Cách giải các dạng toán thường gặp Đại số 12 chương 1

CÁCH GIẢI CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Phần 1: SỰ ĐỒNG BIẾN,NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ
Bài 1.1: Xét sự đồng biến nghịch biến của hàm số
Tìm TXĐ
Tính y’. Tìm các điểm tới hạn.
Lập bảng biến thiên
Kết luận.
Bài 1.2: Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R hoặc trên từng khoảng của tập xác định.
Tìm TXĐ
Tính y’
Hàm số ĐB trên Ró 
 ( Hàm số nghịch biến trên R ó 
 )
 Từ đó suy ra điều kiện của m.
Bài 1.3: Tìm m để hàm bậc 3 đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a,b)
* Cách 1: 
+ Hàm số ĐB trên (a,b) ó 
 ó ( vì y’liên tục tại x = a và x =b)
 ó g(x) h(m) , 
 ó (*)
+ Tính g’(x) . Cho g’(x) = 0 tìm nghiệm x0 
 Tính => 
+ Từ (*) suy ra điều kiện của m.
* Cách 2: (thường dùng khi tham số m có bậc 2)
 + Hàm số ĐB trên (a,b) ó 
Có 2 trường hợp : 
 * TH1 : suy ra m
 * TH2 : y’ = f(x) =0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa .(điều kiện về x1, x2 để hàm số ĐB trên (a,b) – xem phần so sánh các số với nghiệm của tam thức bậc hai )
 Suy ra m
Kết hợp hai trường hợp trên ta được đáp số m cần tìm.
Bài 1.4: Tìm m để hàm số ĐB , NB trên đoạn có độ dài bằng d.
+ Tìm TXĐ
+ Tính y’
+ Hàm số có khoảng ĐB, NB ó y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 .suy ra m. (*)
+ Biến đổi thành 
Dùng định lí Viet đưa pt trên về pt theo m. 
Giải pt tìm m , so với đk (*) để được m cần tìm.
Bài 1. 5 : Chứng minh bất đẳng thức P(x) > Q(x), bằng cách sử dụng tính đơn điệu
( Chuyển vế đưa BĐT về dạng : f(x) = P(x) – Q(x) >0 )
Xét hàm số f(x) = P(x) – Q(x) liên tục trên [a,b).
Tính . Chứng tỏ 
Hàm số đồng biến trên [a,b).
=
Suy ra đpcm
---------------------------------------------------------------
Phần 2 : CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Bài 2.1: Tìm cực trị của hàm số
Quy tắc 1: 
 + Tìm TXĐ
 + Tính y’. Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có)
 +Lập bảng biến thiên
 + Kết luận : Hàm số đạt cực đại tại x = và yCĐ = 
 Hàm số đạt cực tiểu tại x = và yCT = 
Quy tắc 2 ( thường dùng đối với hàm lượng giác): 
 + Tìm TXĐ
 + Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi
 + Tính y”
 Tính y”(xi) 
 +Kết luận :
 y”(xi) >0 => hs đạt CT tại xi và yCT =
 y”(xi) hs đạt CĐ tại xi và yCĐ =
Bài 2.2: Tìm m để hàm số có ( ko có )cưc trị.
(Lưu ý : hàm số có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm và y’ đổi dấu khi qua nghiệm đó)
Tìm TXĐ
Tính y’
Hàm bậc ba có cực trị ( hoặc có CĐ, CT hoặc có 2 cực trị) ó pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt 
 ó .suy ra m.
 - Hàm b3 ko có cực trị ó y’=0 có n0 kép hoặc vô n0.
Hàm có cực trị ó pt y’=0 có hai nghiệm phân biệt khác x0 ( với x0 là nghiệm ở mẫu)
 ( với g(x) = tử số của y’ )
 Giải hệ tìm m.
Bài 2.3 : Tìm m để hàm số đạt cực trị tại x = x0.
Tìm TXĐ
Tính y’
Cách 1: 
Hàm số đạt cực trị tại x = x0 => y’(x0) = 0 .tìm m
Với mỗi giá trị m tìm được, ta thay vào y’. lập bảng biến thiên. Dựa vào BBT kết luận m đó có thỏa ycbt không.
Cách 2 : Hàm số đạt cực trị tại x = x0 
Giải hệ tìm m.
Bài 2.4 : Tìm m để hàm số đạt cực đại ( CT ) tại x = x0 
Tìm TXĐ
Tính y’ , y”
Hàm số đạt cực đại tại x = x0 ó 
 ( Hàm số đạt cực tiểu tại x0 ó )
Giải hệ tìm m.
Bài 2.5 : Tìm m để hàm số bậc 3 có hai cực trị (hoặc có cực đại và cực tiểu) thỏa điều kiện K ( đk về x1, x2) .
+ Tìm TXĐ
+ Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu. (*)
+ Hoành độ cực đại và cực tiểu là nghiệm của pt y’ = 0 
( Ta có thể suy ra các hoành độ này hoặc tổng , tích của các hoành độ)
+ Tìm m để cực đại và cực tiểu thỏa điều kiện K.
So với điều kiện (*) để được m thỏa ycbt.
