 2cos x 1 3a cos x 0
1 a 1 cos x 2cos x 1 3a cos x 0
a 4 cos x 1 2cos x 1 0
2cos x 1 a 2cos x 1 1 0
⇔ − − + + =
⇔ − − − + + =
⇔ − − − =
⇔ − + − =⎡ ⎤⎣ ⎦
a/ Khi 1a
2
= thì (1) thành : ( ) 12cos x 1 cos x 0
2
⎛ ⎞− − =⎜ ⎟⎝ ⎠ 
( )
( )
1cos x cos nhậndo cos x 0
2 3
x k2 k Z
3
π⇔ = = ≠
π⇔ = ± + π ∈
b/ Khi x 0, π⎛ ⎞∈ thì 
2⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )t 0,1= ∈ cos x
( )
( )
1cos x t 0,1
2
2a cos x 1 a 2
⎡ = = ∈⎢⇔ ⎢ = −
Ta có : (1) 
⎢⎣
Yêu cầu bài toán ⇔ (2) có nghiệm trên ( )
a 0
1 1 a0,1 \ ⎧ ⎫ 0 1
2 2a
1 a 1
2a 2
⎧⎪ ≠⎪ −⎪⇔ < <⎨⎩ ⎭ ⎪ −⎪ ≠⎪⎩
 ⎨ ⎬
a 0≠⎧
( )
01 a 0
⎪ a 1 1 a 112a 3a 0 a1 3a 130 a12a 2a
2 1 a 2a 2
⎧⎪ ⇔⎨ ⎨ ⎨−⎪ ⎪ ⎪< ≠⎪⎪ ⎪ ⎩≠⎪ ⎪− ≠ ⎩⎩
Cách khác
⎪
cos x
1 , điều kiện ; pt thành u≥1 : dặt u =
( ) ( )−1 a − − + + = ⇔ − − + =2 2( u 1 ) 2u 1 3a 0 1 a u 2u 4a 0 
Bài 83
⇔ − − − =( u 2) [ (1 a)u 2a ] 0 
( )cos4x 6sin x cos x m 1+ = : Cho phương trình : 
 a/ Giải (1) khi m = 1 
0,
4
π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦ (1) có hai nghiệ phân biệt trên b/ Tìm m để m
⇔ − +21 2sin 2x 3sin 2x m Ta có : (1) =
( )
( )2
t sin2x t 1
2t 3t m 1 0 2
⎧ = ≤⎪⇔⎨ − + − =⎪⎩
a/ Khi m = 1 thì (1) thành 
( ) ( )
( )2
t sin2x t 1t sin2x t 1
3t 0 t loại2t 3t 0
2
= ∨ =− =⎪ ⎪⎩ ⎩
ksin2x 0 x
2
⎧ = ≤⎧ = ≤⎪ ⎪⇔⎨ ⎨
π⇔ = ⇔ =
[b/ Khi ]∈⎣ ⎦ hì sin 2x t 0,14 
Nhận thấy rằng mỗi t tìm được trên 
π⎡ ⎤∈ =⎢ ⎥x 0, t
[ ]0,1 ta chỉ tìm được duy nhất một 
x 0,
4
π⎡ ⎤∈ ⎢ ⎥⎣ ⎦
Ta có : (2) ⇔
Xét 
 22t 3t 1 m− + + = 
[ ]2y 2t 3t 1trên 0,1= − + + 
Thì y ' 4t 3= − + 
 [ ]0,1 Yêu cầu bài toán ⇔ (d) y = m cắt tại hai điểm phân biệt trên 
172 m
8
⇔ ≤ < 
Cách khác :đặt . Vì a = 2 > 0, nên ta có 
 Yêu cầu bài toán ⇔
= − + −2f (x) 2t 3t m 1
( )f
Δ=⎧⎪
( )
m
m
f m
S
− >
= − ≥⎪⎪⎨ = − ≥⎪⎪ ≤ = ≤⎪⎩
17 8 0
1
1 2
30 1
2 4
0 0
0
172 m
8
⇔ ≤ < 
Bài 84 : Cho phương trình 
( )5 5 24 cos x.sin x 4sin x cos x sin 4x m 1− = + 
a/ Biết rằng là nghiệm của (1). Hãy giải (1) trong trường hợp đó. x = π
x
8
π= −b/ Cho biết là một nghiệm của (1). Hãy tìm tất cả nghiệm của (1) thỏa 
4 2x 3x 2− + < 0
( )
( ) ( )
( )
4 4 2
2 2 2 2 2
2
2
(1) 4sin x cos x cos x sin x sin 4x m
2sin2x cos x sin x cos x sin x sin 4x m
2sin2x.cos2x sin 4x m
sin 4x sin4x m 0 1
⇔ − = +
⇔ − + = +
⇔ = +
⇔ − + =
a/ là nghiệm của (1) = 0 
Lúc đó (1) 
x = π 2sin 4 sin4 m⇒ π − π +
m 0⇒ = 
( )sin 4x 1 sin 4x 0⇔ − = 
( )
⇔ = ∨ =
π⇔ = π ∨ = + π
π π π⇔ = ∨ = + ∈
sin 4x 0 sin 4x 1
4x k 4x k2
2
k kx x k Z
4 8 2
b/ 
2 2
4 2
2
t x 0 t x 0x 3x 2 0
1 t 2t 3t 2 0