Bài 2.6 : Tìm m để đồ thị hàm bậc 3 có hai điểm cực trị thỏa đk K cho trước ( VD: đt qua 2 cực trị vuông góc hoặc song song với đt cho trước,.)
 + Tìm TXĐ
 + Tính y’
 + Tìm m để hàm số có 2 cực trị. (*)
 + Lấy y chia y’ ta được : y = y’.g(x) + (ax + b)
 Gọi là các điểm cực trị.
 => và 
 Suy ra : ,
Do đó : đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là dm : y = ax +b
 + Tìm m thỏa điều kiện K. 
 + So với (*) kết luận m cần tìm .
Bài 2. 7 : Cực trị của hàm trùng phương 
+ TXĐ : D = R
+ Tính y’ = 4ax3 +2bx
Hàm số luôn đạt cực trị tại x = 0
Hàm số có 3 cực trị ó y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt
 ó pt (*) có 2 nghiệm phận biệt khác 0
 ó a.b <0
Hàm số có 2 CĐ và 1 CT 
 ó y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a<0
 ó 
Hàm số có 2 CT và 1 CĐ
 ó y’ = 0 có 3 nghiệm phân biệt và a>0
 ó
Hàm số có đúng 1 cực trị
 ó pt (*) vô nghịêm hoặc có nghiệm kép bằng 0.
 ó 
Lưu ý : Khi đồ thị hàm số có 3 cực trị A, B ,C và A thuộc Oy thì tam giác ABC cân tại A.
--------------------------------------------
Phần 3: GTLN – GTNN CỦA HÀM SỐ
Bài 3.1 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên khoảng (a,b)
Xét hàm số trên (a,b)
Tính y’
Cho y’ = 0 tìm nghiệm (nếu có )
Lập bảng biến thiên
Dựa vào BBT kết luận .
Bài 3.2 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b]
Xét hàm số trên [a,b]
Tính y’
Cho y’ = 0 tìm các nghiệm xi 
Tính 
Kết luận .
Bài 3.3 : Tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a,b] hoặc trên R, với f(x) là hàm lượng giác phức tạp
Biến đổi f(x) về cùng một hàm số lượng giác của cùng một cung
Đặt t = HSLG đó . điều kiện của t 
 Ta được : g(t) = 
 Tính g’(t) . Cho g’(t) = 0 tìm các nghiệm ti 
 Tính g( ti) , 
Suy ra : 
Bài 3.4 : tìm m để hàm số đạt GTLN (hoặc GTNN ) bằng d trên [a,b]
Xét hàm số y = f(x) trên [a,b]
Tính y’ . cho y’ = 0 tìm nghiệm ( nếu có )
Xét dấu y’ trên [a,b] ( thông thường ta cần chứng tỏ y’ >0 (hoặc y’ hàm số luôn ĐB (hoặc luôn NB) trên [a,b] ) 
Suy ra ( hoặc )
Cho = d (hoặc =d ) tìm m.
Bài 3.5 : Ứng dụng của GTLN, GTNN vào giải toán
VD : trong các hình chữ nhật có chu vi 12cm , tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất.
Phần 4: KHẢO SÁT HÀM SỐ
Bài 4.1 : Khảo sát hàm bậc 3 , bậc 4 trùng phương
B1 : Tập xác định : D = R
B2: Tính y’ . Cho y’ = 0 tìm nghiệm .
B3 : Giới hạn : và 
B4: Bảng biến thiên 
Kết luận : Đồng biến , nghịch biến , cực đại, cực tiểu
B5: Bảng giá trị : ( 5 điểm đặc biệt)
B6 : Vẽ đồ thị.
( Nhận xét : Đồ thị của hàm bậc 4 trùng phương nhận Oy làm trục đối xứng)
Bài 4.2 : Khảo sát hàm 
B1 : Tập xác định : D = 
B2: Tính y’.Nhận xét y’>0 hoặc y’ <0,
B3 : Giới hạn và tiệm cận :
+ 
 y = là tiệm cận ngang.
+ và (-hoặc+)
 là tiệm cận đứng.
B4: Bảng biến thiên .
 Kết luận : 
Hàm số đồng biến , nghịch biến trên từng khoảng xác định.
Hàm số không có cực trị.
B5 : Bảng giá trị : ( 4 điểm đặc biệt)
B6 : Vẽ đồ thị.
Bài 4.3 : Dựa vào đồ thị (C):đã vẽ, biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1)
Đưa pt (1) về dạng : 
Đây là phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d : y = g(m) ( nằm ngang)
 Số nghiệm của pt (1) bằng số giao điểm của (C)và d.
Dựa vào đố thị, lập bảng biện luận và kết luận.
g(m)
m
Số nghiệm pt (1)
-
Phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số
* Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C). Pt tiếp tuyến của (C) tại điểm có dạng : 
* Cho hàm số y = f(x) và y = g(x) có đồ thị lần lượt là (C1) và (C2).
 (C1) tiếp xúc với (C2)ó có n0
Bài 4.4 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) tại điểm 
Tìm x0, y0.	
Tính y’ . => y’(x0)
Pt tiếp tuyến của (C) tại có dạng : 
Bài 4.5 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k.