⎧ = ≥ ⎧ = ≥⎪− + < ⇔ ⇔⎨ ⎨ < <− + < ⎩
 ⎪⎩
( )
21 x 2 1 x 2
2 x 1 1 x 2 *
<
⇔− < < − ∨ < < 
⇔ < < ⇔ <
π π⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠x thì sin 4x sin 18 2 
( )x là nghiệmcủa 1 1 1 m 0
8
m 2
π= − ⇒ + + =
⇒ = −
2sin 4x sin4x 2 0− − = Lúc đó (1) thành : 
( )
( )
( )
2
t sin4x với t 1
t t 2 0
t sin4x với t 1
t 1 t 2 loại
⎧ = ≤⎪⇔ ⎨ − − =⎪⎩
⎧ = ≤⎪⇔ ⎨ = − ∨ =⎪⎩
sin4x 1
4x k2
2
kx
8 2
Kết hợp với đi
⇔ = −
π⇔ = − + π
π π⇔ = − +
ều kiện (*) suy ra k = 1 
ghiệm 3x
8 2 8
π π π= − + = thỏa 0 4 2x 3x 2− + < Vậy (1) có n
Bài 85 : Tìm a để hai phương trình sau tương đương 
( )
( ) ( ) (2 )
1 cos2x cos3x 1
4 cos x cos3x a cos x 4 a 1 cos2x 2
+ +
− = + − + 
2cos x.cos2x =
 ( )
( )
2
Ta có : (1) cos3x cos x 1 cos2x cos3x
cos x 1 2cos x 1
cos x 1 2cos x 0
1cos x 0 cos x
2
⇔ + = + +
⇔ = + −
⇔ − =
⇔ = ∨ =
( )⇔ − − =2 3Ta có : (2) 4 cos x 4 cos x 3cos x a co ( )
( ) ( )
( )
+ −
+ − − =
⇔ ⎢ + − + − =⎢⎣
2
2
2
s x 4 a 2 cos x
4 2a cos x a 3 cos x 0
0
4 cos x 2 2 a cos x a 3 0
⇔ 34 cos x
=⎡cos x
[ ]⎛ ⎞⇔ = − + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
1cos x 0 hay cos x 2 cos x 3 a 0
2
−⇔ = ∨ = ∨ =1 acos x 0 cos x cos x
2 2
 3
Vậy yêu cầu bài toán 
a 3 0
2 a 3
a 3 1 a 4
2 2
a 1 a 5a 3 a 31 1
−⎡ =⎢ =⎡⎢ − ⎢⎢⇔ = ⇔ =⎢⎢ ⎢ <
2 2
∨ >⎢ ⎣− −⎢ 
Bài 86
⎢⎣
 : Cho phương trình : cos4x = cos23x + asin2x (*) 
a/ Giải phương trì nh khi a = 1 
0,
12
π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ b/ Tìm a để (*) có nghiệm trên 
( ) ( ) ( )1 a* cos4x 1 cos6x 1 cos2x
2 2
⇔ = + + − Ta có : 
( ) ( )
( )
( ) ( )
2 3
2 3
2 2cos⇔ 2x 1 1 4 cos 2x 3cos2x a 1 cos2x
t cos2x t 1
2 2t 1 1 4t 3t a 1 t
− = + − + −
⎧ = ≤⎪⇔ ⎨ − = + − + −⎪⎩
( )
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
3 2
2
t cos2x t 1
4t 4t 3t 3 a 1 t
1 cos2x t 1
t 1 4t 3 a 1 t * *
⎧ = ≤⎪⇔ ⎨− + + − = −⎪⎩
⎧ = ≤⎪⇔ ⎨ − − + = −⎪⎩
a/ Khi a = 1 thì (*) thành : 
( )
( ) ( ) ( )2
t cos2x t 1
t 1 4t 4 0 t 1
t cos2x t 1⎧ = ≤ ⎧ = ≤
− − + = = ±⎪⎪ ⎩⎩
 ⎪ ⎪⇔⎨ ⎨
( )
⇔ = ± ⇔ =
π⇔ = ⇔ = π ⇔ = ∈
2cos 2x 1 cos 2x 1
ksin 2x 0 2x k x , k Z
2
3x 0, 2x 0, .Vậy c
6
⎛ ⎞∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠ os2x t ,112 2
⎛ ⎞π π⎛ ⎞∈ ⇔ = ∈ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠
− + = −
⇔ − = ≠2
b/ Ta có : ⎝ ⎠
2(⇔ ) ( ) ( )
( )
Vậy (**) t-1 4t 3 a 1 t
4t 3 a do t 1
ét ( )2 3y P4t 3 trên ,1
2
⎛ ⎞= − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
 X
3y ' 8t 0 t ,1
2
⎛ ⎞⇒ = > ∀ ∈ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