Gọi là tiếp điểm.
Tiếp tuyến d cần tìm có dạng: 
d có hệ số góc k => = k. 
Giải tìm x0 . suy ra y0 = y(x0)
Suy ra Pt tiếp tuyến d.
Cách 2: Dùng đk tiếp xúc
+ Pt tiếp tuyến d có dạng : y = kx +b
 + d tiếp xúc với (C) ó có nghiệm
 + Giải hệ tìm b . Viết pttt d.
Lưu ý : Hệ số góc của tiếp tuyến có thể được cho gián tiếp như sau : 
+ d song song với => k = k2
+ d vuông góc với => 
+ d tạo với một góc thì 
 +d tạo với chiều dương của trục hoành 1 gócthì k = tan
 Bài 4.6 : Viết pt tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A (xA, yA)
Gọi d là tiếp tuyến qua A (xA, yA) và có hệ số góc k . Suy ra : d :
d tiếp xúc với (C) ó hệ pt sau có nghiệm : 
Giải hệ tìm x ( pp thế). => k . Viết pttt.
Cách 2: tìm tọa độ tiếp điểm : 
Gọi là tiếp điểm.Khi đó 
Pt tiếp tuyến d tại M có dạng : 
Vì d qua A(xA, yA) nên : 
Giải pt tìm x0 . Từ đó viết pttt.
Bài 4.7: Biện luận theo m số giao điểm của 2 đường:
Cho 2 hàm số y = f(x, m) và y = g(x, m) có đồ thị lần lượt là . Biện luận theo m số giao điểm của (C1) và (C2): 
 * B1 : Lập pt hoành độ giao điểm của và 
 f(x,m) = g(x, m) (1)
* B2: Biện luận theo m số giao điểm của và .
Chú ý : 
* Nếu (1) là pt bậc hai thì ở bước 2 ta làm như sau: 
- Tính .
- Biện luận theo => số nghiệm pt (1) => Số giao điểm của và .
* Nếu (1) là pt bậc 3 thì ở bước 2 t a làm như sau :
 - Đoán 1 nghiệm của pt ( giả sử pt có nghiệm x = a)
- Thực hiện phép chia đa thức ( Sơ đồ Hoocne). Ta có: 
 (1) ó (x-a)(Ax2 +Bx + C) = 0 
 ó 
- Tính , Biện luận theo => Số nghiệm pt(2) => số nghiệm pt (1).
Bài 4.8 : Nghiệm của pt bậc ba:
Số n0 của pt b3 bằng số giao điểm của (C) với trục Ox
Pt bậc 3
Đồ thị của hàm số và trục hoành
Nếu
Có 3 nghiệm tạo thành cấp số cộng
Cắt tại 3 điểm cách đều nhau (hay 3 điểm lập thành CSC)
f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và điểm uốn nằm trên trục Ox
Có 3 n0 đơn phân biệt
Cắt nhau tại 3 điểm phân biệt
f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và yCĐ .yCT <0
Có 1 n0 kép, 1 n0 đơn
Tiếp xúc nhau tại 1 điểm và cắt nhau tại 1 điểm
f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và yCĐ .yCT = 0
Có duy nhất 1 n0 đơn
Cắt nhau tại 1 điểm
Có 2 trường hợp : 
* f ’(x) = 0 có n0 kép hoặc vô n0.
* f ’(x) = 0 có 2 n0 pb và yCĐ .yCT >0
Định lí Viet về pt bậc 3: 
Bài 4.9 : Tìm những điểm trên đồ thị hàm hữu tỉ có tọa độ nguyên
* Phân tích , với A(x) là đa thức , a 
* Tọa đô điểm trên đồ thị nguyên ó x nguyên và a là bội của Q(x).
* Thử lại các giá trị m tìm được => Kết luận.
Bài 4.10 :Tìm điểm cố định của họ đồ thị 
 (Cm): y = f(x,m)
Cách 1: 
Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm)
có n0 
Biến đổi pt theo ẩn m. 
Áp dụng đk pt có n0 ó các hệ số đồng thời bằng 0. giải tìm x0, y0. => Kết luận.
Lưu ý :* ax + b = 0 , ó 
 *
Cách 2: 
Gọi M(x0, y0) là điểm cố định của họ đồ thị (Cm)
 (*)
Đặt F(m) = f(x0,m) .
 F(m) = y0 không đổi => F’(m) = 0 . Giải pt tìm x0.
Thay vào (*) tìm y0. Kết luận điểm cố định.
Bài 4.11: Đồ thị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:
Cho đồ thị (C) : y = f(x) . Dựa vào đồ thị (C) , vẽ đồ thị (C’) : a) , b) 
Vẽ đồ thị (C) : y = f(x)
Đồ thị hàm số 
Ta có: 
+Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên trên trục hoành
+Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm phía dưới trục hoành qua trục hoành
Suy ra đồ thị hàm số 
Đồ thị hàm số 
Ta có: là hàm số chẳn và 
+Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung
+Bỏ phần đồ thị (C) nằm bên trái trục tung.
Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục tung qua trục tung.
Suy ra đồ thị hàm số