đ ù (*) có nghiệm trê ( ) ( ) ⎛ ⎞π⎛ ⎞ ⇔ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
30, d : y a cắt P trên ,1
2 2
 Do o n
( )3y a y
2
0 a 1
1<⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
< <
BÀI TẬP
⎛ ⎞⇔ <
⇔
ûi ùc phương trình sau : 1. Gia ca
 a/ sin4x = tgx 
 b/ 4 4 4 9sin π πx sin x x sin x
4 4 8
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 c/ tgx cot gx 4+ = 
 d/ 
( ) 2sin x 3 2 2cos x 2sin x 1
1
1 sin2x
− − − =− 
 e/ 44 cos x 3 2 sin2x 8cos x+ = 
 f/ 1 1 2
cos sin2x sin4x
+ = 
x
 g/ sin2x 2 sin x 1
4
π⎛ ⎞+ −⎜ ⎟⎝ ⎠ =
 h/ ( ) ( )2 2sin x 1 4 sin x 1 cos 2x sin 2x
4 4
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞− = − − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 
 k/ 24xcos cos x
3
= 
 l/ xtg .cos x sin2x 0
2
+ = 
 m/ 1 3tgx 2sin2x+ = 
 n/ cot gx tgx 2tg2x= + 
 p/ + =2 3x 4x2cos 1 3cos
5 5
 q/ = 23cos4x 2cos 3x 1−
 r/ 2 3x2cos 1 3cos2x+ = 
2
x s/ cos x tg 1
2
+ = 
 t/
 u/ 
 23tg2x 4tg3x tg 3x.tg2x− = 
2 3cos x.cos4x cos2x.cos3x cos 4x
2
+ + =
 v/ 2 2 2 2 3cos x cos 2x cos 3x cos 4x
2
+ + + = 
 w/
x/
 sin4x tgx= 
 6 6 213cos x sin x cos 2x
8
+ = 
 y/ 3 x 1 3xsinπ π⎞ ⎛ ⎞− = + sin
2
⎛⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎠
 ( 1 ) 
a/ Giải phương trình khi a = 1. 
10 2 2 10⎝ ⎠ ⎝
. 6 6sin x cos x a sin 2x+ =2
1a
4
≥ ) b/ Tìm a để (1) có nghiệm (ĐS : 
3. Cho phương trình 
 ( )6 62 2cos x sin x 2mtg2x 1cos x sin x
+ =− 
 a/ Giải phương trình khi m = 1
8
1m
8
≥ b/ Tìm m sao cho (1) có nghiệm (ĐS : ) 
. 
4 Tìm m để phương trình 
x kπ sin4x mtgx có nghiệm= ≠
1ĐS : m 4
2
⎛ ⎞− < <⎜ ⎟⎝ ⎠ 
5. Tìm m để phương trình : 
 có đúng 7 nghiệm trên 
 cos3x cos2x mcosx 1− + − = 0
,2
2
π⎛ ⎞− π⎜ ⎟⎝ ⎠ ( )ĐS :1 m 3< < 
6. Tìm m để phương trình : ( ) ( )4 44 sin x cos 6 6 2x 4 sin x c 4x mos x sin− + = có nghiệm + −
1ĐS : m 1
8
⎛ ⎞− ≤ ≤ ⎜⎝ ⎟⎠ 
7. Cho phương trình : 
2 2 26sin x sin x mcos 2x− = (1) 
 a/ Giải phương trình khi m = 3 
 b/ Tìm m để (1) có nghiệm ( )ĐS :m 0≥ 
8. Tìm m để phương trình : 
( )4 22m 1msin x cos4x sin4x sin x 0
4 4
++ + − =
 có hai nghiệm phân biệt trên ,
4 2
π π⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠ 
1ĐS :2 5 4 m
2
⎛ ⎞− < <⎜ ⎟⎝ ⎠ 
9. Tìm m để phương trình : 
 có nghiệm 
( )6 6 4 4sin x cos x m sin x cos x+ = +
1ĐS : m 1
2
⎛ ⎞≤ ≤⎜ ⎟⎝ ⎠ 
10. Cho phương trình : 
 Tìm a để phương trình có nghiệm 
2 2cos4x cos 3x a sin x= + 
x 0,
2
π⎛ ⎞∈ ⎜ ⎟⎝ ⎠ 
( )ĐS :0 a 1< < 
Th.S Phạm Hồng Danh 
TT luyện thi đại học CLC Vĩnh Viễn